Notas sobre Mecânica Clássica

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1 Notas sobre Mecânica Clássica Hildeberto Eulalio Cabral 1 Cinemática do corpo rígido Em mecânica clássica, um corpo rígido é um sistema de pontos materiais cuas distâncias entre dois quaisquer deles mantem-se inalterada. Esta é uma idealização pois na natureza não existe nenhum corpo que sea absolutamente rígido, todos sofrem alguma deformação quando se exerce sobre eles grandes pressões ou tensões. Tomemos um ponto O no corpo, chamando-o de polo. Fixemos um sistema de coordenadas Oxyz, com origem em O e cuos eixos são firmemente ligados ao corpo de modo que sob um movimento qualquer do corpo os seus pontos não se movem em relação a este sistema de coordenadas. Fixemos no espaço um sistema absoluto de coordenadas inerciais O a XY Z. O movimento do corpo rígido fica completamente determinado pelo movimento do polo O e pela posição, em cada instante, do sistema de coordenadas Oxyz em relação aos eixos dos sistema absoluto. Esta posição relativa dos dois sistemas de coordenadas é caracterizada pela matriz ortogonal A que leva os vetores unitários E X, E Y, E Z dos eixos do sistema fixo O a XY Z nos vetores unitários e x, e y, e z dos eixos do sistema móvel Oxyz. Se P é um ponto do corpo, denotemos por r o vetor das coordenadas de OP no sistema absoluto e por ρ o vetor das coordenadas de OP nos sistema móvel, isto é, r = r 1 E X +r 2 E Y +r 3 E Z = OP = ρ 1 e x +ρ 2 e y +ρ 3 e z, logo, ρ = ρ 1 E X + ρ 2 E Y + ρ 3 E Z. Então, Ao longo do movimento do corpo temos ρ = 0, de modo que r = A ρ. (1.1) ṙ = A ρ = Σr, onde Σ = AA 1. Esta matriz é anti-simétrica, pois derivando a identidade AA T = I, obtemos AA T + AA T = 0 ou sea Σ + Σ T = 0. Representando Σ na forma Σ = 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω 1 (1.2) ω 2 ω 1 0 e tomando ω 1, ω 2, ω 3 como as componentes de um vetor ω no sistema de coordenadas O a XY Z, verificamos que Ar = ω r, produto vetorial de ω por r. Portanto, a velocidade 1

2 do vetor r é dada por ṙ = ω r. (1.3) Se R é o vetor-posição do ponto P do corpo e R O o do polo, então temos R = R O + r de modo que Ṙ = ṘO + ω r, (1.4) ou sea a velocidade do ponto P do corpo, v = Ṙ, e a do polo, v O = ṘO, satisfazem a relação v = v O + ω r. (1.5) O vetor ω é intrínseco ao movimento do corpo rígido, não dependendo nem do polo O nem do sistema de coordenadas Oxyz fixado no corpo. De fato, tomemos outro polo Õ e outro sistema de coordenadas Õ xỹ z fixados no corpo. Então, temos R = RÕ + r e outra matriz Σ = ÃÃ 1 que nos dá o vetor ω. A velocidade de cada ponto P do corpo obedece então à equação v = võ + ω r. Tomando em (1.5) o ponto P como o polo Õ temos v Õ = v O + ω OÕ e como OÕ = r r, obtemos da equação anterior Desta equação e de (1.5) segue-se que v = v O + ω ( r r) + ω r. ( ω ω) r = 0. Daqui vemos que se o corpo não se reduzir a um comunto de ponto contidos em uma reta que passe por Õ, podemos obter dois vetores r não paralelos entre si e isto implicará que ω = ω. O vetor ω é chamado a velocidade angular instantânea do corpo rígido. Se um corpo rígido está se movendo de modo que todos os seus pontos têm a mesma velocidade, dizemos que este é um movimento de translação. Se num certo instante todos os seus pontos têm a mesma velocidade dizemos que ele está em uma translação instantânea. Por (1.5) é claro que neste instante a velocidadde angular é nula. Se na translação instantânea a velodidade é nula dizemos que o corpo está em estado de repouso instantâneo. Se existe uma reta fixa que passa por um dos pontos do corpo rígido e todos os pontos deste que estão sobre a reta têm velocidade nula, dizemos que ele executa um movimento de rotação em torno desta reta, a qual denominamos eixo de rotação do movimento. Neste caso o vetor velocidade angular tem direção fixa, a do eixo de rotação. Se o corpo não está em movimento de translação e num certo instante existe um de seus pontos com velocidade nula, então tomando este ponto O como o polo vemos de (1.5) que neste instante todos os pontos do corpo sobre a reta X = O + λω têm velocidade nula. Dizemos que esta reta é o eixo instantâneo de rotação do corpo. Se B : R 3 R 3 é uma transformação ortogonal com determinante igual a +1, então B tem um autovetor real com autovalor igual a 1. De fato, como B T B = I, temos det (B I) = det B T det (B I) = det (I B T ) = ( 1) 3 det (B I), logo, det (B I) = 0 e, assim, 1 é um autovalor de B. 2

3 Como B é real e B I é singular, existe um vetor não-nulo x R 3 tal que Bx = x. Sea e 3 um autovetor unitário de B associado ao autovalor 1 e complete-o para uma base ortonormal de R 3, e 1, e 2, e 3. Então, o subespaço E gerado por e 1, e 2 é invariante por B, pois para = 1, 2, temos Be, e 3 = e, Be 3 = e, e 3 = 0. Assim, B E : E E é uma rotação, pois para algum ângulo α e 3 a Be 1 e 2 Be 1 = cos αe 1 + sin αe 2, Be 2 = sin αe 1 + cos αe 2. e 1 A matriz de B nesta base é [B] = cos α sin α 0 sin α cos α O eixo definido pelo vetor e 3 é o eixo de rotação da matriz de rotação B: todos os pontos deste eixo ficam invariantes por B, Bx = x. Sea agora A : R 3 R 3 o operador linear definido na base E X, E Y, E Z pela matriz de transição A(t) desta base para a base do referencial móvel e x, e y, e z. Este operador tem um eixo instantâneo de rotação cua direção é dada por um autovetor v(t) do autovalor 1. Por outro lado, o corpo rígido ao qual está fixo o referencial tem um eixo instantâneo de rotação, em tôrno do qual o corpo gira com a velocidade angular instantânea ω(t). Ora, a direção do eixo instantâneo de rotação do corpo rígido, como vimos, não depende do particular referencial que se fixe no corpo, enquanto a matriz de rotação A(t) depende. Isto sugere que os dois eixos instantâneos de rotação não têm a mesma direção, isto é, que ω não é um autovetor de A(t) associado ao autovalor 1. Isto só ocorre se a rotação do corpo for estacionária. De fato, derivando Aω = ω, temos Aω + A ω = ω e como ω = A 1 ω, temos Ȧω = Σω = ω ω = 0. Portanto, A ω = ω, logo, ω = µω, o que implica que logo ω tem direção fixa. d ( ω ) = dt ω. ω ( ω ω) ω 3 = 0, Para construir um exemplo explícito em que v(t) e ω(t) são linearmente independentes, tomemos uma matriz anti-simétrica Σ(t) em (1.2) e consideremos a matriz de rotação ( t R(t) = exp 0 ) Σ(s) ds. Então, ṘR 1 = Σ e denotando por ω R o vetor de velocidade angular instantânea correspondente, temos ω R = ω. Mas, v R = ( ω 1, ω 2, ω 3 ) é um autovetor de t Σ(s) ds 0 correspondente ao autovalor 0, logo, R(t)v R (t) = v R (t). Os v R (t) e ω R (t) são em geral linearmente independentes. Para um caso particular disto tome ω = (1, 2t, 3t 2 ), então v = (t, t 2, t 3 ). Movimentos absolutos e relativos 3

4 Consideremos um sistema de coordenadas inercial fixo, O a XY Z e outro sistema de coordenadas Oxyz que se move no espaço. Consideremos um ponto P que se move no espaço. Este ponto apresenta dois movimentos, um em relação ao sistema fixo, chamado de movimento absoluto e outro em relação ao sistema móvel, chamado movimento relativo. O movimento do referencial Oxyz em relação ao referencial fixo O a XY Z é chamado de movimento de transferência. Vendo o sistema móvel como se estivesse associado a um corpo rígido, o referencial móvel e x, e y, e z executa uma rotação instantânea com velocidade angular ω. Se R é o vetor-posição do ponto P no sistema absoluto e R O o da origem do sistema móvel, então estes vetores se relacionam com o vetor r das coordenadas de OP nos sistema fixo pela equação R = R O +r. Por outro lado, r se relaciona com o vetor ρ das coordenadas de OP no sistema móvel através da matriz de transição, A, das duas bases pela equação (1.1), só que agora o vetor ρ não é constante. Assim, derivando (1.1) obtemos ṙ = Aρ + A ρ = ω r + A ρ. O vetor v r = A ρ é chamado velocidade relativa do ponto P. Ele e os outros dois vetores, ṙ e ω r, são dados no sistema absoluto de coordenadas O a XY Z. Derivando a igualdade R = R O + r, encontramos v = v O + ω r + v r. Conforme a equação (1.5) o vetor v t = v O + ω r é a velocidade que o ponto P teria caso ele se movesse de modo a constituir com o sistema Oxyz um corpo rígido. Este vetor é chamado de velocidade de transferência do ponto P e assim temos a fórmula de decomposição de velocidades: Proposição 1.1 Entre as velocidades absoluta, relativa e de transferência v a, v r, v t de um ponto P sempre vale a relação v a = v t + v r. (1.6) Neste ponto é apropriado introduzir as noções de derivada absoluta e derivada relativa de uma função vetorial que serão usadas muitas vezes no futuro. Consideremos, como acima, dois sistemas de coordenadas, um fixo O a XY Z e outro móvel, Oxyz. Consideremos agora uma grandeza vetorial que depende do tempo, F(t), representada pelo segmento OP. Denotemo-la por U quando referenciada ao sistema absoluto e por u quando referenciada ao sistema móvel. Então U = Au, onde A é a matriz de transição das bases dos dois sistemas. Derivando em relação ao tempo, obtemos U = ω U + A u. Denotamos por df dt o vetor U e o chamamos de derivada absoluta de F(t) e por df dt o vetor A u e o chamamos de derivada relativa de F(t). Estes vetores são dados no sistema absoluto de coordenadas. Assim, temos o seguinte resultado: Proposição 1.2 As derivadas absoluta e relativa da função vetorial F(t) são vinculadas pela relação df dt = df + ω F. (1.7) dt 4

5 Por exemplo, uma equação dinâmica df = R a, resultante da aplicação de leis da dt mecânica num sistema inercial, será escrita na forma df dt + ω F = R a. Se as expressões de F, ω e R a no sistema móvel Oxyz são f, ω m e R, então F = Af, ω = Aω m e R a = AR, de modo que usando a identidade A ( ω m f ) = Aω m Af obtemos a equação df dt + ω m f = R. (1.8) 2 Ângulos de Euler. Equações cinemáticas de Euler Tomemos novamente um sistema de coordenadas fixo, O a XY Z e outro sistema de coordenadas Oxyz que se move no espaço. Consideremos o sistema OXY Z obtido do sistema fixo por translação para o ponto O. Seam E X, E Y, E Z os vetores unitários dos eixos do sistema OXY Z e e x, e y, e z os vetores unitários dos eixos do sistema Oxyz. Para descrever o referencial do sistema móvel em termos do referencial do sistema fixo, usamos os ângulos de Euler, assim definidos: consideramos a linha dos nodos que é a reta interseção do plano Oxy com o plano OXY e denotamos por e N o vetor unitário de sua direção, no sentido do vetor E Z e z. Denotamos por ψ o ângulo de e x com e N, chamado o ângulo de precessão. Denotamos por θ o ângulo que E Z faz com e z, chamado o ângulo de nutação. Finalmente, consideramos o ângulo que e N faz com e x, chamado ângulo de rotação própria. X z y q O y N Z f x y Y Aqui ψ é o ângulo de uma rotação em torno do eixo OZ que leva o eixo OX no eixo ON, no sentido anti-horário, θ é o ângulo de uma rotação em torno do eixo ON que leva o eixo OZ no eixo Oz, no sentido anti-horário e ϕ é o ângulo de uma rotação em torno do eixo Oz que leva o eixo ON no eixo Ox, no sentido anti-horário. A composição destas três rotações leva o referencial E X, E Y, E Z do sistema OXY Z no referencial e x, e y, e z do sistema Oxyz. Os ângulos ψ, θ, ϕ são chamados os ângulos de Euler. Note que a proeção do eixo Oz sobre o plano OXY faz com o eixo OY um ângulo igual a ψ. Assim obtemos a seguinte espressão de e z na base E X, E Y, E Z : Evidentemente, temos e z = sin θ sin ψ E X sin θ cos ψ E Y + cos θ E Z. e N = cos ψ E X + sin ψ E Y, de modo que o vetor e N = e z e N, no plano Oxy, tem a seguinte expressão e N = cos θ sin ψ E X + cos θ cos ψ E Y + sin θ E Z. 5

6 Como e x = cos ϕ e N + sin ϕ e N e e y = sin ϕ e N + cos ϕ e N, obtemos imediatamente os vetores e x e e y como combinação linear da base E X, E Y, E Z : e x = (cos ϕ cos ψ sin ϕ cos θ sin ψ)e X + (cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos θ cos ψ) E Y + sin θ sin ϕ E Z, e y = ( sin ϕ cos ψ cos ϕ cos θ sin ψ) E X + ( sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos θ cos ψ) E Y + sin θ cos ϕ E Z. Portanto, a matriz de transição da base E X, E Y, E Z para a base e x, e y, e z é A = cos ϕ cos ψ sin ϕ cos θ sin ψ sin ϕ cos ψ cos ϕ cos θ sin ψ sin θ sin ψ cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos θ cos ψ sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos θ cos ψ sin θ cos ψ sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ (2.1) Composição de rotações com eixos concorrentes Consideremos dois sistemas de coordenadas móveis com a mesma origem O, Ox 1 y 1 z 1 e Ox 2 y 2 z 2, o primeiro girando em relação a um sistema absoluto de coordenadas com velocidade angulare ω 1 e s segundo girando em relação primeiro com uma velocidade angular ω 2. Qual a velocidade angular do movimento composto pelos movimentos dos dois sistemas? Tomemos um ponto P fixo em relação sistema Ox 2 y 2 z 2. Então, por (1.6) a decomposição de velocidades, usando o sistema Ox 1 y 1 z 1 é dada por v a = v t + v r. w 1 O P w 2 Mas, v t = v O + ω 1 OP e como o segundo sistema gira em relação ao primeiro temos v r = ω 2 OP. Por outro lado, se a velocidade angular do movimento composto é Ω, temos v a = v O + Ω OP. Por conseguinte, obtemos Ω OP = (ω 1 + ω 2 ) OP. Como P é um ponto arbitrário, obtemos Ω = ω 1 + ω 2. Se tivermos três sistemas de coordenadas com a mesma origem O e velocidades angulares ω 1, ω 2 e ω 3, combinando ω 1 + ω 2 com ω 3 concluimos que a velocidade angular da composição dos movimentos é Ω = ω 1 + ω 2 + ω 3 e isto vale para um número qualquer de rotações com eixos concorrentes temos Ω = ω 1 + ω ω n. 6

7 O que acabamos de ver pode ser aplicado na obtenção das equações que dão as componentes da velocidade angular de um corpo rígido em termos dos ângulos de Euler. A figura seguinte basicamente é aquela que ilustra a definição dos ângulos de Euler, porém destacando as rotações em torno dos eixos OZ, ON e Oz. Desta figura obtemos imediatamente as componentes das três rotações R ψ, R θ e R ϕ em torno dos eixos mencionados. Para obter as componentes das velocidades angulares destas rotações em relação ao referencial móvel e x, e y, e z, convém notar inicialmente que a proeção da velocidade angular ω ψ sobre o plano Oxy tem componentes ( ψ sin θ sin ϕ, ψ sin θ cos ϕ, 0). X z f q y q N Z y f f x y Y As três rotações têm portanto velocidades angulares com as seguintes componentes na base e x, e y, e z : ω ϕ = (0, 0, ϕ) ω θ = ( θ cos ϕ, θ sin ϕ, 0) ω ψ = ( ψ sin θ sin ϕ, ψ sin θ cos ϕ, ψ cos θ). Concluimos que a velocidade angular ω do referencial e x, e y, e z, que é dada por ω = ω ψ + ω ϕ + ω θ, tem neste referencial as componentes p, q, r dadas por p = ψ sin θ sin ϕ + θ cos ϕ q = ψ sin θ cos ϕ θ sin ϕ (2.2) r = ψ cos θ + ϕ. Estas são chamadas equações cinemáticas de Euler. 3 Geometria das massas. O tensor de inércia Consideremos um sistema de massas m 1,..., m N localizadas pelos vetores-posição r 1,..., r N em um sistema de coordenadas Oxyz. O centro de massa do sistema é o ponto C do espaço, definido pelo raio-vetor r C = 1 m r, (3.1) M =1 onde M = m m N é a massa total do sistema. Consideremos um eixo definido pelo vetor unitário u. O momento de inércia do sistema relativamente a este eixo é definido por J u = m ρ 2, (3.2) =1 7

8 onde ρ é a distância do ponto P ao eixo u. Quando o corpo é formado por uma distribuição contínua de massa sobre uma região R do espaço, a definição é: J u = ρ 2 dm. R Denotando por J x, J y, J z os momentos de inércia do sistema de massas em relação aos eixos coordenados Ox, Oy, Oz temos (aqui tomamos o corpo definido por um continuo de massa ocupando uma região R) J x = (y 2 + z 2 )dm, J y = (z 2 + x 2 )dm, J z = (x 2 + y 2 )dm. (3.3) R R R Definimos também os produtos de inércia pelas igualdades J xy = xy dm, J xz = xz dm, J yz = R R R yz dm. (3.4) Denotemos por α, β, γ os co-senos diretores da direção u, isto é, os co-senos dos ângulos que o eixo u faz com os eixos coordenados Ox, Oy, Oz. Como ρ 2 = ρ 2 (ρ bfu) 2, temos J u = = m ρ 2 = m [(x 2 + y 2 + z 2 ) (x α + y β + z γ) 2 ] = =1 =1 m [(1 α 2 )x 2 + (1 β 2 )y 2 + (1 γ 2 )z 2 2αβx y 2αγx z 2βγy z ]. =1 Usando a iqualdade α 2 + β 2 + γ 2 = 1, mudamos os coeficientes 1 α 2, 1 β 2, 1 γ 2 respectivamente para β 2 + γ 2, α 2 + γ 2, α 2 + β 2 e coletamos os termos semelhantes na expressão dentro dos colchetes. Obtemos J u = J x α 2 + J y β 2 + J z γ 2 2J xy αβ 2J xz αγ 2J yz βγ, (3.5) onde foi introduzida a notação (compare com (3.3) e (3.4)) J x = m (y 2 + z 2 ), J y = =1 m (z 2 + x 2 ), J z = =1 m (x 2 + y 2 ) (3.6) =1 J xy = m x y, xz = =1 m x z, J yz = =1 m y z. (3.7) =1 Como o vetor u tem componentes α, β, γ, a equação (3.5) pode ser escrita na forma J u = u T Ju, (3.8) onde J é a matriz simétrica J = J x J xy J xz J xy J y J yz J xz J yz J z. (3.9) 8

9 A forma quadrática associada à forma bilinear simétrica cua matriz na base canônica é a matriz J é chamada o tensor de inércia do sistema de pontos materiais. Suponha que o sistema de pontos materiais é tal que J u 0, para toda direção u. Sea P (x, y, z) o ponto ao longo da semi-reta definida pelo eixo u que está a uma distância do ponto O igual a 1/ J u. Então, OP = 1 Ju u, donde α = J u x, β = J u y, γ = J u z. Substituindo estes valores de α, β, γ na equação (3.5) e cancelando o fator J u, vemos que as coordenadas de P satisfazem à equação J x x 2 + J y y 2 + J z z 2 2J xy xy 2J xz xz 2J yz yz = 1. (3.10) Os coeficientes J x, J y,... nesta equação são constantes que dependem somente da geometria do sistema de massas. Esta equação representa portanto uma quádrica em R 3, chamada de elipsóide de inércia do sistema de pontos materiais, relativamente ao ponto O. Normalmente, esta de fato é um elipsóide mas em casos especiais pode ser um cilindro, por exemplo, se o sistema de massas está distribuido sobre uma reta, um dos momentos de inércia é nulo e a quádrica é um cilindro. Se o ponto O é o centro de massa do sistema, dizemos que (3.10) é o elipsóide central de inércia do sistema material. Como para toda matriz real simétrica existe uma base ortonormal de autovetores, seam e 1, e 2, e 3 autovetores ortonormais de J com os autovalores I 1, I 2, I 3, respectivamente. Então, Je = I e, logo se x = OP = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, temos x T Jx = I 1 x I 2 x I 3 x 2 3, e a equação (3.10) é escrita na forma I 1 x I 2 x I 3 x 2 3 = 1. (3.11) Daqui vê-se claramente que se I 1 > 0, I 2 > 0 e I 3 > 0, então a quádrica (3.10) é de fato um elipsóide com semi-eixos 1 1 1,,, (3.12) I1 I2 I3 e se um dos autovalores é nulo, a quádrica é um cilindro. Os autovetores e 1, e 2, e 3 do tensor J são chamados eixos principais de inércia do sistema material e os autovalores I 1, I 2, I 3 são os momentos principais de inércia. Note que I = e T Je e (3.8) mostra que os autovalores I 1, I 2, I 3 são de fato os momentos de inércia do sistema material relativamente aos eixos principais de inércia. Se o ponto O é o centro de massa do sistema material acrescentamos a esta terminologia o adetivo central, assim, por exemplo falamos em elipsóide central de inércia, eixos centrais principais de inércia, etc; claro que neste caso não precisamos fazer referência ao ponto O. Observemos que, por (3.12), os semieixos do elipsóide de inércia são inversamente proporcionais às raízes quadradas do momento de inércia. Assim, a forma do corpo é refletida na de seu elipsóide de inércia: um corpo alongado em uma dada direção tem um elipsóide de inércia também alongado naquela direção. 9

10 Note que se em algum sistema de coordenadas Oxyz, dois dos produtos de inércia são nulos, digamos J xz = J yz = 0, então o eixo Oz é um eixo principal de inércia para o elipsóide de inércia relativo ao ponto O. De fato, da matriz (3.9) vemos que a terceira coluna é um autovetor do tensor de inércia, logo, o eixo Oz é um eixo principal de inércia. Para nos mantermos com a notação do livro do Markeev, denotemos os autovalores I 1, I 2, I 3 por A, B, C. Das igualdades A = m (y 2 + z 2 ), B = m (x 2 + z 2 ), C = m (x 2 + y 2 ) vemos imediatamente que A, B, C satisfazem às desigualdades triangulares A + B C, A + C B, B + C A. (3.13) Mas, podemos melhorar esta afirmação, considerando a igualdade A + B = m (x 2 + y 2 ) + 2 m z 2 = C + 2 m z 2, que não somente estabelece a primeira desigualdade em (3.13) mas também mostra que o sinal de igualdade nela ocorre se e somente se z = 0, para todo, isto é, os pontos materiais estão todos no plano z = 0. Conclusão semelhante evidentemente vale para as outras duas desigualdades em (3.13). Introduzindo os parâmetros θ A = A, θ B C = C as desigualdades triangulares (3.13) tomam B a forma θ A + 1 θ C, θ A + θ C 1, 1 + θ C θ A. (3.14) Estas desigualdades nos permitem dar uma interpretação geométrica para a região dos valores admissíveis dos parâmetros θ A e θ C. Esta é a região hachuriada na figura abaixo. Ela é uma faixa infinita entre as retas paralelas θ A +1 = θ C, 1+θ C = θ A que se estende C q para a direita e acima da reta θ A + θ C = 1. As partes da fronteira da região nas retas θ A + 1 = θ C, θ A + θ C = 1 e 1 + θ C = θ A correspondem aos sistemas de pontos materiais que estão respectivamente nos planos Oxy, Oxz and Oyz. Na figura, o ponto (1, 0), o 1 ponto (0, 1) e os pontos infinitamente afastados das retas θ A + 1 = θ C, 1 + θ C = θ A correspondem aos sistemas de pontos materiais que estão respectivamente nos eixos Oz, 0 q A Ox e Oy. q A + q C = 1 + qa 1= qc 4 As quantidades dinâmicas básicas da Mecânica Clássica 1+ q C = q A São três as quantidades básicas da Mecânica, sob o aspecto dinâmico: quantidade de movimento, momento cinético e energia cinética. Quantidade de movimento (produto de massa por velocidade). 10

11 Para um sistema de massas m com velocidades v a quantidade de movimento do sistema é definida por Q = m v. (4.1) Momento cinético (ou momento da quantidade de movimento), também chamado de momento angular. O momento cinético em relação a um ponto A do espaço é definido por K A = r (m v ), (4.2) onde r é o vetor-posição do ponto de massa massa m, em relação ao ponto A, e v é a velocidade deste ponto. Energia cinética, a quantidade dupla era classicamente chamada de vis viva, a força viva. A energia cinética de um sistema de massas m com velocidades v é definida por Propriedades T = 1 2 m v 2. (4.3) 1. Se M = m é a massa total do sistema, a quantidade de movimento é dada por onde v C é a velocidade do centro de massa definido em (3.1). De fato, Q = Mv C, (4.4) v C = 1 m ṙ = 1 m v = 1 M M M Q. 2. Para qualquer outro ponto B do espaço, temos a seguinte relação entre os momentos cinéticos relativamante aos pontos A e B: K B = K A + BA Q. (4.5) Em particular, para um ponto arbitrário O do espaço e o centro de massa, C, temos De fato, como r B = r A + BA, temos K O = K C + OC Q. (4.6) K B = r B (m v ) = ( ra + BA) (m v ) = K A + BA Q. Fixado um sistema inercial, um sistema de König é um sistema de coordenadas com origem no centro de massa e eixos paralelos aos do sistema inercial. Chamamos de momento cinético relativo o momento cinético em relação ao sistema de König. 11

12 Observemos que em um sistema de König, a velocidade de transferência de um ponto é igual à velocidade do centro de massa. Segue-se que: 3. O momento cinético com respeito ao centro de massa é o mesmo quer sea dado no sistema absoluto ou no sistema de König, isto é, De fato como por (1.6) v = v C + v r, temos K C = K C = K Cr. (4.7) ( ) r m vc + v r = r ( ) m v r = KCr, pois m r = 0, uma vez que C é a origem do sistema de König. ( ) 4. Teorema de König onde T C é a energia cinética relativamente ao centro de massa T = 1 2 M v C 2 + T C, (4.8) T C = 1 m v r 2. 2 De fato, considerando um sistema de König, temos v e = v C, logo v = v C + v r, donde T = 1 m v 2 = 1 ( m v C 2 + 2v C v r + v r ), e daqui resulta a igualdade (4.8) á que m v r = 0, pois C é a origem do sistema de König. Momento cinético e energia cinética de um corpo rígido Consideremos um corpo rígido movendo-se em torno de um ponto fixo O. Vamos encontrar as expressões de seu momento cinético K O e de sua energia cinética T. Teorema 4.1 Sea O o ponto estacionário do corpo rígido e sea ω a sua velocidade angular instantânea. Sea J o tensor de inércia do corpo relativo ao ponto O. Então: K O = Jω. (4.9) Prova Como v O = 0, a velocidade do ponto P do corpo é dada por v = ω r, donde usando a identidade vetorial a (b c) = (a c) b (a b) c, temos K O = r ( m (ω r ) ) = m [ r 2 ω ( r ω ) r ]. No sistema de coordenadas Oxyz, firmemente fixado no corpo, seam p, q, r as coordenadas de ω e x, y, z aquelas do vetor-posição OP. Então, o colchete na expressão de K O toma a forma (x 2 + y 2 + z 2 )(p, q, r) (px + qy + rz )(x, y, z ) = 12

13 = ( y 2 + z 2 )p x y q x z r, x y p + (x 2 + z 2 )q y z r, x z p y z q + (x 2 + y 2 )r ). Vemos da expressão acima para K O que K O = J xp J xy q J xz r J xy p + J y q J xz r = J ω. J xz p J yz q + J z r QED Corolário Se os eixos do sistema firmemente ligado ao corpo são paralelos aos eixos principais de inércia, então J xy = J xz = J yz = 0, logo, K Ox = Ap, K Oy = Bq, K Oz = Cr, onde A, B, C são os momentos principais de inércia do corpo rígido. Se o corpo rígido gira em torno de um eixo estacionário, digamos o eixo Oz, então p = q = 0 e temos K Ox = J xz r, K Oy = J yz r, K Oz = J z r. Vemos que a direção do eixo estacionário não coincide com a do momento cinético do corpo a não ser no caso em que o eixo estacionário sea um dos eixos principais de inércia. Teorema 4.2 Sea O o ponto estacionário do corpo rígido e sea ω a sua velocidade angular. Sea J o tensor de inércia do corpo relativo ao ponto O. Então, a energia cinética do corpo é dada por T = 1 2 ωt Jω = 1 2( ω Jω ). (4.10) Prova Como no teorema anterior, temos v = ω r, donde 2T = m ω r 2 = [ m ω 2 r 2 ( ) 2 ] ω r = m [ (p 2 + q 2 + r 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) (px + qy + rz ) 2 = J x p 2 + J y q 2 + J z r 2 2J xy pq 2J xz pr 2J yz qr = ω Jω. QED Usando a igualdade (4.9), obtemos deste teorema o seguinte resultado: Corolário Em termos do momento cinético, a energia cinética do corpo rígido movendo-se em torno do ponto estacionário O é dada por T = 1 2( KO ω ). (4.11) Se o sistema de coordenadas tem eixos paralelos aos eixos principais de inércia e p, q, r são as componentes da velocidade angular ω neste sistema, então por (4.11) temos onde A, B, C são os momentos principais de inércia. T = 1 2( Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 ), (4.12) 13

14 5 Leis dinâmicas: taxas de variação das grandezas básicas Nesta seção vamos obter as taxas de variação em relação ao tempo das grandezas dinâmicas fundamentais da mecânica. Variação da quantidade de movimento. Teorema 5.1 A taxa de variação no tempo da quantidade de movimento é igual à resultante de todas as forças externas atuando no sistema material, dq dt = R(e). (5.1) Prova Isto decorre da segunda lei de Newton, força = massa x aceleração, e sua terceira lei, a lei da ação e reação. De fato, pela segunda lei de Newton, temos m v = F (e) + F (i) onde F (e) é a resultante das forças externas e F (i) = k F (i) k é a resultante das forças internas atuando sobre a massa m. Agora para a soma das forças internas, temos F (i) = ( (i) F k + F (i) ) k = 0, <k pois, pela terceira lei de Newton, F (i) k dq dt = (i) = F. Por conseguinte, m v = k m F (e) = R (e). QED Assim, se a resultante das forças externas for nula, a quantidade de movimento é constante. Por (4.4), se a resultante das forças externas for nula, o centro de massa descreve um movimento retilíneo e uniforme. Variação do momento cinético. O teorema seguinte dá a taxa de variação do momento cinético K A em relação a um ponto A do espaço, o qual pode estar fixo ou se movendo ao longo de uma traetória arbitrária. Teorema 5.2 A taxa de variação do momento cinético de um sistema material com centro de massa C e massa total M é dada por: dk A dt = Mv C v A + M (e) A, (5.2) onde M (e) A é o momento total das forças externas que atuam sobre o sistema, relativamente ao ponto A. Prova Seam r o vetor-posição da massa m e r A o vetor-posição do ponto A, em relação a um sistema inercial fixo. Sea ρ = r r A. Então, K A = ρ ( m v ), donde dk A dt = = dρ dt ( ) m v + ρ ( m v ) ( dr dt dr ) A ( ) m v + ρ dt ( F (e) 14 + F (i) ),

15 onde F (i) = k F (i) k é a resultante das forças internas atuando sobre a massa m. A primeira soma se reduz a v A m v = Mv C v A e a segunda se reduz ao momento total das forças externas relativamente ao ponto A, M (e) A total das forças internas é nulo. De fato, M (i) A = ρ F (i) = <k ( ρ F (i) k + ρ k F (i) k = ρ F (e) ) = <k, por que o momento ( ρ ρ k ) F (i) k = 0, pois a força F (i) k atua na direção da reta que liga as massas m e m k. Portanto, dk A dt = Mv C v A + M (e) A. QED Na aplicação deste teorema a um corpo rígido em que o polo escolhido move-se no espaço, é necessário que tenhamos uma expressao para o momento cinético K O correspondente à expressão (4.9) para um polo estacionário. Teorema 5.3 Sea O o polo escolhido no corpo rígido e sea ω a velocidade angular instantânea deste. Sea J o tensor de inércia do corpo relativo ao ponto O. Então: K O = mr C v 0 + Jω, (5.3) onde m é a massa do corpo e r C é o vetor-posição do centro de massa. Prova Como, agora, a velocidade do ponto P do corpo é dada por v = v O +ω r, temos K O = r [m (v O + ω r ))] ( ) = m r v O + r ( m (ω r ) ) = mr C v O + m [ r 2 ω ( r ω ) r ]. Daqui por diante a demonstração segue exatamente como a do Teorema 4.2. QED Agora, vamos ver o teorema sobre a variação da energia cinética. Variação da energia cinética. References [1] A. P. Markeev, Theoretical Mechanics (in Russian), R&C Dynamics, Moscow-Izhevsk,