Mecânica. Dinâmica do Corpo Rígido

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1 Mecânica Dinâmica do Corpo Rígido

2 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 1 Introdução A equação básica descrevendo o movimento de rotação estabelece a relação entre um torque aplicado ao corpo e a variação do seu momento angular Ou seja, a taxa de variação instantânea é igual ao torque Num sistema fixo, designado por S, essa equação se escreve como: dl s =τ, A notação empregada indica que o sistema não se move com o corpo Nota-se, no entanto, que o tensor de inércia é determinado em um sistema preso ao centro de massa do corpo (sistema S ) Para tal, o momento de inércia não varia com o tempo Ele constitui, assim, outro sistema bastante conveniente para descrever o movimento, que não é, no entanto, fixo As coordenadas do vetor momento angular, num e no outro sistema, são relacionadas por uma matriz de rotação Assim, podemos escrever, utilizando a notação do capítulo 43: ( 1 ) Figura 1: Movimento do corpo rígido ' ' L = R ( ψ) R ( θ) R ( ϕ) L = R L z x z ( ) A derivada do momento angular no sistema fixo consiste de duas partes Ou seja, dl dr L R dl ' ' = + Já vimos no capítulo 43 que o primeiro termo do lado direito de (3) é dado pela expressão: Portanto, de (4), segue que a taxa de variação instantânea no sistema fixo: dl Muitas vezes encontramos essa relação escrita pela forma: dl dl = L + ω, dr ' L = ω L = ω L + S S R dl ' ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) Figura : Um corpo rígido e um sistema de coordenadas preso a ele

3 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido De acordo com (5), fica implícito que devemos calcular as taxas de variação no sistema que se move junto com o corpo e depois transformá-las para o sistema fixo (S ) Levando isso em conta, a equação fundamental assume a forma: No caso em que consideramos os eixos do sistema fixo coincidindo com os eixos principais de inércia, podemos escrever: dl + ω L = τ S ( 7 ) Portanto, dl L = I ωi + I ω j + I ω k I d ω i I d j I d 1 ω ω 3 = k Considerando-se os eixos coincidindo com os eixos principais, obtemos as equações para as componentes da velocidade angular da seguinte forma: S ( 8 ) ( 9 ) Figura 3: O movimento de precessão é bastante comum Um pião, quando tem sua extremidade fixa, descreve um movimento de precessão I1ω 1 ωω3( I I3)= τ1 Iω ω3ω1( I3 I1)= τ I ω ωω ( I I )=τ ( 10 ) Estas são conhecidas como equações de Euler, em homenagem a quem as propôs Neste capítulo, estudaremos alguns exemplos de movimento dos corpos rígidos

4 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 3 Movimento de Precessão Um dos movimentos mais típicos e interessantes de um corpo material é aquele segundo o qual algumas componentes do vetor velocidade angular variam de forma periódica Como veremos, sob determinadas circunstâncias, cada componente do momento angular executa um movimento harmônico simples Analisemos o caso simples em que um corpo rígido não se encontra sob a ação de forças externas Admitamos que ele exiba uma simetria em relação a um dos eixos, o eixo 3, por exemplo Por simetria referimo-nos ao fato de que os momentos principais de inércia I 1 e I são iguais Isto é: I 1 = I L I ( 11 ) Adotando-se os eixos 1,, e 3 como sendo os eixos x, y e z, vemos que, para um corpo simétrico (satisfazendo (11)), e para o caso em que este se encontre livre da ação de forças, as equações de Euler se escrevem: I d ω x + ωω ( I I )= 0 y z 3 I d ωx I d ω 3 z + ωω ( I I)= 0 y = 0 z 3 ( 1 ) Assim, a componente z do momento angular é constante Escrevendo a solução da terceira equação como ω z = ω 0, obtemos duas equações dependentes desse valor da componente z Dessa forma: dω dω x y + ω Ω= 0 y + ω Ω= 0 x na qual a grandeza Ω é uma nova velocidade angular, relacionada à componente ω 0, de acordo com a expressão: ( 13 ) α= ω 0 I I 3 I ( 14 )

5 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 4 Derivando-se a primeira equação de (13), e utilizando em seguida a segunda equação, obtemos: A solução para tal equação é: d ω x = ωxω ( 15 ) ' ω = ω sen Ω t + θ x ( ) 0 0 ( 16 ) De (16) e (13), segue que ' ω = ω cos Ω t + θ x ( ) 0 0 ( 17 ) O vetor velocidade angular se escreve como ' ω= ω ( Ω + θ ) + ( Ω + θ ) + 0 cos t 0 i sen t 0 j ω0k ( 18 ) Concluímos, portanto, que o módulo do momento angular total é constante, mas executa um movimento de precessão em torno do eixo z Pêndulo Físico Um corpo rígido pode executar um movimento oscilatório em torno de um eixo horizontal sob a influência da força gravitacional A tal oscilador, damos o nome de pêndulo composto, ou pêndulo físico A rigor, qualquer corpo rígido preso de forma que ele possa girar em torno de um eixo fixo se transforma em um pêndulo físico, usado para medidas precisas de g No campo prático, ele é utilizado na prospecção geofísica A Figura 4 representa uma secção transversal do corpo rígido quando colocado para oscilar Ela foi escolhida para evidenciar o centro de massa do corpo Ademais, é perpendicular ao eixo pelo qual o corpo está suspenso e em rotação, perfurando o plano que contém a secção, num ponto O, o ponto de suspensão Figura 4: Um corpo qualquer, quando preso a um eixo e colocado a oscilar sob a ação da força gravitacional, constitui um pêndulo físico (ou pêndulo composto)

6 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 5 Adotamos a letra θ para representar o ângulo que o centro de massa faz com a vertical e consideramos a letra a para representar a distância do centro de massa até o eixo de suspensão Sendo M a massa do corpo rígido, a equação associada à rotação é: dl Na equação (19), evidenciamos o fato de que torques τ m devem ser aplicados nos pontos de suspensão para mantê-lo em rotação Considerando-se apenas a componente vertical à secção reta, a equação apresentada se escreve: = R Mg +τ cm m ( 19 ) I θ= Mga sen θ, ( 0 ) em que I é o momento de inércia em relação ao eixo pelo qual o corpo rígido, colocado a oscilar, é preso Antes de prosseguirmos analisando a solução dessa equação, consideraremos o aspecto da conservação de energia nesse movimento A energia potencial do corpo rígido, de massa M, é dada por: U = Mga cosθ ( 1 ) A energia cinética de rotação do pêndulo físico, por outro lado, é dada por: 1 M T = I = k θ 0θ, em que k 0 é o raio de giração em relação ao eixo de suspensão Tendo em vista a conservação da energia mecânica, temos que a soma das duas formas de energia é uma constante, ou seja: ( ) E I = θ Mga cos θ Seja θ 0 o ângulo formado com a vertical quando o pêndulo é solto ao se iniciar o movimento Nessas circunstâncias, a conservação da energia nos leva à seguinte relação: ( 3 ) I θ = Mga( cos θ cos θ ) 0 ( 4 )

7 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 6 Portanto, o pêndulo oscilará entre os valores θ, tais que θ 0 θ θ 0 ( 5 ) E sua velocidade angular depende da variável angular θ, de acordo com a expressão: Mga θ=± cosθ cos θ0 I Se derivarmos a energia com respeito ao tempo, encontraremos a equação de movimento: ( 6 ) I θ+ Mga senθ= 0 ( 7 ) Que é igual a uma das componentes da equação de movimento de rotação do corpo rígido As soluções dessa equação podem ser expressas em termos de funções especiais, conhecidas como funções elípticas No entanto, a solução da equação (7) se simplifica quando consideramos o caso de pequenas oscilações Nessas circunstâncias, ela se reduz à equação do movimento harmônico simples Obtemos, explicitamente, I θ= Mga θ ( 8 ) O pêndulo composto executará um movimento harmônico simples, de tal forma que o período é dado por: π I k0 T = = π = π ω Mga ga A relação do período do pêndulo físico pode ser usada também para determinar o momento de inércia de um pêndulo de qualquer formato Considere o caso de um cilindro uniforme de raio R que oscila, como mostra a Figura 5 O seu momento de inércia em torno do centro de massa C é dado por: ( 9 ) Figura 5: Cilindro oscilando em torno de um eixo contendo o ponto P M I = cm R ( 30 )

8 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 7 O momento de inércia em torno de um eixo passando por P, paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa que, por sua vez, é perpendicular à peça cilíndrica, é dado por: I = I cm + MR ( 31 ) Seu período, utilizando-se (9), é dado por: Cilindro Rolando em um Plano Inclinado T R =π 5 g ( 3 ) Consideramos um cilindro de massa M e raio a, rolando em um plano inclinado, formando um ângulo a com a horizontal (vide Figura 6) Utilizaremos o ângulo θ como a variável angular ao considerarmos a rotação do cilindro em torno de um eixo imaginário passando pelo seu centro de massa Temos duas formas de resolver esse problema Na primeira, utilizamos a conservação da energia O corpo rígido tem, para um determinado valor da coordenada associada à translação do centro de massa x, uma energia potencial dada por: V(x) = Mgx senα A energia cinética é composta por dois termos: a energia cinética de translação e a energia associada à rotação A soma dos dois termos nos leva ao resultado: ( 33 ) Figura 6: Decomposição das forças agindo sobre um cilindro que rola em um plano inclinado Mx I T = + θ Dizemos que existe rolamento se a seguinte condição for satisfeita: ( 34 ) x = aθ ( 35 )

9 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 8 Ou seja, o rolamento ocorre quando: x = aθ ( 36 ) A condição implica que a velocidade dos pontos de contato com a superfície é nula a cada instante de tempo O cilindro não desliza sobre o plano inclinado Levando-se em conta a condição de rolamento, a energia é dada pela expressão: E = M + I R x Mgx senα Derivando-se essa equação com respeito ao tempo, temos que: ( 37 ) ( ) = M + I / a x Mgsenα, ( 38 ) portanto, a aceleração do centro de massa do cilindro será: x = Mgsenα ( M + I / a ) Para o caso do cilindro, e utilizando a expressão (33), temos que sua aceleração será dada por: ( 39 ) x= g x 3 senα ( 40 ) Ele se desloca, portanto, com uma aceleração igual a /3 da aceleração de uma partícula material

10 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 9 Máquina de Atwood A máquina de Atwood é um dispositivo bastante simples que permite identificar momentos de inércia a partir da determinação da aceleração dos corpos em movimento Introduzimos um tratamento mais adequado ao movimento quando levamos em conta o movimento da polia Ela consiste de dois corpos de massas m 1 e m presos por um fio que passa por uma roldana Em geral, simplificamos o problema, admitindo que ela não tenha massa, o que é claramente uma aproximação A rigor, a roldana tem um momento de inércia dado por: No caso da mecânica do ponto, desprezamos o efeito da rotação da polia Veremos a seguir como isso altera a aceleração do sistema Assim, além das equações usuais do movimento das partículas de massa m 1 e m, temos: MR I = ( 41 ) em que T 1 e T são as forças tensoras nos fios, considerando o movimento de rotação da roldana Levando-se em conta os torques aplicados por essas forças, o movimento da roldana é descrito pela equação de movimento: m 1 g T 1 = m 1 a m g T = m a ( 4 ) Figura 7: Movimento associado à máquina de Atwood quando levamos em conta o momento de inércia da polia Iω = Iα = (T T 1 )R ( 43 ) Note-se que T = T 1 só é possível se desprezarmos a massa da roldana Lembrando que α= a R, ( 44 ) temos de (44) que T Iα Ia Ma T = = = R R 1 ( 45 )

11 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 10 A solução para a aceleração obtida, utilizando as equações (43) em (46), é: ( m m1) g a = ( 46 ) m m M 1+ + Consideremos agora a questão da energia mecânica Se considerarmos inicialmente as duas partículas em repouso e a mesma altura (z = 0), temos que, nessas circunstâncias, a energia será nula: E = 0 ( 47 ) Quando as duas massas se deslocam de uma altura h em relação à posição original, a energia nula será expressa como: 1 Iω E = mgh 1 mgh + m1+ m V ( ) + = Portanto, a altura se relaciona com a velocidade de acordo com a expressão: 1 m m gh m m M 1 1 V ( ) = + + Daí obtemos a seguinte relação entre a altura e a velocidade V ( ) m m gh = m m M = ah ( 48 ) ( 49 ) ( 50 )

12 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 11 Movimento de Ioiô O ioiô é um dos brinquedos mais antigos, pois existe há cerca de 3000 anos, cuja origem não é bem estabelecida O ioiô é um carretel sobre cujo eixo central é enrolado um fio esticado Prendemos a extremidade do fio e soltamos o ioiô que, impulsionado pela gravidade, rola para baixo até o fio acabar Nesse ponto, aplicamos uma força (sentimos um puxão) que o faz voltar, enrolando o fio, voltando a subir, e o processo pode ser reiniciado O movimento de translação do ioiô é devido à força tensora no fio (T) e ao seu peso Temos, portanto, a coordenada x para indicar a posição do centro de massa do ioiô a seguinte equação para a sua aceleração: Mx = Mg T ( 51 ) O movimento de rotação é descrito pela equação envolvendo a relação entre a taxa de variação do momento angular do ioiô e o torque da força tensora: Figura 8: Ilustração do movimento e das coordenadas utilizadas no movimento do ioiô I ω= TR, ( 5 ) em que R é o raio do eixo central e I é o momento de inércia ao redor do eixo passando pelo centro da massa Levando-se em conta que R d ω = x ( 53 ) A equação do movimento de rotação pode ser expressa da forma mais simples em termos da aceleração do ioiô Obtemos: Ix = TR, ( 54 )

13 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 1 De (54) e (51), encontramos que, devido à torção, a aceleração do ioiô é menor do que aquela que ele teria em queda livre (a aceleração da gravidade) Ademais, ela depende do momento de inércia Obtemos: Mg x = M I + R Assim, a tensão na corda é menor do que a força peso: A energia mecânica, conservada no movimento, será dada pela soma da energia potencial ( Mgx) mais dois termos associados à energia cinética O primeiro desses termos é a energia cinética de translação do ioiô e o segundo é aquele associado à sua rotação Logo, a energia mecânica do ioiô é dada por: Admitindo o valor da energia como sendo nula (E = 0) no ponto em que ioiô foi lançado, obtemos da equação acima uma relação linear para a velocidade como função da altura na qual ele se encontra: T Mg = 1+ MR / I I E = MVcm + Iω Mgx= MVcm 1+ Mgx MR ( 55 ) ( 56 ) ( 57 ) Para cada posição do ioiô, temos duas velocidades: V cm dx MR = gx = MR + I ( 58 ) x=± Mgx R ( I + MR ) O sinal positivo é válido quando o ioiô desce, enquanto o sinal negativo é associado ao movimento de subida O maior valor da velocidade é atingido quando todo o fio de comprimento L está completamente desenrolado Essa velocidade depende do comprimento do fio, de acordo com a expressão: ( 59 ) Figura 9: Ilustração do deslocamento em relação à altura inicial no movimento do ioiô R V = MgL max I + MR ( ) ( 60 )

14 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 13 Ao atingir o ponto mais baixo, ponto no qual o fio está desenrolado, o ioiô inicia o movimento de subida Para tal, devemos exercer uma força (quando puxamos o fio), cujo valor pode ser estimado da seguinte forma: em primeiro lugar, quando ocorre a mudança de direção do ioiô, haverá uma mudança do sinal da velocidade Como neste ponto a velocidade é máxima, a alteração de momento do ioiô será: P = MV max ( 61 ) em que V max é dada pela expressão (61) Consequentemente, devemos aplicar uma força, dada por: F P = t, ( 6 ) sendo t é o intervalo de tempo em que houve a variação de momento requerida para o ioiô voltar

15 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 14 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 90 ou mais recente Botões Indica pop-ups com mais informações Ajuda (retorna a esta página) Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc) que pode estar incluído no ebook ou disponível online Créditos de produção deste ebook Indica que você acessará um outro trecho do material Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem Bons estudos!

16 Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 15 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP) Autoria: Gil da Costa Marques Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro Revisão de Texto: Mônica Gama Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A M S Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein Fotografia: Jairo Gonçalves