Produtos internos (Axiomas) com R e com C. Matriz de Gram G B. Duas Desigualdades: Cauchy-Schwarz e triangular. e v.

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1 Produtos internos (Axiomas) com R e com C Matriz de Gram G B Norma de u: kuk = q hu; ui Duas Desigualdades: Cauchy-Schwarz e triangular Ângulo entre u 6=0 e v 6=0 : = arccos hu;vi kukkvk Projecção ortogonal de v sobre u 6=0 : proj u v = hu;vi kuk u Bases ortogonais e ortonormadas Método de ortogonalização de Gram-Schmidt Projecção ortogonal sobre U: P U Complemento ortogonal de U : U? Distância

2 V espaço linear real. Produto interno em V é uma aplicação h; i : V V! R tal que (u; v)! hu; vi Simetria: para todos os u; v V hu; vi = hv; ui Linearidade: para todo o v V ( xo) hu + w; vi = hu; vi + hw; vi para todos os u; w V e ; R. Positividade: para todo o u V com u 6= 0, hu; ui = 0, u = 0. hu; ui > 0 Um produto interno num espaço linear real diz-se uma forma bilinear, simétrica e de nida positiva.

3 Num espaço linear V sobre C (espaço linear complexo): (i) Para todos os u; v V; hu; vi = hv; ui (ii) v V ( xo) hu + w; vi = hu; vi + hw; vi para todos os u; w V e ; C. (iii) Para todo o u V com u 6= 0, hu; ui > 0: hu; ui = 0, u = 0. Um produto interno num espaço linear complexo diz-se uma forma sesquilinear, hermitiana e de nida positiva.

4 B = fw 1 ; :::; w n g base ord. u; v V hu; vi = * nx i=1 i w i ; = h 1 : : : n i nx i=1 i w i + = de V espaço linear real nx nx i=1 j=1 hw 1 ; w 1 i : : : hw 1 ; w n i..... i j D wi ; w j E = {z } ([u] B ) T hw n ; w 1 i : : : hw n ; w n i {z } {z n } G B [v] B 1. h; i : V V! R ((u; v)! hu; vi) é um produto interno em V se e só se G B é simétrica (G B = G T B ) e de nida positiva (([u] B ) T G B [u] B > 0, para todo o u 6= 0). A linearidade é óbvia. G B é a matriz da métrica do produto interno. Ver-se-á que sendo G B simétrica tem-se: ([u] B ) T G B [u] B > 0, para todo o u 6= 0),, (todos os valores próprios de G B são positivos)

5 Produto interno em V (espaço euclidiano) B = fw 1 ; :::; w n g base ordenada de V u; v V hu; vi = ([u] B ) T G B [v] B = h 1 : : : n i {z } ([u] B ) T 6 G B {z n } [v] B G B = 6 4 hw 1 ; w 1 i : : : hw 1 ; w n i..... hw n ; w 1 i : : : hw n ; w n i 7 5 G B é simétrica (G B = G T B ) e todos os seus valores próprios são positivos Espaço euclidiano é um espaço linear real de dimensão nita com um produto interno.

6 Produto interno em V (espaço unitário) B = fw 1 ; :::; w n g base de V u; v V hu; vi = ([u] B ) H G B [v] B = h 1 : : : n i {z } ([u] B ) H 6 G B {z n } [v] B G B = 6 4 hw 1 ; w 1 i : : : hw 1 ; w n i..... hw n ; w 1 i : : : hw n ; w n i 7 5 G B é hermitiana (G B = G H B = G B T ) e todos os seus valores próprios são positivos Espaço unitário é um espaço linear complexo de dimensão nita com um produto interno.

7 O produto interno usual em R n hu; vi = u T v h(x 1 ; :::; x n ) ; (y 1 ; :::; y n )i = h x 1 : : : x n i 6 4 y 1. y n 7 5 G Bc = I; G Bc = G T B c ; valores próprios de G Bc : 1 > 0

8 O produto interno usual em C n hu; vi = u H v h(x 1 ; :::; x n ) ; (y 1 ; :::; y n )i = h x 1 : : : x n i 6 4 y 1. y n 7 5 G Bc = I; G Bc = G H B c ; valores próprios de G B : 1 > 0

9 h; i : R R! R produto interno usual (produto escalar) em R h(x 1 ; x ); (y 1 ; y )i = x 1 y 1 + x y h(x 1 ; x ); (y 1 ; y )i = h(y 1 ; y ); (x 1 ; x )i D (x1 ; x ) + (x 0 1 ; x0 ); (y 1; y ) E = = h(x 1 ; x ); (y 1 ; y )i + D (x 0 1 ; x0 ); (y 1; y ) E h(x 1 ; x ); (x 1 ; x )i = (x 1 ) + (x ) 0 h(x 1 ; x ); (x 1 ; x )i = 0, (x 1 ; x ) = (0; 0)

10 h; i: R R! R produto interno não usual em R h(x 1 ; x ); (y 1 ; y )i = x 1 y 1 x y 1 x 1 y + x y h(x 1 ; x ); (y 1 ; y )i = h(y 1 ; y ); (x 1 ; x )i D (x1 ; x ) + (x 0 1 ; x0 ); (y 1; y ) E = = h(x 1 ; x ); (y 1 ; y )i + D (x 0 1 ; x0 ); (y 1; y ) E h(x 1 ; x ); (x 1 ; x )i = x 1 x 1 x + x = = (x 1 x ) + (x ) 0 h(x 1 ; x ); (x 1 ; x )i = 0, (x 1 ; x ) = (0; 0)

11 h(x 1 ; x ); (y 1 ; y )i = x 1 y 1 x y 1 x 1 y + x y = = h x 1 x i " # " y1 y # " # é simétrica e os seus valores próprios: + p 5 positivos e p 5 são todos Assim, a aplicação h; i : R R! R, de nida por h(x 1 ; x ); (y 1 ; y )i = x 1 y 1 x y 1 x 1 y + x y é um produto interno.

12 Em R n o produto interno usual é aquele em relação ao qual a base canónica é ortonormada. Existe um único produto interno em R n para o qual uma sua base é ortonormada. Exemplo. B = fw 1 ; w g, w 1 = (1; 0), w = (1; 1). Único produto interno para o qual B é ortonormada: h(x 1 ; x ) ; (y 1 ; y )i = = = " x1 x # B " x1 x! T " hw1 ; w 1 i hw 1 ; w i hw ; w 1 i hw ; w i x #! T " # " y1 # " y1 y y y #! #! B = = x 1 y 1 x 1 y x y 1 + x y = = h " i 1 1 x 1 x {z } 1 T [(x 1 ;x )] B c # {z } " y1 # y {z } G B c [(y 1 ;y )] B c com B c = f(1; 0); (0; 1)g

13 Um produto interno em P h; i : P P! R a0 + a 1 t + a t ; b 0 + b 1 t + b t!! D a 0 + a 1 t + a t ; b 0 + b 1 t + b t E = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a b = = h a 0 a 1 a i {z } [a0 +a 1 t+a t ] B c T {z } b {z } G B c [b 0 +b 1 t+b t ] B c b 0 b 1. com B c = n 1; t; t o

14 Um produto interno em M mn (R) h; i : M mn (R) M mn (R)! R (A; B)! ha; Bi = mx nx i=1 j=1 a ij b ij = tr A T B.

15 u e v são ortogonais se hu; vi = 0 Norma de u: kuk = q hu; ui S é ortogonal se u; v S, u 6= v; hu; vi = 0 S é ortonormado se fôr ortogonal e u S, kuk = 1 Uma base B é ortonormada se e só se G B = I u; v V espaço linear real com produto interno; ku vk = kuk + kvk, hu; vi = 0 (Pitágoras)

16 Projecção ortogonal de v sobre u 6= 0: Num espaço euclidiano: proj u v = proj u v = hu; vi kuk u hv; ui kuk u u V n f0g ( xo) é linear: proj u : V! V v! proj u v

17 Desigualdade de Cauchy-Schwarz: jhu; vij kuk kvk jhu; vij = kuk kvk, fu; vg é linearmente dependente Desigualdade triangular: ku + vk kuk + kvk Ângulo entre u e v (não nulos): = arccos hu;vi kukkvk cos = hu; vi kuk kvk! =, (u e v ortogonais) proj u v = kvk cos hu; vi kuk u! 1 kuk u = kvk hu; vi 1 kuk kvkkuk u =

18 u; v V e escalar. kk : V! R é uma norma se: kuk > 0 se u 6= 0 (Positividade) kuk = jj kuk (Homogeneidade) ku + vk kuk + kvk (Desigualdade triangular) Espaço normado é um espaço linear com uma norma

19 Um produto interno pode ser obtida de uma norma hu; vi = 1 ku + vk kuk kvk se e só se é satisfeita a lei do paralelogramo: ku vk + ku + vk = kuk + kvk Norma que não dá origem a um produto interno kk : R! R k( 1 ; )k = j 1 j + j j

20 B = fw 1 ; :::; w n g base ortogonal de V esp. euclidiano Coord. de u V em B: i = hu; w ii hw i ; w i i = hu; w ii kw i k u = n P i=1 proj wi u B ortonormada ) i = hu; w i i hu; vi = nx i=1 hu; w i i hv; w i i kuk = v ux t n i=1 hu; w i i (S V, S ortogonal e 0 = S) ) (S linearmente independente) (dim V = n e 0 = S V, S = fw 1 ; :::; w n g ortogonal) + S é base de V

21 Método de ortogonalização de Gram-Schmidt fv 1 ; v ; :::; v k g {z } linearmente independente V u 1 = v 1 u = v proj u1 v ::: u k = v k proj u1 v k ::: proj uk 1 v k então L(fu 1 ; :::; u k g) = L(fv 1 ; :::; v k g) fu 1 ; :::; u k g é base ortogonal de L(fv 1 ; :::; v k g) ( u1 ku 1 k ; :::; ) u k é base ortonormada de L(fv 1 ; :::; v k g) ku k k v V n f0g, v kvk denota 1 kvk v

22 Exemplo. R com o produto interno usual U = L(f(1; 1; 1); (1; ; ); (0; 1; ); (; 5; 7)g) ! ::: Uma base de U: f(1; 1; 1; ); (1; ; )g dim U = 7 5 u 1 = (1; 1; 1) u = (1; ; ) proj (1;1;1) (1; ; ) = = (1; ; ) 1++ (1; 1; 1) = ( 1; 0; 1) Uma base ortogonal de U: f(1; 1; 1); ( 1; 0; 1)g Uma base ortonormada de U: p ; p ; p p ; ; 0; p

23 U V Complemento ortogonal de U : U? = fv V : hv; ui = 0 8u Ug fv 1 ; :::; v n g base de U + U? = fv V : hv; v 1 i = ::: = hv; v n i = 0g U? é subespaço de V, U? \ U = f0g U?? = n v V : hv; ui = 0 8u U? o U U?? logo

24 Produto interno usual A M mn (R), (L(A))? = N (A) R n = N (A) L (A) Se dim V < 1 então V = U U? V = U? U?? U = U?? (N (A))? = L(A) Produto interno não usual (L(A))? = N (AG B )

25 Sejam S 1 ; S subconjuntos de V. Então S 1 S ) (S )? (S 1 )? dim V < 1. U 1 ; U subespaços de V. Tem-se: (U 1 + U )? = (U 1 )? \ (U )? e (U 1 \ U )? = (U 1 )? + (U )?

26 U = L (f(1; 1; 1)g) base ortogonal de U: f(1; 1; 1)g U? = N h i = n (x; y; z) R : x + y + z = 0 o dim U? = base de U? : f(1; 1; 0); (0; 1; 1)g base ortogonal de U? : f( ; 1; 1); (0; 1; 1)g U = U?? = ( (x; y; z) R : h(x; y; z); (1; 1; 0)i = 0 h(x; y; z); (0; 1; 1)i = 0 = n (x; y; z) R : x + y = 0 e x + z = 0 o Equações cartesianas de U x + y = 0 e x + z = 0 Equação vectorial de U (x; y; z) = (1; 1; 1), R Equações paramétricas de U 8 >< >: x = y = z = R

27 Projecção ortogonal de V sobre U: P U : V! V v V, fw 1 ; :::; w l g base ortogonal de U P U (v) = lx i=1 proj wi v = lx i=1 hv; w i i kw i k w i P U é linear, P U = P U P U Projecção ortogonal de V sobre U? : P U? : V! V v V, fu 1 ; :::; u k g base ortogonal de U? P U?(v) = kx j=1 proj uj v = kx j=1 D v; uj E u j u j P U? é linear, P U? = P U? P U?

28 fw 1 ; :::; w l ; u 1 ; :::; u k g base ortogonal de V Para todo o v V existem u = P U (v) U e w = P U?(v) U? únicos tais que v = u + w Tem-se: I = P U + P U? u; v V hp U (u) ; vi = hu; P U (v)i, D PU? (u) ; v E = D u; P U? (v) E kuk = kp U (u)k + P U? (u) (Pitágoras)

29 U é subespaço de V, dim V < 1, v V. O elemento de U mais próximo de v é a projecção ortogonal P U (v) de v sobre U. Tem-se: kv P U (v)k kv uk, para todo o u U, e a igualdade veri ca-se se e só se u = P U (v). Dem. kv P U (v)k = k(v u) P U (v u)k = P U? (v u) P U? (v u) + kp U (v u)k = Pitágoras kv uk, kv P U (v)k kv uk :

30 Distância d entre um ponto v V e um subespaço U: d (v; U) = kv P U (v)k = P U? (v) = P U? (v 0) Distância d entre um ponto v V e um k-plano P = fqg + U: d (v; P) = P U? (v q) Distância entre dois k-planos paralelos P 1 = fag+u e P = fbg + U : d (P 1 ; P ) = P U? (a b)