Universidade de São Paulo em São Carlos Mecânica Quântica Aplicada Prova 1

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1 Universidade de São Paulo em São Carlos 9514 Mecânica Quântica Aplicada Prova 1 Nome: Questão 1: Sistema de dois níveis (3 pontos) Considere um sistema de dois estados 1 e ortonormais H do sistema seja dado por ( ) E Ω H = Ω E Nessa base o hamiltoniano a (5 pontos) Assumindo que o sistema estiver inicialmente no estado 1, ele permanecerá nesse estado num instante posterior? b (1 ponto) Obtenha os autovalores e os autovetores de H, expressando os em termos de 1 e c (1 ponto) Qual a probabilidade de medirmos uma das autoenergias no estado seguinte ψ = 1 1 i d (5 pontos) Qual é a energia de transição entre os autoestados do sistema?

2 Solução a Não, já que estes estados não são autoestados do hamiltoniano A evolução temporal do sistema mistura os dois e temos duas combinações específicas com energia bem definida, os autoestados de H Começando em 1 ou teremos a possibilidade de medir qualquer uma das duas energias possíveis dependendo do tempo esperado b Escrevemos Com isso Portanto, dando os autovalores 1 = = H ( ) 1 ( c ) λ e = ( c ( ) 1 e ψ = ( c c ) ) ( ) ( ) E λ Ω = Ω E λ E λ Ω Ω E λ = (E λ) Ω =, λ = E I,II = E ± Ω Os autovetores seguem de ( ) ( ) ( ) ( ) E c H = E c I = 1 + Ωc E c = 1 + Ωc 1 = c c Ωc 1 + E c E c + Ωc 1 = c Junto com a condição de normalização I I = 1 isso dá c 1 = c = 1/ e I = Também H ( c ) ( ) = E II = c ( ) ( ) E c 1 + Ωc E c = 1 Ωc 1 = c Ωc 1 + E c E c Ωc 1 = c Junto com a condição de normalização II II = 1 isso dá c 1 = c = 1/ e c Calculamos a superposição II = P I = I ψ = 1 ( 1 + ) 1 ( 1 i ) d A energia de transição é: E II E I = E + Ω (E Ω) = Ω = i = 1 = 5%

3 Questão : Tunelamento ( pontos) Um átomo de rubídio-87 se move no espaço livre (região ) com a velocidade v = 1 cm/s (vide esquema) De repente ele encontra um desnível com a profundidade V 1 = k B 1µK a (5 pontos) Qual é o comprimento de onda de Broglie da partícula na região 1? b (1 pontos) Agora o átomo encontra uma barreira de altura V = V 1 Qual é a probabilidade para a partícula entrar na região? c (5 pontos) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula dentro da região até uma profundidade x = 1 nm?

4 Solução a A energia da partícula é E = m v = k B 53 nk O vetor de onda é k 1 = m (E V 1) = dando λ = π/k 1 = 7nm b Escrevendo o vetor de onda na região como m v mv 1, k = m m (E V ) = i (V E) = iκ, dando κ = m 1 Temos as condições de continuidade ψ 1 (x) = Ae ik 1x + Be ik 1x = Ce ik x + De ik x = ψ (x) ψ 1(x) = ik 1 Ae ik 1x ik 1 Be ik 1x = ik Ce ik x ik De ik x = ψ (x) Inserindo x =, A = 1 e D =, dando 1 + B = C, ik 1 ik 1 B = ik C, B = k 1 k k 1 + k, C = k 1 k 1 + k A probabilidade de encontrar a partícula na dentro da região é ψ(x ) dx = Ce ik x dx = k 1 k 1 + iκ e κ x dx = 4k 1 1 = 4(E V 1) 1 = k1 + κ κ V 1 V 1 κ c A probabilidade de encontrar a partícula até a profundidade x é x ψ(x ) dx = e κx ψ(x ) dx = 9 1 7

5 Questão 3: Potencial harmônico e estados coerentes (3 pontos) Considere um oscilador harmônico unidimensional preparado numa superposição de estados, α e α / α n n n! n, chamado de estado de Glauber a (5 pontos) Calcule como o operador de aniquilação â age sobre este estado b (5 pontos) Qual é a população do estado de Fock n de um oscilador harmônico num estado de Glauber? c (1 ponto) Calcule os valores esperados das observáveis ˆx a oh (â +â) e ˆp a oh (â â) para um oscilador num estado de Glauber d (1 ponto) Calcule os valores esperados das observáveis ˆx e ˆp e verifique que o estado de Glauber tem incerteza mínima: x p =

6 Solução a O estado obtido da atuação do operador â no estado de Glauber é â α = e α / α n n! â n = e α / α n n 1 n! n 1 = e α / α n (n 1)! n 1 = α α n n n b A população é n α α n α = e n! c Os valores esperados das observáveis ˆx a ho (â + â) e ˆp a ho (â â) são, a ho α ˆx α = α â + â α = α + α e ia ho α ˆp α = α â â α = α α d Com isso, os desvios quadráticos médios das quadraturas ficam, α ˆx α = α (â + â ) α = α ââ â â + â â α a ho = α α + α = 1 + (α + α ) = 1 + a ho α ˆx α a ho α ˆp α = α (â â ) α = α ââ 1 â â + â â α As incertezas ficam, = α 1 α + α = 1 + (α α ) = 1 a ho α ˆp α x = α ˆx α α ˆx α = a ho e p = α ˆp α α ˆp α = a ho E finalmente a relação de Heisenberg, p x = 4

7 Questão 4: Partícula num potencial cilíndrico ( pontos) Considere uma partícula de massa m confinado no potencial V (ρ) com ρ = x + y Supomos que a partícula mantem uma distância fixa do eixo de simetria, ρ = ρ Inserindo o ansatz de separação ψ( r) = R(ρ)ζ(z)Φ(ϕ) na equação de Schrödinger e lembrando-se de r = em coordenadas cilíndricas, ρ ρ ρ ρ φ z a (1 ponto) derive e resolve a equação diferencial do movimento axial e determine a energia deste movimento; b (1 ponto) derive e resolve a equação diferencial do movimento orbital e determine a energia deste movimento

8 Solução Inserindo o operador r e o ansatz de separação ψ( r) = R(ρ)ζ(z)ξ(x) na equação de Schrödinger, obtemos a equação axial com a solução e a energia ζ ζ = me z = k z, ζ = Ae ikzz + Be ikzz E z = kz m = mv z Também obtemos a equação azimutal Com a solução ξ ξ = me φ ρ = m l, ξ = Ae im lφ + Be im lφ, onde a condição de contorno Φ(ϕ) = ξ(ϕ + π) requer m l =, ±1, Portanto, a energia do movimento azimutal é E ϕ = m l mρ = m l I