Formas quadráticas. x y. forma quadrática associada à equação quadrática. real simétrica n n, B 2 M 1n (R) e escalar.

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1 Formas quadráticas Equação quadrática em duas variáveis x e y: ax + by + cxy + dx + ey + f 0 h i a c x y c b A x y (A real simétrica). Q : R! R, + h d e i x y u Q (u) u T Au ax + by + cxy + f 0 forma quadrática associada à equação quadrática Equação quadrática em n variáveis x ; x ; : : : ; x n : u T Au + Bu + 0 u M n (R), A a ij real simétrica n n, B M n (R) e escalar. Q : R n! R Q (u) u T Au n P i np j forma quadrática associada à equação quadrática a ij x j! x i

2 Em R u x y z A a d e d b f e f c B g h i ax +by +cz +dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+ 0 À super cie resultante da equação anterior chama-se quádrica. Existem quatro tipos de quádricas não degeneradas: elipsóides, hiperbolóides (de uma ou duas folhas), cones e parabolóides (elípticos ou hiperbólicos). Em R : Cónica ou secção cónica é a curva plana obtida por meio de um corte efectuado por um plano relativamente a uma superfície cónica. As secções cónicas não degeneradas, são elipses (os valores próprios têm o mesmo sinal) podendo ter-se circunferências (os valores próprios são iguais) quando o corte é efectuado perpendicularmente ao eixo de simetria do cone, parábolas (um dos dois valores próprios é zero) e hipérboles (os dois valores próprios têm sinais contrários).

3 x + xy + y elipse Q(x; y) x +xy+y h x y i x y h x y i p p p p 0 0 p p p p x y 0 p p p p x y C A T 0 0 p p p p x y h x 0 y 0 i 0 0 x 0 y 0 x 0 + y 0 com x 0 y 0 cos sen sen cos x y A P T DP

4 x + y elipse y x x + xy + y elipse y x

5 x y hipérbole y x x y parábola y x

6 Quadrados mínimos Au b A M mn (R), b R m Como Au C (A) para todo o u R n e b P C(A) (b) kb Auk, u R n é a melhor solução aproximada ou solução de quadrados mínimos de Au b se u veri car Au P C(A) (b) kb Auk é o erro de quadrados mínimos a distância kb Auk é mínima se Au P C(A) (b)

7 Por outro lado, tem-se Au P C(A) (b),, P C(A) Au P C(A) b,, P C(A) (Au b) 0,, Au b N P C(A) (C (A))? N A T,, A T (Au b) 0,, A T Au A T b. À equação A T Au A T b. chama-se equação normal associada a Au b.

8 Tem-se (i) N (A) N A T A (ii) As soluções de quadrados mínimos do sistema linear Au b são as soluções da equação normal A T Au A T b: (iii) Se car A n então a equação normal A T Au A T b tem a solução única u A T A A T b P C(A) (b) Au A A T A A T b isto é, A A T A A T é a matriz que representa a projecção ortogonal P C(A) na base canónica.

9 (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ), y a 0 + a x Imp 8 >< >: A y a 0 + a x. y m a 0 + a x m x.. x m ; u se car A a equação normal x.. x m a0 a a0 a, b Imp y. y m y. y m A T Au A T b tem como única solução de quadrados mínimos u A T A A T b Assim, a recta de quadrados mínimos y a 0 + a x é a recta que torna mínimos os quadrados (y (a 0 + a x )) + +(y m (a 0 + a x m )) kb Auk kb Auk é o erro de quadrados mínimos

10 (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ) y a 0 + a x + ::: + a n x n A Imp 8 >< >: y a 0 + a x + + a n x n. y m a 0 + a x m + + a n x n m. x. x n. x m x n m. x. x n. x m x n m a 0 a. a n u Imp a 0 a. a n y. y m b y. y m se car A n + e então a equação normal A T Au A T b tem como única solução de quadrados mínimos u A T A A T b:

11 y + x é a recta de quadrados mínimos relativa aos pontos (0; ) ; (; ) ; (; ) e (; ) : A 0 b car A, a solução de quadrados mínimos é única: u a0 a A T A A T b C A 0 kb Auk v u t (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) s p.

12 Produto externo e produto misto Produto interno usual em R u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R O produto externo (vectorial) de u por v: u v (u v u v ; u v u v ; u v u v ) u u v v u u v v ; e e e e u u u v v v u u v v u u v v det ; e + u u v v e e e u u u v v v fe ; e ; e g é a base canónica de R! u u v v e u; v;w R e R. Então

13 (i) e e e (ii) e e e (iii) e e e (iv) u v (v u) (v) u (v + w) u v + u w (vi) (u + v) w u w + v w (vii) (u v) (u) v u (v) (viii) u 0 0 u 0 (ix) u u 0 (x) Se u e v forem linearmente dependentes, u v 0 (xi) u (v w) hu; wi v (xii) (u v) w hw; ui v hu; vi w hw; vi u (xiii) ku vk + hu; vi kuk kvk (xiv) u (v w) + w (u v) + v (w u) 0

14 Área do paralelogramo u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R n f0g [0; ] o ângulo entre u e v. Então A área do paralelogramo de lados adjacentes u e v: A (base)(altura) kuk kvk sen ku vk kuk kvk sen kuk kvk q cos kuk kvk q kuk kvk hu; vi v u t hu; vi kuk kvk r u + u + u v + v + v (u v + u v + u v ) q (u v u v ) + (u v u v ) + (u v u v ) k(u v u v ; u v u v ; u v u v )k ku vk

15 Área do triângulo de vértices (x ; y ) ; (x ; y ) e (x ; y ): det x y x y x y

16 Volume do paralelepípedo w (w ; w ; w ) ; u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R hw; u vi é o produto misto de u; v e w: hw; u vi det w w w u u u v v v hu; u vi 0 hv; u vi 0 hu; v wi hu v; wi Sendo o ângulo formado por w e u v, o volume do paralelepípedo com um vértice em (0; 0; 0) e arestas w, u, v, é dado por V ku vk área da face determinada por u e v altura 0 B C A jhw; u vij kwk jcos j w w w u u u v v v

17 Sendo V o volume do hiperparalelepípedo determinado por B fw ; :::; w n g, tem-se V B det h w w n i det h w w n i det h w w n i h i T det w w n det h i w w n det h w w n i T h w w n i det Logo det det (w ) T (w n ) T h w i C w n A (w ) T w (w ) T w n... (w n ) T w (w n ) T w n hw ; w i hw ; w n i... hw n ; w i hw n ; w n i V B q det G B. C C A A det G B.

18 A distância entre duas rectas disjuntas r e s não paralelas de nidas por: r fag + L fug e s fbg + L fvg é dada por: d (r; s) V A jhb a; u vij ku vk onde os vectores b a; u e v determinam o paralelepípedo cuja altura é a distância entre as duas rectas, V é o volume desse paralelepípedo e A é a área do paralelogramo que é a base do paralelepípedo.

19 ! L $L Factorização triangular ! P

20 ! L!L! E ( )

21 j 8 j j! L +L!L! j 0 0 j j E ( )

22 j 0 0 j j! L +L!L! E ()

23 E () E ( ) E P

24 ou A LU ou P A LU E E ( ) P A U P P L P A E () E P A U L U

25 ou A LU ou P A LU E ( )E ( )E () 0 A {z } U A (E ()) E ( ) E ( ) )E ( {z ) 0 } L {z } U A E ( )E ( A {z } {z } L U

26 E P A U P P L P A E U P A L U

27 Factorização triangular Consequências do método de eliminação de Gauss A m n. Então ou A LU ou P A LU P é uma matriz de permutação L é triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a U é uma matriz em escada Se A é nn e invertível então as factorizações anteriores são únicas e U é triangular superior e as entradas da diagonal principal são os pivots A invertível, (A produto de matrizes elementares) (Outro modo de calcular a inversa de uma matriz invertível)

28 Factorização de uma matriz usando a sua matriz em escada reduzida de linhas ! ::: ! :::! ::: matriz em escada de linhas reduzida