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1 Aula 2: Espectro de emissão do hidrogênio: Balmer e Rydberg O átomo de Bohr Princípio da incerteza Partícula na caixa Prof. Renan Borsoi Campos pessoal.utfpr.edu.br/renan

2 O espectro eletromagnético da luz branca

3 Espectros de emissão

4 O espectro do Hidrogênio: Balmer Fenda Prisma J. J. Balmer Descarga elétrica em tubo com H 2 1 λ = 1 8,22x n 2 Empírica

5 O espectro do Hidrogênio: Balmer v = 8,22x n 2 Hz 1 λ = 8,22x n 2 v = 1 λ v = n 2

6 O espectro do Hidrogênio: Séries Série n 1 n 2 Região no espectro Lyman 1 2,3,4... UV Balmer 2 3,4,5... Visível Pascher 3 4,5,6... IV próximo Bracket 4 5,6,7... IV 1 λ = 1 8,22x n 2 1 λ = 1 8,22x n 2 1 λ = 1 8,22x n 2

7 O espectro do Hidrogênio: Rydberg Série n 1 n 2 Região no espectro Lyman 1 2,3,4... UV Balmer 2 3,4,5... Visível Pascher 3 4,5,6... IV próximo Bracket 4 5,6,7... IV 1 λ = 1 8,22x n 2 1 λ = 1 8,22x n 2 1 λ = 1 8,22x n 2 1 λ = R H 1 n n 2 2 v = R H 1 n 2 1 n 2 n 1 < n 2 R H = ,57 cm -1 Equação de Rydberg Todas as séries

8 Átomo de Bohr: o modelo com suposições quânticas Elétron orbitas estacionárias 2πr = nλ n=1,2,3... N. Bohr Física 1922 Órbita permitida Órbita proibida 2πr nλ r r' Onda (elétron)

9 Átomo de Bohr: o modelo com suposições quânticas Elétron orbitas estacionárias 2πr = nλ n=1,2,3... N. Bohr Física 1922

10 Átomo de Bohr: e o raio? Considerando ħ = h/2p m e υr = nħ 2πr = nλ n=1,2,3... f = e2 4πε 0 r 2 Força coulômbica p e = f = m eυ 2 r Força centrífuga e Relação de de Broglie: λ = h mυ Combinando: m e υr = nh 2π e 2 4πε 0 r 2 = m eυ 2 r Combinando (υ ) r = 4πε 0ħ 2 n 2 m e e 2 r = a 0 = 5, 292x10 11 m O raio de Bohr

11 Átomo de Bohr: e a energia? e 2 4πε 0 r 2 = m eυ 2 r r = 4πε 0ħ 2 n 2 m e e 2 E = 1 2 e 2 4πε 0 r e2 4πε 0 r = e2 8πε 0 r Energia total do elétron: E=T+V Energia potencial (V): V r = e2 4πε 0 r Substituindo r: E n = m ee 2 8ε 0 h 2 1 n 2 n = 1,2,3 Energia cinética (T): T = 1 2 m eυ 2 Energia total: E = T + V r = 1 2 m eυ 2 e2 4πε 0 r Entre dois níveis: E = m ee 4 8ε 0 h 2 1 n n 2 2 v = m ee 4 8ε 0 ch 3 1 n n 2 2 = hv

12 Átomo de Bohr: o modelo com suposições quânticas v = m ee 4 8ε 0 ch 3 1 n n 2 2 R H = m ee 4 8ε 0 ch 3 v = R H 1 n 2 1 n 2

13 O átomo de Bohr Não há descontinuidades finitas na natureza

14 Qual a posição e o momento do elétron? Interesse: posição de um elétron em x. Equipamento: λ x colisão fóton elétron alteração no momento do elétron

15 O átomo de Bohr viola o princípio da incerteza W. Heisenberg Não é possível determinar quanto momento do fóton é transferido a um elétron. x p ħ 2 Elétron orbitas estacionárias Física 1932 violação Relações diretamente relacionadas (de Broglie): λ = h p λ = h mυ

16 Cálculo da incerteza Qual a incerteza na velocidade de um elétron (m e = 9,11x10-31 kg) numa distância equivalente ao raio do átomo de hidrogênio (53x10-12 m)? E se comparado à uma bola de futebol em movimento?

17 Tamanho importa... Mecânica clássica Coisas grandes... Carros, livros, bactérias Posição e momento determináveis simultaneamente Contínua Equações de Newton Mecânica quântica Coisas pequenas... Elétrons, átomos, moléculas... Princípio da incerteza Discreta, quantizada Equação de Schrödinger Trajetória (posição x, y, z e momento (px,py,pz) Função de onda ψ Determinística, intuitiva Probabilística, não intuitiva

18 Funções de onda Elétrons: Dualidade partícula-onda ψ Todas as possíveis informações são obtidas a partir da função de onda Depende da(s) coordenada(s) ψ(x) ψ(x, y) Bem comportadas : ψ(x, y, z) Física 1933 E. Schrödinger

19 Funções de onda ψ(x) Interpretação de Born ψ n x ψ n x dx = Probabilidade ψ x 2 = Probabilidade Normalização ψ n x ψ n x dx = 1

20 1926: A equação de Erwin Schrödinger Hψ = Eψ Equação de autovalor Sistemas unidimensionais: ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + Vψ = Eψ Sistemas tridimensionais: ħ2 2m 2 ψ x ψ y ψ z 2 + Vψ = Eψ Solução mais simples: partícula na caixa unidimensional

21 A partícula na caixa ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + Vψ = Eψ(x) ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 = Eψ(x) d 2 ψ(x) dx 2 = 2mE ħ 2 ψ(x) d 2 ψ(x) dx 2 = k 2 ψ(x) k = 2mE ħ ψ x = Asen kx + Bcos(kx)

22 A partícula na caixa: condições de contorno ψ x = Asen kx + Bcos kx ψ 0 = Asen kx + Bcos kx Condições de contorno: ψ x = 0 ψ x = L = 0 = 0

23 A partícula na caixa: condição de contorno x = 0 ψ x = Asen kx + Bcos kx ψ 0 = Asen kx + Bcos kx 0 1 ψ 0 = B ψ 0 = 0 Condições de contorno: ψ x = 0 = 0 ψ x = L = 0 B = 0 Logo a função de onda é: ψ x = Asen kx

24 A partícula na caixa: condição de contorno x = L Condições de contorno: ψ x = 0 ψ x = L = 0 = 0 ψ x = Asen kx Quais valores ψ L = Asen kl = 0 de kl satisfazem a equação? kl = nπ n = 1,2,3 Mas já vimos que: k = nπ L = 2mE ħ 2mE ħ k = nπ L Igualando as equações: O que essa equação indica? E a função de onda? E = n2 h 2 8mL 2 1 Número quântico: n n = 1,2,3

25 A partícula na caixa: energias ψ x = Asen nπx L ψ x = Asen 4πx L E = 16h2 8mL 2 ψ x = Asen 3πx L E = 9h2 8mL 2 ψ x = Asen 2πx L ψ x = Asen πx L E = h2 0 L 8mL 2 E = 4h2 8mL 2

26 A partícula na caixa: como obter A? ψ x = Asen nπx L ψ x ψ x 2 0 L 0 L

27 A partícula na caixa: normalizar para obter A ψ x = Asen nπx L E = n2 h 2 8mL 2 n = 1,2,3 Interpretação de Born (probabilidade) ψ x 2 dx = ψ n x ψ n x dx ψ n x ψ n x dx = 1 ψ x = 0 = 0 ψ x = L = 0 0 L Asen nπx L Asen nπx L dx = 1

28 A partícula na caixa: normalizar para obter B 0 L Asen nπx L Asen nπx L dx = 1 Como mostrado no quadro: A = 2 L A=constante de normalização Possível aplicação: Considerar o modelo da partícula na caixa para calcular (de forma aproximada) o espectro de UV-Vis de moléculas conjugadas. ψ x = 2 L sen nπx L

29 A partícula na caixa: estimando o λ max de sist. conj. p=1 Como deduzido no quadro: p=2 p=3 λ= 8mc h R 2 2p 1 2 2p + 1 p calc (nm) exp (nm)