Simetrias na Mecânica Quântica

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1 Simetrias na Mecânica Quântica Prof. 26 de maio de 2010

2 Definição de Simetria na Mecânica Quântica G(a) elemento de um grupo G de transformações contínuas, ˆT(G(a)) operador unitário. G(a) M.Q. ˆT(G(a)), Invariância da Hamiltoniana pelas transformações de G, ˆT (G(a))ĤˆT(G(a)) = Ĥ [ˆT(G(a)),Ĥ] = 0, para qualquer elemento G(a) do grupo G. Nesse caso dizemos que G é um grupo de simetria da Hamiltoniana.

3 Simetrias e Leis de Conservação G grupo que depende de r parâmetros, a 1,a 2,...,a r. Limite de uma transformação infinitesimal: ˆT(G(a)) = 1 i r a kˆx k, k=1 ˆx k operador hermiteano, gerador do grupo G. Condição de invariância se reduz à, [Ĥ,ˆx k] = 0. Em virtude das equações de Heisenberg, iħ dˆx k dt (t) = [ˆx k(t),ĥ], temos que ˆx k (t) é uma constante do movimento, dˆx k dt (t) = 0. Análogo ao caso de rotações e translações. Operador momento gerador das translações. Operador momento angular gerador das rotações. Invariância da Hamiltoniana por essas transformações, implica que esses observáveis são constantes do movimento.

4 Propiedade das constantes de movimento. g k autovetor de ˆx k com autovalor g k, ˆx k g k = g k g k. Suponha que no instante t 0 o sistema esteja no estado g k. Se ˆx k é uma constante do movimento, [Ĥ,ˆx k ] = 0, o estado do sistema no instante t é um autovetor de ˆx k com o mesmo autovalor: g k,t = Û(t,t 0 ) g k e ˆx k g k,t = g k g k,t.

5 Simetrias e degenerescência Se E é um autovetor de Ĥ com autovalor E, Ĥ E = E E, os vetores de estado ˆT(G(a)) E são autovetores de Ĥ com o mesmo autovalor, ĤˆT(G(a)) E = ˆT(G(a))Ĥ E = E ˆT(G(a)) E. Espaço dos vetores de estado degenerados ˆT(G(a)) E invariante pela ação dos operadores do grupo, o que define uma representação do grupo. Essa representação, em geral, é uma representação irredutível indicando que a ordem da degenerescência é igual a dimensão das representações irredutíveis.

6 Exemplo: Grupo das Rotações, O(3). a) Elementos do grupo: matrizes ortogonais, R(φ, n), que dependem de três parâmetros. b) Correspondência com a M.Q.: c) Invariância da Hamiltoniana: d) Geradores do grupo: R(φ,n) M.Q. ˆD(R(φ,n)) = e i ħ φĵ n. ˆD (R(φ,n))Ĥ ˆD(R(φ,n)) = Ĥ. ˆD(R(dφ,n)) = 1 i dφ Ĵ n. ħ e) Constantes do movimento: [Ĵ k,ĥ] = 0.

7 f) Degenerescência dos níveis de energia como consequência da invariância rotacional. Se Ĥ E = E E, ˆD(R(φ,n)) E são autovetores de Ĥ com mesmo autovalor. Ĥ, Ĵ 2 e Ĵ z conjunto completo de observáveis compatíveis, Ĥ Ejm = E Ejm, Ĵ 2 Ejm = ħ 2 j(j+1) Ejm, Ĵ z Ejm = ħm Ejm. Em geral, estados degenerados são autovetores de Ĵ 2 com o mesmo autovalor: Então de Ĵ 2 ˆD(R(φ,n)) E = ħ 2 j(j +1)ˆD(R(φ,n)) E. ˆD(R(φ,n)) E = m Ejm jm ˆD(R(φ, n)) E, concluímos que a ordem da degenerescência é igual a 2j +1. A dimensão da representação irredutível de momento angular igual a j. Note que como os estados Ejm são degenerados, os níveis de energia não dependem de m.

8 Simetrias discretas Na Mecânica Quântica, propriedades de simetria associadas não só a transformações contínuas (translação, rotação) mas a transformações discretas (inversão espacial, inversão temporal) são igualmente importantes. 1 Inversão espacial: Reflexão do sistema em torno de um ponto, identificado com a origem do sistema de coordenadas. Inversão espacial operador unitário no espaço de vetores de estado, o operador paridade: α π = ˆπ α, ˆπ ˆπ = ˆπˆπ = ˆ1. Ação de ˆπ nos vetores de estado: x α π 2 = x α 2 escolha de fase x α π = x α. Consequência: π α ˆx α π = α ˆx α igual a α ˆπ ˆxˆπ α = α ˆx α Como igualdade válida para qualquer α, ˆπ ˆxˆπ = ˆx.

9 De x ˆπ α = x α vemos que ˆπ 2 = ˆ1, consequentemente ˆπ = ˆπ, mostrando que ˆπ éum operador hermitiano.concluindo, determinamos como o operador posição se transforma por inversão espacial. Como o operador momento se transforma por inversão espacial? ˆπˆT(a) = ˆT( a)ˆπ, ˆT(a) = e i ħˆp a, então ˆπ ˆpˆπ = ˆp. Transformação do operador momento angular: Momento angular orbital, ˆL = ˆx ˆp, ˆπ ˆLˆπ = ˆL. Spin se transforma do mesmo modo, Ĵ = ˆL+Ŝ, ˆπ Ĵˆπ = Ĵ. Como no caso da translação podemos deduzir como o operador momento angular se transforma por rotações verificando que ˆπ ˆD(R) = ˆD(R)ˆπ.

10 Classificação dos operadores de acordo com: i) As propriedades de transformação por inversão espacial: a) ˆπ ˆπ = Â,  operador par por inversão espacial. b) ˆπ ˆπ = Â,  operador ímpar por inversão espacial. ii) As propriedades de transformação por rotações: a) ˆD (R)Ô ˆD(R) = Ô, Ô operador escalar por rotações. b) ˆD (R)ˆV k ˆD(R) = l R klv l, ˆV operador vetorial por rotações. Operadores escalares, pares por inversão espacial, operadores escalares, ímpares por inversão espacial: pseudo-escalares. Operadores vetoriais ímpares por inversão espacial, operadores vetoriais polares. Operadores vetoriais pares por inversão espacial, operadores vetoriais axiais ou pseudo-vetores.

11 Autovetores e autovalores do operador paridade Equação de autovalores: ˆπ λ = λ λ. Como ˆπ 2 = ˆ1, autovalores iguais a ±1. Função de onda de um vetor de estado de paridade positiva função par de x; Função de onda de um vetor de estado de paridade negativa função ímpar de x. Prova dessa propriedade, ˆπ α = λ α, x ˆπ α = λ x α, ψ α ( x) = λψ α (x). Então se λ = 1, ψ α (x) é uma função par de x, se λ = 1, uma função ímpar de x.

12 Exemplo: Hamiltoniana invariante por rotações e por inversão espacial Vamos considerar uma partícula num campo central. Ĥ, ˆL 2 e ˆL z conjunto completo de observáveis que comutam.operador paridade compatível com esses observáveis. A função de onda dos estados estacionários é: e x Elm = R El (r)y lm (θ,φ) x ˆπ Elm = x Elm = R El (r)y lm (π θ,φ+π) = ( 1) l R El (r)y lm (θ,φ). que é igual a, x ˆπ Elm = ( 1) l ˆ x Elm. Assim podemos concluir que ˆπ Elm = ( 1) l Elm mostrando que estados com l par tem paridade positiva, ímpar, negativa.

13 Degenerescência: Mostre que se [Ĥ,ˆπ] = 0 e E n um autovetor de Ĥ, Ĥ E n = E n E n temos: a) Se E n é um autovetor não-degenerado, E n é um autovetor do operador paridade. Prova: De Ĥ E n = E n E n segue que Ĥˆπ E n = E nˆπ E n, isto é, E n e ˆπ E n são autoestados de Ĥ com mesmo autovalor. Como E n autovalor não-degenerado estados devem ser idênticos: ˆπ E n = λ E n, λ = ±1. b) E n um autovalor degenerado. Procedendo como em a) concluimos que ˆπ E n é autovetor com o mesmo autovalor. Nesse caso existem duas possibilidades: 1 E n e ˆπ E n os mesmos estados. E n um autovetor do operador paridade, ˆπ E n = λ E n, λ = ±1. 2 E n e ˆπ E n linearmente independentes. Podemos construir combinações lineares desses dois estados de modo que sejam autoestados de ˆπ:

14 ±E = ˆP ± E E ˆP ± E 1/2, ˆP +, ˆP projetores nos estados de paridade positiva e negativa, respectivamente. 1± ˆπ ˆP ± =. 2 Exemplo 1: Partícula livre Ĥ = ˆp2 2m, [Ĥ,ˆπ] = 0, [ˆp,ˆπ] = 0, ˆp e ˆπ observáveis incompatíveis. Auto-estados de ˆp não são, em geral, auto-estados de ˆπ, ˆπ p = p, p e p são estados degenerados e podemos construir auto-estados de ˆπ e Ĥ como mostrado acima.

15 Exemplo 2: Poço duplo simétrico Ĥ S = E S S, Ĥ A = E A A, ψ S,A (x) 2 = ψ S,A ( x) 2 R = 1 2 ( S + A ), concentrado à direita, L = 1 2 ( S A ), concentrado à esquerda. ˆπ R = L Vetor de estado no instante t se o sistema está no estado R no instante inicial: R,t = 1 2 (e i ħ E St S +e i ħ E At A ). Probabilidade de achar a partícula no estado R no instante t: R R,t 2 = cos 2 πt ħ, T 0 = 2π. T 0 E A E S

16 Tunelamento através da barreira. Tempo inversamente proporcional à diferença de energia. Exemplo: molécula de amônia. Altura da barreira. Autovetores degenerados. Estado fundamental não necessariamente autovetor de ˆπ. Quebra espontânea de simetria. Estados R e L auto-estados degenerados. Exemplo: moléculas orgânicas, isômeros óticos. T anos. Regras de Seleção: α e β, auto-estados de ˆπ, ˆπ α = λ α α, ˆπ β = λ β β. Sejam  even e  odd operadores pares e ímpares por inversão espacial, então ˆπ  evenˆπ =  even e ˆπ  oddˆπ =  odd,

17 i) α Â even β = λ α λ β α Â even β ii) α Â odd β = λ α λ β α Â odd β ou i) α Â even β = 0 se λ α λ β = 1 ii) α Â odd β = 0 se λ α λ β = 1 Conclusão: Transição para operadores pares não-nula entre estados de mesma paridade, para operadores ímpares paridades opostas. Não-conservação da paridade: Interações fracas não conservam a paridade!