Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Oficinas de Física 2015/1 Gabarito Oficina 8 Dinâmica Angular

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Oficinas de Física 2015/1 Gabarito Oficina 8 Dinâmica Angular 1) (a) A energia mecânica conserva-se pois num rolamento sem deslizamento a força de atrito não dissipa energia, além disto, a força normal de contacto não realiza trabalho e a força peso é conservativa. (b) Coloquemos o zero do potencial gravitacional na mesma altura do centro de massa do cilindro (como é homogêneo é o seu centro geométrico). A condição para que haja rolamento sem deslizamento é que a velocidade instantânea do ponto de contacto entre o cilindro e o plano seja zero, em módulo, isto implica que v = ωr. Notemos que v é dado do problema. O momento de inércia do cilindro em torno do eixo perpendicular que passa pelo seu CM é I = 1 2 MR2. Assim a energia mecânica deste ponto, doravante denotado como A é: E A = K A + U }{{} A = K translação +K rotação = 1 2 Mv Iω2 = 1 2 Mv =0 ( ) 1 ( v ) MR2 = R 4 Mv2. (c) Na posição que que a roda atinge a situação mais alta, a altura do centro de massa em relação ao zero do potencial é H (vide a figura abaixo), sua velocidade de translação do centro de massa é zero, como ele roda sem deslizar, sua velocidade angular também será zero, de modo que a energia cinética neste ponto é nula. Após estas considerações a energia no ponto mais alto, doravante chamado de B, será: E B = K }{{} B +U B = Mgz CM = MgH. =0 M M H R h R R (c) Como a energia mecânica conserva-se temos que: E A = E B 3 4 Mv2 = MgH H = 3v2 4g. 1

2 Porém a altura pedida no problema é a altura em relação ao plano horizontal que é portanto h = H + R = R + 3v2 4g. 2) (a) O ioiô desloca-se com dois modos de movimento dados pela dinâmica de rotação e de translação. translação : F ext = M a CM rotação : τ ext = I α Na direção e sentido do movimento de translação e considerando que o ioiô gira em torno do seu centro de massa no sentido anti-horário sem deslizar sobre o corda e que os torques são calculados em relação centro de massa, temos: Mg T = Ma CM Mg T = Ma CM T R = Iα T = Ia CM /R 2 a CM = αr A solução do sistema de equações da direita permite obter a aceleração do centro de massa, (i) (ii) a CM = Mg (I/R 2 + M) como I = (1/2)MR 2 a CM = 2 3 g (b) Para obter o valor da tensão da corda podemos usar a equação (ii) do sistema de equações, substituindo o valor da a CM obtido do item anterior. Logo, T = Ia CM R 2 T = 1 3 Mg (c) A velocidade do centro de massa do ioiô após ele cair de uma altura h, pode ser obtida aplicando o princípio da conservação de energia mecânica. Assim temos: E i = Mgh e E f = K R + K T = 1 2 Iω Mv2 CM Para E i = E f e ω = v CM /R, v 2 CM = 2Mgh (I/R 2 + M) com I = (1/2)MR 2 v CM = 4 3 gh 2

3 (d) A energia cinética de rotação é K R = (1/2)Iω 2 e de translação K T = (1/2)Mv 2 CM. Portanto, K R K T = (1/2)Iω2 (1/2)Mv 2 CM = (1/2)MR2 v 2 CM /R2 Mv 2 CM K R K T = 1 2 Este resultado vale para qualquer instante t e também quando o ioiô cai de uma altura h. 3) (a) De acordo com os vetores unitários indicados na figura temos: A força T = T î correspondente à tração na corda, o peso P = Mgĵ, ambas agindo no centro de massa, a força de atrito age nos dois pontos de contato com as aplicações que representamos por um único ponto A e é dada por f at = f at î e, finalmente, agindo no ponto de contato A, a reação da superfície aplicada no cilindro N = Nĵ. (b) A equação do movimento para a translação do centro de massa do sistema e rotação em torno do centro de massa são dadas por: translação: M a CM = T + f at + M g + N rotação: I α = τ N + τ P + τ fat + τ T Para a translação do centro de massa segundo as direções de î e ĵ: Ma X = T f at (1) Ma Y = N Mg (2) Para a rotação segundo os torques calculados em relação a o e considerando o sentido antihorário de rotação como o sentido positivo: I( α) = rf at 3

4 Além das equações acima temos equações adicionais que correspondem aos vínculos que dizem: i) O contato tem que ser matido de modo que a Y = 0. A equação (2) fornece esta condição, ou seja, N = Mg ii) A velocidade no ponto de contato tem que ser nula: v A = v T O + ω OA; v T O é a velocidade de translação do centro de massa. Este último resultado está de acordo com a condição de que o sistema rola sem deslizar e nos dá: v T O = ωr. O que implica em a CM = a X = α r. (c) Com as condições descritas anteriormente obtemos o sistema de equações: T f at = Ma X T f at = Mαr T f at = Mαr rf at = Iα rf at = Iα rf at = 1 2 MR2 α A resolução deste sistema de equações nos fornece para a aceleração angular: α = T M r (r 2 + R 2 /2) (d) Podemos usar o Teorema Trabalho-Energia, para calcular a energia cinética após o centro de massa percorrer a distância d. K = W total Como a força de atrito estático não fornece trabalho, e as forças N e P são perpendiculares à trajetória do centro de massa, e K i = 0, K = W T K = T d OBSERVAÇÃO: seria preciso calcular também f at e verificar que f at µ E N!!. Qual seria então a condição para a tração T para que o sistema role sem deslizar? 4) (a) Na figura estão representadas as forças que agem no bloco e no disco, onde P b é o peso do bloco, P D o peso do disco, T a tração do cabo sobre o bloco e T a reação agindo sobre o disco, F S a força que o pino exerce sobre o disco e a força F. 4

5 A dinâmica para o disco é dada pela relação ext i τ i = I α e para o bloco i F i = m a além da condição de vínculo a = αr, admitindo que o cabo não desliza sobre o disco, onde a é o módulo da aceleração do bloco e α o módulo da aceleração angular do disco. Assim temos, considerando o sentido de rotação positivo como anti-horário e que T = T = T : RT RF = Iα { F T = Ia/R 2 T P b = ma T P b = ma (i) a = αr A resolução do sistema de equações da direita permite obter a aceleração a, onde I = (1/2)MR 2, a = F mg (m + M/2). (b) A tração do fio pode ser obtida de (i), após substituirmos o valor de a encontrado no item anterior, (c) Temos diretamente que: T P b = ma T = m(f + Mg/2). (m + M/2) α = a R = F mg (m + M/2)R. (d) Para a variação da energia cinética do disco temos K = W total = K f, pois K i = 0. O trabalho total é dado pelo trabalho das forças F e T sobre o disco fazendo-o girar. Como o cabo é puxado de h, e lembrando que T = T, 5

6 [ K f = (F T )h = F m(f + Mg/2) ] h (m + M/2) K f = 1 M(F mg) 2 (m + M/2) h. 5) (a) Temos pelo sistema de eixos da figura que F at = F at î = µ c Nî, N = Nĵ e P = mgĵ.! N ˆk ˆ î! F at! P As equações para a dinâmica de translação são dadas pelas componentes de F = m a, onde a = aî é a aceleração do centro de massa e notando que não há aceleração vertical, pois a esfera não perde o contacto com a mesa: î : ma = F at ĵ : 0 = P + N î : ma = µ c N ĵ : N = mg a = µ c g. O sinal negativo da aceleração do centro de massa da esfera indica que a aceleração aponta para esquerda. Já a equação para a dinâmica de rotação, τ (ext) = I α, fornece τ (ext) = I α τ N + τ P + τ F at = I α. O torque da força normal em relação ao centro de massa é nula, pois r N, o torque do peso em relação ao centro de massa é nulo, pois r = o. Já o torque da força de atrito será τ F at = r F at = ( Rĵ) ( µ c mg)î = µ c mgrˆk. Considerando que a aceleração angular é α = αˆk, temos que ˆk : µ c mgr = Iα µ c mgr = 2 5 mr2 α α = 5µ cg. 6

7 Note-se que não podemos usar a relação de rolamento sem deslizamento ou seja os dois movimentos são independentes neste ponto. O movimento de translação do centro de massa possui aceleração constante, cuja velocidade e posição horizontal são: v = v0 + a t v = (v 0 µ c gt)î î : v = v 0 µ c gt, r = r 0 + v 0 t a t 2 î : x = v 0 t µcgt2 enquanto a velocidade angular em função do tempo será: 2. ω = ω 0 + α t ω = 5µ cgt ˆk. Maneira 1: A condição para que exista rolamento sem deslizamente é que a velocidade instantânea do ponto de contacto entre a esfera e a superfície. Ou seja a velocidade de translação (em módulo) é igual a velocidade de rotação: v = ωr, usando os resultados do problema anterior: v = ωr v 0 µ c gt = 5µ cgt R 7 2 µ cgt = v 0 t = 2v 0 7µ c g. Maneira 2: A condição para que exista rolamento sem deslizamente é que a velocidade instantânea do ponto de contacto entre a esfera e a superfície. Ou seja a soma vetorial da velocidade de translação e da velocidade de rotação no ponto de contacto é zero, assim 0 = v translação + v rotação v translação = v rotação v translação = ω r, como r = Rĵ, ω = 5µ cgt ˆk e v = (v 0 µ c gt)î: (v 0 µ c gt)î = 5µ cgt ˆk ( R)ĵ (v 0 µ c gt)î = 5µ cgt î v 0 µ c gt = 5µ cgt R 7 2 µ cgt = v 0 t = 2v 0 7µ c g. (b) A posição horizontal da bola no instante em que ela rola sem deslizar é ( ) 2v0 d = x = v 0 2v 0 7µ c g 7µ c g 1 ( ) 2 2 µ 2v0 cg = 2v2 0 7µ c g 7µ c g 2v2 0 49µ c g = 12v2 0 49µ c g. ( (c) A velocidade do centro de massa neste instante será v 2v 0 7µ cg ) ( = v 0 µ c g 2v 0 7µ cg ) = 5v