INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA

Transcrição

1 Introdução à Astrofísica INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA LIÇÃO 15 LUZ E MATÉRIA Lição 14 Luz e Matéria

2 Nos séculos XVIII e XIX foi observado, por William Wollaston, que a luz solar passando por um prisma produzia uma série de cores do arco-íris mas com vários riscos escuros. Isso indicava que a luz do sol havia sido absorvida para determinados comprimentos de onda. No ano de 1814, Fraunhofer já havia catalogado 475 linhas no espectro solar.

3

4 Com base nas análises dessas linhas, Bunsen e Kirchhoff forneceram as bases da chamada espectroscopia. Kirchhoff resumiu a produção das linhas espectrais em três leis, que são chamadas de leis de Kirchhoff. As leis são: 1 Um corpo opaco e quente, ou um gás quente, produz um espectro contínuo. 2 Um gás difuso e quente produz um espectro com linhas de emissão. 3 Um gás difuso e frio, em frente a uma fonte de espectro contínuo, produz linhas de absorção.

5

6 Vimos que para solucionar o problema de corpo negro, Planck apresentou o conceito de quantum de energia. Isso levou ao desenvolvimento de teoria quântica. A partir do conceito do quantum de luz, Einstein pôde explicar o fenômeno do efeito fotoelétrico. O efeito fotoelétrico ocorre quando elétrons são emitidos por um metal quando fótons incidem sobre ele. Os elétrons são emitidos em várias frequências mas com energia cinética máxima. Se aumentar a intensidade da luz sobre o metal, iremos arrancar mais elétrons desse metal, mas não iremos aumentar a energia cinética deles. O único modo de aumentar a energia cinética é com o aumento da frequência de luz. A frequência de corte do metal, ν c, necessária para arrancar elétrons é dada por: λ c = c ν c

7 Os elétrons apenas serão emitidos se a frequência da luz for maior que a frequência de corte. Porém, a teoria ondulatória da luz (aquela que explica a difração) não consegue explicar o efeito fotoelétrico. Einstein, então, propôs que a luz incidente sobre o metal possui uma natureza corpuscular (partículas ao invés de ondas). A energia do fóton, a partícula de luz, é dada por: Onde h é a constante de Planck. E foton = hν = hc ν

8 Einstein imaginou que quando um fóton incide sobre uma superfície, sua energia é transferida para um elétron (como em uma colisão de bolas de bilhar). Essa energia absorvida pelo elétron, se superior à frequência de corte, é utilizada para fazer com que essa partícula se desprenda do metal. Sendo φ a energia de ligação dos elétrons no metal, a energia cinética máxima dos elétrons ejetados será: K máx = E foton φ = hν φ = hc λ φ Para o caso da energia cinética ser máxima: ν c = φ h Chamamos o termo φ de função trabalho.

9 Outra forma de demonstrar a natureza corpuscular da luz é através do efeito Compton. Esse é o efeito de espalhamento de fótons de raios-x por elétrons. Um fóton incide sobre um elétron, colidindo com o mesmo e perdendo energia. A massa de repouso dos fótons é nula. Dessa forma, escrevemos a energia relativistica como: E foton = hν = hc λ = pc O fóton perde energia para o elétron na colisão. Isso faz com que seu comprimento de onda aumente. Como o momento e a energia se conservam, teremos: Δλ = λ f λ i = h m e c 1 cosθ Nessa equação, m e é a massa do elétron. O termo h/m e c é denominado comprimento de onda de Compton, λ c, e para o elétron esse valor é: 0,00243 nm.

10 Agora, os físicos estavam tentando compreender o mecanismo responsável pelas linhas de emissão e absorção nos espectros estelares. Em 1885, Balmer encontrou uma expressão para reproduzir os comprimentos de onda medidos do hidrogênio. A expressão é: 1 λ = R H n 2 Onde n = 3, 4, 5, e R H = 1, m 1 s é a constante de Rydberg para o hidrogênio. Quando n = 3 temos o comprimento de onda da linha de Balmer H α. Para n = 4 temos o pode ser generalizada como: comprimento de onda da linha de Balmer H β. Essa equação 1 λ = R 1 H m 2 1 n 2 De modo que m < n. Para m = 1 temos as linhas de Lyman, que se encontram na região do ultravioleta. Para m = 3 temos as linhas de Paschen, que estão na região do infravermelho.

11 Ou seja, quando um elétron muda de uma órbita para outra (absorvendo ou cedendo energia) temos certa característica espectral. Mas como seria a estrutura do átomo? Seria o átomo semelhante ao sistema solar, com os elétrons se comportando como planetas em torno do núcleo, que seria o sol? A descrição do átomo como um mini sistema planetário não podia ser verdadeira. O fato é que cargas elétricas em rotação emitem energia, e isso faria com que os elétrons caíssem no núcleo atômico, em um intervalo de 10 8 segundos. Obviamente isso está em total desacordo com a realidade.

12 A solução veio com a quantização. Assim como a energia deve ser quantizada, o mesmo podemos falar a respeito do momento angular (relacionado à translação do elétron em torno do núcleo). Dessa forma, o elétron seria estável. A lei de Coulomb nos fornece a força de interação entre cargas elétricas. F = 1 q 1 q 2 4πε 0 r 2 r Em relação ao centro de massa (sendo m p a massa do próton e m e a massa do elétron): μ = m pm e = m e 1836,15266m e m p + m e m e ,15266m e = 0, m e M = m e + m p = 1, m p Assim, podemos descrever o átomo de hidrogênio como um próton de massa M em repouso e um elétron de massa μ em orbita circular e de raio r.

13 Logo, podemos descrever a atração entre o próton e o elétron como uma força centrípeta. 1 e 2 4πε 0 r 2 r = μv2 r r Assim, as equações de energia podem ser escritas como: K = 1 2 μv2 = 1 e 2 8πε 0 r U = 1 4πε 0 e 2 r = 2K E = U + K = 2K + K = K E = 1 e 2 8πε 0 r O sinal negativo mostra que o próton e o elétron estão ligados.

14 O sinal negativo mostra que o próton e o elétron estão ligados. Para retirar o elétron do átomo é necessário fornecer energia ao mesmo. A partir disso, Bohr propôs que o momento angular fosse quantizado, de modo que: L = μvr = nh 2π 1 e 2 8πε 0 r = 1 2 μv2 = 1 2 μvr 2 μr 2 = 1 2 r n = 4πε 0ħ 2 μe 2 n² Na hipótese de Bohr, quando o elétron está em órbita ele não emite radiação. Assim: E = 1 e 2 8πε 0 r E n = 1 8πε 0 e 2 ne 2 4πε 0 ħ 2 n 2 E n = μe 4 32π 2 ε 0 2 ħ² Nessa expressão, n é o número quântico principal e ħ é a constante de Planck reduzida. 1 n 2 nħ 2 μr 2

15 Para o átomo de hidrogênio, as energias permitidas são: E n = 13,6 ev 1 n 2 Bohr propôs que um fóton é emitido ou absorvido pelo elétron quando este passa de um nível de energia para outro. Para o hidrogênio, quando o elétron está no nível mais baixo, n = 1, a energia é E 1 = 13,6 ev. Logo, é necessária essa energia para ionizar o átomo. Assim, o comprimento de onda do fóton emitido em cada transição é: Onde hc λ = μe4 1 32π 2 ε 2 0 ħ 2 n 2 μe4 1 32π 2 ε 2 0 ħ 2 m 2 1 λ = μe π 3 ε 2 0 ħ 3 c m 2 1 n 2 R H = μe 4 64π 3 ε 0 2 ħ 3 c = ,3 m 1

16 Agora podemos compreender melhor as leis de Kirchhoff. A primeira lei diz que um sólido ou um gás quente produz um espectro contínuo, sem linhas de absorção ou emissão. Essa é a radiação de um corpo negro, descrita pela função de Planck B λ (T), no qual o comprimento de onda λ máx é dado pela lei de Wien. A segunda lei mostra que um gás quente produz linhas de emissão. Essas linhas são produzidas quando um elétron faz uma transição de uma órbita mais externa para uma órbita mais interna. A energia perdida pelo elétron é carregada pelo fóton.

17 Já a terceira lei diz que um gás frio em frente de uma fonte de espectro contínuo, produz linhas de absorção. Essas linhas de absorção são produzidas quando o elétron faz uma transição de uma órbita interna para uma externa. Mas agora com a descoberta da dualidade onda-partícula dos fótons, o físico Louis de Broglie colocou a seguinte questão: se a luz possui um comportamento dual, poderiam as partículas (elétrons, prótons) se comportarem da mesma forma?

18 Os fótons carregam uma energia E e um momento p, que são relacionadas por: ν = E h λ = h p O que de Broglie fez foi propor que todas as partículas possuem um comprimento de onda ou frequência dados por essas equações. Na mecânica quântica, a onda é interpretada como uma probabilidade com amplitude dada por ψ. O quadrado da amplitude, ψ 2, descreve a probabilidade de se encontrar uma partícula em determinada posição. No experimento da dupla fenda, para uma interferência destrutiva, temos que: ψ 1 + ψ 2 2 = 0

19 O que Werner Heinsenberg fez foi mostrar que, pelo fato da natureza ondulatória ser probabilistica, não podemos fazer duas medições simultâneas de um mesmo sistema. Esse princípio, chamado de princípio da indeterminação ou incerteza, é descrito como: ΔxΔp ħ Ou seja, se conhecemos a posição de uma partícula, desconhecemos a sua velocidade. Podemos ler essa expressão como: o produto das incertezas das posições e velocidades são sempre maiores que a constante de Planck. Expresso em termos da energia, escrevemos: ΔEΔt ħ O princípio da incerteza implica que a localização de uma partícula não pode ser determinada com uma precisão menor que seu comprimento de onda.

20 A mecânica clássica diz que uma partícula não consegue transpor uma barreira de energia potencial de altura maior que sua energia cinética. Mas a mecânica quântica diz que existe uma probabilidade finita da partícula atravessar a barreira (efeito túnel). Seja E a energia da partícula e m a sua massa: T e 2bL Que é o coeficiente de transmissão. Onde: b = 8π2 m U b E h 2

21 A quaisquer tipos de ondas, aplica-se o princípio de confinamento. Esse princípio diz que o confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos com energias discretas. A imagem ao lado mostra um curral quântico, onde 48 átomos de ferro formam um anel sobre uma superfície de cobre. As ondulações na superfície são causadas por elétrons aprisionados. Podemos confinar um elétron em um poço de potencial infinito. A onda de matéria associada a um elétron confinado pode ter apenas estados discretos. No caso de um poço de potencial infinito unidimensional, as energias associadas a esses estados quânticos são dados por: E n = h 2 8mL 2 Para n = 1, 2, 3, Em que L é a largura do poço e n é o número quântico. n²

22 Mas se a matéria possui um comportamento ondulatório, como descrito por de Broglie, então onde está a equação de onda da matéria?

23 Uma onda de matéria é descrita através da função de onda: ψ(x, y, z, t) Essa função pode ser separada em uma parte que depende apenas das coordenadas espaciais, ψ(x, y, z), e uma parte que depende do tempo, e iωt. Seja uma partícula de massa m se movendo em x com energia total constante E em uma região com potencial U(x). Assim: d 2 ψ dx 2 + 8π2 m h 2 E U x ψ = 0 Essa é a equação de Schrödinger para um movimento unidimensional. Se U x = 0, a partícula não estará sujeita a nenhuma força (a partícula é livre). Logo: d 2 ψ dx 2 + 8π2 m 1 h 2 2 mv2 ψ = 0 d 2 ψ dx 2 + 2πp h 2 ψ = 0 d 2 ψ dx 2 + K²ψ = 0

24 Vamos analisar um caso mais geral. Temos uma partícula que segue a seguinte função, dada para uma onda plana: i k r ωt ψ r, t = ψ 0 e Podemos derivar parcialmente essa função com respeito ao tempo, de modo a obter: ψ r, t t Multiplicando ambos os lados da equação por iħ: = iωψ( r, t) ψ r, t iħ = ħωψ( r, t) t O fato de multiplicarmos por iħ é que do lado direito da nossa equação obtivemos um termo ħω, e esse termo provém do seguinte: E = hν E sendo ν = ω/2π a frequência, temos: Só que o termo: Logo: Que é nossa energia. E = h ω 2π h 2π = ħ E = ħω

25 Assim, reescrevemos nossa equação da forma: ψ r, t iħ = Eψ r, t (1) t Como esse é o nosso primeiro resultado importante, vamos chama-lo de equação (1). Agora, retornando à nossa função, vamos aplicar o gradiente a ela, e em seguida o divergente: ψ r, t = ikψ( r, t) ψ r, t = k 2 ψ r, t = 2 ψ( r, t) Agora, tentaremos encontrar uma energia associada com esse resultado. Vamos multiplicar ambos os lados da equação por ħ 2 /2m: ħ2 2m 2 ψ r, t = ħ2 k 2 ψ( r, t) 2m A notação de momento linear com respeito a de Broglie é: p = h λ = ħk Pois k = 2π/λ, que é o número de onda. Logo, o lado direito da equação fica: Da notação clássica, temos que p = m v, logo: m 2 v 2 2m p 2 ψ( r, t) 2m ψ r, t = mv2 2 ψ( r, t)

26 E sendo mv²/2 a energia cinética E: Igualando as equações (1) e (2): Se olharmos para a energia total do sistema: Então: O que nos fornece: ħ2 2m 2 ψ r, t = Eψ r, t (2) ψ r, t iħ t = ħ2 2m 2 ψ( r, t) E total = E = E cinética + U E = p2 + U( r) 2m Eψ r, t = p2 ψ r, t + U r ψ( r, t) 2m Obtemos o seguinte resultado final, que é a equação de Schrödinger para um caso geral: iħ ψ r, t t = ħ2 2m 2 ψ r, t + U r ψ( r, t) O sentido de ondas de ondas de probabilidade é que se um detector de partículas for posicionado em certo local, a probabilidade de esse detector registrar a presença de uma partícula nesse local em um intervalo de tempo especificado é proporcional a ψ ², que chamamos de densidade de probabilidade. Para U x = 0, ψ ² tem o mesmo valor para todos os pontos do eixo x.

27 Schrödinger apresentou uma equação de onda análoga à equação clássica, de modo a determinar o movimento do elétron e de outras partículas. A equação de Schrödinger relaciona as derivadas da função de onda em relação ao tempo e em relação ao espaço. Além do número quântico principal, Schrödinger encontrou outros dois números quânticos importantes para a descrição do orbital do elétron: l e m l. Esses dois números descrevem o momento angular do átomo: Onde l = 0,1,2, n 1. L = l l + 1 ħ

28 Em 1925 foi descoberto um quarto número quântico. Além do momento orbital, o elétron também possui um spin. Embora o nome esteja relacionado com giro, o spin não está relacionado à rotação clássica de uma partícula. Trata-se de um efeito puramente quântico. O momento angular de spin, S, é dado por: S = ħ = 3 2 ħ Dois elétrons não podem ocupar o mesmo estado quântico (possuirem os mesmos quatro números quânticos). Esse é o chamado princípio da exclusão, formulado por Pauli.

29 Basicamente, o número quântico principal ( n ) nos diz em que nível de energia um elétron se encontra (níveis K, L, M, N, O, P e Q). O número quântico secundário (l) irá nos indicar o subnível do elétron (s, p, d, f). O número quântico magnético indica a orientação dos orbitais atômicos. Por fim, o número quântico de spin indica o sentido de rotação do elétron.

30 Paul Dirac combinou a equação de Schrödinger com a teoria da relatividade. Ele percebeu que escrevendo a equação de onda de forma relativística para o elétron, a solução iria fornecer o spin. Dirac organizou as partículas em dois grupos fundamentais: férmions e bósons. Os férmions são as partículas que possuem spin 1/2 ħ (ou qualquer número ímpar de ħ/2). Essas partículas seguem o princípio de exclusão de Pauli. Exemplos dessas partículas são os prótons, elétrons e neutrôns. Os bósons são partículas cujo spin é inteiro (0, ħ, 2ħ, etc). Eles não obedecem ao princípio de exclusão. O fóton é um bóson.

31 As equações de Dirac também previram a existência das anti-partículas. Partículas e anti-partículas são identicas, mas com cargas elétricas e momento magnético opostas. Um par de partícula e anti-partícula pode ser criado a partir da energia de fótons. Da mesma forma, uma partícula e sua anti-particula podem se aniquilar, gerando um fóton.