Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro. Mestrado...

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1 Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Mestrado... Complementos de Matemática - I Guião de Estudo Primeiro semestre Américo Bento Outono,

2 Conteúdo I 6 1 Cónicas Caracterização sintética Caracterização analítica Parábola Elipse Hipérbole Exercícios (cónicas) II 11 2 Coordenadas polares Referencial polar Relação entre as coordenadas polares e as coordenadas rectangulares As coordenadas rectangulares em função das coordenadas polares As coordenadas polares em função das coordenadas rectangulares Exercícios (coordenadas polares) III 15 3 Inversas trigonométricas. Derivadas; e primitivas destas Funções: composta; inversa; e derivadas Inversa da função seno; derivada e primitiva A inversa da função co-seno; derivada e primitiva A função inversa da função tangente; derivada e primitiva A função inversa da função co-tangente; derivada e primitiva Exercícios (trigonométricas) IV 25 4 Funções hiperbólicas; derivadas; e primitivas A função exponencial; derivadas e primitivas As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico. Derivadas e primitivas As funções tangente hiperbólica e cotangente hiperbólica. Derivadas; e primitivas destas Exercícios (hiperbólicas...) V 30 5 Alguns métodos de primitivação VI 33 2

3 6 Teoremas sobre aplicações de derivadas Exercícios propostos (teoremas sobre derivadas numa variável) VII 38 7 Cálculo integral 38 8 Integral definido e áreas planas limitadas por funções elementares Integral definido: introdução Integral definido: a fórmula de Barrow Integral definido de funções primitiváveis: algumas propriedades Aplicações do integral definido: áreas planas entre duas curvas da forma y = f(x) e y = g(x) Exercícios Integral definido e volume de sólidos de revolução determinados por funções elementares Sólido obtido por rotação de região com valores da variável dependente positivos Sólido obtido por rotação de região com valores da variável dependente negativos Sólido obtido por rotação da região entre dois gráficos Exercícios Exercícios (integrais definidos) Integral definido: caracterização de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral (demonstração) Exercícios VIII Quádricas Superfície cilíndrica (ou: cilindro) Parabolóide elíptico Parabolóide hiperbólico (sela) Superfície cónica (cone) Hiperbolóide de uma folha Hiperbolóide de duas folhas Elipsóide Exercícios (quádricas) IX Coordenadas cilíndricas; e coordenadas esféricas Coordenadas cilíndricas Coordenadas cilíndricas versus coordenadas rectangulares Coordenadas esféricas Coordenadas esféricas versus coordenadas rectangulares Exercícios

4 X Aplicações do cálculo diferencial: extremos de funções Ferramentas para o estudo de extremos locais Determinantes; valores próprios; matrizes: definidas positivas, definidas negativas Matriz hessiana; polinómio de Taylor, de ordem 2; e pontos estacionários Extremos locais (ou: relativos) Extremos de funções em conjuntos limitados e fechados (suprimido, em 12-13) Extremos condicionados e multiplicadores de Lagrange (suprimido, em 12-13) Exercícios propostos XI Cálculo integral, em R Caracterização por intermédio de somas de Riemann Interpretação geométrica Integral duplo sobre regiões diferentes de rectângulos de lados paralelos aos eixos coordenados Propriedades elementares e interpretação geométrica Integral duplo f da e valor numérico do volume da região 3D entre a região B de integração B e a superfície 2D definida pelo gráfico de f Integral duplo e valor numérico da área da região de integração Cálculo de integrais duplos: o teorema de Fubini Regiões elementares em R 2 e inversão da ordem de integração Integral duplo e coordenadas polares Exercícios propostos XII Alguns elementos de Cálculo Vetorial (ver secção 15, página 103) Comprimento de arco de curva; e integral de um campo escalar sobre uma curva Área de uma superfície; e integral de um campo escalar sobre uma superfície Exercícios propostos Produto de vetores Produto escalar em R Produto vectorial entre dois vectores de R Cálculo vetorial sobre curvas 3D Curva em R 3 ; parametrizações de uma curva e recta tangente a uma curva Comprimento de arco; diferencial da função comprimento de arco Integral de um campo escalar sobre uma curva Interpretação geométrica do integral de um campo escalar não-negativo sobre uma curva Integral de um campo vectorial sobre uma curva (suprimido, em )

5 17 Cálculo vetorial sobre superfícies 3D Parametrizações de superfícies Parametrizações de superfícies e vectores tangentes Valor numérico da área de uma superfície Área de uma superfície da forma z = f(x, y) Integral de um campo escalar sobre uma superfície Interpretação geométrica do integral de um campo escalar não-negativo sobre uma superfície (suprimido, em ) Integral de um campo vectorial sobre uma superfície (suprimido, em ) Três teoremas: de Green; de Stokes; e de Gauss (suprimido, em ) Teorema de Green Rotacional de um campo vectorial em R O operador nabla e o rotacional de um campo vectorial em R O teorema de Green na forma vectorial Teorema de Stokes Superfícies orientáveis O teorema de Gauss Divergência de um campo vectorial em R Divergência de um rotacional

6 Proposição 1.8 Relativamente a uma elipse, vale a relação (semi-corda axial focal) 2 = (semi-corda axial não focal) 2 + (semi-distância focal) 2. Proposição 1.9 Denote-se por a e b metade de cada corda axial de uma elipse. Relativamente ao referencial rectangular O wz constituído pelos eixos de simetria da elipse, a equação reduzida desta tem a forma w 2 a + z2 2 b = 1. 2 Demonstração. Sugestão: considere que um dos eixos definido pelos focos; e o outro, ortogonal ao primeiro no ponto médio do segmento de extremos nos focos. Exercício 1.10 Identifique uma família de triângulos de perímetro invariante. 1.5 Hipérbole Definição 1.11 (Hipérbole) Fixados dois pontos num plano, hipérbole é o conjunto de pontos do mesmo plano cujo módulo da diferença das distâncias àqueles dois pontos é constante. Tal como numa elipse, a recta definida pelos focos de uma hipérbole é um eixo de simetria desta. Este eixo toma, portanto, a designação de eixo focal. O outro eixo será designado por eixo não-focal. Este último é ortogonal ao primeiro no ponto médio (o centro da hipérbole) do segmento focal (o segmento cujos extremos são os focos). Uma hipérbole não contém pontos do seu eixo não-focal. Sendo P um ponto arbitrário de uma hipérbole H, de focos F 1, F 2, tem-se: onde k é uma constante real satisfazendo 0 < k < F 1 F 2. d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = k, (3) Exercício 1.12 Num plano, identifique os pontos P que satisfazem a condição (3) quando k = 0. Exercício 1.13 Num plano, identifique os pontos P que satisfazem a condição (3) quando k = F 1 F 2. Exercício 1.14 Num plano, identifique os pontos P que satisfazem a condição (3) quando k > F 1 F 2. Para cada k R tal que 0 < k < F 1 F 2, existem dois pontos no segmento [F 1 F 2 ] que satisfazem (3). Tais pontos são designados por vértices da hipérbole. Denotando-os por V 1 e V 2, o segmento [V 1 V 2 ] designa-se por corda axial focal, cujo ponto médio coincide com o ponto médio do segmento focal. Proposição 1.15 Se P é um ponto arbitrário da hipérbole H com focos F 1, F 2 e vértices V 1, V 2, então d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = V 1 V 2. (4) 8

7 9 Integral definido e volume de sólidos de revolução determinados por funções elementares Sólido obtido por rotação de região com valores da variável dependente positivos Seja f : [a, b] R contínua e tal que f(x) 0, para todo x [a, b]. Esta função determina a região fechada Q, Q = {(x, y) R 2 : a x b 0 y f(x)}. (40) Queremos construir uma fórmula para calcular o valor numérico do volume do sólido S gerado por Figura 3: Q = {(x, y) R 2 : a x b 0 y f(x)}. rotação de Q em torno do eixo Ox. Este sólido toma a designação de sólido de revolução. Figura 4: Sólido gerado por rotação da região Q em torno de Ox. Consideremos a partição do intervalo [a, b], n [x i 1, x i ], a = x 0 < x 1 < < x n = b, x i = x i x i 1 = b a n. i=1 Seja x i [x i 1, x i ]. A rotação do rectângulo de base x i e altura f(x i ) em torno de Ox gera um cilindro (uma moeda ) cuja base é um círculo de raio f(x i ) e altura x i. Tal cilindro toma a designação de cilindro elementar. O valor numérico do volume de cada cilindro elementar é π[f(x i )] 2 x i, i = 1, 2,..., n. 45

8 Proposição 10.7 Relativamente ao referencial Oxyz, se P é um parabolóide hiperbólico com eixo de simetria paralelo ao eixo Oz e planos de simetria paralelos aos planos de equações x = 0 e y = 0, então P é caracterizado pela relação z c = a(x x 0 ) 2 b(y y 0 ) 2, (63) onde c é uma constante real e a, b são números reais tais que ab > 0. Exercício 10.8 Escrever as proposições correspondentes aos casos em que o eixo de simetria do parabolóide hiperbólico é paralelo ao eixo Ox (ou ao eixo Oy) e planos de simetria paralelos aos planos coordenados. Use software adequado para acompanhar as suas investigações sobre o assunto. Ilustrar as diferentes situações com representações pictóricas Superfície cónica (cone) No referencial rectangular Oxyz, considerem-se as rectas {(0, y, y) : y R} e {(0, y, y) : y R}. Tendo presente as equivalências, z = y z = y z + y = 0 z y = 0 (z + y)(z y) = 0 z 2 y 2 = 0, podemos dizer que estas duas rectas são definidas pela condição z 2 = y 2. Considere-se a rotação destas rectas em torno do eixo Oz. Obtém-se uma superfície cónica: um cone de revolução. A condição que o caracteriza é, portanto, z 2 = x 2 + y 2. Notar que: para cada z = z 0, a condição x 2 + y 2 = z 2 0 caracteriza uma circunferência. Proposição 10.9 Relativamente ao referencial rectangular Oxyz, se C é um cone com eixo de simetria paralelo ao eixo Oz, então C é caracterizado pela relação onde a, b são números reais positivos. (z z 0 ) 2 = a(x x 0 ) 2 + b(y y 0 ) 2, (64) Exercício Escrever as Proposições correspondentes aos casos em que o eixo de simetria é paralelo a cada um dos eixos coordenados Oy e Ox. Faça ilustrações pertinentes. 62

9 Ô ¾ È µ È ¼ ÈÐ ÒÓ ÔÓÐ Ö Ô ½ Figura 11: Referencial esférico Coordenadas esféricas versus coordenadas rectangulares Para estabelecermos relações funcionais entre os dois sistemas de coordenadas é necessário estabelecer uma identificação entre os dois referenciais. Assim, um dos planos coordenadas de Oxyz identifica-se com o plano polar do referencial esférico e um dos semi-eixos ortogonais restantes identifica-se com o eixo polar ep 2 do referencial esférico. A construção das relações algébricas entre as coordenadas dos dois referenciais impõe que seja fixado o plano cartesiano que representa o plano polar. Mais: fixado tal plano, devemos fixar o semi-eixo que será identificado com o eixo polar ep 2. Os livros de Cálculo para não-graduados apresentam, em geral, a seguinte identificação: ref erencial rectangular Oxyz ref erencial esf érico Oρθφ Oxy plano polar ortogonal ao eixo ep 2 Ox + eixo polar ep 1 Oz + eixo polar ep 2 Sobre as variações dos parâmetros θ e φ. O primeiro desempenha o mesmo papel que nas coordenadas cilíndricas; logo: θ [0 2π[. O outro, como consequência da variação de θ, tem-se: φ [0, π]. Com a identificação ilustrada pela Figura 12, aa resposta às questões x =?, y =? e z =? é imediata; basta aplicar trigonometria elementar. Consideremos o resumo do objectivo: rectangulares cilíndricas esféricas (x, y, z) (r, θ, z) (ρ, θ, φ) x = r cos θ x =? y = r sin θ y =? z = z z =? r = x 2 + y 2 ρ =? Usando o teorema de Pitágoras e tendo presente que r = x 2 + y 2, inferimos que a relação entre ρ e as coordenadas rectangulares é ρ = x 2 + y 2 + z 2. Para z =? Temos: cos φ = z ; logo: z = ρ cos φ. ρ Para responder às questões x =? e y =?, basta notar que sin φ = r e, portanto: r = ρ sin φ. ρ Usando esta relação nas relações funcionais das coordenadas x, y face às coordenadas cilíndricas, 69

10 12.3 Extremos locais (ou: relativos) Definição (Extremos locais) Sejam: A R n ; X 0 A; f : A R. 1. Diz-se que f(x 0 ) é máximo local (e X 0 o respectivo maximizante) se existir uma vizinhança U de X 0 tal que X (U A), f(x) f(x 0 ). 2. Diz-se que f(x 0 ) é mínimo local (e X 0 o respectivo minimizante) se existir uma vizinhança U de X 0 tal que X (U A), f(x) f(x 0 ). Teorema Sejam: A R n e f : A R diferenciável em X 0 int(a). Se f(x 0 ) é um extremo local para f então X 0 é ponto estacionário para f. Sendo A um conjunto, denotaremos por A a sua fronteira. Definição (Ponto crítico) Seja A R n e f : A R uma função contínua. Diremos que X 0 é ponto crítico para f se uma das asserções (a) ou (b) for verdadeira: (a) X 0 é ponto interior de A e X 0 é ponto estacionário para f ou a derivada de f em X 0 não existe; (b) X 0 é ponto fronteiro de A e X 0 é ponto estacionário para f A ou a derivada de f A em X 0 não existe. Definição (Ponto de sela) Sejam: A R n, X 0 A e f : A R. Diremos que (X 0, f(x 0 )) é um ponto de sela para (ou: relativo a) f se existirem subconjuntos A 1, A 2 de A, e contendo X 0, e uma vizinhança U de X 0 de tal modo que se verifiquem as duas asserções seguintes: (i) para todo X (U A 1 \ {X 0 }), f(x) > f(x 0 ); (ii) para todo X (U A 2 \ {X 0 }), f(x) < f(x 0 ); Exercício Mostrar que o ponto (0, 0, f(0, 0)) é um ponto de sela para a função real de duas variáveis reais cuja expressão designatória é f(x, y) = x 2 y 2. Proposição Sejam: A R n, X 0 int(a) e f : A R de classe C 3 em X 0. Se Df(X 0 ) = 0 e existir uma vizinhança U de X 0 tal que, para todo X U \ {X 0 }, verifica-se (i) (X X 0 ) H[f; X 0 ](X X 0 ) < 0 ou (ii) (X X 0 ) H[f; X 0 ](X X 0 ) > 0, então f(x 0 ) é extremo para f. Demonstração. Temos, pelo Corolário 12.20, numa certa vizinhança U de X 0. Se ocorrer f(x) f(x 0 ) 1 2 (X X 0) H[f; X 0 ](X X 0 ) (X X 0 ) H[f; X 0 ](X X 0 ) > 0 em cada X U, então f(x) f(x 0 ) > 0; portanto, f(x) > f(x 0 ); assim, f(x 0 ) é mínimo local. Por outro lado, se (X X 0 ) H[f; X 0 ](X X 0 ) < 0, então f(x) < f(x 0 ), ou seja, f(x 0 ) é máximo local. 78

11 Parte XI 13 Cálculo integral, em R 2 Neste capítulo, trataremos a integração sobre uma região bidimensional Caracterização por intermédio de somas de Riemann Seja Q = [a, b] [c, d] R 2. Uma partição de Q denotada por P(Q) define-se: P(Q) := n; m i=1; j=1 [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], a = x 0 < x 1 < < x n = b; c = y 0 < y 1 < < y m = d. Fazendo x i = (x i x i 1 ), para cada i {1, 2,..., n}, o diâmetro desta partição define-se: δ = diam(p(q)) := max{ x i y j : i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m}. Definição 13.1 Seja Q = [a, b] [c, d] B R 2 e f : B R. Diz-se que f é integrável no rectângulo Q se, qualquer que seja P(Q), existir o limite n m f(x i, y j) x i y j, (79) lim δ 0 i=1 (x i, y j) [x i 1, x i ] [y j 1, y j ]. No caso de tal limite existir, usa-se a forma condensada f da j=1 Q para o denotar. O símbolo da representa dxdy (ou dydx), sendo x, y as variáveis que intervêm na caracterização da expressão designatória de f Interpretação geométrica Para cada (x i, y j) [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], se f(x i, y j) 0 então f(x i, y j) x i y j 0. Mais, f(x i, y j) x i y j é o valor numérico do volume do prisma de base x i y j e altura f(x i, y j). Figura 13: Integral duplo de uma função z = f(x, y), (x, y) Q R 2. Para cada (x i, y j) [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], se f(x i, y j) 0 então f(x i, y j) x i y j 0. Mais, f(x i, y j) x i y j é o simétrico do valor numérico do volume do prisma de base x i y j e altura f(x i, y j). A condição δ 0 diz que a base de todos os prismas deve tender para zero. Assim, podemos considerar que os prismas se tornam cada vez mais finos. Como consequência, a região 3D entre Q e o gráfico de f vai ficando preenchida com prismas cada vez mais finos ; no limite, tais prismas preencherão toda a região referida. 90

12 2. O vector ( T u T v ) (u,v) é ortogonal à superfície S no ponto P (u,v). 3. Se ( T u T v ) (u,v) 0, então uma equação geral do plano tangente a S no ponto P (u,v) é P (u,v) X ( T u T v ) (u,v) = 0, onde X = (x, y, z) é um ponto arbitrário do plano. De acordo com a caracterização do produto vetorial, sendo T u = x u î + y u ĵ + z u ˆk, então ( T u T v ) = T v = x v î + y v ĵ + z v ˆk, y u y v z u z v î x u x v z u z v ĵ + x u x v y u y v ˆk. (86) Exemplo inserir exemplo... Definição 17.5 Seja S uma superfície parametrizada por ψ : Q R 3, ψ(u, v) = x(u, v) î + y(u, v) ĵ + z(u, v) ˆk. Diz-se que S é suave no ponto P (u,v) se ( T u T v ) (u,v) 0. Diz-se que S é suave se o for em todos os seus pontos. Exercício 17.6 Considere-se a superfície S parametrizada por ψ : R + 0 [0, 2π] R 3, ψ(u, v) = (u cos v) î + (u sin v) ĵ + u 2 ˆk. 1. Descreva S num referencial Oxyz. 2. Identifique os pontos de S onde é suave. 3. Escreva o plano tangente a S no ponto P (1,0) Valor numérico da área de uma superfície Proposição 17.7 Sendo E e F dois vectores, tem-se E F = E F sin( E, F ). Demonstração. (identidade de Lagrange...). Proposição 17.8 Sejam E, F dois vectores não-colineares. O valor numérico da área do paralelogramo definido pelos vectores E e F aplicados num ponto comum é E F. 110

13 Definição 16.3 (Derivada; curva diferenciável) Seja I = [a, b] R. A derivada do campo vectorial σ : I R 3, σ(t) = (σ 1 (t)) î + (σ 2 (t)) ĵ + (σ 3 (t)) ˆk, no instante t é o vector cujas componentes são as derivadas dos campos escalares componentes do vector σ(t). Assim: d σ dt = dσ 1 dt î + dσ 2 dt ĵ + dσ 3 dt ˆk. A curva representada pela parametrização σ diz-se diferenciável se existirem as derivadas dos campos escalares componentes do vector σ(t) em cada t; e dir-se-á de classe C 1 se tais derivadas forem contínuas no domínio de σ. Definição 16.4 (Tangente a uma curva) Seja σ : I R 3 uma parametrização diferenciável em t 0. A recta tangente à curva σ (I) no ponto σ (t 0 ) tem equação vectorial onde X é um ponto arbitrário da recta. Exemplo. (Ver folha para tpráticas) X = σ (t 0 ) + α d σ dt (t 0), α R, 16.2 Comprimento de arco; diferencial da função comprimento de arco Considere-se uma partição de I = [a, b] R com a forma a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n = b, e uma curva γ parametrizada pelo campo vectorial σ : I R 3, σ(t) = (σ 1 (t)) î + (σ 2 (t)) ĵ + (σ 3 (t)) ˆk. inserir imagem Denotemos por P ti, o ponto que satisfaz a igualdade OP ti = σ(t i ), para cada t i. P ti é um ponto da curva γ(= σ(i)) e pode ser interpretado como sendo a extremidade do vector σ(t i ). A soma dos comprimentos P 0 P 1, P 1 P 2,..., P n 1 P n aproxima o comprimento da curva σ(i) porque cada vértice da linha poligonal P 0, P 1,...,P n pertence à dita curva. Assim, quanto mais fina for a partição de I, menor é a diferença entre o comprimento da curva σ(i) e a soma P 0 P 1 + P 1 P P n 1 P n. Se existir o limite de P 0 P 1 + P 1 P P n 1 P n, quando o diâmetro da partição tende para zero (o número de intervalos da partição tende para + ), tal limite representa o comprimento da curva σ(i). Este limite é o integral a seguir caracterizado: Proposição 16.5 (Comprimento de curva) Sendo σ : [a, b] R 3 uma parametrização da curva diferenciável γ, o valor numérico do seu comprimento é b d σ dt (t) dt. a 105