Mecânica Geral 2012/13

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1 Mecânica Geral 2012/13 MEFT Responsável: Eduardo V. Castro Departamento de Física, Instituto Superior Técnico Corpo Rígido C / Semana 04 15/03/2013 (Tensor de inércia e eixos principais, movimento do girocompasso, precessão na ausência de torque e equações de Euler.) 1. (Kleppner, cap. 7, exemplo 7.14) Considere o sistema de duas massas iguais m em rotação oblíqua em torno de z representado na Fig. 1(esquerda). As massas rodam com velocidade angular constante ω. (a) Determine o tensor de inércia. (b) Calcule o torque aplicado ao sistema. 2. (Baseado no exemplo 7.13 do cap. 7 do Kleppner) Um haltere roda em torno de um determinado eixo que passa pelo seu centro de massa. Num certo instante o haltere encontra-se alinhado com o eixo dos zz, como ilustrado na Fig. 1(direita). Nesse mesmo instante o vector velocidade angular instantâneo é ω = ω y ĵ + ω zˆk. (a) Usando o sistema de eixos representado na Fig. 1(direita) determine os produtos de inércia. (b) Calcule os momentos de inércia. Se precisar use o teorema dos eixos paralelos (Kleppner, cap. 7, exemplo 6.9). (c) Determine o vector momento angular L. É colinear com ω? 3. Seja I 0 o tensor de inércia de um corpo rígido no referencial do centro de massa. Imagine que é conveniente usar um referencial com origem num outro ponto, por exemplo um ponto xo do Figura 1: Kleppner, cap. 7, exemplos 7.14 e

2 Figura 2: Kleppner, cap. 7, problemas 7.6 e 7.7. corpo. Neste novo referencial o centro de massa tem coordenadas (X, Y, Z). Mostre que o tensor de inércia neste referencial se pode escrever como, Y 2 + Z 2 XY XZ I = I 0 + M XY X 2 + Z 2 Y Z. XZ Y Z X 2 + Y 2 Dica: Siga a estratégia usada para demonstrar o teorema dos eixos paralelos (Kleppner, cap. 7, exemplo 6.9). 4. (Kleppner, cap. 7, problema 7.6) É possível colocar uma moeda a rolar numa mesa de forma que a sua trajectória forme um círculo, como ilustrado na Fig. 2(esquerda). Seja b o raio da moeda, R o raio da trajectória do centro de massa da moeda ev a sua velocidade linear. (a) Assumindo que a moeda rola sem deslizar mostre que o ângulo φ que o eixo faz com a horizontal satisfaz a equação tan φ = 3v2 2gR 3v2 4gR b R sin φ. (b) Seja Ω a componente vertical do vector velocidade angular, com Ω = v/r. Em que circunstâncias se pode ignorar o facto de que Ω não coincide com um eixo principal de inércia da moeda? Determine φ neste caso. R: φ = arctan(3v 2 /2gR) 5. (Kleppner, cap. 7, problema 7.9) O centro de massa de uma bicicleta com ciclista encontra-se à altura 2l do chão. Cada roda tem massa m, raio l e momento de inércia ml 2. A trajectória da bicicleta é circular de raio R e a velocidade linear é v (e constante). (a) Sendo M a massa total da bicicleta+ciclista mostre que a inclinação da bicicleta relativamente à vertical é dada por, ( tan φ = v2 1 + m ). gr M Assuma R l. (b) Qual seria o resultado se ignorasse o momento angular das rodas? (c) Analise o caso da bicicleta sem ciclista e discuta a importância de levar em conta o momento angular das rodas. 2

3 Figura 3: Kleppner, cap. 7, exemplo (Kleppner, cap. 7, problema 7.7) Um aro de raio R e massa M encontra-se suspenso por um o que está preso a um ponto na sua orla. Se o suporte rodar com velocidade angular ω em torno de um eixo vertical o aro irá girar sobre si próprio num plano quase horizontal e com o seu centro muito próximo do eixo do suporte, como ilustrado na Fig. 2(centro). O o faz um ângulo α com o eixo vertical. (a) Determine, aproximadamente, o pequeno ângulo β que o plano do aro faz com a horizontal, com ilustração na Fig. 2(direita). R: β RMg/ω 2 (I I ) (b) Determine, aproximadamente, o raio da pequena circunferência que o centro de massa desenha em torno da vertical. R: r tan α g/ω 2 7. (Baseado no exemplo 7.11 do cap. 7 do Kleppner) Considere o girocompasso representado na Fig. 3(esquerda). Pretende-se analisar o seu movimento sabendo que inicialmente o vector momento angular de spin L s do disco e o vector velocidade angular da plataforma Ω fazem um ângulo θ 1 [ver Fig. 3(direita)]. O disco do girocompasso tem momento de inércia I relativamente ao eixo de spin e I relativamente a qualquer eixo perpendicular ao de spin. (a) No referencial do centro de massa do girocompasso obtenha a projecção do vector momento angular na direcção AB, L AB. R: L AB = I θ (b) Seja Ω = φ. Mostre que para rotações innitesimais θ e φ a variação de L AB é L AB = I θ + φ(l s + I Ω cos θ) sin θ φi Ω sin θ. (c) Mostre que para Ω ω s o torque segundo AB é τ AB = I θ + I Ωω s sin θ. (d) Obtenha o mesmo resultado escrevendo o vector momento angular total L em coordenadas cilíndricas (r, φ, z), tomando AB como a direcção radial correspondente a φ = 0, e usando as igualdades d e r /dt = Ω e φ e d e φ /dt = Ω e r. (e) No girocompasso não é possível imprimir torque segundo o eixo xo AB. Use esta facto e a relação θ 1 para determinar o período de oscilação. R: T = 2π I /(Ωω s I ) 3

4 Figura 4: Barra rotativa (Kleppner, cap. 7, exemplo 7.17). (f) Se pretendermos usar este girocompasso como bússola qual deve ser a orientação do eixo AB relativamente à direcção radial da Terra? No equador qual é o período de oscilação para um disco no (I /I = 1/2) a rodar à velocidade de rpm? E no pólo norte? R: T = 2π I /(I ω s Ω cos λ) sendo Ω a velocidade de rotação da Terra e λ a latitude. 8. (Kleppner, cap. 7, problema 7.10) Pretende-se medir a latitude usando um girocompasso. Para isso coloca-se o seu eixo xo [direcção AB na Fig. 3(esquerda)] na horizontal alinhado segundo a direcção este-oeste. O disco do girocompasso tem momento de inércia I relativamente ao eixo de spin e I relativamente a qualquer eixo perpendicular ao de spin. (a) Mostre que se obtém uma posição de equilíbrio alinhando o eixo de spin do disco paralelamente ao eixo polar. O ângulo λ que o eixo de spin faz com a horizontal corresponde à latitude do lugar. (b) Mostre que a conguração da alínea anterior corresponde a uma posição de equilíbrio estável. Para isso admita que inicialmente o eixo de spin faz um pequeno ângulo θ 1 com o eixo polar. Obtenha a equação de movimento para o ângulo θ e mostre que o eixo de spin oscila com período T = 2π I /(I ω s Ω T ) em torno da posição de equilíbrio, sendo Ω T a velocidade angular de rotação da Terra. (c) Qual a frequência de oscilação do girocompasso admitindo que o disco é sucientemente no (I /I = 1/2) e que roda a uma velocidade de rpm? Assuma que o suporte do disco não contribui para o momento de inércia. 9. Considere uma barra uniforme suportada no seu centro por um eixo horizontal como ilustrado na Fig. 4. A barra roda em torno desse eixo sem fricção, e o sistema está montado sobre uma plataforma giratória que roda com velocidade angular Ω. O eixo de rotação da plataforma passa pelo centro da barra. A barra tem momento de inércia I relativamente ao eixo longitudinal e I relativamente a qualquer eixo transversal. (a) Determine a equação de movimento para o ângulo θ que a barra faz com a horizontal. (b) Mostre que para pequenas oscilações em torno da horizontal o movimento é do tipo harmónico simples com frequência ω = (I I )/I Ω. 10. Um empregado de mesa com habilidade para malabarismo lança um prato ao ar que se mantém praticamente horizontal na subida e na descida. Um cliente que está sentado numa mesa observa o movimento do prato. O cliente nota que o prato parece rodar em torno do seu eixo de simetria perpendicular (rotação de spin). Nota também que o próprio eixo de spin parece rodar em torno da vertical, o que confere ao prato um movimento oscilatório relativamente à horizontal (ver gura lateral). Recordando algumas noções de física que aprendeu no curso de engenharia que concluiu no IST o cliente pergunta-se como é tal movimento possível: o prato a rodar em torno 4

5 θ L ω L s ω s Ω L ω Figura 5: Prato em precessão na ausência de torque. do eixo de spin dá origem a um momento angular de spin L s ; o movimento do eixo de spin em torno da vertical indica que L s está a variar de direcção; momento angular a variar implica a presença de torque; porém não há qualquer torque relativamente ao centro de massa do sistema. Após alguns instantes de reexão o cliente conclui que se trata do conhecido movimento de precessão na ausência de torque: embora L = const, uma vez que τ = d L/dt = 0, os vectores ω e L não precisam de ser colineares e o que acontece é que ω (e também L s ) roda em torno de L. Mostre que sabe a que é que o cliente se refere. Comece por decompor L (que pode assumir estar alinhado com a vertical) na componente paralela L s e perpendicular L ao eixo de spin. Decomponha também o vector velocidade angular ω na sua componente paralela ω s e perpendicular ω ao eixo de spin. Introduza o vecto Ω, que é a componente de ω segundo L, e o ângulo θ, que é o ângulo que L s faz com L (ver Fig. 5). (a) Mostre que para ângulos pequenos a velocidade de precessão de L s (ou ω) em torno de L é Ω = ω s I /I, (secção 7.7 do Kleppner, subsecção torque-free precession após a introdução). (b) Use as equações de Euler para mostrar que genericamente para um corpo com simetria cilíndrica a velocidade da alínea anterior se pode escrever como (exemplo 7.18 do Kleppner). Ω = ω si I cos θ, 5