Lista 6: CDCI2 Turmas: 2AEMN e 2BEMN. 1 Divergente e Rotacional de Campos Vetoriais

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1 Lista 6: CDCI Turmas: AEMN e BEMN Prof. Alexandre Alves Universidade São Judas Tadeu Divergente e Rotacional de Campos Vetoriais Exercício : Calcule a divergência e o rotacional dos seguintes campos vetoriais: (b) (c) (d) (e) F(x, y) = y i + x j F(x, y) = (x + y ) i F(x, y) = xy i x j F(x, y, z) = z i + (x + y) j + z k F(x, y, z) = yz i + xz j + xy k ( f ) F( r) = cos(x + y ) i + sin(x + y ) j x (g) F( r) = i + x + y + z y x + y + z j + z x + y + z k Exercício : O divergente de um campo vetorial em coordenadas esféricas é dado por F = (rf r ) + (sin θf θ ) + (F φ ) r r r sin θ θ r sin θ φ e o rotacional por F = r sin θ [ (sin θf φ ) θ (F θ) ]êr + [ (F r ) φ r sin θ φ (rf φ) r onde o campo vetorial em coordenadas esféricas é escrito como F = F r ê r + F θ ê θ + F φ ê φ, ]êθ + r [ (rfθ ) r (F r) ]êφ, θ onde ê r, ê θ e ê φ, são os versores nas direções radial, polar e azimutal, respectivamente. Usando essas expressões, calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais: F = r r (b) F = r r

2 (c) F = r r 3 (d) F = r n ê r (e) F = f (r) ê r r ( f ) F = ln(r)ê r + sin(θ)ê θ + e φ ê φ (g) v = cos(θ)ê r r ê θ + rθê φ Exercício 3: Seja Φ um campo escalar e F um campo vetorial. Denotemos o gradiente por grad, o divergente por div e o rotacional por rot. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique porquê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. rotφ (b) gradφ (c) div F (d) rot(gradφ) (e) grad F ( f ) grad(div F) (g) div(gradφ) (h) grad(divφ) (i) rot(rot F) ( j) div(div F) (k) (gradφ) (div F) (l) div(rot(gradφ)) Exercício 4: Demonstre as seguintes identidades, admitindo que as derivadas parciais dos campos escalar (Φ) e vetorial ( F) existem e sejam contínuas. (b) (c) (Φ F) = Φ F + F Φ (Φ F) = Φ F + Φ F ( F G) = G F F G (d) ( Φ Ψ) = 0 (e) ( F) = ( F) F ( f ) ( F) = 0 (g) ( Φ) = 0 Exercício 5: As equações de Maxwell do eletromagnetismo, relacionam o campo elétrico E e o campo magnético B, quando eles variam com o tempo em regiões

3 livres de fontes de cargas elétricas e de correntes elétricas no vácuo, através das fórmulas: E = 0 E = B c t B = 0 B = E c t onde c é a velocidade da luz no vácuo. Usando as equações de Maxwell mostre que as componentes do campo elétrico e magnético satisfazem as seguintes equações diferenciais parciais de segunda ordem E = c E t B = c B t, que são equações de onda para os campos eletromagnéticos e que descrevem, entre outros fenômenos, a propagação de ondas luminosas no vácuo. Dica: Comece mostrando que ( E) = c E t ( B) = c B t usando as equações de Maxwell que envolvem rotacionais. A ordem com que as derivadas espaciais e temporais aparecem no resultado não importa, de modo que ( F ) ( F) = t t. Finalmente, use a identidade (e) do exercício 4 em conjunto com as equações de Maxwell que envolvem divergentes dos campos para obter as equações de onda. O Laplaciano de Um Campo Escalar Exercício 6: Verifique que a função Φ(x, y) = (Ae kx + Be kx )(C sin(ky) + D cos(ky)) 3

4 é solução da equação de Laplace em duas dimensões Φ(x, y) = 0, onde A, B, C,D e k são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno do problema. Exercício 7: Verifique que a função potential V(r, θ) = ( Ar + B r ) P (cos θ) onde P (x) = x é o chamado polinômio de Legendre de ordem, é solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal, ou seja, V não depende de φ, V(r, θ) = r 3 Integrais de Linha ( r V ) + r sin(θ) θ ( V ) sin(θ) = 0. θ Exercício 8: Calcule a integral de linha do campo vetorial F sobre a curva γ nos casos abaixo: F( r) = (x + y + z) k e γ : r(t) = (t, t, t ), 0 t (b) F( r) = x j e γ : r(t) = (t, 3), t (c) F( r) = (x + y) i + (x y) j e γ : r(t) = (t, t ), 0 t (d) F( r) = y i + x j + z k e γ : r(t) = (cos t, sin t, t), 0 t π (e) E(x, y) = x + y x i + y j x + y e γ : r(t) = (t, ), t ( f ) F( r) = x i z j + y k e γ : r(t) = t i + 3t j t k, t (g) F( r) = sin(x) i + cos(y) j + xz k e γ : r(t) = t 3 i t j + t k, 0 t Exercício 9: Calcule as integrais de linha 3 dy xdx + γ + y (b) (x + y )dy γ (c) 4x 3 dx + 4y 3 dy γ (d) x dx + y dy + z dz γ 4

5 Γ y x Figura : Exercício 9. Caminho de integração. onde a curva γ é a representada na figura acima. Exercício 0: Considere um campo escalar diferenciável Φ dado por Φ(x, y) = f (x) + f (y). Mostre que a integral de linha do campo vetorial F = Φ é nula sobre um caminho fechado parametrizado por uma função r(t), a t b, tal que r(b) = r. Exercício 0: O Teorema da Energia Cinética afirma que o trabalho realizado por uma força F desde um ponto A até um ponto B é igual à variação da energia cinética da partícula, ou seja, W AB = F d r = mv B mv A. γ Se uma partícula de massa Kg se desloca desde o ponto A = (, 0, ) ao ponto B = (,, 4) em linha reta sob a ação de um campo de forças (em Newtons) F = x i y j+z k, e se sua velocidade era de m/s no ponto A, com qual velocidade ela irá chegar ao ponto B? Assuma distâncias em metros. Dica: A equação da reta parametrizada é dada por: (x, y, z) = A + (B A)t. Exercício : Uma partícula carregada massiva entra em uma região do espaço onde existem campos elétricos, magnéticos e gravitacionais. A força devida ao campo magnético faz a partícula percorrer uma trajetória circular no plano y0z de raio, enquanto o campo elétrico, que aponta na direção x positiva, acelera a 5

6 Figura : Exercício. Trajetória de uma partícula sujeita a forças magnéticas, elétricas e gravitacionais.. partícula. Ao mesmo tempo, a partícula sofre a ação da gravidade, que a puxa na direção z. Se o campo gravitacional é dado por P = mg k, onde m é a massa da partícula e g a aceleração da gravidade local, qual o trabalho realizado por uma força F para manter a partícula na trajetória resultante da ação das forças elétrica e magnética? Essa trajetória, representada na figura, pode ser parametrizada por r(t) = ( cos(t), sin(t), t /0), 0 t 3π.Dica: A força F deve, em cada ponto da trajetória, anular a ação da força peso. Exercício : Se o potencial gravitacional é dado por Φ( r) = mgz, calcule o trabalho realizado pela força peso no exercício anterior nos casos em que: 0 t π (b) 0 t 3π (c) 0 t π (d) 0 t 5π (e) 0 t π ( f ) t 4 Exercício 3: Um campo vetorial conservativo F é dado pelo gradiente da função Φ( r) = e r r, r = r(t). 6

7 Calcule a integral de linha de F sobre a trajetória γ em cada um dos casos seguintes: γ : r(t) = (sin(t), cos(t)), 0 t π (b) γ : r(t) = ( cos(t), sin(t)), 0 t π/ (c) γ : r(t) = (sin(t), cos(t), t 3 ), 0 t π (d) γ : r(t) = (t, t, /t), t 4 (e) γ : r(t) = ( ln(t), 0, 0) π Exercício 4: Responda às seguintes questões a respeito de um campo vetorial F : Ω R 3 R 3 : Se o rotacional de F é nulo, o campo é conservativo? (b) Se integral de linha de F sobre um caminho fechado é diferente de zero, mas seu o rotacional é nulo, podemos afirmar que o campo é conservativo? (c) Se integral de linha de F sobre um caminho fechado é zero, mas seu o rotacional é não nulo, podemos afirmar que o campo é conservativo? (d) Se integral de linha de F sobre qualquer caminho fechado em Ω é nula, podemos afirmar que o campo é conservativo? (e) Se o rotacional de F é nulo em uma região Ω que não é simplesmente conexa, mas onde integral de linha de F sobre qualquer caminho fechado em Ω é nula, então F é conservativo? (f) Se o campo vetorial puder ser escrito em termos de uma função potencial que não seja contínua em todo Ω, ainda assim o campo será conservativo? Exercício 5: Um campo vetorial deriva de um potencial Φ(x, y) = / ln(x + y ) em uma região Ω = R (0, 0). Calcule a integral de linha desse campo ao longo das seguintes trajetórias: γ : r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 t π (b) γ : r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 t π/4 (c) γ : r(t) = (t, t + t 4 ), t 3 (d) γ : r(t) = ( e t, te t ), 0 t 7

8 EXERCÍCIOS PARA SEREM ENTREGUES EM /09: (d), 4(e), 5, 6, 0, 3(a,d). 8