A Experiência de Stern-Gerlach e o Spin do Elétron

Transcrição

1 UFPR 28 de Abril de 2014

2 Figura: Placa Comemorativa.

3 ela foi realizada em 1922; ela investiga os possíveis valores do momento de dipolo magnético, µ, de um átomo de prata; ela explora a dinâmica do dipolo magnético formado pelo átomo na presença de um campo magnético externo, B, não uniforme; a não uniformidade de B gera forças diferentes em cada polo magnético; a força resultante sobre o átomo desloca o átomo na presença de B.

4 Figura: Comportamento de um dipolo magnético na presença de um campo magnético não uniforme.

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6 Figura: Em cima temos o perfil do resultado previsto pela física clássica e abaixo o perfil obtido.

7 Momento magnético clássico em campo externo Corpúsculo com momento de dipolo magnético µ imerso em um campo magnético B: U = µ. B energia potencial (1) F = U = ( µ. B) força (2) Na região central do ímã podemos escrever: F z = z ( µ. B) = µ z B z z. (3)

8 Momento magnético clássico Modelo clássico simples para um átomo de Bohr de 1 elétron em uma órbita circular: µ = e 2m L (4) onde L é o momento angular do átomo.

9 Configuração eletrônica O átomo de parata 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 2 3d 10 4p 6 4d 10 5s 1 O momento angular total dos orbitais internos: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 2 3d 10 4p 6 4d 10 é zero. Assim o átomo de prata pode ser aproximado para um átomo de um elétron, logo F z z ( µ. B) = µ z B z z. (5)

10 Como µ z = e 2mL cos θ, então F z e 2m L cos θ B z z. (6) Assim, segundo a teoria clássica, deveríamos observar uma mancha contínua na placa fotográfica, mas o resultado do experimento é:

11 Esses resultados indicam que deve haver algum momento magnético no átomo que não foi considerado. Se, como proposto por Bohr e Sommerfeld, o elétron possui um momento angular intrínseco S, denominado de Spin. Assim, o momento angular total de um átomo será: J = L + S, (7) com µ s = ge 2m S. (8)

12 hoje, sabe-se que, a medida da componente S z do momento angular intrínseco do elétron resulta em dois valores discretos, ± 2 ; o spin do elétron é uma propriedade puramente quântica que não tem nenhum análogo clássico, e é previsto à partir de um tratamento relativístico da teoria quântica de Schrödinger; não podemos medir simultaneamente as três componentes de S, (Sx, S y e S z ), pois elas estão associados a operadores que não comutam entre si.

13 Descrição Teórica O Observável S z A componente µ z do momento magnético intrínseco do elétron associamos um observável S z, tal que S z ± = ± ±. (9) 2 com ˆ1 = σ σ, (10) σ=± σ σ = δ σσ. (11)

14 Descrição Teórica O estado mais geral do elétron associado a seu Spin pode é dado por ψ = α + + β, (12) com α 2 + β 2 = 1 (13) Na base { +, } S z é representado por S z = 2 ( ). (14)

15 Descrição Teórica Outros observáveis: S x e S y Na base dos autovetores de S z, { +, } S x e S y, são representados por S x = ( ( 0 i i 0 S y = 2 ). (15) ). (16) Além disso, pode se mostrar que seus autovalores são ± 2, e auto-vetores dados por ± x = 1 2 ( + ± ), (17) ± y = 1 2 ( + ± i ). (18)

16 Descrição Teórica Caso Geral: S u S u = S. u = S x sin θ cos ϕ + S y sin θ sin ϕ + S z cos θ (19) S u = ( cos θ sin θe iϕ 2 sin θe iϕ cos θ ). (20) + u = cos(θ/2)e iϕ/2 + + sin(θ/2)e iϕ/2 (21) u = sin(θ/2)e iϕ/2 + + cos(θ/2)e iϕ/2 (22)

17 Aplicação dos Postulados no Caso de um Spin 1/2 Preparando o Estado do Sistema

18 Aplicação dos Postulados no Caso de um Spin 1/2 Realizando medidas de spin É fácil verificar que o valor médio de S z para cada experiência é dado por: 1 o experimento : + S z + = 2, 2 o experimento : u + S z + u = 2 cos θ, (23) lembrando que para ϕ = 0, + u = cos(θ/2) + + sin(θ/2).

19 Aplicação dos Postulados no Caso de um Spin 1/2 Valor Médio S i, i = z, x, y O estado mais geral para representar o sistema é dado por com ψ = α + + β, α 2 + β 2 = 1. Pode-se mostrar, que a menos de um fator de fase global, se temos cos θ/2 = α, e sin θ/2 = β, ( ) ψ = + u = e iξ/2 cos(θ/2)e iϕ/2 + + sin(θ/2)e iϕ/2. (24)

20 Aplicação dos Postulados no Caso de um Spin 1/2 Assim, pode se mostrar que u + S z + u = cos θ, 2 (25) u + S x + u = sin θ cos ϕ, 2 (26) u + S y + u = sin θ sin ϕ. 2 (27)