REVISÃO DE ANÁLISE TENSORIAL

Transcrição

1 REVISÃO DE ANÁLISE TENSORIAL 1.1- Vetores Espaciais Def.: Para cada par de pontos (a,b) do espaço E, existe um segmento de linha ab, caracterizado por um comprimento e uma direção. -Conjunto de vetores espaciais: conjunto de todos os segmentos de linha direcionados (segmentos paralelos correspondem a um mesmo elemento. -Operações: -Adição: v + w = w + v u + ( v + w) = ( u + v) + w v + 0 = v Para cada v existe um - v tal que v + ("v) = 0

2 -Multiplicação por escalar α Def.: O vetor "v tem comprimento " v e direção de v se " > 0 "(#v) = ("#)v 1v = v ( ) = "v + "w " v + w (" + #)v = "v + #v e direção de - v se " < 0 - Produto interno: número real v w = v w cos " v α w v w = w v ( ) = u v + u w ( ) = ("v) w u v + w " v w v v # 0 ; v v = 0 se e só se v = 0

3 -Espaço vetorial: conjunto de objetos tais que as regras de adição e multiplicação se aplicam -Espaço produto interno: Espaço vetorial com produto interno -Conjunto de vetores espaciais é um espaço produto interno -Abreviações: v " w # v + ("w) Comprimento ou magnitude de v : v # v # v v -Vetor posição: qualquer ponto z em E pode ser localizado em relação a outro ponto O pelo vetor espacial: z " Oz (vetor posição de z em relação a origem O)

4 -Campos escalar: funções de valores numéricos que dependem da posição. Exs: temperatura, pressão -Campos de vetores espaciais: funções de vetores espaciais de dependem da posição. Exs: força, velocidade, vetor posição (p(z)) -As operações de adição, multiplicação por escalar e produto interno são similares para os campos de vetores espaciais. -Em geral trabalharemos com campos reais escalares e campos vetoriais espaciais, e integrais destes campos

5 -Base: -Os vetores e 1, e 2 e e 3 são linearmente independentes quando α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3 =Σα i e i =0 só se α 1 =α 2 =α 3 =0 -Geometricamente 3 vetores são LI se eles não estão todos num mesmo plano -Uma base M para um espaço vetorial é um conjunto de χ de vetores LI tal que cada vetor em M pode ser escrito como uma combinação linear de elementos de χ -Ex.: Seja (e 1, e 2, e 3 ) base de todos os vetores espaciais v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 = 3 " i=1 v i e i v 1,v 2,v 3 - componentes do vetor v com relação a base -n. elementos da base = dimensão da base -Espaço de vetores espaciais e de campos de vetores espaciais é 3D

6 -Base para campos vetoriais espaciais: -Uma base (m 1,m 2,m 3 ) para o espaço de campos vetoriais espaciais é cartesiana se os vetores da base em cada ponto z são unitários. m 1 (z) m 1 (z) =1 m 2 (z) m 2 (z) =1 m 3 (z) m 3 (z) =1 -Base ortogonal: elementos da base são ortogonais aos outros m i (z) m j (z) = 0 p/ i " j -Base ortonormal: base cartesiana ortogonal

7 -Base cartesiana retangular: base ortonormal e, para cada 2 pontos x e y em E, m i (x)=m i (y) para i=1,2,3 comprimento e direção dos vetores de base em cada ponto independem da posição em E. Usaremos (e 1, e 2, e 3 ) para este tipo de base. -Todo campo de vetores pode ser escrito como CL da BCR (e 1, e 2, e 3 ): -Vetor posição: u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 = 3 " i=1 u i e i u 1,u 2,u 3 - componentes cartesianos de u p = z 1 e 1 + z 2 e 2 + z 3 e 3 = 3 " i=1 z i e i z i # coordenadas cartesianas com relação a origem O

8 -Qualquer base para campos de vetores espaciais pode ser usada para gerar um número infinito de bases para o espaço de vetores: m i =m i (z) p/ i=1,2,3 e qualquer z pode ser usado como base para o espaço de vetores. -A base depende de z, pois a magnitude e direção de mi podem variar com a posição (ex: sistemas coord. cilíndrica e esférica) -A magnitude e direção das funções independem da posição em E, na base cartesiana

9 CONVENÇÕES u = 3 " u i e i = u i e i i=1 # v w = (v i e i ) (w j e j ) = v i w j (e i e j ) = v i w j $ ij = v i w i Para sistema de coordenadas cartesianas: & (e i e j ) = $ ij = ' 1 se i = j ( 0 se i % j

10 1.2 - Determinantes " ijk = " ijk = $ 0 quando 2 índices forem iguais & % +1 quando ijk forem permutação par de 123 (sent. horário) & '#1 quando ijk forem permutação ímpar de 123 (sent. anti- horário) ε ijk e ε ijk são completamente anti-simétricas nos índices 123, i.e., trocando 1 índice por outro o sinal é invertido. det(a ij ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = " a a a ijk 1i j 3k = " a a a ijk i1 j 2 k a 31 a 32 a (1) (2) 33

11 -Com a troca de 1 linha por outra, o sinal do determinante muda: " ijk a im a jn a kp = " jik a jm a in a kp = #" ijk a im a jn a kp -Podemos escrever as eqs. (1) e (2) como: " ijk a mi a nj a pk = det(a rs )" mnp (3) " ijk a im a jn a kp = det(a rs )" mnp (4) -Produto entre 2 determinantes: det(a rs )det(b xy ) = det(a rs )" ijk b i1 b j 2 b k 3 = " mnp a mi a nj a pk b i1 b j 2 b k3 = " mnp (a mi b i1 )(a nj b j 2 )(a pk b 12 3 ) k3 ab p 3 = det(a us b sv ) Exercícios

12 1.3 - Gradiente de um Campo Escalar Def.: O gradiente de um campo escalar α é um campo vetorial α. O gradiente é especificado a partir do seu produto interno com um vetor arbitrário, em todos os pontos z de E: "#(z) a $ lim s%& #(z + sa) '#(z) s onde a $ zy (y - ponto arbitrário de E) )#(z) * )#(z) )#(z) )#(z)- ( "#(z) a = a i, = a 1 + a 2 + a 3 / )z i + )z 1 )z 2 )z 3. Escolhendo a = e i : "# e i = )# )z i ( "# = )# )z i e i Exercício: Prove que z i =e i

13 1.4 - Tensores de Segunda Ordem T é uma transformação ou mapeamento que leva para cada campo vetorial v um outro campo vetorial T v tal que as seguintes regras são satisfeitas: T ( v + w) = T v + T w T ("v) = "(T v) ( T + S) v # T v + S v ("T) v # "( T v) -Tensor Zero: 0 v=0 para todo campo vetorial v -Todo Campo Tensorial constitui um espaço vetorial -Produto tensorial ou produto diático entre 2 vetores: T=ab

14 -Componentes de campos tensoriais de segunda ordem: T - tensor de segunda ordem e j (j=1,2,3) - base cartesiana retangular para o espaço de campos vetoriais T e j =T ij e i [ T ] ij = " T 11 T 12 T 13 % $ ' $ T 21 T 22 T 23 ' # $ T 31 T 32 T 33 &' Seja v um campo vetorial, então: T v = T (v j e j ) = v j T e j = v j T ij e i Notação: T=T ij e i e j

15 -Tensor Identidade: I e j =I ij e i =e j =δ ij e i (I ij - δ ij )e i =0 como a base cartesiana retangular é L.I.: I ij = δ ij -e i e j : base para o espaço de campos tensoriais de segunda ordem (dimensão 9) -Transposta de um campo tensorial de segunda ordem: Def.: ( T u) v " u ( T T v) u = e i v = e j # T ji = T ij T ou T T = T nm e m e n Def.: w T T = T w

16 - Tensor simétrico: T = T T - Tensor anti-simétrico: T = - T T - Campo tensorial ortogonal: preserva comprimentos e ângulos ( Q u) ( Q v) = u v ( ) [ ] = u ( Q T Q) v " u Q T Q v " Q T Q = I A ( B v) = ( A B) v [ ] = u v - Sejam A e B campos tensoriais de Segunda Ordem: onde ( A B) " ( A ij e i e ) j ( B km e k e m ) = A ij B jm e i e m ( A B) T = B T A T

17 - Inverso de um campo tensorial de 2 a ordem: - Um campo tensorial é inversível se: a) Se A u 1 =A u 2 então u 1 =u 2 b) Para cada campo vetorial v, corresponde pelo menos um campo vetorial u tal que A u=v A -1 : inversa de A Definindo: A -1 v 1 =u 1 pode-se mostrar que A -1 A= A A -1 =I - Para uma transformação ortogonal, Q -1= Q T - Obs: Nem o tensor 0 nem um produto tensorial ab são inversíveis

18 -Traço de um campo tensorial de segunda ordem: -Sejam a, b campos vetoriais; α campo escalar; S, T campos tensoriais de segunda ordem -A operação tr(t) satisfaz: - tr(t+s)= tr(t) + tr(s) -tr(α T)= α tr(t) -tr(ab)=a b -No sistema de coordenadas cartesianas: -tr(t)=t ij tr(e i e j ) = T ij e i e j = T ij δ ij= T ii (=soma dos elementos da diagonal)

19 1.5 - Gradiente de um campo vetorial Def.: O gradiente de um campo vetorial v é um campo tensorial de segunda ordem v. "v(z) a # lim s$% v(z + sa) & v(z) s onde a # zy (y - ponto arbitrário de E) (v(z) ) (v(z) (v(z) (v(z), ' "v(z) a = a i + = a 1 + a 2 + a 3. (z i * (z 1 (z 2 (z 3 - Escolhendo a = e j : "v e j = (v (z j ' "v = (v i (z i e i e j tr("v) = (v i tr(e i e j ) (z i 123 = (v i = divergente (z i / ij ' divv # " v # tr("v) = (v i (z i

20 1.6- Produto vetorial e rotacional ( a "b) 12 3 # em relação a base cart. e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = (a 2 b 3 $ a 3 b 2 )e 1 + (a 3 b 1 $ a 1 b 3 )e 2 + (a 1 b 2 $ a 2 b 1 )e 3 a direção de ( a "b) é dada pela regra da mão direita ( a "b) está no plano perpendicular a a e b rot v " e 1 e 2 e 3 # /#z 1 # /#z 2 # /#z 3 = v 1 v 2 v 3 %#v 3 $ #v ( % 2 ' * e 1 + #v 1 $ #v ( % 3 ' * e 2 + #v 2 $ #v ( 1 ' * e 3 &#z 2 #z 3 ) &#z 3 #z 1 ) & #z 1 #z 2 ) Notação mais compacta (sist. cartesiano): ( a +b) =, ijk a j b k e i rot v =, ijk #v k #z j e i

21 1.7- Determinante de um tensor de segunda ordem Seja g i uma base arbitrária para um sistema de coordenadas curvilíneas Def.: det T " T g 1 -Magnitude do det T=Vol. Paral. Deformado Vol. g 1 g 2 g 3 - det T > 0 se T g 1, T g 2,T g 3 tem a mesma orientação de g 1,g 2,g 3 [( ) #( T g )] 2 ( T g ) 3 ( g 1 # g ) 2 g 3

22 - Na base cartesiana det T = det(t mn ) (= " ijk T 1i T 2 j T 3k ) - Mostra-se que det(s T) = det Sdet T det(t "1 ) =1/det T det(t T ) = det T

23 1.8 - Integração -Campos vetoriais: v(z) + v(y) = v i (z)e i + v i (y)e i = [ v i (z) + v i (y)]e i " # v dr = # v R i e i dr = ( # v R i dr) e i R i - Transformada de Green: " : escalar, vetor ou tensor # "ˆ n da $ ["(z 1 + %z 1,z 2,z 3 ) &"(z 1,z 2,z 3 )]%z 2 %z 3 e 1 + S m ["(z 1,z 2 + %z 2,z 3 ) &"(z 1,z 2,z 3 )]%z 1 %z 3 e 2 + ["(z 1,z 2,z 3 + %z 3 ) &"(z 1,z 2,z 3 )]%z 1 %z 2 e 3 %' = %z 1 %z 2 %z 3 e fazendo %z 1 ( 0,%z 2 ( 0,%z 3 ( 0 : 1 # "ˆ n da = )" %' S m m Mas, k # )"d' = lim R max %' m (0 *()") m %' m = * # Sm "ˆ n da m=1 + # )"d' = # "ˆ n da R Sm 44 3 Transformada de Green k m=1

24 -Para ϕ campo vetorial: # "vd$ = v { n ˆ da -Para ϕ campo tensorial: R # S produto tensorial # S % # tr("v) d$ = tr(vn ˆ )da R % # divvd$ = # v n ˆ da 1 R S4 43 Teorema da divergência ou Teorema de Gauss # "Td$ = # Tn ˆ da R S % # divtd$ = # T & n ˆ da R S

25 - Mudança de variáveis em integrais de volume x 1 = x 1 ( x 1, x 2, x 3 ) x 2 = x 2 ( x 1, x 2,x 3 ) { x 3 = x 3 x 1,x 2, x sist. coord. ( ) sist. coord. Sabe - se que " F(x 1,x 2, x 3 )dx 1 dx 2 dx 3 = R " R ( ) det #x i & F x 1 (x 1, x 2, x 3 ),... $ ' %#x ) dx1 dx 2 dx 3 j ( Se um dos sistemas for o sistema cartesiano: " F(z 1,z 2,z 3 ) dz 1 dz 2 dz 3 = " F z 1 (x 1, x 2, x 3 ),... gdx 1 dx 2 dx 3 R onde g * det(g ij ) R ( )