Aula 9 Mais ondas de matéria I. Física Geral F-428

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1 Aula 9 Mais ondas de matéria I Física Geral F-48

2 Resumo da aula passada: Dualidade onda-partícula e o princípio da complementaridade; Comprimento de onda de de Broglie: = h/p Função de onda (x,y,z,t A função de onda que descreverá a partícula é uma solução de uma equação diferencial: a equação de Schrödinger: i Ψ( r,t t m Ψ( r,t U( r Ψ( r,t De função de onda obteremos a densidade de probabilidade de encontrar a partícula ( r, t ( r, t

3 Radiação Eletromagnética ondas E E x, y,z,t E sin. r t x, y,z,t E sinx t vetor de Poyting S,intensidade I fótons E p hν Partículas??????? E p hν

4 Introduzimos a função de onda Ψ x, y,z,t, a qual é uma solução de uma equação diferencial, a equação de Schrödinger. 4

5 A função de onda (x,y,z,t: Uma partícula microscópica será descrita pela chamada função de onda Ψ( r, t, também chamada amplitude de probabilidade, à qual podemos aplicar: Princípio da superposição: Ψ( r,t Ψ( r,t Ψ ( r,t Interpretação probabilística: (Max Born Densidade de probabilidade: Condição de normalização: ( r,t Ψ( r,t ( r, t d r V A função de onda carrega a informação máxima que podemos ter sobre o sistema em questão. Max Born 5

6 A equação de Schrödinger Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis, a teoria quântica desenvolvida entre 9 ~ 9 tinha sérios defeitos. Era uma mistura arbitrária de física clássica com novos postulados, alheios e contraditórios à própria física clássica. Erwin Schrödinger prêmio Nobel: 9 Em 96, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na Universidade de Zurique sobre a teoria de de Broglie. Durante o seminário, um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron, se não havia nenhuma equação de onda! Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda, dando início à Mecânica Quântica moderna. 6

7 A equação de Schrödinger Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem, têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do tipo: F ( r, t F ( r, t c t onde F ( r, t é a variável dinâmica de interesse; por exemplo, o campo elétrico ou o campo magnético de uma onda eletromagnética. Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de probabilidade ( r,t Ψ( r,t, devemos estudar como Ψ( r varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas para partículas com massa!,t 7

8 A equação de Schrödinger Em geral, podemos dizer que para uma onda plana temos: Ψ( r,t Ψ( r,t Ψ expi( Derivando com relação a t : Ψ( r,t t Tomando o gradiente de r iψ( r,t Ψ( r,t iψ( r,t [ Ψ( r,t ] Ψ( r,t Ψ r,t t, e depois a sua divergência: Ψ( r,t 8

9 A equação de Schrödinger Então: i Ψ( r,t t Ψ( r,t t iψ( r,t Ψ( r,t EΨ( r,t Ψ( r,t Ψ( r,t m Ψ( r,t m Ψ( r,t p Ψ( m r,t EΨ( r,t Equação de Schrödinger da partícula livre (E = E cin ; U = : Ψ( r,t i t m Ψ( r,t 9

10 A equação de Schrödinger Mas, no caso geral, não relativístico: E E cin E pot E cin U E p m U( r EΨ( r,t p Ψ( m r,t U( r Ψ( r,t i Ψ( r,t t Equação de Schrödinger : (Postulada! m Ψ( r,t U( r Ψ( r,t (Equação de Schrödinger dependente do tempo

11 A equação de Schrödinger Os casos que vamos tratar aqui Onda de variáveis separáveis: (casos de E constante i Ψ( r,t t Ψ( r,t m ( r Ψ( r,t U( r exp( it Substituindo essa expressão na Equação de Schrödinger: Ψ( r,t e cancelando as exponenciais dependentes do tempo, obteremos: ( r E ( r ( r U( r ( r m m r (Equação de Schrödinger independente do tempo E U r r

12 A partícula livre em -D Para encontrar a solução geral de: Ψ( r,t devemos resolver inicialmente: m d i t d m ( x ( r,t U( r m x E U x ; U x ( x ;com Ψ m como U( x E ( r,t r,t r exp( it E U E cin me

13 A partícula livre em -D Solução geral: como: exp( i ( x Aexp(ix Bexp( ix cos isin ( x A cos x Bsin x ; com A' (A B ; B' i(a Ψ Ψ( r,t Aexp i x,t exp ix ωt Ψ( d x r,t ( r exp( x i t B x ωt B exp- ix ωt Onda propagante para a direita: Ψ x,t exp ix ωt Onda propagante para a esquerda:

14 A partícula livre em -D ( x Aexpix Bexp-ix Façamos: A = e B = x expix e Ψ( x,t ( expi( x t onde ( m pois: p m m A densidade de probabilidade para encontrar a partícula será: ( x,t Ψ( x,t Ψ Ψ constante! para - x Ou seja: uma partícula livre pode ser encontrada em qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade. ( x, t x 4

15 O princípio da incerteza de Heisenberg É inerente à Mecânica Quântica e se aplica sempre aos pares das chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que não podem ser medidas simultaneamente com precisão ilimitada! Ex.: a posição e o momento linear de uma partícula quântica: Em -D: x p y p z p x y z Werner Heisenberg (

16 O potencial degrau d x x ; onde m E U E E cin U E U x I E > U : se x ; d x x ; onde me se x ; d x x ; onde m E U 6

17 O potencial degrau E > U : x Soluções gerais: me x < : x Aexp(ix B exp( ix ; onde I R m E U x > : x C exp(ix D exp( ix ; onde T R mas : D =, pois não há onda refletida para x >. 7

18 A C A B ; amplitude de reflexão ; amplitude de transmissão inc trans inc ref ( 4 A C J J T A B J J R R T O potencial degrau : contínuas funções são e Como d O que leva a: x x dψ dψ x ( x ( 8 E poderemos definir:

19 O potencial degrau d ψ x x ψ ; onde m E U E U x II E < U : se x ; d ψ x ψ x ;onde me se x ; d ψ x κ ψ m(u x ;onde E 9

20 O potencial degrau E < U : x x < : x Aexp(i x B exp( i x ; onde me x > : m(u x C exp( κ x D exp( κx ;onde : κ E

21 O potencial degrau dψ Como e são funções contínuas B A i i ; amplitude de reflexão R J J ref inc B A BB AA * * ; T x C exp( x ( L m(u E wavemechanics-step Comprimento de penetração

22 A barreira de potencial d ψ x x ψ ; onde m E U E U I E > U : x L se se se x ; L x x L; d d ; d ( x ( x ( x ( x ( x ( x ; onde ; onde ; onde me m(e me U

23 A barreira de potencial E > U : ( x ( x C exp(i ( x E exp(i Aexp(i x B exp( ix ; onde x D exp( ix ; onde x F exp( i x ; onde me m(e U me

24 A barreira de potencial d ψ x x ψ ; onde m E U II E < U : d se x ; d se L x ; d se x L; E ( x ( x ( x U L ( x ;onde x ( x ;onde ( x ; onde me m(u me E 4

25 A barreira de potencial E < U : ( x ( x ( x Aexp(i C exp( x E exp(i x x B exp( i D exp( x F exp( i x x ; onde ; onde ;onde me m(u E me 5

26 A barreira de potencial Como e d são funções contínuas Coeficiente de transmissão ou taxa de tunelamento: T EE AA * * T m(u E [exp ( L] exp( L ; onde R T exp( L Coeficiente de reflexão wavemechanics-barrier 6

27 O microscópio de varredura Prêmio Nobel 986: Heinrich Rohrer, Gerd Binnig e Ernst Rusa E. Rusa wavemechanics-stm 7

28 Até agora... Vimos, até agora, três postulados da Mecânica Quântica: a Toda partícula possui uma função de onda (x,y,z,t associada a ela. b A forma e a evolução temporal desta (x,y,z,t é determinada pela equação de Schrödinger. c Em uma dimensão, dada a função (x,t, a densidade de probabilidade da partícula ser encontrada em torno de um ponto x (entre x e x+, num dado instante t, é dada por: x, t Ψ x,t 8

29 A Equação de Schrödinger e a Quantização de Energia Para uma partícula clássica confinada a uma região limitada do espaço, a teoria de Schrödinger prevê que a energia total da partícula é quantizada. Quando a partícula não estiver confinada em uma região limitada, a teoria prevê que a sua energia total pode apresentar qualquer valor. 9

30 Elétron confinado O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados ligados discretos, com energias discretas. Analogia: Ondas estacionárias em uma corda estados estacionários

31 Energia crescente Exemplos de Potenciais: Armadilhas em, e dimensões. Átomos. U Poço quadrado U(x L x Átomo de hidrogênio Potencial do oscilador harmônico

32 No caso de partícula confinada: Equação de Schrödinger independente do tempo m ( r E U r ( r Sempre que E U( r teremos estados ligados que são quantizados: apenas estados com certas energias são possíveis.

33 Partícula em uma Caixa (= poço Vamos resolver a equação de Schrödinger para uma partícula confinada a uma caixa de paredes impenetráveis. Isto é, uma partícula sujeita a um potencial de forma: U(x =, para < x < L U(x =, para x < ou x > L U(x L Como o potencial é infinito, a partícula deve se encontrar rigorosamente no interior da caixa, portanto, devemos ter: (x =, para x = e x = L (condição de contorno. x

34 No interior da caixa: ou: d x m d A solução geral desta equação pode ser escrita como: A condição de contorno: x me x U(x L x x x Asen( x Bcos( x ( r [ E U( r ] ( r m E x me ; x A sen x A condição de contorno: (L = : ( L A sen L L n n n L 4

35 Escrita em termos dos comprimentos de onda: n n n L n L n ; n Veja que L=n/,,... que corresponde à condição de formação de ondas estacionárias. As funções de onda serão dadas por: n x A sen x A sen n n Para cada n temos uma ψ n (x; onde n é um número quântico. Como temos um sistema unidimensional, ψ n (x é completamente determinada por apenas um número quântico. n n x L 5

36 Funções de onda n n x sen n n ; n,,,... L x A x A sen n n n n n 4 x L n 5 n 6 n 7 n L n 6

37 As energias (cinéticas associadas a estas funções são dadas por: E ( m n n L 5 5E E n m n h 8mL n 4 6E 9E 4E E 7

38 E O sistema pode passar de um estado n para um n, de energia menor, emitindo um fóton de frequência : 4 E n m n h 8mL n E 4 E E E h E E E n n' O sistema E pode também sofrer uma transição para um estado de energia maior, 4 E 4 E absorvendo um E fóton. E O estado de energia mais baixa é chamado de estado fundamental. 8

39 Resumo da aula: Equação de Schrödinger; Resolvemos a equação de Schrödinger para situações simples (potencial degrau, barreira de potencial; Resolvemos a equação de Schrödinger confinada em um poço de potencial infinito em uma dimensão (D energias discretas.