Aula sobre Spin: Programa Spins e Tabela de Clebsch-Gordon

Transcrição

1 Aula sobre Spin: e Tabela de Jorge C. Romão Instituto Superior Técnico, Departamento de Física & CFTP A. Rovisco Pais 1, Lisboa, Portugal 2014

2 O Uso da Tabela de Coeficientes de Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 2

3 em Java da autoria de Ver como fazer download e como utilizar na página alternativa da disciplina Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 3

4 O setup básico Estado inicial aleatório (random) Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 4

5 Spin numa direção arbitária n Direção n(θ, φ) [ ] [ ] cos(θ/2) sin(θ/2) ; n = sin(θ/2)e iφ, ; n = cos(θ/2)e iφ Estado inicial S z e portanto n S z = sin(θ/2)e iφ, n S z = cos(θ/2)e iφ, As probabilidades são P( n) = sin 2 (θ/2), P( n) = cos 2 (θ/2) Para n : θ = 45,φ = 45 P( n) = sin 2 π/8 = , P( n) = cos 2 π/8 = Para n : θ = 60,φ = 45 P( n) = sin 2 π/6 = 0.25, P( n) = cos 2 π/6 = 0.75 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 5

6 Direção n : θ = 45,φ = 45 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 6

7 Direção n : θ = 60,φ = 45 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 7

8 Descobrir unknown states Tabela de Probabilidades Estado S x S x S y S y S z S z Unknown # Unknown # Unknown # Unknown # Sem perda de generalidade um estado genérico escreve-se [ ] a ψ = be iφ, a 2 +b 2 = 1 com a,b > 0. Obviamente 1 = S z = [ ] [ 1 1 2, 2 = S y = 0 i 2 ] Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 8

9 Descobrir unknown states Para o estado 3 temos S z 3 2 = a 2 = 0.5, S z 3 2 = b 2 = 0.5 e isto implica que a = b = 1/ 2 e θ = 90. Falta determinar φ. Para isso temos as probabilidades S x 3 2 = 1+cosφ 2 S y 3 2 = 1+sinφ 2 o que dá φ = 240. Para o estado 4 temos = 0.25, S x 3 2 = 1 cosφ 2 = 0.067, S y 3 2 = 1 sinφ 2 S z 4 2 = a 2 = 0.25, S z 4 2 = b 2 = 0.75 o que dá a = 1/2,b = 3/2 e θ = 120. Falta então determinar φ. = 0.75 = Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 9

10 Descobrir unknown states Para o estado 4, S x 4 2 = 2+ 3cosφ 4 S y 4 2 = 2+ 3sinφ 4 Obtemos então = 0.875, S x 4 2 = 2 3cosφ 4 = 0.716, S y 4 2 = 2 3sinφ 4 = = θ = 120, φ = 330 Podemos verificar isto com o programa Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 10

11 Unknown 3 : Direção n : θ = 90,φ = 240 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 11

12 Unknown 4 : Direção n : θ = 120,φ = 330 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 12

13 Problema 10.2 (Gasiorowicz 10.5) Problema 10.2 Considere o spinor ψ = 1 5 [ 2 1 ] Qual é a probabilidade que uma medida do operador (3S x +4S y )/5 dê o valor /2? Devemos ter o que dá n = ( 3 5, 4 5,0) θ = 90, φ = cos 1 (3/5) = Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 13

14 Problema 10.2 (Gasiorowicz 10.5) Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 14

15 Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6) Problema 10.2 Considere o sistema de spin 1/2 representado pelo spinor normalizado [ ] ψ = Qual a probabilidade que uma medida de S y dê o valor /2? Pode também encontrar as probabilidades de S x = ± 2 e S z = ± 2 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 15

16 Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6) Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 16

17 Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6) Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 17

18 Ação do Campo Magnético B Precisamos de identificar o que significa o número no icon do campo magnético Para isso considere que no instante t = 0 o sistema tem spin up segundo o eixo dos x, isto é, 1 1 ψ(0) = 2 1, ψ(t) = e iω 0t 2 1 e iω 0t 2 2 onde ω 0 = egb/(4m e ) Portanto as probabilidade de medir, instante t, S x com valores ± /2 são, P(S x = 2 ) = cos2 (ω 0 t), P(S x = 2 ) = sin2 (ω 0 t), Utilize este resultado e a montagem da figura seguinte para mostrar que ω 0 t = π 36 = 5 = Uma unidade no espectrómetro de campo B Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 18

19 Ação do Campo Magnético B ω 0 t = 0 ω 0 t = 30 ω 0 t = 45 ω 0 t = 90 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 19

20 Precessão do spin O spin precessa com frequência 2ω 0. Na figura 2ω 0 t = 2 45 = 90 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 20

21 Problema Considere a experiência da Figura seguinte Sabe-se que o estado inicial tem spin up segundo o eixo dos z. Explique o resultado em termos de precessão do spin no campo B. Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 21

22 Problema Notando que o spin precessa com frequência 2ω 0, temos a situação descrita na figura seguinte x 90 z y x z 90 y x z 90 y x 180 z y Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 22

23 Uso da Tabela de Coeficientes de Tabela CG Exemplo Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 23

24 Uso da Tabela de Coeficientes de : Caso 1 1/2 1 1/2 = 3/2+1/2 Tabela CG Exemplo J = 3/2 3/2, 3/2 J = 1/2 3/2, 1/2 1/2, 1/2 Ortogonais 3/2, 1/2 1/2, 1/2 Ortogonais 3/2, 3/2 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 24

25 Uso da Tabela de Coeficientes de : Caso 1 1/2 Tabela CG Exemplo Temos (2 1+1) 2 = (2 3/2+1)+(2 1/2+1) = 6 states. We get 3/2,3/2 = 1,1 1/2,1/2 3/2,1/2 = 1/3 1,1 1/2, 1/2 + 2/3 1,0 1/2,1/2 1/2,1/2 = 2/3 1,1 1/2, 1/2 1/3 1,0 1/2,1/2 3/2, 1/2 = 2/3 1,0 1/2, 1/2 + 1/3 1, 1 1/2,1/2 1/2, 1/2 = 1/3 1,0 1/2, 1/2 2/3 1, 1 1/2,1/2 3/2, 3/2 = 1, 1 1/2, 1/2 Jorge C. Romão Slides MQ-Spins 25