Unidade 2 Aula 4 Equação de Schrödinger*

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1 Unidade Aula 4 Equação de Schrödinger* 4.1 A Equação de Onda de Schrödinger 4. Valores Esperados 4.3 Poço de Potencial Quadrado Infinito 4.4 Poço de Potencial Quadrado Finito 4.5 Barreiras e Tunelamento 4.6 Poço de Potencial Infinito Tridimensional * Tradução e adaptação livre das aulas do Professor Rick Trebino em: Erwin Schrödinger ( ) A careful analysis of the process of observation in atomic physics has shown that the subatomic particles have no meaning as isolated entities, but can only be understood as interconnections between the preparation of an experiment and the subsequent measurement. - Erwin Schrödinger Opiniões sobre mecânica quântica I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics. Do not keep saying to yourself, if you can possibly avoid it, But how can it be like that? because you will get down the drain into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that. - Richard Feynman Those who are not shocked when they first come across quantum mechanics cannot possibly have understood it. Richard Feynman ( ) - Niels Bohr 1

2 4.1: A Equação de Onda de Schrödinger A equação de onda de Schrödinger na sua forma dependente do tempo para uma partícula com energia E se movendo num potencial V em uma dimensão é: onde V = V(x,t) e i é a raiz quadrada de -1. A Equação de Schrödinger é A equação fundamental da Mecânica Quântica. Solução Geral da Equação da Onda de Schrödinger quando V = 0 Tente esta solução: Ψ = i ( kx ωt ) i Ae = i Ψ t ω ω ih Ψ = ( ih)( iω) Ψ = hω Ψ t Ψ x = ikae i ( kx ωt ) Esta solução funciona se: k hω = h m = ikψ h Ψ h k = Ψ m x m o que nos mostra que a energia total do sistema é a energia cinética!! Ψ i( kx ωt ) = ( ik)( ik) Ae = k Ψ x h π h k π λ = m m h λ p = = m m

3 Solução Geral da Equação da Onda de Schrödinger quando V = 0 V = 0, significa que temos uma partícula livre no espaço, e a solução geral tem a forma que também descreve o movimento de uma onda na direção x. Em geral a amplitude pode ser complexa. A função de onda também não está restrita a ser real! Note que esta função é complexa (i). Sómente as quantidades fisicamente mensuráveis são reais. Isto inclui a probabilidade, o momento e a energia. Normalização e Probabilidade A probabilidade P(x) dx de uma partícula estar entre x e x + dx é dada pela equação A probabilidade de uma partícula estar entre x 1 and x é dada por A função de onda deve também ser normalizada para que a probabilidade desta partícula estar em qualquer lugar no eixo x seja 1. 3

4 Propriedades de Funções de Onda Válidas Condições para a função de onda: 1. Para evitar probabilidades infinitas, a função de onda deve ser finita em todos os pontos.. A função de onda deve ter um valor único ( single valued ). 3. A função de onda deve ser diferenciável duas vezes. Isto significa que ela e suas derivadas devem ser contínuas. (Uma exceção para esta regra ocorre quando o potencial V é infinito.) 4. Para normalizar uma função de onda, ela deve se aproximar de zero quando x vai a infinito. Soluções que não satisfazem estas propriedades em geral não correspondem a situações físicamente realizáveis. Equação de Onda de Schrödinger Independente do Tempo O potencial em muitos casos não depende explicitamente do tempo. A dependência com o tempo e com a posição podem ser separados na equação de onda de Schrödinger. Podemos escrever: Levando à: Agora dividindo pela função de onda ψ(x) f(t): A parte esquerda depende somente de t, e a parte direita depende somente de x. Deste modo cada lado deve ser igual a uma constante. O lado dependente do tempo fica: 4

5 Equação de Schrödinger Independente do tempo Integrando ambos os lados temos: onde C é uma constante de integração que podemos escolher como sendo zero. Portanto: Lembre da solução para uma partícula livre (onde V=0) Ψ( x, t) = Ae = Ae e i ( kx ωt ) i ( kx) iωt Onde f(t) = e -iω t, assim: ω = B / ħ ou B = ħω, o que significa que: B = E! Assim multipicando por ψ(x), a equação de Schrödinger espacial fica: h 1 d ψ ( x) + V ( x) = B mψ ( x) dx Esta equação é conhecida como Equação de Onda de Schrödinger Independente do Tempo, e é uma equação tão fundamental em Mecânica Quântica como a equação de Schrödinger dependente do tempo. Os físicos em geral escrevem esta equação simplesmente como: Ĥψ = Eψ onde: Hˆ h = + V m x Ĥ é um operador conhecido como Hamiltoniano. 5

6 Estados Estacionários A função de onda pode ser escrita como: A densidade de probabilidade fica: A distribuição de probabilidade é constante no tempo. Este é um fenômeno de onda estacionária e é chamado de estado estacionário. 4.: Valores Esperados Em mecânica quântica se calcula valores esperados. O valor esperado, x, é o valor médio ponderado de uma dada quantidade. Por exemplo, o valor esperado de x é dado por: x = Px P x + L+ PN xn = Pi xi Se exixtir um número infinito de possibilidades, e x é contínuo, então: x = P( x) x dx Na Mecânica Quântica temos: * * x = Ψ( x) Ψ ( x) x dx = Ψ ( x) x Ψ( x) dx E o valor esperado de alguma função de x, g(x) é dado por: * g( x) = Ψ ( x) g( x) Ψ( x) dx i 6

7 Operador Momento Para encontrar o valor esperado de p, precisamos primeiro representar p em termos de x e t. Considere a derivada da função de onda de uma partícula livre com relação a x: Com k = p / ħ temos e portanto: Isto nos dá a definição do operador momento como. O valor esperado do momento é: Operadores de Posição e Energia A posição x é seu próprio operador. Operador de energia: a derivada temporal da função de onda de uma partícula livre é: Substituindo ω = Ε / ħ leva a O operador de energia é então: O valor esperado da energia é dado por: 7

8 Derivando a Equação de Schrödinger usando operadores A energia é: Substituindo pelos operadores: E: K+V: Substituindo: p E = K + V = + V m Ψ EΨ = ih t p 1 Ψ + V Ψ = ih Ψ + V Ψ m m x h Ψ = + V Ψ m x Ψ h Ψ ih = + V Ψ t m x p EΨ = Ψ + V Ψ m 4.3: Poço de Potencial Quadrado Infinito O exemplo mais simples é aquele de uma partícula confinada numa caixa com paredes rígidas, onde a partícula não pode penetrar. Este potencial chamado de poço quadrado infinito é dado por: 0 L x Claramente a função de onda deve ser zero onde o potencial é infinito. Onde o potencial é zero (dentro da caixa), a equação de onda de Schrödinger independente do tempo fica: A solução geral é: onde 8

9 Quantização Condições de contorno do potencial estabelecem que a função de onda deve ser zero para x = 0 e x = L. Isto leva a soluções válidas para valores inteiros de n de tal modo que kl = nπ. A função de onda fica então: 0 L x Normalizando a função de onda: 1 1 ( sen xdx = x senx) 4 A = / L A função de onda normalizada fica: Estas funções são idênticas àquelas obtidas para uma corda vibrante com pontas fixas. Energia Quantizada O número de onda quantizado fica agora: Resolvendo para a energia temos: Note que a energia depende de valores inteiros de n. Portatno a energia é quantizada e não é zero. O caso especial para n = 1 é chamado de estado fundamental. 9

10 4.4: Poço de Potencial Quadrado Finito Potencial é descrito como: A equação de Schrödinger for a do poço finito nas regiões I e III é dada por: Fazendo: podemos escrever: Considerando que as funções de onda devem ser zero no infinito, as soluções para esta equação são Solução para o poço quadrado finito Dentro do poço, onde o potencial V é zero, a equação de onda fica A solução aqui é: onde As condições de contorno requerem que: assim a equação de onda é continua onde as as regiões se encontram. Note que a função de onda não é zero fora da caixa. 10

11 Profundidade de Penetração A profundidade de penetração é a distância for a do poço de potencial onde a probabilidade diminui significativamente. É dada por A distância de penetração que viola as leis da física clássica é proporcional a constante de Planck. 4.5: Barreiras e Tunelamento Considere uma partícula com energia E se aproximando de uma barreira de potencial de altura V 0, sendo que o potencial em qualquer outro lugar é zero. Primeiro vamos considerar o caso onde a energia é maior que a barreira de potencial. Nas regiões I e III os números de onda são: Na região da barreira temos 11

12 Reflexão e Transmissão A função de onda será composta por uma onda incidente, uma onda refletida, e uma onda transmitida. Os potenciais e a equação de onda de Schrödinger para as três regiões serão: As soluções correspondentes são: Se a onda se move da esquerda para a direita, podemos simplificar as funções de onda: Probabilidade de Reflexão e Transmissão A probabilidade das partículas serem refletidas R ou transmitidas T é: Como as partículas podem ser ou refletidas ou transmitidas, temos: R + T = 1 Applicando as condições de contorno x ±, x = 0, and x = L, chegamos na probabilidade de transmissão: Note que a probabilidade de transmissão pode ser 1. 1

13 Tunelamento Agora vamos considerar a situação onde classicamente a partícula não tem energia suficiente para superar a barreira de potencial, E < V 0. O resultado da mecânica quântica é uma das características mais marcantes da física moderna. Existe uma probabilidade finita de que a partícula possa penetrar a barreira e mesmo, emergir do outro lado! A função de onda na região II fica: A probabilidade de transmissão que descreve o fenômeno de tunelamento é: Função de onda de Tunelamento A violação da física clássica é permitida pelo princípio de incerteza. A particula pode violar a física clássica por E por um período curto de tempo, t ~ ħ / E. 13

14 Analogia com a onda na Óptica Se luz passando através de um prisma de vidro reflete na superfícies interna com um ângulo maior que o ângulo crítico, ocorre reflexão interna total. Entretanto, o campo eletromagnético não é exatamente zero fora do prisma. Se colocarmos outro prisma muito próximo deste primeiro prisma, foi mostrado experimentalmente que a onda eletromagnetica (luz) surge no segundo prisma. A situação é análoga ao tunelamento descrita aqui. Este efeito foi observado por Newton e pode ser demonstrado com dois prismas e um laser. A intensidade da segundo feixe de luz diminui exponencialmente com o aumento da distância entr os dois prismas. Poço de Potencial: efeitos quânticos Considere uma partícula passando por um poço de potencial, em vez de uma barreira. Classicamente, a partícula iria aumentar a sua velocidade na região do poço porque K = mv / = E + V 0 Na mecânica quântica, reflexão e transmissão podem ocorrer, mas o comprimento de onda diminue dentro do poço. Quando a largura do poço de potencial é precisamente igual a (m+½)λ ou mλ onde m é inteiro, as ondas refletidas podem estar fora de fase ou em fase com a onda original, e cancelamentos ou ressonâncias podem ocorrer. Estes efeitos podem gerar uma transmissão ou reflexão quase puras para certos comprimentos de onda. Por exemplo, em x = L para uma onda passando para a direita, esta onda pode refletir e estar fora de fase com a onda incidente. O efeito seria de cancelamento dentro do poço. 14

15 Decaimento de Partícula Alfa O fenômeno de tunelamento esplica o decaimento de partículas alfa de núcleos pesados radioativos. Dentro do núcleo, uma partícula alfa sente a força nuclear atrativa, forte e de curto alcance, assim como a força de repulsão Coulombiana. A força nuclear domina na região dentro do raio nuclear, onde o potencial pode ser representado aproximadamente por um poço quadrado. A força Coulombiana domina fora do raio nuclear. A barreira de potencial no raio nuclear é maior que a energia da partícula alfa. Em mecânica quântica, entretanto, a partícula alfa pode tunelar através da barreira. Isto é observado como decaimento radioativo. 4.6: Poço de potencial infinito tridimensional A função de onda deve ser uma função das três coordenadas espaciais. Vamos considerar o operador momento atuando na função de onda e neste caso, ele deve atuar duas vezes em cada dimensão. Temos: Deste modo a equação de onda de Schrödinger tridimensional fica: 15

16 O poço de potencial infinito 3D È fácil mostrar que: ψ ( x, y, z) = A sin( k x) sin( k y) sin( k z) k = π n / L onde: π / x x x x y z k = n L k = π n / L y y y z z z e: π h n n x y nz m Lx Ly L z E = + + Se a caixa é um cubo: π h E = n + n + n ml ( x y z ) Tente (10, 4, 3) e (8, 6, 5) Note que mais de uma função de onda podem ter a mesma energia. Degenerescência A equação de onda de Schrödinger em três dimensões introduz três números que quantizam a energia. E a mesma energia pode ser obtida para diferentes conjuntos de números quânticos. Um estado quântico é dito degenerado quando existe mais de uma função de onda para uma dada energia. Degenerescência resulta de propriedades particulares da função de energia potencial que descreve o sistema. Uma perturbação na energia potencial pode remover esta degenerescência. 16