OPERADORES HERMITIANOS Mecânica Quântica I ( ) - Capítulo 03

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1 ESPAÇO DE FUNÇÕES E OPERADORES HERMITIANOS Mecânica Quântica I ( ) - Capítulo 03 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil / 47

2 Sumário Conceitos Preparatórios Partícula numa caixa Princípio da correspondência de Bohr Espaço de funções Notação de Dirac Espaço de Hilbert Operadores Hermitianos Operadores Hermitianos Propriedades dos Operadores Hermitianos Exercícios Exercícios 2 / 47

3 Partícula numa caixa unidimensional Considere uma partícula de massa m restrita a se mover ao longo de uma linha reta entre duas paredes impermeáveis conforme ilustra a figura abaixo: 3 / 47

4 Partícula numa caixa unidimensional Para este problema, o potencial pode ser escrito por: { V (x) =, x 0 e x a. (1) V (x) = 0, 0 < x < a esta configuração é conhecida como partícula presa numa caixa unidimensional. No primeiro domínio, a equação de Schrödinger fica Ĥ 1 = ˆp2 2m + =. (2) No segundo domínio, tem-se: Ĥ 2 = ˆp2 2m. (3) 4 / 47

5 Partícula numa caixa unidimensional A solução da Equação (2) fornece ϕ = 0 para qualquer autovalor de energia finito E. Isto porque o lado esquerdo de Ĥ 1 ϕ = Eϕ (4) é finito e, consequentemente, o lado direito dever ser também finito. Neste caso a única possibilidade é ϕ = 0. A interpretação deste resultado é que a probabilidade de encontrar a partícula no lado exterior da caixa é nula. Estas regiões são conhecidas como domínios proibidos. No segundo domínio, tem-se 2 2 ϕ = Eϕ (5) 2m x 2 5 / 47

6 Partícula numa caixa unidimensional que reescrevendo obtém-se: em que 2 ϕ x 2 + k2 ϕ = 0, (6) k 2 = 2mE 2. (7) A solução da Equação (6) fornece: ϕ(x) = C 1 e ikx + C 2 e ikx ϕ(x) = A sin kx + B cos kx. (8) 6 / 47

7 Partícula numa caixa unidimensional Como ϕ é uma função contínua, pode-se escrever: ϕ(0) = ϕ(a) = 0. (9) Portanto, a partir da primeira condição inicial, escreve-se ϕ(0) = 0 = B. (10) A segunda condição inicial fornece ϕ(a) = 0 = A sin ka, (11) o que implica em: ka = nπ, n = 0, 1, 2, 3, (12) 7 / 47

8 Partícula numa caixa unidimensional Isto quer dizer que os valores permitidos para k e consequentemente para E são quantizados! Ou seja, E n = k2 n 2 2m = n2 π 2 2 2ma 2. (13) Fazendo E 1 = 2 π 2, tem-se: 2ma 2 E n = n 2 E 1 (14) O valor da constante A pode ser obtido a partir da condição de normalização, ou seja, a 0 ϕ ϕdx = 1 1 = A2 a nπ A = = nπ 0 sin 2 θdθ = A2 a 2 (15) 2 a. Para isto, fez-se a seguinte substituição de variáveis: θ = nπx a. 8 / 47

9 Partícula numa caixa unidimensional As autofunções podem ser escritas, portanto, por: 2 ( nπx ) ϕ n = a sin. (16) a O índice n significa que as autofunções também são quantizadas. Por exemplo, o autoestado correspondente a n = 0 e ϕ 0 = 0. Isto significa que a probabilidade de encontrar a partícula ao longo do eixo x é nula. Isto é equivalente dizer que a partícula não existe. Por outro lado, a energia correspondente a n = 0 é E = 0. Como a energia no domínio interior a caixa é puramente cinética, isto implica que a partícula está em repouso, ou seja, p = 0 que é incompatível para o caso da partícula presa na caixa. As auto energias, autofunções e densidades de probabilide são mostradas na figura abaixo. 9 / 47

10 Partícula numa caixa unidimensional É importante lembrar que o valor esperado e a condição de normalização são invariantes pela transformação ψ e iα ψ, para qualquer α real. Isto que dizer que a função de onda é determinada dentro de fator de fase da forma e iα. 10 / 47

11 Princípio da correspondência de Bohr Considerando o movimento clássico de uma partícula presa numa caixa unidimensional, de tal maneia que seja desprezado o atrito e tenha sempre colisões elásticas da partícula com as paredes da caixa, Se a partícula possui uma velocidade v, o seu movimento entre as paredes pode ser escrito por: x = x 0 + vt. (17) Suponha que a posição inicial x 0 seja completamente desconhecida. Qual é a probabilidade (Pdx) de encontrar a partícula no intervalo entre x e x + dx num tempo subsequente? Esta probabilidade é dada por Pdx = dt T, (18) em que T é o intervalo de tempo necessário entre duas colisões da partícula com as paredes. Logo, 11 / 47

12 Princípio da correspondência de Bohr Pdx = vdt a = dx a P = 1 a = cte. (19) Isto quer dizer que é uniformemente provável encontrar a partícula em qualquer posição da caixa. Em outras palavras, se forem feitas réplicas desse experimentos e medições aleatórias forem tomadas, o resultado será algo semelhante ao encontrado na figura abaixo: 12 / 47

13 Princípio da correspondência de Bohr Por outro lado, no caso da mecânica quântica, se a partícula está no estado ϕ 3, a densidade de probabilidades apresenta picos em x = ( a 6, a 2, 5a 6 ), como foi visto na subseção anterior. Neste caso, medidas de um número abundante de réplicas do sistema vão produzir um padrão conforme mostrado que é bastante diferente do apresentado na mecânica clássica. Suponha então, que a partícula esteja em estados quânticos elevados, ou seja, n muito grande. A posição dos máximos de probabilidade serão conformes a figura a seguir: 13 / 47

14 Princípio da correspondência de Bohr De uma forma geral, a posição dos máximos de densidade de probabilidade ( ϕ 2 ) é dada por: x j = 2j + 1 a, j = 0, 1, 2, 3, (20) 2n Quando n cresce, a densidade de probabilidade começa a oscilar em alta frequência e, consequentemente, vai se tornando uniforme. Isto implica que quando n, a mecânica quântica se aproxima da mecânica clássica. Niels Bohr foi o primeiro a analisar esta transição entre a física clássica e quântica. Para muitos problemas, esta transição ocorre quando se torna pequeno o que corresponde a números quânticos elevados (n ). Esta regra ficou conhecida como princípio da correspondência de Bohr. 14 / 47

15 Notação de Dirac A notação de Dirac é uma contração para a integração do produto de duas funções de estado ψ(x) e ϕ(x) que aparece por: ψ ϕ = ψ (x)ϕ(x)dx. (21) De uma forma mais geral, a operação ψ ϕ significa: 1 Tomar o conjugado complexo do objeto de ψ, ou seja ψ ψ; 2 Integra o produto (ψ ϕ) Se a é um número complexo e ψ (x)ϕ(x)dx <, esta operação tem as seguinte propriedades: 15 / 47

16 1 ψ aϕ = a ψ ϕ ; 2 aψ ϕ = a ψ ϕ ; 3 ψ ϕ = ϕ ψ ; 4 ψ + ϕ = ψ + ϕ ; Notação de Dirac 5 (ψ 1 + ψ 2 ) (ϕ 1 + ϕ 2 )dx = ψ 1 + ψ 2 ϕ 1 + ϕ 2 = ( ψ 1 + ψ 2 )( ϕ 1 + ϕ 2 ). = ψ 1 ϕ 1 + ψ 1 ϕ 2 + ψ 2 ϕ 1 + ψ 2 ϕ 2 O objeto ψ é chamado de BRA e o objeto ϕ é chamado de KET, quando juntos ( ψ ϕ ) formam o BRA-KET que é forma da notação de Dirac. 16 / 47

17 Espaço de Hilbert Um vetor no espço cartesiano pode ser escrito como um conjunto de três números, chamados de componentes do vetor. Qualquer vetor no espaço pode ser expandido em termos dos vetores unitários ê x, ê y e ê z que formam a base do espaço vetorial. Por exemplo, um vetor V pode ser escrito por: V = ê x V x + ê y V y + ê z V z. (22) Os vetores ê x, ê y e ê z são os geradores do espaço vetorial. O produto interno entre dois vetores U e V é definido da seguinte forma: V U = V x U x + V y U y + V z U z (23) e o comprimento do vetor V é calculado por V V. 17 / 47

18 Espaço de Hilbert O espaço de Hilbert H é bastante semelhante ao espaço vetorial discutido acima. Seus elementos são funções ao invés de vetores tridimensionais. As semelhanças são tantas que muitas das vezes as funções são chamadas de vetores. Um espaço de Hilbert têm as seguintes propriedades: I. O espaço é linear. Um epaço de funções é linear se: (a) a é uma constante e ϕ é um elemento do espaço, então aϕ também é uma elemento do espaço e (b) ψ e ϕ são dois elementos do espaço, então ψ + ϕ também é elemento do espaço. II. Existe um produto interno, para quaisquer dois elementos do espaço. Para funções definidas no intervalo a x b, tem-se: ψ ϕ = b a ψ ϕdx (24) 18 / 47

19 Espaço de Hilbert III. Qualquer elemento do espaço H possui uma norma que está relacionada com o produto interno da seguinte forma: ϕ 2 = ϕ ϕ (25) IV. O espaço H é completo. Todas as sequencias de Cauchy de funções de H converge para um elemento de H. Uma sequência de Cauchy {ϕ n } é tal que ϕ n ϕ l 0 quando n e l se aproximam de infinito. Um exemplo do espaço de Hilbert é dado pelo conjunto de funções definidas no intervalo (0 x a) com norma finita: ϕ 2 = a 0 ϕ ϕdx H 1. (26) 19 / 47

20 Espaço de Hilbert Outro exemplo é o espaço de funções conhecido como espaço L 2. Que é o conjunto de funções quadrado integráveis definida em todo x, isto é, ϕ 2 = ϕ ϕdx H 2. (27) Para comparar a similaridade do produto interno entre funções com o produto interno entre vetores, pode-se pensar na função ϕ(x) como um vetor de infinitas componentes. O produto interno entre dois vetores V e U é a soma de todos os produtos das componentes paralelas. Então o produto interno entre ϕ e ψ é a soma (integral) sobre todas os produtos das componentes paralelas destas funções. Com isto pode-se ver que o espaço de Hilbert é bastante semelhante a um espaço vetorial. Isto é, o espaço de Hilbert pode ser um espaço vetorial de infinitas dimensões. 20 / 47

21 Espaço de Hilbert De uma forma similar, dois vetores no espaço de Hilbert ψ e ϕ são ortogonais se: ψ ϕ = 0. (28) Lembrando que os vetores unitários ê x, ê y e ê z geram o espaço vetorial tridimensional. De forma similar existe um conjunto de funções que geram o espaço de Hilbert. Por exemplo, o espaço de Hilbert pode ser gerado pelo conjunto de funções {ϕ n } que são autofunções da Hamiltoniana referente ao problema da caixa unidimensional. Isto quer dizer ainda que qualquer função ϕ neste espaço pode ser expandida em séries de sequências de {ϕ n }. Isto é ϕ(x) = a n ϕ n (x). (29) n=1 21 / 47

22 Espaço de Hilbert A relação (29) pode ser esquematizada na figura abaixo. 22 / 47

23 Espaço de Hilbert Os coeficientes a n são as projeções de ϕ sobre o vetor ϕ n. Para compreender esta afirmação, é importante saber que a base de vetores {ϕ n } compõem um conjunto ortogonal, que pode ser representado por: ϕ n ϕ n = 0, para n n. (30) Além disso, ϕ n é um vetor unitário, i.e., tem comprimento unitário, ϕ n ϕ n = ϕ n = 1. (31) Esta duas propriedades podem ser escritas numa simples equação da seguinte forma: ϕ n ϕ n = δ n,n. (32) 23 / 47

24 Espaço de Hilbert O simbolo δ n,n é conhecido como delta de Kronecker e é definido por: { 0, para n n δ n,n = 1, para n = n. (33) Qualquer sequência de funções que obedecem à relação (33) é chamado de conjunto ortonormal. Para mostrar que a n é a projeção de ϕ sobre ϕ n, escreve-se a Equação (29) na notação de Dirac, i.e., ϕ = a n ϕ n. (34) n=1 24 / 47

25 Espaço de Hilbert Multiplicando esta equação pelo BRA de ϕ n tem-se ϕ n ϕ = ϕ n ϕ = ϕ n a n ϕ n n=1 a n ϕ n ϕ n = n=1 a n δ n,n = a n. (35) n=1 Isto quer dizer que o coeficiente a n é o produto interno entre a base de vetores ϕ n. Como ϕ n é um vetor unitário, a n é a projeção de ϕ sobre ϕ n. 25 / 47

26 Ortogonalidade da função Delta Sabe-se que o conjunto de funções ϕ n geram o espaço H 1. Qual conjunto de funções gera o espaço H 2? A resposta são as autofunções do operador ˆp, dadas por: O produto interno pode ser escrito por: ϕ k ϕ k = 1 2π ϕ k (x) = 1 2π e ikx. (36) e ix(k k) dx = δ(k k) (37) Isto significa que o produto interno entre dois autovetores distintos do operador momentum linear ˆp é desprezível. 26 / 47

27 Ortogonalidade da função Delta Da mesma forma, qualquer função do espaço H 2 pode ser expandida em termos dos autovetores {ϕ k }. Esta expansão pode ser escrita da seguinte forma ϕ(x) = b(k)ϕ k (x)dk (38) Novamente, o coeficiente de expansão b(k) é a projeção de ϕ(x) sobre ϕ k. Para demonstrar isto, reescreve-se a integral da seguinte forma: ϕ = Pré-multiplicando por ϕ k, tem-se: b(k)ϕ k dk (39) 27 / 47

28 Ortogonalidade da função Delta ϕ k ϕ = ϕ k b(k)ϕ k dk = b(k) ϕ k ϕ k dk ϕ k ϕ =. b(k)δ(k k)dk = b(k ) (40) O coeficiente b(k ) é o produto interno entre ϕ k e ϕ e pode ser entendido como a projeção de ϕ sobre ϕ k. Contudo, ϕ k não é unitário, ou seja, ϕ k 2 = ϕ k ϕ k = δ(0) = 1 2π dx =. (41) Embora isto desqualifique as funções ϕ k para serem membros do espaço H 2, as funções ϕ k podem ser adequadamente normalizadas de tal forma que possam ser utilizadas para gerar o espaço H / 47

29 Operadores correspondentes à observáveis físicos A média de um observável A para um sistema no estado ψ(x, t) é dado por: < A >= ψ (x, t)âψ(x, t)dx = ψ Âψ, (42) que é o valor esperado de A num dado tempo t. Quais são as possíveis funções de estado para uma partícula movendo-se em uma dimensão num dado instante? A resposta é qualquer função de H 2. Mais uma vez considerando um observável A. Se o valor a deste observável pode ser calculada em algum desses estados (um membro de H 2 ), o resultado deve ser um número real. Esta deve ser a propriedade que um operador deve ter para representar um observável físico. O objeto ψ Âψ deve ser real para todo ψ em H / 47

30 Operadores correspondentes à observáveis físicos Quando trabalhamos com o problema de uma caixa unidimensional, ψ Âψ deve ser real para todo ψ em H 1. Por exemplo, se Ĥ é um operador de energia, então: a ψ 2 2 ψ < E >= ψ Ĥψ = dx (43) 0 2m x 2 deve ser real para qualquer função de estado ψ em H 1. Operadores Hermitianos possuem autovalores reais que correspondem à observáveis físicos. A existência deste tipo de operadores são os alicerces da teoria da mecânica quântica. 30 / 47

31 Adjunto Hermitiano Para entender o que significa um operador Hermitiano, pode-se começar discutindo um operador adjunto Hermitiano. Considere um operador Â. O Adjunto Hermitiano de  e Â. O adjunto Hermitiano, na maioria das vezes é completamente diferente do operador hermitiano em questão. Por exemplo, o adjunto Hermitiano do número complexo c é o conjugado complexo de c, i.e., c = c (44) Para definir o adjunto Hermitiano considere dois elementos do espaço de Hilbert ψ 1 e ψ n Se  é um operador e ψ é um elemento de H, então Âψ está também no espaço H. O produto interno pode ser escrito por ψ 1 Âψ n. Suponha que outro operador Â, também definido para H resulte no seguinte: 31 / 47

32 Adjunto Hermitiano  ψ 1 ψ n = ψ 1 Âψ n. (45) Se isto é válido para todos ψ 1 e ψ n no espaço H,  é o adjunto Hemitiano de Â. Para encontrar o adjunto Hermitiano de  é preciso encontrar  que satisfaça a Equação (45). Como exemplo considere o  = a, um número complexo. Desta forma:  ψ 1 ψ n = ˆψ 1 Âψ n = ˆψ 1 aψ n = a ψ 1 ψ n = a ψ 1 ψ n, (46) portanto, a = a. Como segundo exemplo, pode-se calcular o adjunto Hermitiano do operador ˆD = x definido em H / 47

33 Sendo assim, Adjunto Hermitiano ψ 1 ˆDψ n = Integrando por partes tem-se: ψ1 ψ n dx (47) x ψ 1 ˆDψ n = [ψ1ψ n ] ψ 1 x ψ ndx = ˆDψ 1 ψ n (48) Isto porque o primeiro termo do lado direito da primeira igualdade é nulo já que ψ 1 e ψ n são funções de H 2. Então: ˆD = ˆD. (49) 33 / 47

34 Operador Hermitiano Em alguns casos, pode-se encontrar que o adjunto Hermitiano de um operador é ele mesmo, ou seja  =  (50) isto implica que ψ 1 Âψ n = Âψ1 ψ n. (51) Operadores que têm esta características são chamados de operadores hermitianos. Um exemplo de um operador Hermitiano é um número real a, pois, ψ 1 aψ n = aψ 1 ψ n. (52) 34 / 47

35 Operador Hermitiano Se  e ˆB são dois operadores Hermitianos, o produto entre eles é Hermitiano? Para calcularmos, faz-se: O produto entre os operadores e seu adjunto Hermitiano podem ser calculados por: ψ l (ˆB)ψ n = (ˆB) ψ l ψ n ou ainda, ψ l ˆBψ n = ψ l ˆBψ n = ˆB  ψ l ψ n  ψ l Â(ˆBψ n ) = ψ l ˆBψ n, (53) Comparando a Equação (53) com a Equação (54), tem-se:. (54) (ˆB) = ˆB Â. (55) 35 / 47

36 Operador Hermitiano Agora se  e ˆB são Hermitianos, e  ˆB não são necessariamente Hermitianos. (ˆB) = ˆB (56) O quadrado de um operador Hermitiano é Hermitiano? Para responder esta pergunta, faz-se: (Â2 ) = (ÂÂ) =   =  = (Â)2, (57) portanto, conclui-se que SIM! Outra forma de responder é ψ l (Â) 2 ψ n = Âψl Âψ n = ÂÂψl ψ n ψ (Â)2 l (Â)2 ψ n = ψ l ψ n. (58) 36 / 47

37 Operador Hermitiano O operador ˆB + ˆB é Hermitiano? Para calcular, faz-se: (ˆB + ˆBÂ) = (ˆB) + (ˆBÂ) = ˆB  +  ˆB (ˆB + ˆBÂ) = ˆB + ˆB = ˆB + ˆBÂ. (59) Logo este operador construído da forma bilinear de dois operadores Hermitianos é um operador Hermitiano. 37 / 47

38 Operador de momentum linear e energia O operador ˆp é Hermitiano se para todas as funções ψ l e ψ n pertencentes ao espaço de Hilbert H 2 que representam uma partícula livre obedecer a seguinte relação Agora, ψ 1 ˆpψ n = ˆpψ 1 ψ n. (60) ψ 1 ˆpψ n = ( ) ψ l i ψn x dx = i [ψl ψ n] + i ( ) i ψn x ψn dx = ˆpψ 1 ψ n. (61) Logo ˆp é Hermitiano. 38 / 47

39 Operador de momentum linear e energia Como consequência direta, pode-se concluir que o operador Ĥ para uma partícula livre também é Hermitiano, ou seja, ( ) ˆp Ĥ 2 ( (ˆp ) 2 ) ( ) ˆp 2 = = = = Ĥ. (62) 2m 2m 2m Por outro lado, se V (x) é uma função real que simplesmente multiplica as funções de H 2, então, para estes casos, o operador Hamiltoniano é Hermitiano. 39 / 47

40 Propriedades dos Operadores Hermitianos A primeira propriedade dos operadores Hermitianos é que seus autovalores associados são reais. Considere um operado Hermitiano Â, {ϕ n } autofunções e a n autovalores de Â. A equação de autovalor fica: Na notação de Dirac Âϕ n = a n ϕ n, (63) Âϕ n = a n ϕ n (64) Multiplicando o bra ϕ n, tem-se ϕ n Âϕ n = ϕ n a n ϕ n = a n ϕ n ϕ n. (65) 40 / 47

41 Propriedades dos Operadores Hermitianos Como  é Hermitiano, Âϕn ϕ n = an ϕ n ϕ n. (66) Portanto, a n = an, (67) o que quer dizer que a n é real. 41 / 47

42 Propriedades dos Operadores Hermitianos A segunda propriedade diz que as autofunções de um operador Hermitiano são ortogonais! Mais uma vez, fazendo as mesma considerações para a primeira propriedade, pode-se escrever ϕ l Âϕ n = a n ϕ l ϕ n (68) e Âϕl ϕ n = al ϕ l ϕ n = a l ϕ l ϕ n. (69) Subtraindo estas duas equações tem-se: (a l a n ) ϕ l ϕ n = 0. (70) 42 / 47

43 Propriedades dos Operadores Hermitianos Se a l a n, então ϕ l ϕ n = 0 (71) que expressa a ortogonalidade das funções {ϕ n } Caso, todas as funções sejam normalizadas, pode-se escrever: ϕ l ϕ n = δ ln. (72) Então, baseado nestas propriedades pode-se concluir que as autofunções de um operador Hermitiano são ortogonais e seus autovalores são reais. 43 / 47

44 Exercícios 1. Quais são as autofunções e autovalores para um problema de uma caixa unidimensional se a caixa têm extremidades em a 2 e + a 2? 2. Para o problema da caixa unidimensional, mostre que P = ϕ 2 é máximo quando x = x j, dados por: x j = 2j + 1 a, j = 0, 1, 2, 3, 2n 3. Escreva as seguintes equações para os vetores de estado f, g, e, assim por diante, na notação de Dirac: (a)f (x) = g(x) (b)c = g (x )h(x )dx (c)f (x) = n ϕ n(x) ϕ (x )f (x )dx (d)ô ψ(x) dx ϕ (x) (e) x f (x) = h(x) h (x )g(x )dx 44 / 47

45 Exercícios 4. Considere o operador Ô = ϕ ψ e uma função de estado arbitrária f (x), encontre uma expressão e descreva o significado das seguintes fórmulas: (a) f Ô; (b) Ô f ; (c) f Ô f ; (d) f Ô ψ. 5. Considere as funções ϕ k = 1 a e ikx definidas no intervalo { a 2, a 2 }. (a) Mostre que estas funções são todas normalizadas para unidade e mantêm esta normalização no limite a. (b) Mostre que estas funções compreendem um conjunto ortogonal no limite a. 45 / 47

46 6. A função Exercícios g(x) = x(x a)e ikx pertence a H 1. Calcule os coeficientes de expansão a n desta função na representação de série, em função das contantes a e k. Use as funções bases da partícula numa caixa unidimensional. 7. Dois vetores ψ e ϕ pertencem ao espaço de Hilbert e são ortogonais. Mostre que seus comprimentos obedecem ao teorema de Pitágoras, ψ + ϕ 2 = ψ 2 + ϕ Mostre que: (a) (aâ + b ˆB) = a  + b ˆB (b) Se  é Hermitiano, < A > deve ser real. (a) Se  é Hermitiano, <  2 > / 47

47 Exercícios 9. Se  e ˆB são Hermitianos, quais dos operadores são Hermitianos? (a) i(âˆb ˆBÂ) (b) (ˆB ˆBÂ) (c) (  ˆB+ ˆB 2 ) (d) Se  não é Hermitiano, o produto   é Hermitiano? 10. Considere o operador Ĉ, Ĉϕ(x) = ϕ (x) (a) O operador Ĉ é Hermitiano? (b) Quais são as autofunções de Ĉ? (c) Quais são os autovalores de Ĉ? 47 / 47