Introdução. O spin é uma propriedade das partículas elementares, eminentemente quântica, sem equivalente no mundo clássico.

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1 Ressonância de Spin

2 Introdução O spin é uma propriedade das partículas elementares, eminentemente quântica, sem equivalente no mundo clássico. Nos próximos slides apresentaremos, brevemente, alguns aspectos históricos sobre a sua descoberta e também algumas de suas propriedades. A seguir, faremos uma breve apresentação de um experimento didático para inferir sua existência e medir o parâmetro chamado fator de Landé.

3 Momento angular e momento de dipolo magnético Suponhamos um modelo simplificado de átomo, com uma carga elétrica líquida e movendo-se em uma órbita circular de raio r. Mostraremos que, a tal sistema, pode-se atribuir uma grandeza chamada momento de dipolo magnético, a qual está diretamente relacionada ao seu momento angular orbital.

4 Momento angular e momento de dipolo magnético Este sistema é similar a uma espira pela qual circula uma corrente, à qual se atribui um momento de dipolo magnético cujo valor é dado pelo produto da corrente pela sua área. No nosso átomo simplificado, à carga circulante e corresponde uma corrente elétrica i, dada por: i=e/t em que T é o período de revolução. Sendo v a velocidade, podemos escrever: i= e T = ev 2 r = emvr 2m r 2= el 2 m A em que A é a área da órbita percorrida pela carga de massa m e L o momento angular orbital.

5 Momento angular e momento de dipolo magnético A expressão anterior pode ser reescrita como: = e 2m L sendo μ o momento de dipolo magnético. Note que μ terá o mesmo sinal que L se e for positiva e sinal oposto se e for negativa. Portanto, no caso do átomo, em que as cargas orbitais são devidas aos elétrons, μ e L serão antiparalelos. A equação anterior pode ser escrita também em forma vetorial: = e 2m L

6 Momento angular na Mecânica Quântica A resolução da equação de Schröedinger para um potencial central, como o de um átomo de hidrogênio, leva naturalmente à quantização do momentum angular e de sua componente z: L= l(l+ 1)ħ L z =m l ħ l=0,1,2,... m l = l, l+ 1,...,l 1,l

7 Momento angular na Mecânica Quântica Usando estes valores na expressão derivada anteriormente para a relação entre μ e L, obtém-se as expressões para o módulo e para a componente z do momento magnético: = e ħ 2m l l 1 = l l 1 B z = e ħ 2m m l = m l B A constante μ B é o magnéton de Bohr, uma unidade natural de medida do momento magnético, cujo valor é: μ B = e ħ 2m =9, J /T =5, ev /T

8 Momento angular na Mecânica Quântica A proporcionalidade entre μ e L é uma propriedade geral das cargas em movimento, porém, a relação obtida anteriormente é estritamente válida somente para uma carga isolada. Para uma distribuição de carga mais complexa, utiliza-se uma expressão levemente modificada com a introdução de uma grandeza adimensional denominada razão giromagnética ou fator g.

9 Momento angular na Mecânica Quântica No caso do átomo de hidrogênio pode-se escrever: μ= g Lμ B ħ L em que g L representa o fator g relacionado ao momento angular L. Neste exemplo, as expressões para μ e μ z em função dos números quânticos l e m l, tornam-se: μ= l (l+ 1)g L μ B μ z = m l g L μ B

10 O experimento de Stern-Gerlach Em 1922, O. Stern e W. Gerlach realizaram um experimento para investigar as orientações no espaço do momento angular. Teste da quantização desta grandeza e, consequentemente, do momento de dipolo magnético a ele associado. Experimento baseado no efeito físico experimentado por um momento magnético μ submetido a um campo magnético B não uniforme. Nestas circunstâncias, a partícula sofre a ação de uma força que é proporcional a μ e à divergência de B : F= B

11 O experimento de Stern-Gerlach Para um campo homogêneo nas direções x e y, o gradiente estará orientado na direção z e o módulo da força será dado por: F z =μ z db dz = m l g L μ B db dz Portanto, à luz da teoria quântica, a força experimentada pela partícula dependerá do seu estado quântico, mais especificamente do número quântico m l, e terá valores discretos.

12 O experimento de Stern-Gerlach O arranjo experimental concebido por Stern e Gerlach encontra-se ilustrado abaixo. Feixe de átomos de prata proveniente de um forno propaga-se através de uma região com campo magnético inomogêneo na direção vertical. Força vertical sobre os átomos:

13 O experimento de Stern-Gerlach Consequentemente, a deflexão sofrida no campo magnético dependeria dos possíveis valores assumidos pelo momento angular dos átomos. Se a hipótese quântica de valores discretos para L fosse correta, os átomos só seriam defletidos em certas faixas, ou regiões discretas. Caso contrário, os valores de deflexão formariam um contínuo. Resultado obtido por Stern e Gerlach: A foto da direita mostra o surgimento de duas bandas soba ação do campo magnético.

14 O experimento de Stern-Gerlach O aparecimento de duas bandas é consistente com a hipótese de quantização do momento angular. Porém, ao mesmo tempo, surge um sério problema. Pela teoria exposta anteriormente, os números quânticos l e m l só podem assumir valores inteiros. Assim, temos as seguintes possibilidades em função dos possíveis números quânticos: l m l F z μ B db/dz μ B db/dz

15 O experimento de Stern-Gerlach É fácil ver que o número de possibilidades para m l e, consequentemente, para F z será sempre ímpar: 2l+1. No entanto, Stern e Gerlach observaram 2 faixas distintas formadas pela deflexão dos átomos sob a ação de 2 valores distintos da força F z!! Embora a existência de faixas discretas esteja em acordo com a hipótese de quantização do momento angular, a teoria exposta anteriormente não é capaz de explicar quantitativamente o resultado obtido, isto é, o número par de faixas.

16 O experimento de Stern-Gerlach Para que hajam 2 faixas é necessário que o número quântico l tenha o valor l=1/2. No entanto, as condições de contorno que se aplicam às soluções da equação de Schröedinger para um potencial central, como o átomo de hidrogênio, implicam que l só pode assumir valores inteiros. Uma interpretação adequada do experimento de Stern-Gerlach demoraria ainda alguns anos.

17 O experimento de Stern-Gerlach Em 1925, para explicar a estrutura fina observada nas linhas espectrais dos átomos e também conciliar a tabela periódica com o princípio da exclusão, Pauli sugeriu que o elétron possuiria um quarto número quântico, além de n, l e m l, e que este número quântico adicional poderia assumir somente dois valores. No mesmo ano de 1925, S. Goudsmit e G. Uhlenbeck, alunos de doutorado, propuseram que este quarto número quântico seria a componente z, m z, de um momento angular intrínseco, a que chamaram de spin. Em 1928, P. Dirac formulou uma teoria relativística para o elétron em que o spin surge naturalmente.

18 O experimento de ressonância do spin

19 O experimento de ressonância do spin O experimento de ressonância de spin realizado no laboratório de Estrutura da Matéria da UERJ baseia-se também na interação entre o momento de dipolo magnético μ s devido ao spin do elétron e um campo magnético externo B. Porém, o efeito do spin é evidenciado através da interação adicional dos elétrons com um campo eletromagnético oscilante, diferentemente do experimento de Stern e Gerlach, em que o efeito é evidenciado através da deflexão das moléculas.

20 O experimento de ressonância do spin O momento de dipolo magnético μ s é devido a um elétron desemparelhado na última camada da molécula da substância usada na amostra e pode ser escrito como: μ s = g Sμ B S ħ Energia potencial de interação de um elétron com o campo B: Devido à quantização do spin do elétron (±½ħ), há dois estados possíveis para μ s e, consequentemente, dois valores possíveis para U:

21 O experimento de ressonância do spin Portanto, as moléculas na amostra submetida ao campo B podem estar em dois estados de energia: sendo E 0 a energia dos estados na ausência de um campo magnético. A diferença entre os níveis é, portanto:

22 O experimento de ressonância do spin Os elétrons desemparelhados na amostra da substância podem transitar de um nível energético para o outro se ganharem ou perderem uma quantidade ΔE de energia. Neste experimento, isto é feito através da unidade de radiofrequência que gera um campo eletromagnético oscilante com frequência ajustável.

23 O experimento de ressonância do spin Quando a frequência ν for exatamente igual a ΔE/h, ocorre a condição de ressonância em que elétrons do nível de energia mais baixo absorvem fótons do campo eletromagnético e vão para o nível energético superior. Após um curto instante de tempo, o excesso de elétrons no nível superior retorna para o nível inferior com a consequente emissão de radiação eletromagnética.

24 O experimento de ressonância do spin Neste experimento a condição de ressonância é conseguida com a aplicação de uma tensão variável V(t) = V 0 + V mod sen(ft) às bobinas, o que resulta em um campo magnético modulado pela frequência f em torno de um valor médio B 0 : B(t) = B 0 + B mod sen(ft) Se os valores de B 0, B mod e ν forem adequadamente ajustados, a condição de ressonância ocorrerá duas vezes a cada ciclo da modulação.

25 O experimento de ressonância do spin A figura abaixo mostra como os dois níveis de energia, denominados E - e E + (em vermelho), oscilam em consonância com a modulação do campo B. Quando a diferença entre eles torna-se igual à energia E ν da radiação da unidade de radiofrequência (em azul), ocorrem os picos de ressonância (em verde). E + = E 0 + ½ g s μ s B(t) E - = E 0 - ½ g s μ s B(t) E ν = hν