Física IV Poli Engenharia Elétrica: 14ª Aula (02/10/2014)

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1 Física IV Poli Engenharia Elétrica: 14ª Aula (/1/14) Prof Alvaro Vannucci Na última aula vimos: xp / Princípio de Incerteza de Heisenberg: E t / d Equação de Schrödinger: U E mdx Propriedades de : (i) deve ser unívoca; (ii) deve ser contínua; (iii) a primeira derivada deve ser contínua Vamos analisar o problema de uma partícula presa em uma caixa, que no caso 1D será representada por duas paredes de potencial infinitas, localizadas em x e x Note que, neste caso, a partícula nunca será encontrada fora da caixa, de forma que a função de onda que descreve o sistema (e que será determinada ao resolvermos a equação de Schrödinger) deve se anular para x e x Em particular, ( x ) e ( x) são as condições de contorno a serem satisfeitas para que a solução que venhamos a encontrar tenha coerência física Note também que na região de interesse x a energia potencial do sistema é nula U Portanto, da equação de Schrödinger: d dx m E K (pois p k me E k (1)) m m Ou seja, d k ; (equação diferencial que admite soluções - verifique!): dx ikx e propagação nosentido dos x positivos ikx e propagação nosentido dos x negativos

2 A solução geral será a combinação linear destas soluções particulares: ikx ikx A' e B' e ; sendo que as constantes A e B podem ser complexas part livre O passo seguinte é aplicar as condições de contorno do problema: (i) ( x ) A' B' B' A' ik ik (ii) ( x ) A' e A' e ( aplicando Euler e cos isin) cos(k) isin(k) cos(k) isin(k) n sin( k) k n ; k () elevando este resultado ao quadrado e substituindo na equação (1): i me h 8m n E ; 1,,3, n n n níveis de energia quantizados! Quanto à função de onda correspondente: ikx ikx A co A' e e ' s(kx) isin(kx) cos(kx) ( x) ia' sin( kx) ( x) Asin( kx) A Normalizando esta função de onda: kx 1 cos( ) dx A sin (k x) dx A dx 1 isin(kx) =, pois A A A A 1 cos( ) sin( ) 1 dx kx dx kx k = A 1 A Finalmente: n n(x) sin x ; n 1,,3 (partícula presa em uma caixa em1d)

3 Note, deste resultado, a razão pela qual o número quântico n não poder ter valor nulo: se assim fosse a função ( x) ( x) Então, observando os valores possíveis de energia: energia mais baixa do sistema será para qualquer valor de x! En 8m E1, de forma que 8m n, vemos que a En n E1 O valor mínimo de energia do sistema será E ( n 1) 1, que corresponde à Energia do Ponto Zero; este resultado é contraditório com relação à Física Clássica, que prevê E! Note também que a energia do sistema nunca será E E1, por exemplo! (E 1 não é um estado energético permitido) Além disso, para o sistema passar de E 1 para E (ou E 3 ), por exemplo, ele só irá absorver fótons com energias específicas: E E E hf E para cada um destes estados de energia, há uma função de onda correspondente, dada pela equação fóton n n (x) sin x, de forma que a distribuição de probabilidade de se encontrar a partícula em uma posição x dentro da caixa é: n n (x) sin x ; n 1,,3, Note: n K n f i

4 Exercício 37 capítulo 8: Uma partícula em um poço de potencial quadrado infinito encontra-se no estado quântico determinado pela função de onda: (x) sin x, no intervalo x a) Calcule o valor médio da posição x b) Determine a probabilidade de encontrar a partícula próximo de x = /, calculando a probabilidade dela ser encontrada no intervalo,49 x,51 c) Determine a probabilidade de encontrá-la próximo de x = /4, calculando a probabilidade dela estar no intervalo, 4 x, 6 d) Discuta os resultados obtidos Resolução: lembrando que: a) x ( x ) sin x dx 1 cos sin 1 cos4 ( x x 1 1 ) dx xdx os4 x dx xc = integrando por partes: x x 4 x x uv ' uv uv ' sin 4 =-1 = 1 4 x x cos x 4 4 =+1 b) P /,51,49,51,49 sin xdx,51,51,49 x 4 x, sin 4,49 1 dx,51,49 1,4 sin 4 x 4 sin 4 x dx 1 4 x cos dx em radianos 1, sin P/,,1,18,, 199 P/ 1 ( ou, 1%) 4 c) Igualmente:,6 x 1 P/4 sin1,4 sin,96 P/4,,,4( ou 4%),4 4,14,17

5 d) Apesar da probabilidade de encontrarmos a partícula (ao efetuarmos uma medida) ser muito maior que no entorno de x /, é no entorno de x / 4 ou x 3 / 4 razoável que o valor médio (após inúmeras medidas) da sua posição seja x / Fica fácil ver isto se pegarmos, por exemplo, duas classes com dez alunos cada; sendo que em uma delas as notas da prova foram: Classe A Alunos Nota Classe B Alunos Nota 5 zero 5 dez observe: nos dois casos, a média da classe é 5!