FIS-26 Resolução Lista-04 Lucas Galembeck 2013

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1 FIS-6 Resolução Lista-4 Lucas Galembeck 1 1. Um cordão é enrolado num pequeno cilindro homogêneo de massa M. Supondo que ele seja puxado por uma força F para frente, calcule a aceleração do cilindro e determine o sentido do movimento. P = N F + F at = Ma (i) F at R + F r = 1 MR α (ii) Como não há deslizamento, usamos a = αr em (i): Substituindo em (ii), temos: F at = Ma F (Ma F )R + F r = MR a R MaR F R + F r + MRa = amr(1 + 1 ) F (R r) a = (1 r R ) F M Note que, de acordo com nossa definição de orientação, a acelerelação positiva é para a esquerda.. Para fazer uma bola de bilhar rolar sem escorregar, deve-se aplicar uma força impulsiva (bater com o taco) exatamente a uma altura h = R/5 acima do centro da bola, e não no centro da bola. Prove isso. Neste caso devemos tomar N x = F at = e a = αr, logo: N y = P F = ma (i) F h = 5 mr α (ii) Substituindo (i) em (ii), temos: h(ma) = a 5R mr 1

2 ) h(ma) = R 5 (ma) h = ( R 5. A bobina mostrada na Figura tem uma massa de 6 kg e um raio de giração k G =, m. Se ela é abandonada do repouso, determine a distância percorrida pelo seu centro de massa plano abaixo até atingir uma velocidade angular ω = 6, rad/s. Considere que o coeficiente de atrito dinâmico entre a bobina e o plano em A seja µ d =,. Despreze a massa da corda que é enrolada em torno do núcleo da bobina. P y = N P x + F at T = Ma (i) T r F at R = Mk α (ii) Note que não há deslizamento entre o cilindro menor e a corda, mas sim entre o solo e a bobina. Desta forma, usaremos a = αr e F at = µn. Além disto, se susbtituirmos os valores dados temos o seguinte sistema: 94,6 = N 94,6 + 58,9 T = 18α (i),t 9,46 = 5,4α (ii) Cuja solução é: α = 6,94 Para obtermos a distância percorrida pelo centro de massa, basta substuirmos este valor em: ( ) S ω = α S = ω r r α S = 6, S =,86 m 6,94 4. A roda de 1 kg mostrada na Figura tem um momento de inércia I G =,156 kg.m. Admitindo que a roda não deslize nem salte, determine a menor velocidade v G que ela deve ter para rolar sobre o ressalto em A. Neste caso, podemos considerar que existe conservação do momento angular e da energia mecânica entre o inicio do rolamento da roda sobre o ressalto e o ponto de velocidade mínima.

3 Logo: L i = I G ω 1 + mrv (i) L f = I A ω + (ii) E i = 1I Aω + (iii) E f = + mgh (iv) Igualando (i) e (ii), (iii) e (iv), e resolvendo o sistema obtemos: 1 mgh I Aω = mgh ω = ( v ) mgh I G ω 1 + mrv = I A ω I G + mrv = I A R I A ( ) IG v R + mr = mghia mghi A v = ( IGR + mr ) Mas sabemos que I A = I G + mr e se substituirmos os valores dados, temos que: I A v = 1 9,8, (, , ) ( ) v =,7 m/s, ,17, 5. A barra esbelta de 5, kg mostrada na Figura está rotulada em O e originalmente em repouso. Se um projétil de 4, g atinge a barra com uma velocidade de 4 m/s, conforme mostrado na Figura, determine a velocidade angular da barra no instante imediatamente após a penetração do projétil. Da conservação do momento angular, temos: { Li = mrv B cos θ (i) L f = I O ω + mrv (ii) Igualando (i) e (ii), temos: Substituindo os valores dados, temos: mrv B cos θ = ML ω + mr(ωr) ) ω (mr + ML = mrv B cos θ ω = mrv B cos θ ( ) mr + ML ω = 4.1,75 4 cos ( ) ω =,6 rad/s 4.1,

4 6. Mostre que a soma dos momentos de inércia de massa de um corpo I xx + I yy + I zz é independente da orientação dos eixos x, y, z, dependendo apenas da localização da origem. I xx = (y + z )dm (i) I yy = (x + z )dm (ii) I zz = (x + y )dm (iii) Somando (i), (ii) e (iii), temos: I xx + I yy + I zz = (y + z )dm + (x + z )dm + I xx + I yy + I zz = (x + y )dm = (r )dm (x + y + z )dm Onde r = x + y + z, que não depende da orientação, mas sim da distância até a origem. 7. Determine os momentos de inércia de um cilindro homogêneo de massa m em relação aos eixos x, y e z. Sabemos que I zz = mr e do Teorema dos eixos paralelos temos que I xx = I yy = m r +r + m( r 1 ) = 7mr. 1 Além disso, da figura notamos que: ˆx = ˆx ẑ ŷ = ŷ ẑ = ˆx + ẑ Montando a matriz R e a matriz Ĩ, temos: Como Ĩ = R T Ĩ R, temos que: R = Ĩ = Ĩ = 1 7mr 1 1mr Ou seja, I x x = 1mr ; I 4 y y = 7mr ; e I 1 z z = 1mr 4 7mr 1 mr 4 7mr 1 1mr 4 4

5 8. Um giroscópio, constituído por um disco de 5, cm de raio, colocado no centro de uma haste de 1 cm de comprimento e massa desprezível, gira em torno do seu eixo a 15 rpm. Ele é colocado com seu eixo horizontal e um extremo apoiado num suporte (Figura seguinte). Calcule a frequência da precessão, em rpm. Temos que: Ω = mgl Iω Ω = = gl R ω 9,8 5.1 (5.1 ) (5π) Ω =,4955 rad/s Ω = 4 rpm 9. Um pião cônico homogêneo de massa M tem raio da base R e altura h. (a) Calcule a posição do CM do pião. Pela simetria sabemos que x cm = y cm =. Dividindo o peão em discos infinitesimais temos que dm = ρπr dz, mas por semelhança de triângulos, sabemos que r = Rz. Além h disso, M = h dm. Desta forma, integrando em z temos: z cm = 1 M h zdm = Portanto x cm = = y cm e z cm = h 4. h ρπr z h h ρπr z dz dz = h h z dz h z dz z cm = h 4 (b) Calcule a velocidade angular de precessão regular do pião, quando ele é colocado em rotação rápida de velocidade angular ω em torno do seu eixo, com a ponta apoiada no chão. MgL = ΩIω Ω = MgL Iω 1 Mgh Ω = MR ω Ω = 5gh ωr 5

6 (c) Se o pião precessiona com seu eixo inclinado de θ em relação à vertical, qual é a força horizontal de reação F exercida sobre seu ponto de apoio? Basta acharmos a resultante centrípeta: F = Ma = Ma cp = M(Ω R ) = MΩ ( h sin θ 4 1. O disco de 1, kg mostrado na Figura gira em torno de seu próprio eixo (spin) com uma velocidade angular constante ω D = 7, rad/s. O bloco B tem uma massa de, kg e, pelo ajuste s de sua posição, podemos modificar a precessão do disco relativamente a seu pivô de sustentação em O. Determine a posição s que permitirá ao disco ter uma velocidade de precessão constante de,5 rad/s em relação ao pivô. Despreze o peso do eixo. ) Lembre-se que os sinais são determinados por ( τ = Ω x L ). τ res = ΩL Mgs mgd = Ω(Iω) s = ΩIω + mgd Mg s =,5 (5.1 ) ,8.1 9,8 s = 1 cm 11. O pião mostrado na Figura tem massa de 9, g, centro de massa em G e raio de giração em relação a seu eixo de simetria k = 18, mm. Relativamente a qualquer eixo transversal que passe pelo ponto O, o raio de giração é k t = 5 mm. Se o pião está rotulado em O e a velocidade de precessão é ω p =,5 rad/s, determine sua velocidade de spin ω s. 6

7 Considerando Ω ω (Ω ), temos: mgl = IωΩ + (I I )Ω cos θ ω = mgl IΩ ω = mgd cos(45) mk sin(45)ω ω = 9,8 6.1 (18.1 ),5 ω =,6.1 rad/s 7