ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

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1 MECÂNICA I - PME 3100 Prova Substitutiva 1 de dezembro de 017 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de dispositivos eletrônicos) Questão 1 (3,0 pontos). O sistema mostrado na figura é composto por um corpo pontual A de massa m posicionado sobre uma plataforma circular horizontal de massa m p e raio R. O sistema encontra-se inicialmente em repouso. Em um dado instante, a plataforma começa a girar com aceleração angular constante dada θ, devido à aplicação de um binário. O corpo está localizado num ponto da periferia da plataforma e o coeficiente de atrito estático entre eles é. Nestas condições: (a) Desenhar o diagrama de corpo livre do corpo A; (b) Usando os teoremas da Dinâmica, obter, na base de Frenet, as expressões das componentes da força de atrito atuante no corpo A, em função de θ e θ ; (c) Determinar a velocidade máxima que o corpo pode ter antes de iniciar o escorregamento; e (d) Calcular o trabalho realizado pelo binário desde o instante inicial até o instante em que o corpo começa a escorregar. Dado: J Oz = m pr Questão (3,5 pontos). Um disco homogêneo de massa m, raio R e centro G rola sem escorregar sobre um plano inclinado, como mostrado na figura. O disco é conectado por um fio inextensível, de massa desprezível, a um corpo B de massa m, bem como a uma mola linear ideal de constante K fixa a uma parede. No instante inicial t=0, quando θ(0)=0, o sistema está em equilíbrio e a mola encontra-se indeformada. Num instante posterior, um binário de momento M, constante, é aplicado ao disco. Concomitantemente, uma força F, também constante, é aplicada ao bloco. Sabendo que a polia com centro C tem massa desprezível, pede-se: (a) os diagramas de corpo livre do disco e do bloco. (b) a energia cinética do sistema em função da velocidade angular θ do disco. (c) o trabalho dos esforços externos aplicados ao sistema, expressa em função da posição angular θ. (d) a velocidade angular do disco, expressa em função da posição angular θ. (e) a aceleração do centro de massa G do disco, expressa em função da posição angular θ. Dado: J G z = M discor

2 Questão 3 (3,5 pontos). A figura representa um carro de corrida do tipo dragster, com distância entre rodas de a. As rodas têm raio R e massa desprezível. O corpo do carro tem massa M e centro de massa G localizado nas coordenadas (a, b). No instante de largada, o motor no carro aplica um torque (momento) Q = Qk no eixo traseiro. Considerando-se como um problema plano, pede-se: (a) faça os diagramas de corpo livre do corpo do carro e das rodas; (b) determine qual o valor máximo Q Max do torque Q para que a roda frontal não perca contato com o solo; (c) determine qual o valor mínimo do coeficiente de atrito da roda traseira com o solo, para que a roda traseira não escorregue com o torque Q Max aplicado; (d) descreva o efeito do aumento do raio R sobre esse valor mínimo de.

3 Questão 1 (3,0 pontos). O sistema mostrado na figura é composto por um corpo A de massa m posicionado sobre uma plataforma circular horizontal de massa m p e raio R. O sistema encontra-se inicialmente em repouso. Em um dado instante, a plataforma começa a girar com aceleração angular constante θ, devido à aplicação de um binário. O corpo está localizado num ponto da periferia da plataforma e o coeficiente de atrito estático entre eles é. Nestas condições: (a) Desenhar o diagrama de corpo livre do corpo; (b) Escrever as equações de movimento do corpo na base de Frenet, em função de θ e θ ; (c) Determinar a velocidade máxima que o corpo pode ter antes de iniciar o escorregamento e (d) Calcular o trabalho realizado pelo momento desde o instante inicial até o instante em que o corpo começa a escorregar. Dado: J Oz = m pr a) DCL ou F n = ma n T n = mθ R (3) em que T t = F at senα (4) e T n = F at cosα (5) c) Na iminência de escorregar b) F b = ma b N = mg (1) F t = ma t T t = mθ R () F at = μn = μmg (7) De () e (4) senα = θ R (8) μg De (3) e (5) θ = μg (1 θ R R μ g ) e V = Rμg (1 θ R μ g ) (9) d) TEC τ Binário = ΔE c τ M = 1 mθ R + 1 J Gzθ τ M = 1 m μg R (1 θ R (translação do corpo + rotação da plataforma) μ g ) τ M = μg R (1 θ R μ g ) R m pr μg R (1 θ R R [ 1 m m p] μ g )

4 Questão (3,5 pontos). Um disco homogêneo de massa m, raio R e centro G rola sem escorregar sobre um plano inclinado, como mostrado na figura. O disco é conectado por um fio inextensível, de massa desprezível, a um corpo B de massa m, bem como a uma mola linear ideal de constante K fixa a uma parede. No instante inicial t=0, quando θ(0)=0, o sistema está em equilíbrio e a mola encontra-se indeformada. Num instante posterior, um binário de momento M, constante, é aplicado ao disco. Concomitantemente, uma força F, também constante, é aplicada ao bloco. Sabendo que a polia com centro C tem massa desprezível, pede-se: (a) os diagramas de corpo livre do disco e do bloco. (b) a energia cinética do sistema em função da velocidade angular θ do disco. (c) o trabalho dos esforços externos aplicados ao sistema, expressa em função da posição angular θ. (d) a velocidade angular do disco, expressa em função da posição angular θ. (e) a aceleração do centro de massa G do disco, expressa em função da posição angular θ. Dado: J z G = M discor (a) (b) Energia Cinética para o sistema Disco + Bloco E = E D + E B E B = 1 mv B V B ; E D = 1 mv G V G + 1 J G z ω ; V G = θ Ri ; V B = V G E B = mθ R 0, 0,3 ; E D = 3mθ R E = mθ R (c) W ext = W F + W M + W el + W D + W B W F = FRθ (0,) W M = Mθ (0,) W el = ΔU el = U el1 U el = 0 k (Rθ) = k (Rθ) (0,) W D = ΔU D = U D1 U D = mgh mg(h + Rθsinα) = mgrθsinα (0,) W B = ΔU B = U B1 U B = mgh mg(h Rθ) = mgrθ (0,) W ext = (FR M mgrsinα + mgr)θ k (Rθ) (d) TEC para o sistema Disco + Bloco E + E 1 = W ext E = W ext mθ R = FRθ Mθ + k (Rθ) mgrθsinα + mgrθ θ = ( k ) 4m θ + [ F M gsinα + g ] θ mr mr R R (e) A G = θ Ri Derivando a equação obtida em (d) no tempo: θ = ( k F ) θ + ( M gsinα + g ) 4m mr mr R R A G = [( kr F ) θ + ( 4m m M mr gsinα + g )] i

5 Questão 3 (3,5 pontos). A figura representa um carro de corrida do tipo dragster, com distância entre rodas de ª. As rodas têm raio R e massa desprezível. O corpo do carro tem massa M e centro de massa localizado nas coordenadas (a, b). No instante de largada, o motor no carro aplica um torque (momento) Q = Qk no eixo traseiro. Considerando-se como um problema plano, pede-se: (a) faça os diagramas de corpo livre do corpo do carro e das rodas; (b) determine qual o valor máximo Q Max do torque Q para que a roda frontal não perca contato com o solo; (c) determine qual o valor mínimo do coeficiente de atrito da roda traseira com o solo, para que a roda traseira não escorregue com o torque Q Max aplicado; (d) descreva o efeito do aumento do raio R sobre esse valor mínimo de. (a) (b) Condição: N > 0 TR e TQMA (polo G) no corpo do carro: Ma x = X A + X B (1) 0 = Y A + Y B Mg () 0 = ay B ay A + b(x A + X B ) + Q (3) TR e TQMA na roda frontal: 0 = X B T (4) 0 = N Y B (5) 0 = RT (6) TR e TQMA na roda traseira: 0 = T 1 X A (7) 0 = N 1 Y A (8) 0 = RT 1 Q (9) De (6) e (4): X B = 0 (10) De (9) e (7): X A = Q R (11) De (5): Y B = N (1) De (8): Y A = N 1 (13) Substituindo em () e (3), obtemos: N 1 + N = Mg an an 1 + b Q R + Q = 0} {N 1 = N > 0 Mg N = Mg Mg + (R+b) ar (R+b) ar Q (14) (R + b) ar Q > 0 Q Max = ( ar R + b ) Mg Q (c) Condição: T 1 μn para Q = Q Max : De (9): T 1 = Q ; portanto, usando (14): R T 1 μn 1 Q Max R (R + b) μ [Mg + ar Q Max] μ ( a R + b ) (d) O aumento do raio R reduz o valor mínimo do coeficiente de atrito necessário para não haver escorregamento nem perda de contato dianteiro.