Introdução à Robótica Industrial p. 1/23

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1 Introdução à Robótica Industrial Adriano A. G. Siqueira Aula 4 Introdução à Robótica Industrial p. 1/23

2 Cinemática Direta Dado: variáveis das juntas (ângulos ou deslocamentos) Procurado: posição e orientação do efetuador Transformação homogênea entre os sistemas de coordenadas da base (0) e do efetuador (n) T n 0 = [ R n 0 d n ] = [ n 0 s 0 a 0 d n ] = n x s x a x d x n y s y a y d y n z s z a z d z Introdução à Robótica Industrial p. 2/23

3 Representação Denavit-Hartenberg Defina o eixo z i ao longo do eixo da junta i + 1. O eixo z n é definido na direção do eixo z n 1 se a junta n é rotacional. Defina O 0 no eixo z 0 e x 0 convenientemente. Para i = 1,,n 1: Posicionar a origem O i onde a normal comum a z i e z i 1 intersecta z i. Se z i intersecta z i 1 posicionar O i nesta intersecção. Se z i e z i 1 são paralelos, posicionar O i na junta i + 1. Defina x i ao longo da normal comum a z i e z i 1 com direção da junta i para i + 1, ou na direção normal ao plano z i 1 z i se z i 1 e z i se intersectam. Defina O n convenientemente ao longo do eixo z n (no centro da garra) e x n normal ao eixo z n 1. Escolha y i para completar a regra da mão direita Introdução à Robótica Industrial p. 3/23

4 Representação Denavit-Hartenberg Criar uma tabela dos parâmetros dos elos, a i, d i, α i e θ i. a i = distância ao longo de x i da intersecção dos eixos x i e z i 1 até O i. d i = distância ao longo z i 1 de O i 1 até a intersecção dos eixos x i e z i 1. d i é variável se a junta i é prismática. α i = o ângulo entre z i 1 e z i medido em torno de x i. θ i = o ângulo entre x i 1 e x i medido em torno de z i 1. θ i é variável se a junta i é rotativa. Calcular as matrizes de transformação homogêneas Hi 1 i parâmetros acima em (1). substituindo os Calcular T n 0 = H 1 0 H n n 1. Introdução à Robótica Industrial p. 4/23

5 Representação Denavit-Hartenberg Transformação homogênea entre os sistemas de coordenadas i e i 1 (1) H i i 1 = c θi s θi c αi s θi s αi a i c θi s θi c θi c αi c θi s αi a i s θi 0 s αi c αi d i sendo θ i, a i, d i, α i parâmetros do elo i e junta i. Introdução à Robótica Industrial p. 5/23

6 Exemplo Considere um manipulador planar de dois elos. Introdução à Robótica Industrial p. 6/23

7 Exemplo Parâmetros de D-H: Elo a i α i d i θ i 1 a θ 1 2 a θ 2 Matrizes homogêneas H 1 0 = c 1 s 1 0 a 1 c 1 s 1 c 1 0 a 1 s H 2 1 = c 2 s 2 0 a 2 c 2 s 2 c 2 0 a 2 s Introdução à Robótica Industrial p. 7/23

8 Exemplo Matriz de tranformação homogênea T 2 0 : T 2 0 = H 1 0H 2 1 = c 12 s 12 0 a 1 c 1 + a 2 c 12 s 12 c 12 0 a 1 s 1 + a 2 s As seguinte relações trigonométricas são utilizadas: c 12 = c 1 c 2 s 1 s 2 e s 12 = s 1 c 2 + s 2 c 1. Posição da origem O 2 : Orientação: φ = θ 1 + θ 2. d x = a 1 c 1 + a 2 c 12 d y = a 1 s 1 + a 2 s 12 Introdução à Robótica Industrial p. 8/23

9 Espaço das juntas e Espaço das posições e orientações Espaço das juntas: q = q 1 q 2. { q i = θ i, para junta rotacional q i = d i, para junta prismtica q n Espaço das posições e orientações: x = [ d n 0 Φ ] = d x d y d z φ θ ψ Cinemática direta: x = f(q) Introdução à Robótica Industrial p. 9/23

10 Cinemática Inversa Dado: posição e orientação do efetuador Procurado: variáveis das juntas (ângulos ou deslocamentos) Funções não lineares Múltiplas soluções Pode ser que não existam soluções admissíveis. Soluções analíticas + pouco tempo de cálculo aplicáveis para um único tipo de robô não existe procedimento padrão Soluções numéricas iterativas + aplicáveis para robôs diferentes não apropriadas para aplicações em tempo real problemas de convergência nas proximidades de singularidades Introdução à Robótica Industrial p. 10/23

11 Exemplo Considere o manipulador de dois elos d x = a 1 c 1 + a 2 c 12 d y = a 1 s 1 + a 2 s 12 Elevando ao quadrado as duas equações e somando Então d 2 x + d 2 y = a a a 1 a 2 c 2 c 2 = d2 x + d 2 y a 2 1 a 2 2 2a 1 a 2 Existência de solução: 1 c 2 1 fora do espaço de trabalho Introdução à Robótica Industrial p. 11/23

12 Exemplo s 2 = ± 1 c 2 2 O sinal está relacionado com as duas possibilidades de valor para θ 2 θ 2 = atan2(s 2, c 2 ) γ = atan2(n, d) = indefinido para n = d = 0 90 para n > 0 e d = 0 90 para n < 0 e d = 0 0 γ < 90 para n 0 e d > 0 90 γ < 180 para n 0 e d < γ < 90 para n 0 e d < 0 90 γ < 0 para n 0 e d > 0 Introdução à Robótica Industrial p. 12/23

13 Exemplo Substituindo θ 2 nas equações Portanto θ 1 = atan2(s 1, c 1 ) s 1 = (a 1 + a 2 c 2 )d y a 2 s 2 d x d 2 x + d 2 y c 1 = (a 1 + a 2 c 2 )d x + a 2 s 2 d y d 2 x + d 2 y Se a orientação, φ = θ 1 + θ 2, é dada única solução Introdução à Robótica Industrial p. 13/23

14 Manipuladores de 6 gdl s com punho esférico Eixos do punho se intersectam num único ponto Posição e orientação dados por: d n 0 e R = [n 0 s 0 a 0 ] Os problemas de posição e orientação podem ser desacoplados Solução: Calcule a posição do punho: dp 0 Resolva a cinemática inversa para (q 1, q 2, q 3 ) Calcule R 3 0 Calcule R 6 3 = (R 3 0) T R Resolva a cinemática inversa para a orientação, (q 4, q 5, q 6 ), determinando os ângulos de Euler com relação ao sistema de coordenadas O 3 x 3 y 3 z 3. Introdução à Robótica Industrial p. 14/23

15 Ângulos de Euler (φ, θ, ψ) - três variáveis idependentes. Rotação em torno de z 0 pelo ângulo φ Rotação em torno de y 0 pelo ângulo θ Rotação em torno de z 0 pelo ângulo ψ Matriz de rotação R z0,φr y 0,θR z 0,ψ = c φ c θ c ψ s φ s ψ c φ c θ s ψ s φ c ψ c φ s θ s φ c θ c ψ + c φ s ψ s φ c θ s ψ + c φ c ψ s φ s θ s θ c ψ s θ s ψ c θ R = r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 Introdução à Robótica Industrial p. 15/23

16 Ângulos de Euler Se r 13 0 e r φ = atan2(r 23, r 13 ) θ = atan2( r r2 23, r 33) ψ = atan2(r 32, r 31 ) O ângulo θ é limitado a (0, π). Se sθ = 0, ou seja, θ = 0 ou π, é possível determinar somente a soma ou diferença entre os ângulos φ e ψ. Introdução à Robótica Industrial p. 16/23

17 Exemplo: Stanford dp 0 = d n 0 d 6 a Introdução à Robótica Industrial p. 17/23

18 Exemplo: Stanford dp 0 = dp x dp y dp z y 0 z 0 dp y dp z d 3 r s 2 s d 1 d 2 1 x 0 dp x Introdução à Robótica Industrial p. 18/23

19 Exemplo: Stanford Sendo r 2 = dp 2 x + dp 2 y β = acos(d 2 /r) α = atan2(dp y, dp x ) θ 1 = α β Cálculo de θ 2 s = sen(β)r A variável d 3 é dada por: θ 2 = atan2(dp z d 1, s) d 3 = (dp z d 1 ) 2 + s 2 Introdução à Robótica Industrial p. 19/23

20 Cinemática da velocidade Relação entre as velocidades das juntas e velocidades (linear e angular) do efetuador Matriz Jacobiana geométrica ḋ n 0 = J d (q) q w 0 = J w (q) q Sendo J d (q) e J w (q) matrizes 3 n. Ainda v = [ ḋn 0 w 0 Sendo J(q) uma matriz 6 n. ] = [ J d (q) J w (q) ] q = J(q) q Introdução à Robótica Industrial p. 20/23

21 Cinemática da velocidade Matriz Jacobiana analítica ḋ n 0 = J d (q) q = dn 0 q q Assim ẋ = [ ḋn 0 Φ Φ = J Φ (q) q = Φ q q ] = [ J d (q) J Φ (q) ] q = J A (q) q Introdução à Robótica Industrial p. 21/23

22 Exemplo: Jacobiana analítica Manipulador com dois elos x = d x d y φ = a 1 c 1 + a 2 c 12 a 1 s 1 + a 2 s 12 θ 1 + θ 2 ẋ = d x d ẏ φ = a 1 s 1 θ1 a 2 s 12 ( θ 1 + θ 2 ) a 1 c 1 θ1 + a 2 c 12 ( θ 1 + θ 2 ) θ 1 + θ 2 Matriz Jacobiana J A (q) = [ J d (q) J Φ (q) ] = a 1 s 1 a 2 s 12 a 2 s 12 a 1 c 1 + a 2 c 12 a 2 c Introdução à Robótica Industrial p. 22/23

23 Cinemática inversa da posição via matriz Jacobiana Cinemática inversa da velocidade Cálculo das variáveis das juntas q = J(q) 1 v q = Usando a integração de Euler t T=0 q(t)dt + q 0 q(t k+1 ) = q(t k ) + q(t k ) t q(t k+1 ) = q(t k ) + J(q(t k )) 1 v(t k ) t A matriz Jacobiana precisa ser invertível e q 0 precisa ser conhecida. Introdução à Robótica Industrial p. 23/23