Operadores Tensoriais

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1 Operadores Tensoriais Márcio H. F. Bettega Departamento de Física Universidade Federal do Paraná CF70 Física Quântica I Operadores Tensoriais

2 Operadores Vetoriais Como os operadores x, p, L, S se comportam sob rotação? (operadores vetoriais). Vetor em mecânica clássica: objeto cujas componentes se transformam, sob rotação, como V i j=1 R ijv j Em mecânica quântica vamos exigir que o valor esperado de um operador vetorial se transforme, sob rotação, como um vetor clássico. Se α D(R) α, onde D(R) é o operador de rotação, temos V i = α V i α α D (R)V id(r) α = j R ij α V j α Portanto D (R)V id(r) = j RijVj vale como uma equação vetorial, onde Rij são os elementos da matriz de rotação ( ) R. Vimos isso no caso de operadores de momentum angular de spin para s = 1/2, sob rotação de φ em torno de z: S x R α S x α R = S x cos φ S y sin φ S y R α S y α R = S x sin φ + S y cos φ S z R α S z α R = S z

3 Operadores Vetoriais Vamos discutir o caso específico de uma rotação infinitesimal: Temos que D(R) = 1 i J ˆn ɛ D 1 (R)V id(r) = ( 1 + i J ˆn ) ( ɛ V i 1 i J ˆn ) ɛ = = V i iɛ ViJ ˆn + iɛ J ˆnVi = = V i + ɛ i [Vi, J ˆn] = j R ij(ˆn, ɛ)v j Escolhendo ˆn = ẑ temos R(ẑ, ɛ) = 1 ɛ 0 ɛ

4 Operadores Vetoriais Desta forma obtemos: i = 1 = x V x + ɛ [Vx, Jz] = Vx ɛvy i i = 2 = y V y + ɛ [Vy, Jz] = ɛvx + Vy i i = = z V z + ɛ [Vz, Jz] = Vz i o que significa que as componentes de V devem satisfazer as relações de comutação [V i, J j] = i ε ijk V k as quais podem ser utilizadas como definição de um operador vetorial. Exemplos: V = J [J i, J j] = i ε ijk J k V = x, J = L [x i, L j] = i ε ijk x k V = p, J = L [p i, L j] = i ε ijk p k

5 Tensores cartesianos versus operadores irredutíveis Definimos um tensor em física clássica como T ijk... i j k... R ii R jj R kk... T i j k... sob rotação especificada pela matriz R. A definição acima é uma generalização de V i j R ijv j O número de índices define a ordem do tensor, chamado de tensor cartesiano, cujo exemplo mais simples é uma diádica formada a partir de dois vetores U e V (num total de 9 componentes): T ij = U iv j O tensor cartesiano acima é redutível, podendo ser decomposto em termos de objetos que se transformam de maneiras diferentes sob rotação U iv j = U V ( (UiVj UjVi) UiV j + U jv i δ ij + + U V ) δ ij 2 2

6 Tensores cartesianos versus operadores irredutíveis U V: escalar (invariante sob rotação); (U iv j U jv i)/2: tensor assimétrico (T ij = T ji, T ii = 0; componentes independentes) de ordem 2 (ε ijk (U V) k ); (U iv j + U jv i)/2 [(U V)/]δ ij: tensor simétrico sem traço (T ij = T ji, i Tii = 0; 5 componentes independentes) de ordem 2; U iv j: tensor cartesiano com 9 componentes, = }{{} 1 + }{{} + }{{} 5 escalar l=0 tensor antissimétrico l=1 tensor simétrico sem traço l=2 Diádica: pode ser decomposta em tensores que se transformam como harmônicos esféricos com l = 0, 1, 2. Isto é um exemplo de como reduzir um tensor cartesiano em tensores esféricos irredutíveis.

7 Tensores cartesianos versus operadores irredutíveis Antes de definirmos um tensor esférico, vamos discutir um exemplo de um tensor esférico de ordem k. Para isso vamos considerar um harmônico esférico (θ, φ) = Y m (ˆn), ˆn = (θ, φ). Substituindo ˆn por V temos Y m l l T (k) q = Y m=q l=k (V) onde T q (k) é um tensor esférico de ordem k. No caso específico de k = 1, pegamos os harmônicos esféricos correspondendo a l = 1 e trocamos z/r(ˆn z) por V z, x/r(ˆn x) por V x e y/r(ˆn y) por V y. Assim temos: Y1 0 (θ, φ) = 4π cos θ = z 4π r T (1) 0 = 4π Vz Y ±1 1 (θ, φ) = sin θ exp(±iφ) = sin θ(cos φ ± i sin φ) = 8π 8π 8π ( ) Y ±1 x ± iy 1 (θ, φ) = T (1) ±1 4π = Vx ± iv y 2r 4π 2 Este procedimento pode ser generalizado para k s maiores: x ± iy r Y ± (x ± iy) 2 2 (θ, φ) = 2π sin2 θ exp(±2iφ) = T (2) 15 2π r 2 ±2 = (Vx ±ivy)2 2π

8 Tensores cartesianos versus operadores irredutíveis Antes de discutirmos como os tensores esféricos se transformam sob rotação, vamos lembrar o que acontece com os harmônicos esféricos Yl m (θ, φ) sob rotação. Para isso vamos considerar um ket de direção ˆn e agora um ket lm ˆn D(R) ˆn = ˆn lm D(R 1 ) lm = m lm lm D(R 1 ) lm = m D (l) m m (R 1 ) lm ou ˆn D(R 1 ) lm = }{{} ˆn m D (l) m m (R 1 ) ˆn lm Y m l (ˆn ) = m D (l) m m (R 1 )Yl m (ˆn) Se existe um operador que atua como Yl m (V) é razoável que: D (R)Yl m (V)D(R) = Yl m (V)D (l) mm (R); D (l) m m (R 1 ) = D (l) mm (R) m

9 Tensores cartesianos versus operadores irredutíveis Definimos assim, em mecânica quântica, um operador tensor esférico de ordem k com (2k + 1) componentes como ou, de forma equivalente D (R)T (k) q D(R) = D(R)T (k) q D (R) = +k q = k +k q = k D (k) qq (R)T (k) q D (k) (k) q q (R)T q Esta definição valer apesar do fato que T q (k) possa ser escrito como Y m=q l=k (V). Por exemplo, (U x + iu y)(v x + iv y) é uma componente (q = +2) de um tensor esférico de ordem 2, mas não pode ser escrito como Y m=q l=k (V). Uma definição mais conveniente de um tensor esférico é obtida considerando a forma infinitesimal da relação acima ( 1 + i J ˆn ) ( ɛ T q (k) 1 i J ˆn ) ɛ = +k q = k ( T (k) q kq 1 + i J ˆn ) ɛ kq

10 Tensores cartesianos versus operadores irredutíveis Agrupando os termos temos T (k) q e comparando Fazendo + ɛ (k) [T q, J ˆn] = T (k) q kq kq + T (k) i q q q [J ˆn, T q (k) ] = T (k) kq J ˆn kq q q kq iɛ J ˆn kq ˆn = ẑ [J z, T q (k) ] = T (k) q kq J z kq = T (k) q δq q = q T q (k) q q q ˆn = ˆx ± iŷ [J x ± ij y, T q (k) ] = [J ±, T q (k) ] = T (k) q kq J ± kq = q = q T (k) q (k q)(k ± q + 1)δ q q±1 = T (k) q±1 (k q)(k ± q + 1)

11 Produto de tensores Definindo e o mesmo para V 0,±1 temos U ±1 = (Ux ± iuy) ; U 0 = U z 2 T (0) 0 = U V (U+1V 1 + U 1V+1 U0V0) = T (1) q (U V)q = i 2 T (2) ±2 = U±1V±1 T (2) (U±1V0 + U0V±1) ±1 = 2 T (2) 0 = (U+1V 1 + 2U0V0 + U 1V+1) 6

12 Produto de tensores Exemplo: mas Fazendo Y2 0 5 z 2 r 2 = 16π r 2 z 2 r 2 = z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) = 2z 2 x 2 y 2 2 (x + iy) (x iy) = x 2 y temos [ ] z 2 r 2 = 2z 2 (x + iy) (x iy)

13 Produto de tensores Assim { [ ]} Y z 2 = 16π r + 2 (x + iy) (x iy) 2 2r 2r Fazendo r = U chegamos finalmente a Y2 0 5 { (U) = 2U 2 } 0 + 2U +1U 1 16π Y 0 2 é um caso especial de T (2) 0 para U = V = r.

14 Teorema Sejam X (k 1) q 1 e Z (k 2) q 2 tensores esféricos irredutíveis de ordem k 1 e k 2 respectivamente. Então: T (k) q = q 1 k 1k 2; q 1q 2 k 1k 2; kq X (k1) q 2 é um tensor esférico irredutível de ordem k. Precisamos mostrar que Assim D (R)T (k) q D(R) = q 1 Usando D (R)X (k 1) q 1 D(R) = q 1 juntamente com D (k 1) q 1 q 1 (R 1 )D (k 2) q 2 q 2 (R 1 ) = k D (R)T (k) q D(R) = +k q = k q 1 Z (k 2) q 2 D (k) qq (R)T (k) q q 2 k 1k 2; q 1q 2 k 1k 2; kq D (R)X (k1) D (k 1) q 1 q (R 1 )X (k 1) 1 q 1 a demonstração se completa. q ; D (R)Z (k 2) q 1 D(R)D (R)Z (k 2) q 2 q 2 D(R) = q 2 D(R) D (k 2) q 2 q 2 (R 1 )Z (k 2) q 2 k 1k 2; q 1q 2 k 1k 2k q k 1k 2; q 1q 2 k 1k 2k q D (k q q (R 1 ) q )

15 Elementos de matriz de operadores tensoriais; o teorema de Wigner-Eckart Aplicações: estudo da interação de átomos com campos eletromagnéticos (elementos de matriz regras de seleção). Regra de seleção para m: Demostração Lembrando que α j m T q (k) αjm = 0, a menos que m = q + m temos [J z, T q (k) ] = qt q (k) α j m [J z, T (k) q ] qt q (k) αjm = (m m q) α j m T q (k) αjm = 0

16 Elementos de matriz de operadores tensoriais; o teorema de Wigner-Eckart Teorema de Wigner-Eckart: Os elementos de matriz de operadores tensoriais com respeito a autoestados de momentum angular satisfazem α j m T q (k) αjm = jk; mq jk; j m α j T (k) αj 2j + 1 onde o elemento de matriz de dupla barra é independente de m, m e q. Exemplo 1: T (0) 0 = S (escalar) α j m S αjm = j0; m0 j0; j m α j S αj 2j + 1 = δ jj δ mm S não altera os valores de j e m. Exemplo 2: V (1) q=0,±1 (operador vetorial) α j m V q αjm = j1; mq j1; j m α j V (1) αj 2j + 1 α j S αj 2j + 1 j 1 j j + 1; j = 0 j = 1(j = 0 j = 0 proibido) m = m + q; q = 0, ±1; m = m(q = 0); m = m ± 1(q = ±1) m = m m = 0, ±1; j = j j = 0, ±1(j = 0 j = 0 proibido)

17 O teorema da projeção Para j = j, quando aplicado a um operador vetorial, o teorema de Wigner-Eckart assume uma forma simples, conhecida frequentemente como o teorema da projeção, enunciado abaixo: α jm V q αjm = α jm J V αjm jm J q jm 2 j(j + 1)