Dinâmica do movimento Equações completas do movimento. Dinâmica Movimento da Aeronave, aproximação de Corpo Rígido (6DoF)

Transcrição

1 Revisão I Dinâmica Movimento da Aeronave, aproximação de Corpo Rígido (6DoF)

2 Aplicação da 2a. Lei: resumo Sistemas de referência q y b p x b CG z b r

3 Aplicação da 2a. Lei: resumo Sistemas de referência Aplicação da 2a. Lei: resumo Como já foi visto: Considerando a aeronave como corpo rígido, a Terra como referencial inercial, a diádica de inércia constante, a atmosfera parada (sem vento), e desconsiderando a variação de massa, a aplicação da 2a. Lei de Newton resume-se portanto a: sistema de referência do corpo (não inercial) CM x B R z B 0 r R elemento de massa e δv 0 δt = Fext m ω V 0 x I yi z I Terra sistema de referência da Terra (considerado inercial) δω δt = J 1 ( M ext CM ω (Jω) )

4 Aplicação da 2a. Lei: resumo Sistemas de referência Sistemas de referência As forças e momentos, bem como velocidades e acelerações da aeronave estão escritos em diferentes sistemas de referência, em especial: sistema de referência terrestre (considerado inercial) sistema de referência do corpo sistema de referência aerodinâmico sistema de referência propulsivo Faça uma revisão das definições e das matrizes de transformação! x b a x a b V z b plano de simetria xb zb plano formado por xa e yb CM z a y b y a

5 Comecemos com a 2a. Lei aplicada à dinâmica de translação: δv 0 δt = Fext m ω V 0 soma das forças externas, no referencial do corpo: F ext = L ba D Y L + L bp T 0 0 }{{} F x F y F z +L bt 0 0 mg

6 vetor velocidade do CG, no referencial do corpo: Não se esqueça que: V 0 = V 0 = L ba V 0 0 u v w = Daí saem as relações entre as componentes u, v, w com V, α e β que veremos adiante. u v w

7 vetor velocidade de rotação da aeronave em relação ao referencial da Terra, escrito no referencial do corpo: ω = NOTA: o produto vetorial ω V 0 pode ser calculado pela produto matricial: 0 r q u qw rv ω V 0 = r 0 p v = pw + ru q p 0 w pv qu p q r

8 A aplicação de: resume-se portanto a: u v ẇ = F x /m F y /m F z /m δv 0 δt } {{ } aero + prop + = Fext m ω V 0 g sin θ g cos θ sin φ g cos θ cos φ } {{ } gravidade + qw + rv pw ru pv + qu } {{ } rotação

9 Passemos à aplicação da 2a. Lei à dinâmica de rotação: δω δt = J 1 ( M ext CM ω (Jω) ) soma dos momentos externos, no referencial do corpo: M ext = M A }{{} aero + M }{{} F = prop L M N

10 Considerando simetria com relação ao plano que corta a aeronave verticalmente na linha de referência da fuselagem: Jxx 0 Jxz J = 0 J yy 0, J xz 0 J zz a solução algébrica leva a (veja próximo slide a obtenção usando MATLAB simbólico): J ṗ zz L J xz N +J xz ( J xx +J yy J zz )pq+(jxz 2 +J zz 2 Jyy Jzz )qr q = ṙ Jxz 2 Jxx Jzz M +(J zz J xx )pr+j xz (r 2 p 2 ) J yy J xz L J xx N +(J xx J yy Jxx 2 J xz 2 )pq+j xz (J xx J yy +J zz )qr Jxz 2 Jxx Jzz

11 Usando MATLAB simbólico para calcular J 1 (M ext CM ω (Jω)): syms p q r Jxx Jyy Jzz Jxz L M N % angular velocity om=[p;q;r]; % inertia diadic J=[Jxx,0,-Jxz;0,Jyy,0;-Jxz,0,Jzz]; % total external moment Mext=[L;M;N]; simplify((j^(-1))*(mext-cross(om,j*om))) Obtém-se como resposta: ans = - (Jxz*(N + q*(jxx*p - Jxz*r) - Jyy*p*q))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) - (Jzz*(L + q*(jxz*p - Jzz*r) + Jyy*q*r))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) -(p*(jxz*p - Jzz*r) - M + r*(jxx*p - Jxz*r))/Jyy - (Jxx*(N + q*(jxx*p - Jxz*r) - Jyy*p*q))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) - (Jxz*(L + q*(jxz*p - Jzz*r) + Jyy*q*r))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz)

12 Chegamos ao seguinte sistema de equações diferenciais: u = F x /m g sin θ qw + rv v = F y /m + g cos θ sin φ + pw ru ẇ = F z /m + g cos θ cos φ pv + qu ṗ = J zz L J xz N + J xz ( J xx + J yy J zz ) pq + ( ) Jxz 2 + Jzz 2 J yy J zz qr Jxz 2 J xx J zz q = M + (J ( zz J xx ) pr + J xz r 2 p 2) J yy ṙ = J xz L J xx N + ( ) J xx J yy Jxx 2 Jxz 2 pq + Jxz (J xx J yy + J zz ) qr Jxz 2 J xx J zz

13 Para resolver esse sistema de equações diferencias é necessário conhecer ainda: α, β e V : modelo aerodinâmico / modelo propulsivo altitude H : modelo aerodinâmico / modelo propulsivo θ e φ: entram diretamente nas equações

14 Da cinemática de translação temos que: d R 0 = V 0 d t Escrevendo-se os vetores no sistema terrestre: ẋ ẏ = L T u bt v Ḣ w onde, lembrando: L bt é a matriz de transformação u, v e w são as componentes de V 0 no sistema do corpo x I sistema de referência do corpo (não inercial) x B R z B 0 yi z I Terra CM r sistema de referência da Terra (considerado inercial) R elemento de massa

15 No MATLAB simbólico: syms psi theta phi u v w real % IRF to BRF Lpsi=[cos(psi) sin(psi) 0;-sin(psi) cos(psi) 0;0 0 1]; sistema de referência do corpo (não inercial) elemento de massa Ltheta=[cos(theta) 0 -sin(theta);0 1 0;sin(theta) 0 cos(theta)]; CM r Lphi=[1 0 0;0 cos(phi) sin(phi);0 -sin(phi) cos(phi)]; x B % transformation matrix Lbt=Lphi*Ltheta*Lpsi; R 0 z B R % vector velocity, written on IRF simplify(lbt *[u;v;w]) Em regime sem a presença de vento, x e y são ignoráveis. A equação de Ḣ é: x I yi z I Terra sistema de referência da Terra (considerado inercial) Ḣ = u sin θ v cos θ sin φ w cos φ cos θ

16 Da cinemática de rotação, temos no sistema do corpo (lembre-se que os ângulos de Euler não estão definidos no sistema do corpo!): φ 0 0 +L φ 0 θ 0 +L φ L θ 0 0 ψ = ω = p q r q Logo (use o MATLAB simbólico por exemplo): φ = p + tan θ(q sin φ + r cos φ) p x b CG y b θ = q cos φ r sin φ ψ = q sin φ + r cos φ cos θ z b r

17 Da relação geométrica entre os sistemas aerodinâmico e do corpo: V = u 2 + v 2 + w 2 α = arctan w u β = arcsin v V Porém, por vezes é conveniente usar as equações com as variáveis do segundo conjunto. Logo: x b a x a b V z b plano de simetria xb zb plano formado por xa e yb CM z a y b y a V = (u u + v v + wẇ) /V α = (uẇ w u) / ( u 2 + w 2) β = ( V v v V ) / (V ) u 2 + w 2 u = V cos β cos α v = V sin β w = V cos β sin α

18 Determinação do equiĺıbrio V = (u u + v v + wẇ) /V θ = q cos φ r sin φ q = M + (Jzz Jxx ) pr + Jxz ( r 2 p 2) J yy α = (uẇ w u) / ( u 2 + w 2) Ḣ = u sin θ v cos θ sin φ w cos φ cos θ β = ( V v v V ) / (V ) u 2 + w 2 ṙ = Jxz L Jxx N + ( J xx J yy Jxx 2 Jxz 2 ) pq + Jxz (J xx J yy + J zz ) qr Jxz 2 J xx J zz φ = p + tan θ(q sin φ + r cos φ) ṗ = Jzz L Jxz N + Jxz ( Jxx + Jyy Jzz ) pq + ( J 2 xz + J 2 zz J yy J zz ) qr J 2 xz J xx J zz

19 Determinação do equiĺıbrio O sistema de equações diferenciais assim obtido pode ser integrado numericamente, dados: condição inicial comandos Vetor de estado, no sistema completo: X = [ V θ q α Ḣ β ṙ φ ṗ ] T 5 variáveis longitudinais 4 variáveis látero-direcionais

20 Determinação do equiĺıbrio Determinação do equiĺıbrio Considerando-se apenas os controles primários: 9 estados 4 controles No equiĺıbrio: taxas de variação nulas: p = q = r = 0 equações de θ e φ anulam-se identicamente, veja: θ = q cos φ r sin φ Logo: φ = p + tan θ(q sin φ + r cos φ) restam 7 equações 6 estados + 4 controles a serem determinados Portanto, 3 grandezas precisam ser estipuladas a priori: velocidade de voo (V ), altitude de voo (H ),ângulo de derrapagem (β, normalmente nulo)

21 Determinação do equiĺıbrio Determinação do equiĺıbrio Casos de exceção: voo de subida permanente neste caso, Ḣ /V é igual ao gradiente de subida como a densidade varia, é válido somente nas redondezas da condição de operação informada retirado de news.delta.com

22 Determinação do equiĺıbrio Determinação do equiĺıbrio Casos de exceção: curva permanente neste caso, ψ = Ω é o gradiente de curva, e φ = θ = 0 da relação entre as componentes da velocidade angular, 3 estados ficam estipulados: p E = Ω sin θ E q E = Ω sin φ E cos θ E r E = Ω cos φ E cos θ E 7 equações: 4 controles + 3 estados podem ser determinados 3 estados estipulados (V, H, e β = 0 para curva coordenada) NOTE: os comandos obtidos são para manter a condição de voo, e não para se chegar a ela!