SEM Aula 7 Equacionamento de Mecanismos. Prof. Dr. Marcelo Becker
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- Marina Fraga Eger
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1 SEM Aula 7 Equacionamento de Mecanismos Prof. Dr. Marcelo Becker SEM - EESC - USP
2 Sumário da Aula Notação Complexa Equacionamento de Links Mecanismos Simples Mecanismos Complexos Exemplo Bibliografia Recomendada 2
3 Notação Complexa Formas de representação: Exponencial Im R = OP.e i θ Senos e Cosenos O R = OP.(i.sin θ + cos θ) R P θ Re 3
4 Sumário da Aula Notação Complexa Equacionamento de Links Mecanismos Simples Mecanismos Complexos Exemplo Bibliografia Recomendada 4
5 Equacionamento Links Rígidos Derivada Primeira Exponencial.. R = OP.iθ.e i θ Senos e Cosenos.. R = OP.θ.(i.cos θ - sin θ). R Im O R P θ Re 5
6 Equacionamento Links Rígidos Derivada Segunda Exponencial. R = OP.(i 2 θ 2.e i θ + iθ.e i θ ) Senos e Cosenos. R n R t R = - OP.θ 2.(cos θ + i.sin θ) + OP.θ.(i.cos θ sin θ) R t Im O R R n P θ Re 6
7 Equacionamento Links Rígidos Determinação do Módulo de R: R Re = - OP.(θ 2.cos θ - θ.sin θ). R Im = - OP.(θ 2.sin θ + θ.cos θ) R = R Im R Re R β R t R n Im R O P θ Re 7
8 Equacionamento Links Rígidos Determinação da fase de R: tan(β) = R Im R Re R β R t R n Im R O P θ Re 8
9 Equacionamento Links não Rígidos Formas de representação: Exponencial Im R 1 = R 1.e i θ1 Senos e Cosenos O R 1 = R 1.(i.sin θ 1 + cos θ 1 ) A R 1 θ 1 Re 9
10 Equacionamento Links não Rígidos Derivada Primeira Exponencial... R 1 = R 1.iθ 1.e i θ 1 + R 1.e i θ 1.. R 1t R 1n Senos e Cosenos... R 1 = R 1.θ.(i.cos θ - sin θ) + R 1.(cos θ + i.sin θ) Im. R 1t O. R 1n A R 1 θ 1 Re 10
11 Equacionamento Links não Rígidos Derivada Segunda Exponencial. R t. R 1 = R 1.(i 2 θ 12.e i θ 1 + i.θ 1.e i θ 1 ) + R 1.(i.θ 1.e i θ 1 + e i θ 1 ). + R 1.i.θ 1.e i θ 1 R n Im R 1t O R 1 R 1n A θ1 Re 11
12 Equacionamento Links não Rígidos Im A Derivada Segunda Seno e Coseno R 1t R 1 θ1. R = - R 1.θ 1 2.(cos θ 1 + i.sin θ 1 ) +..+ R 1 θ 1.(i.cos θ 1 sin θ 1 ) R 1.θ 1.(i.cos θ 1 - sin θ 1 ) +..+ R 1.(i.sin θ 1 + cos θ 1 ) O R 1n Re EESC-USP M. Becker
13 Sumário da Aula Notação Complexa Equacionamento de Links Mecanismos Simples Mecanismos Complexos Exemplo Bibliografia Recomendada 13
14 Equacionamento 4 Barras - Posição Im R 3 R 2 R 4 R 1y R 1x R 2 + R 3 + R 4 = R 1y + R 1x Re 14
15 Equacionamento 4 Barras - Posição Im R 3 θ 4 θ 1y R 2 R 4 θ 2 θ 3 R 1y R 1x Re R 2.(cosθ 2 + i.sinθ 2 ) + R 3.(cosθ 3 + i.sinθ 3 ) R 4.(cosθ 4 + i.sinθ 4 ) = -i.r 1y + R 1x 15
16 Equacionamento Mecanismos Simples 4 Barras 1 o Determinar os ângulos A γ R R 2 4 θ 3 δ O 2 θ 2 R 1 R 3 B O4 L 2 : link motor L 1 : solo L 3 : link acoplador L 4 : link seguidor θ 2 : âng. da barra motriz δ: âng. da barra seguidora θ 3 : âng. da barra acopladora γ: âng. de transmissão 16
17 Equacionamento Mecanismos Simples 4 Barras Aplicar Lei dos Cosenos A γ R R 2 4 θ α δ 2 β R 1 R 3 B O 2 O 4 ABO 4 AO 2 O 4 17
18 Equacionamento Mecanismos Simples 4 Barras Mecanismos Cruzados Descruzar o Mecanismo e seguir o equacionamento 18
19 Equacionamento 4 Barras - Velocidade Im R 3 θ 4 θ 1y R 1y R 2 R 4 θ 2 θ 3 R 1x.. Re R 2.θ 2.(-sinθ. 2 + i.cosθ 2 ) + R 3.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) R 4.θ 4.(-sinθ 4 + i.cosθ 4 ) = 0 19
20 Equacionamento 4 Barras - Velocidade Dividir em Re e Im... R 2.θ 2.(-sinθ 2 + i.cosθ 2 ) + R 3.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) R 4.θ 4.(-sinθ 4 + i.cosθ 4 ) = 0 Re Im... -R 2.θ 2.sinθ 2 - R 3.θ 3.sinθ 3 - R 4.θ 4.sinθ 4 = 0... R 2.θ 2.cosθ 2 + R 3.θ 3.cosθ 3 + R 4.θ 4.cosθ 4 = 0 20
21 Equacionamento 4 Barras - Aceleração Im R 3 θ 4 θ 1y R 1y θ 3 R 2 R 4 θ 2 R 1x Re R 2.θ 2.(-sinθ 2 + i.cosθ 2 ) + R 3.θ 3.(-sinθ. 3 + i.cosθ 3 ) R 4.θ. 4.(-sinθ 4 + i.cosθ 4 ) R 2.θ. 22.(cosθ 2 + i. sinθ 2 ) R 3.θ 32.(cosθ 3 + i. sinθ 3 ) R 4.θ 42.(cosθ 4 + i. sinθ 4 ) = 0 21
22 Equacionamento 4 Barras - Aceleração Re Im Dividir em Re e Im... R 2.θ 2.(-sinθ 2 + i.cosθ 2 ) + R 3.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) R 4.θ 4.(-sinθ 4 + i.cosθ 4 ) R 2.θ 22.(cosθ 2 + i. sinθ 2 ) R 3.θ 32.(cosθ 3 + i. sinθ 3 ) R 4.θ 42.(cosθ 4 + i. sinθ 4 ) = R 2.θ 2.sinθ 2 - R 3.θ 3.sinθ 3 - R 4.θ 4.sinθ R 2.θ 22.cosθ 2 - R 3.θ 32.cosθ 3 - R 4.θ 42. cosθ 4 = 0 R 2.θ 2.cosθ. 2 + R 3.θ 3.cosθ. 3 + R 4.θ 4.cosθ. 4.. R 2.θ 22.sinθ 2 -R 3.θ 32.sinθ 3 R 4.θ 42.sinθ 4 = 0 22
23 Mecanismos Simples Biela-Manivela Exemplos de Aplicação: Motores de Combustão Interna, Máquinas Ferramenta, Compressores, etc. Deslocamento do Pistão Velocidades Aceleração Pistão Biela Manivela 23
24 Mecanismos Simples Biela-Manivela Equacionamento A R 2 R 3 O 2 R 1 B 24
25 Mecanismos Simples Biela-Manivela Equacionamento A O 2 θ 2 θ 3 R 2 R 3 R 1 B R 2 + R 3 = R 1 25
26 Mecanismos Simples Biela-Manivela - Posição Equacionamento A O 2 θ 2 θ 3 R 2 R 3 R 1 R 2.(cosθ 2 + i.sinθ 2 ) + R 3.(cosθ 3 + i.sinθ 3 ) = R 1 B EESC-USP M. Becker
27 Mecanismos Simples Biela-Manivela - Velocidade Equacionamento A O 2 θ 2 θ 3 R 2 R 3 R 1... R 2.θ 2.(i.cosθ 2 - sinθ 2 ) + R 3.θ 3.(i.cosθ 3 - sinθ 3 ) = R 1 B EESC-USP M. Becker
28 Equacionamento Biela-Manivela - Velocidade Dividir em Re e Im.. R 2.θ 2.(i.cosθ 2 - sinθ 2 ) + R 3. θ 3.(i.cosθ 3 - sinθ 3 ) = R 1. Re Im... -R 2.θ 2.sinθ 2 - R 3.θ 3.sinθ 3 = R 1.. R 2.θ 2.cosθ 2 + R 3.θ 3.cosθ 3 = 0 EESC-USP M. Becker
29 Mecanismos Simples Biela-Manivela - Aceleração Equacionamento A R 2 R 3 O 2 θ 2 θ 3 R 1 R 2.θ 2.(-sinθ. 2 + i.cosθ 2 ) + R 3.θ 3.(-sinθ. 3 + i.cosθ 3 ) -..- R 2.θ 22.(cosθ 2 + i.sinθ 2 ) - R 3.θ 32.(cosθ 3 + i.sinθ 3 ) = R 3 B EESC-USP M. Becker
30 Equacionamento Biela-Manivela - Aceleração Dividir em Re e Im.. R 2.θ 2.(-sinθ 2 + i.cosθ 2 ) + R 3.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) -..- R 2.θ 22.(cosθ 2 + i.sinθ 2 ) - R 3.θ 32.(cosθ 3 + i.sinθ 3 ) = R 3 Re Im. -R 2.θ 2.sinθ. 2 - R 3.θ 3.sinθ 3 - R 2.θ 22.cosθ R 3.θ 32.cosθ 3 = R 3. R 2.θ 2.cosθ. 2 + R 3.θ 3.cosθ 3 - R 2.θ 22.sinθ R 3.θ 32.sinθ 3 ) = 0 30
31 Sumário da Aula Notação Complexa Equacionamento de Links Mecanismos Simples Mecanismos Complexos Exemplo Bibliografia Recomendada 31
32 Mecanismos Complexos Mecanismo Toggle Barras CB e BO 4 com mesmo comprimento O 2 C B A O 4 32
33 Mecanismos Complexos Mecanismo Toggle Equacionamento: Dividir em 2 mecanismos Simples O 2 4 Barras: O 2 ABO 4 Biela-Manivela: CBO 4 C α B A α O 4 33
34 Sumário da Aula Notação Complexa Equacionamento de Links Mecanismos Simples Mecanismos Complexos Exemplo Bibliografia Recomendada 34
35 Enunciado do Problema Guindaste Um guindaste utilizado em docas consiste em um mecanismo 4 barras (A 0 ABCB 0 ), sendo C um ponto da barra ABC. O link AA 0 é acionado por um motor acoplado em A 0, cuja velocidade é de 720 rpm (c te ), através de um redutor de i=1430:1. Calcule a velocidade da carga e a variação em sua elevação quando o link AA 0 gira de φ=60 o a φ=140 o (em passos de 10 o ). 35
36 Dados do Problema Guindaste a = 22,05 m b = 9,75 m c = 28,95 m e = 7,95 m f = 9,60 m L = 33,75 m CB = 24 m A 0 B 0 = d Im A a A 0 e f φ b B 0 c B ψ Re C 36
37 Equacionamento Guindaste - Posição Im a A θ 3 b B θ 4 C A 0 e f φ B 0 ψ c Re a + b + c = f + e a.(cosφ + i.sinφ) + b.(cosθ 3 + i.sinθ 3 ) c.(cosθ 4 + i.sinθ 4 ) = -i.e + f 37
38 Equacionamento Recordação 4 Barras 1 o Determinar os ângulos Z = fç(φ + δ) Im A B C γ A 0 Z φ δ B 0 ψ Re 38
39 Equacionamento Recordação 4 Barras Aplicar Lei dos Co-senos!! Im A 0 δ A B ABB 0 C γ Z φ AA 0 B 0 ψ B 0 Re 39
40 Equacionamento Guindaste - Posição Im a A θ 3 b B θ 4 C A 0 e f φ B 0 ψ c Re a.(cosφ + i.sinφ) + b.(cosθ 3 + i.sinθ 3 ) c.(cosθ 4 + i.sinθ 4 ) = -i.e + f a + b + c = f + e 40
41 Equacionamento Guindaste - Posição Dividir em Re e Im a.(cosφ + i.sinφ) + b.(cosθ 3 + i.sinθ 3 ) c.(cosθ 4 + i.sinθ 4 ) = -i.e + f Re Im a.cosφ + b.cosθ 3 + c.cosθ 4 = f a.sinφ + b.sinθ 3 + c.sinθ 4 = - e 41
42 Equacionamento Guindaste - Velocidade Im a A θ 3 b B θ 4 C A 0 e f φ c ψ B 0 Re.. a.φ.(-sinφ. + i.cosφ) + b.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) c.θ 4.(-sinθ 4 + i.cosθ 4 ) = 0 42
43 Equacionamento Guindaste - Velocidade Dividir em Re e Im... Re Im a.φ.(-sinφ + i.cosφ) + b.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) c.θ 4.(-sinθ 4 + i.cosθ 4 ) = a.φ.sinφ - b.θ 3.sinθ 3 - c.θ 4.sinθ 4 = 0... a.φ.cosφ + b.θ 3.cosθ 3 + c.θ 4.cosθ 4 = 0 43
44 Equacionamento Guindaste - Aceleração Im a A θ 3 b B θ 4 C φ c A 0 ψ e f B 0 Re a.φ.(-sinφ + i.cosφ) + b.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) c.θ. 4.(-sinθ 4 + i.cosθ 4 ) a.φ 2.(cosφ + i. sinφ) b.θ 32.(cosθ 3 + i. sinθ 3 ) c.θ 42.(cosθ 4 + i. sinθ 4 ) = 0 44
45 Equacionamento 4 Barras - Aceleração Re Im Dividir em Re e Im... a.φ.(-sinφ + i.cosφ) + b.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) c.θ 4.(-sinθ 4 + i.cosθ 4 ) a.φ 2.(cosφ + i. sinφ) b.θ 32.(cosθ 3 + i. sinθ 3 ) c.θ 42.(cosθ 4 + i. sinθ 4 ) = 0 -a.φ.sinφ. - b.θ 3.sinθ. 3 - c.θ 4.sinθ a.φ 2.cosφ - b.θ 32.cosθ 3 - c.θ 42. cosθ 4 = 0 a.φ.cosφ. + b.θ 3.cosθ. 3 + c.θ 4.cosθ. 4.. a.φ 2.sinφ -b.θ 32.sinθ 3 c.θ 42.sinθ 4 = 0 45
46 Velocidade e Aceleração Guindaste Ponto C (ponta da lança) Lembrar que: V C = V A + V C/A V A = a.φ.. φ = 2π. N 60 i. V C/A = L.θ 3 Im A 0 e A a f φ b B 0 c B ψ Re C 46
47 Velocidade e Aceleração Guindaste Ponto C (ponta da lança) Assim: V C = V A + V C/A. V A = a.φ.(-sinφ + i.cosφ). V C/A = L.θ 3.(-sinθ 3 + i.cos θ 3 ).. V C 2 = (-a.φ.sinφ - L.θ 3.sinθ 3 ) (a.φ.cosφ + L.θ 3.cos θ 3 ) 2 47
48 Velocidade e Aceleração Guindaste Ponto C (ponta da lança) Assim: A C = A A + A C/A. A A = a.φ.(-sinφ + i.cosφ) a.φ 2.(cosφ + i. sinφ). A C/A = L.θ 3.(-sinθ 3 + i.cosθ 3 ) - L.θ 32.(cosθ 3 + i. sinθ 3 ).. A C 2 = (-a.φ.sinφ - a.φ 2.cosφ - L.θ 3.sinθ 3 - L.θ 32.cosθ 3 ) (a.φ.cosφ - a.φ 2.sinφ + L.θ 3.cosθ 3 - L.θ 32. sinθ 3 ) 2 48
49 Velocidade e Aceleração Guindaste Gráficos Animação 49
50 Velocidade e Aceleração Guindaste Gráficos Velocidades: Juntas A e B e Ponto E 50
51 Velocidade e Aceleração Guindaste Gráficos Velocidades do Ponto E (vertical e Horizontal): 51
52 Velocidade e Aceleração Guindaste Gráficos Acelerações: Juntas A e B e Ponto E 52
53 Velocidade e Aceleração Guindaste Gráficos Acelerações do Ponto E (vertical e Horizontal): 53
54 Velocidade e Aceleração Guindaste Gráficos Derivada 2ª dos Ângulos θ3 e θ4 54
55 Sumário da Aula Notação Complexa Equacionamento de Links Mecanismos Simples Mecanismos Complexos Exemplo Bibliografia Recomendada 55
56 Bibliografia Recomendada Shigley, JE. e Uicker, JJ., 1995, Theory of Machines and Mechanisms. MABIE, H.H., OCVIRK, F.W. Mecanismos e dinâmica das máquinas. MARTIN, G.H. Cinematics and dynamics of machines. NORTON, R. L. Design of Machinery - An Introduction to the Synthesis and Analysis of Mechanisms and Machines Notas de Aula 56
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