1 Aula Espaços Métricos e Topológicos

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1 1 Aula Espaços Métricos e Topológicos De nition 1 Uma métrica sobre um conjunto X é uma aplicação d : X X! R veri cando, para quaiquer x; y; z 2 X, as seguintes condições: 1. d (x; y) = "distância de x à y" 0 2. d (x; y) = 0 se e somente se x = y 3. d (x; y) = d (y; x) 4. (desigualdade triangular) d (x; z) d (x; y) + d (y; z) Um espaço métrico é um par (X; d) onde X é um conjunto e d é uma métrica sobre X. Seja Y um subconjunto de X e d 0 uma métrica sobre Y. Dizemos que (Y; d 0 ) é um subespaço (métrico) de (X; d) e que d 0 é a métrica induzida por d sobre Y se d 0 (x; y) = d (x; y) para todo x; y 2 Y. Example 2 Métricas canônicas de R, R n e B (X; R): 1. (R; d), onde d (x; y) = jx yj 2. (R n ; d), onde d ((x 1 ; : : : ; x n ) ; (y 1 ; : : : ; y n )) = k(x q 1 ; : : : ; x n ) (y 1 ; : : : ; y n )k = (x 1 y 1 ) 2 + : : : + (x n y n ) 2 3. Seja X um conjunto qualquer B (X; R) o conjunto das funções limitadas de X em R. A função d : B (X; R) B (X; R)! R de nida por d (f; g) = sup jf (x) x2x g (x)j é uma métrica em B (X; R). (Veri que!) De nition 3 Sejam (X; d) ; (Y; d 0 ) espaço métrico. Uma aplicação f : X! Y é dita uma isometria se, para todo x; x 0 2 X, tem-se d 0 (f (x) ; f (x 0 )) = d (x; x 0 ). De nition 4 Sejam (X; d) um espaço métrico, x 2 X e r > 0. Os subconjuntos de X B (x; r) = fy 2 X ; d (x; y) < rg B [x; r] = fy 2 X ; d (x; y) rg S (x; r) = fy 2 X ; d (x; y) = rg 1

2 são denominados, respectivamente, bola aberta, bola fechada e esfera (de centro x e raio r). Um subconjunto Y X é denominado: 1. um aberto de X se, para todo ponto y 2 Y, existe r = r (y) > 0 tal que B (y; r) Y. 2. um fechado de X, se X Y é um aberto de X. 3. limitado se existem x 2 X e r > 0 tais que Y B (x; r). Em espaços métricos podemos de nir conceitos como: limite de sequências, limite de funções, continuidade de funções, conjuntos compactos, conexos etc. Antes de relembrarmos estes conceitos, vamos apresentar uma classe mais geral e importante de espaços onde podemos de nir todos estes conceitos, mesmo sem possuir uma noção de distância. De nition 5 Uma topologia sobre um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X veri cando as seguintes propriedades: 1. ;; X 2 S 2. Y 2, para toda família (Y ) de elementos de nt Y i 2, para qualquer família nita Y 1 ; : : : ; Y n de elementos de i=1 Um espaço topológico é um par (X; ) onde X é um conjunto e uma topologia sobre X. Se (X; ) é um espaço topológico, os elementos de são denominados abertos de (X; ). Seja Y um subconjunto de X e 0 uma topologia sobre Y. Dizemos que (Y; 0 ) é um subespaço (topológico) de (X; ) e que 0 é a topologia induzida sobre Y por se 0 = fu \ Y ; U 2 g. Exercise 6 Sejam X um conjunto, (Y; 0 ) um espaço topológico e f : X! Y uma bijeção. Demonstre que é uma topologia em X. = f 1 (V ) ; V 2 0 De nition 7 Sejam (X; ) um espaço topológico e Y um subconjunto de X: 1. Um ponto x 2 X é dito aderente à Y se, para todo U 2 contendo a, tem-se que Y \ U 6= ;. A aderência de Y em X é o conjunto Y X o conjunto dos pontos de X que são aderentes à Y. Dizemos que Y é denso em X quando Y = X. De nimos a fronteira de Y em X como sendo o = Y \ X Y. 2

3 2. Um ponto x 2 X é denominado um ponto de acumulação de Y se, para todo U 2 contendo a, tem-se que Y \ (U fxg) 6= ;. O conjunto dos pontos de acumulação de Y em X será denotado por Y O interior de Y é de nido como o maior aberto int Y 2 contido em Y. Quando (X; d) é um espaço métrico, esta de nição é equivalente a seguinte: o interior de Y é o conjunto dos pontos y 2 Y para os quais existe r = r (y) > 0 tais que B (y; r) Y. Exercise 8 Sejam (X; ) um espaço topológico e Y um subconjunto de X. Determine se as a rmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justi que suas respostas! 1. Y = int Y = Y [ Y 0. = Y 0 \ Y 3. Y é fechado em X se e somente se Y = Y De nition 9 Seja (X; ) um espaço topológico. Uma coleção B de elementos de é denominada uma base para (e é denominada topologia gerada por B) se, para todo U 2 e para todo x 2 U, existe B 2 B tal que x 2 B U. Remark 10 Seja (X; ) um espaço topológico. Se B é uma base para, observe que, para todo U 2, existe uma coleção (B ) 2 de elementos básicos (isto é, de elementos de B) tal que U = [ B. 2 Exercise 11 Seja (X; d) um espaço métrico. Veri que que a coleção d = fy X ; Y é aberto de Xg é uma topologia (dita canônica) sobre X. Veri que ainda que B = fb (x; r) ; x 2 X e r > 0g é uma base para. Dizemos que um espaço topológico (X; ) é metrizável (ou que é a topologia induzida pela métrica d) quando existe uma métrica d sobre X tal que d =. De nition 12 Um espaço topológico (X; ) é dito (ou a topologia é dita) de Hausdor se, para quaisquer dois pontos x; y 2 X, existem abertos disjuntos U; V 2 tais que x 2 U e y 2 V. Exercise 13 Veri que que todo espaço métrico (ou que a topologia induzida pela métrica) é de Hausdor. 3

4 De nition 14 Uma sequência em um conjunto X é uma aplicação x : n 2 N! x n 2 X. Por simplicidade, escreveremos "uma sequência x n 2 X" ou "x n um sequência de X" etc. De nition 15 Seja (X; ) um espaço topológico. Dizemos que uma sequência x n 2 X converge para x 2 X (Notações: lim x n = x, x n! x) se, para todo n!1 U 2 contendo x, existe n 0 2 N tal que x n 2 U (n n o ). Remark 16 Se (X; d) é um espaço métrico, a condição imposta na de nição anterior é equivalente a seguinte: para todo " > 0, n 0 2 N tal que d (x n ; x) < " (n n o ). Observe que isto é equivalente a pedir que a sequência de números reais d n = d (x n ; x) convirja para zero Exercise 17 Sejam (X; ) um espaço topológico e x n uma sequência convergente de X. Se é Hausdor, verique o limite de x n é unico. Dê um exemplo de um espaço topológico (X; ) e de uma sequencia em X que convirja para dois limites distintos. Exercise 18 A noção de convergência de sequências depende da topologia? Caso uma sequencia convirja em duas topologia distintas o limite deverá ser o mesmo? De nition 19 Sejam (X; ) ; (Y; 0 ) dois espaços topológicos, (A; A ) um subespaço não vazio de X e a 2 A. Dizemos que l 2 Y é o limite de uma função f : A! Y quando x tende à a (Notação: lim f (x) = l ou f (x) x!a! l) se, para x!a todo V 2 0 contendo l, existe U 2 contendo a tal que f (A \ U fag) V bé a restrição de ). Quando (X; d) ; (Y; d 0 ) são espaços métricos, as seguintes a rmações são equivalentes: 1. lim x!a f (x) = l, 2. para todo " > 0, existe = (") > 0 tal que d 0 (f (x) ; l) < ", para todo a 6= x 2 A veri cando d (x; a) <. 4

5 3. lim n!1 f (x n) = l, para toda sequência x n 2 A fag convergindo para a.limite de Funções (Topológico, " 0 s e 0 s, via sequências). De nition 20 Sejam (X; ) ; (Y; 0 ) dois espaços topológicos e x um ponto de X. Dizemos que uma função f : X! Y é contínua em x quando uma (e consequentemente todas) das seguintes a rmações se veri ca: 1. lim x!a f (x) = f (a) 2. para todo V 2 0 contendo f (a), existe U 2 contendo a tal que f (U) V Dizemos que uma função f : X! Y é contínua quando ela é contínua em todos os pontos de seu domínio. Equivalentemente, uma função f : X! Y é contínua quando f 1 (V ) 2 ; para todo V 2 0. contínua. Um homeomor smo é uma bijeção contínua com inversa Exercise 21 Sejam (X; ), (Y; 0 ) e (Z; 00 ) espaços topológicos. Dadas funções f : X! Y e, g : Y! Z, discuta a existência de limites e a continuidade da aplicação g f. Exercise 22 Sejam (X; d) ; (Y; d 0 ) dois espaços métricos. Apresente uma de nição utilizando sequências (equivalente as anteriores!) para a noção de continuidade de uma aplicação f : X! Y. O que acontece quando tentamos utilizar esta de nição para a continuidade de aplicações entre espaços topológicos? Exercise 23 A noção de continuidade depende das topologias envolvidas? (Sugestão: utilize a função Identidade) De nition 24 Sejam (X; d) ; (Y; d 0 ) dois espaços métricos. Dizemos que uma função f : X! Y é uniformemente contínua se, para todo " > 0, existe = (") > 0 tal que d 0 (f (x) ; f (x 0 )) < ", para quaisquer x; x 0 2 X veri cando d (x; x 0 ) <. Exercise 25 Sejam (X; d) ; (Y; d 0 ) dois espaços métricos e k > 0. Dizemos que uma função f : X! Y é k-lipschitziana se d 0 (f (x) ; f (x 0 )) k:d (x; x 0 ) para quaisquer x; x 0 2 X. Demonstre que toda aplicação k-lipschitziana é uniformemente contínua. 5

6 De nition 26 Seja (X; ) um espaço topológico. Um subconjunto K X é dito compacto se, para toda família U 2 (" ) veri cando K [ 2 U, existem índices 1 ; : : : ; k 2 tais que K k[ U i. i=1 Uma família U como a de nida acima é denominada uma cobertura aberta de K. Utilizando esta nomenclatura, podemos dizer que o conjunto K é compacto se toda cobertura aberta de K possui uma subcobertura nita. Quando (X; d) é um espaço métrico, a de nição anterior é equivalente a seguinte: (X; d) é compacto quando toda sequência em X admite uma subsequência convergente. Exercise 27 Sejam (X; d) ; (Y; d 0 ) espaços métricos. Se (X; d) é compacto, demonstre que toda aplicação contínua f : X! Y é uniformemente contínua. De nition 28 Seja (X; ) um espaço topológico. Uma separação de (X; ) é uma decomposição X = U [ V, com U; V 2 disjuntos. Uma separação é dita trivial quando U = ; ou V = ;. Dizemos que (X; ) é conexo quando admite apenas decomposições triviais. Dizemos que (X; ) é conexo por caminhos se, para quaisquer pontos x; x 0 2 X, existe uma aplicação contínua c : [0; 1]! X tal que c (0) = x e c (1) = x 0. Exercise 29 Sejam (X; ) ; (Y; 0 ) dois espaços topológicos e f : X! Y uma função contínua. Se (X; ) é compacto (conexo, conexo por caminhos), podemos garantir que f (X), visto como subespaço topológico de Y, é compacto (conexo, conexo por caminhos)? Exercise 30 Demonstre que todo espaço topológico conexo por caminhos é conexo. Apresente um exemplo de um espaço topológico conexo mas que não seja conexo por caminhos. De nition 31 Seja (X; d) um espaço métrico. Dizemos que uma sequência x n 2 X é de Cauchy se, para todo " > 0, existe n 0 2 N tal que d (x m ; x n ) < " (m; n n 0 ). Dizemos que X é um espaço métrico completo quando tosa sequência de Cauchy em X converge. Exercise 32 Dê um exemplo de espaço métrico não completo. 6

7 Exercise 33 Veri que que toda sequência convergente é de Cauchy e que a imagem de uma sequência de Cauchy por uma aplicação uniformemente contínua é ainda uma sequência de Cauchy. De nition 34 Uma variedade parametrizada de dimensão n (sem bordo) é uma tripla (M; ; '), onde (M; ) é um espaço topológico e ' um homeomor smo (denominado parametrização de M) entre um aberto U R n (munido da topologia induzida) e M. Se admitirmos U como sendo um aberto de R n + = f(x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n ; x n 0g, obteremos o que denominaremos de variedade parametrizada com bordo (de dimensão n). Neste caso, o bordo de M será de nido = ' (U \ f(x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n ; x n = 0g). Quando não houver risco de confusão, escreveremos simplesmente "M uma variedade parmetrizada de dimensão n (com ou sem bordo)". Uma subvariedade parametrizada de dimensão n (com ou sem bordo) de um espaço topológico (X; ) é simplesmente um varidade prametrizada de dimensão n (M; 0 ; ') (com ou sem bordo), onde (M; 0 ) é subespaço (topológico) de (X; ). Example 35 Considere M = (x; y; z) 2 R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 = 1 e z > 0 aplicaçãp ' : U = (x; y) 2 R 2 ; k(x; y)k < 1! R 3 de nida por ' (x; y) = p 1 x 2 y 2. e uma Então (M; ; '), onde é a topologia induzidade de R 3, é uma subvariedade parametrizada de dimensão 2 do R 3. Example 36 Considere dois cilindros C 1,C 2 R 3 que sejam tangentes ao longo de uma reta. Podemos munir C = C 1 [ C 2 (munido da topologia induzida do R 3 ) de uma estrutura de variedade parametrizada de dimensão 2? E se mudarmos a topologia? Exercise 37 Seja M uma variedade parametrizada de dimensão n com bordo. Demonstre que cada componente conexa do bordo de M é uma variedade parametrizada (sem bordo) de dimensão n 1. Exercise 38 O R n é uma variedade parametrizada de dimensão n. Verdadeiro ou Falso? De nition 39 Seja (M; ) um espaço topológico. Um atlas de dimensão n sobre M é uma família A de homeomor smos (denominados parametrizações) ' : U! V ( 2 ), onde U é um aberto de R n e V 2 tal que M = [ 2 V. 7

8 Dizemos que o atlas A é compativel se, para quaisquer ; 2 V = V \ V 6= ;, tem-se que veri cando ' = (' ) 1 ' : (' ) 1 (V )! (' ) 1 (V ) é um homeomor smo. Uma variedade topológica de dimensão n (sem bordo) é uma tripla (M; ; A), onde (M; ) é um espaço topológico de Hausdor com base enumerável e A um atlas compatível de dimensão n sobre M. Se permitirmos que os conjuntos U sejam abertos de R n + = f(x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n ; x n 0g, obteremos o que denominamos de variedade topológica com bordo (de dimensão n). Neste caso, o bordo de M será de nido = [ 2 ' (U \ f(x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n ; x n = 0g). O interior de M é o conjunto int (M) = Note que int (M) é uma variedade topológica de dimensão n sem bordo. Quando não houver risco de confusão, escreveremos simplesmente "M uma variedade topológica de dimensão n (com ou sem bordo)". Remark 40 Seja M uma variedade topológica de dimensão n com bordo. Assim como acontece para as variedades parametrizadas, cada componente conexa do bordo de M é uma variedade topológica (sem bordo) de dimensão n 1. De nition 41 Sejam (M; ; A) e (M 0 ; 0 ; A 0 ) duas variedades topológicas e f : M! M 0 uma função. Se ' : U! V M e : U 0! V 0 M 0 são parametrizações, respectivamente, de M e M 0 tais que f (V ) V 0, então a aplicação f ' = 1 f ' : U! U 0 é denominada uma representação local de f. Exercise 42 Sejam M e M 0 duas variedades topológicas e f : M! N uma função. Se f é contínua, demonstre que todas as suas representações locais são contínuas. Vale a recíproca? 1.2 Espaços Vetoriais De nition 43 Um corpo é uma tripla (K; +; :) onde K é um conjunto e (a; b) 2 K K! a + b 2 K (a; b) 2 K K! a:b 2 K (Notação: a:b = ab) são operações denominadas, respectivamente, por soma e produto (ou multiplicação), que satisfazem as seguintes propriedades: 8

9 (Comutatividade) a + b = b + a e ab = ba, onde a; b 2 K (Associatividade) (a + b)+c = a+(b + c) e (ab) c = a (bc), onde a; b; c 2 K (Elemento Neutro da Soma) existe 0 2 K, denominado elemento neutro, tal que a + 0 = 0 + a = a para todo a 2 K (Elemento Neutro da Multiplicação) existe 1 2 K, denominado elemento neutro, tal que a:1 = 1:a = a para todo a 2 K (Simétrico) Para todo a 2 K, existe único a 2 K, denominado simétrico de a, tal que ( a) + a = a + ( a) = 0 (Inverso) Para todo a 2 K f0g, existe único a 1 2 K, denominado inverso de a, tal que a 1 :a = a:a 1 = 1 (Distributividade) a: (b + c) = ab + ac, onde a; b; c 2 K De nition 44 Um espaço vetorial sobre o corpo K = R ou C é uma tripla E = (E; +; :) onde E é um conjunto (cujos elementos são chamados de vetores) e (u; v) 2 E E! u + v 2 E (; u) 2 KE! u 2 E são operações denominadas, respectivamente, por "soma de vetores" e "multiplicação por escalar", que satisfazem as seguintes propriedades: (Comutatividade) u + v = v + u, onde u; v 2 E (Associatividade) (u + v) + w = u + (v + w) e () v = (v), onde u; v; w 2 E e ; 2 K (Vetor Nulo) existe um vetor 0 2 E, denominado vetor nulo, tal que para todo v 2 E v + 0 = 0 + v = v (Simétrico) Para cada vetor v 2 E, existe um vetor simétrico de v, tal que v 2 E, denominado ( v) + v = v + ( v) = 0 9

10 (Distributividade) ( + ) v = v + v e (u + v) = u + v, onde u; v; w 2 E e ; 2 K (Multiplicação por 1) 1v = v, onde v 2 E e 1 é a unidade de K Quando não houver dúvidas sobre quais são as operações utilizadas, escreveremos somente E ao invés de E = (E; +; :). Além disso, escreveremos abusos como v 2 E e f : E! F ao invés de v 2 E e f : E! F. De nition 45 Seja E um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto F de E é dito um subespaço de E se: 0 2 F Se u; v 2 F então u + v 2 F Se v 2 F então v 2 F, para todo 2 K De nition 46 Seja E um espaço vetorial sobre um corpo K. O subespaço gerado por vetores v 1 ; : : : ; v n 2 E é o conjunto ( n ) X [v 1 ; : : : ; v n ] = i v i ; 1 ; : : : ; n 2 K : i=1 Note que [v 1 ; : : : ; v n ] é um subespaço de E no sentido do item anterior. De nition 47 Seja E um espaço vetorial sobre o corpo K. Dizemos que vetores v 1 ; : : : ; v n 2 E são linearmente dependentes se a única solução para a equação é 1 = : : : = n = 0. nx i v i = 0 i=1 De nition 48 Seja E um espaço vetorial sobre um corpo K. Dizemos que = fv 1 ; : : : ; v n g E é uma base ( nita para E se os vetores v 1 ; : : : ; v n são linearmente independentes e [v 1 ; : : : ; v n ] = E De nition 49 Um espaço vetorial é dito de dimensão nita quando admite uma base nita. Espaços vetorias que não admitem uma base nita são ditos de dimensão in nita. Remark 50 Dois fatos importantes associados a espaços vetorias de dimensão nita são: Todas as bases nitas de um espaço vetorial de dimensão nita E possuem a mesma quantidade de elementos. Esta quantidade (de elementos de uma base) é denominada dimensão de E e será denotada por dim (E). 10

11 Se = fv 1 ; : : : ; v n g é uma base de um espaço vetorial de dimensão nita E = (E; +; :) e v 2 E, então existem únicos escalares 1 ; : : : ; n 2 K tais que nx v = i v i. Neste caso, existe uma bijeção natural entre E e K n dada por i=1 v 2 E! [v] = ( 1 ; : : : ; n ) 2 K n. Para todo v 2 E, dizemos que [v] são as coordenadas do vetor v na base. De nition 51 Subespaços A ns De nition 52 Produto de Espaços Vetoriais e Soma-Direta De nition 53 Dependência Linear, Bases (bases canônicas) e Dimensão De nition 54 Convexidade, Fecho Convexo Example 55 Matrizes, Funções F (R; R) (Contínuas C 0 (R; R), Deriváveis C 1 (R; R)), Sequências, Polinômios P (R) e P n (R) De nition 56 Volume de um paralelepipedo em E 1.3 Espaços Vetoriais Normados De nition 57 Seja E um espaço vetorial (real). aplicação k:k : v 2 E! kvk 2 R Uma norma em E é uma veri cando as seguintes propriedades (para todo u; v 2 E e para todo 2 R): 1. kvk 0 2. kvk = 0 se e somente se v = 0 3. kvk = jj : kvk 4. (desigualdade triangular) ku + vk kuk + kvk Um espaço vetorial normado é um par (E; k:k), onde E é uma espaço vetorial e k:kuma norma em E. Um vetor v 2 E é dito unitário quando kvk = 1. Example 58 Seja E um espaço vetorial de dimensão nita e = fe 1 ; : : : ; e n g uma base de E.. As seguintes aplicações são normas em E : q 1. (norma canônica ou euclidiana) kvk = (v 1 ) 2 + : : : + (v n ) 2 11

12 2. (norma do máximo) kvk M = max i=1;:::;n jv ij 3. (norma da soma) kvk S = P n jv i j P para todo v = n v i :e i 2 E. i=1 i=1 Example 59 Dados (E 1 ; k:k 1 ) ; : : : ; (E k ; k:k k ) espaços vetoriais normados, seja E o espaço produto de E 1 ; : : : ; E k (isto é, E = E 1 : : : E k ). Podemos de nir as seguintes normas em E: q 1. kvk = (v 1 ) 2 + : : : + (v k ) 2 2. (norma do máximo) kvk M = max i=1;:::;k jv ij P 3. (norma da soma) kvk S = k jv i j i=1 para todo v = (v 1 ; : : : ; v k ) 2 E. Atenção! A menos que seja dito explicitamente o contrário, consideraremos os espaços produtos munidos da norma do máximo. Exercise 60 Utilize a identi cação natural existente entre R m:n e o conjunto M nm (R) das matrizes m n com coe cientes reais para de nir uma estrutura de espaço vetorial normado em M nm (R). Exercise 61 De na uma estrutura de espaço vetorial normado sobre o conjunto P n (R) dos polinômios de grau menor ou igual à n e coe cientes reais. Sua estrutura se generaliza para P (R) (conjunto dos polinômios de coe cientes reais)? Exercise 62 Veri que que a função de ne uma norma em P (R). p 2 P (R) 7! Exercise 63 Veri que que as funções Z 1 0 jp (x)j dx 2 R f 2 C 0 ([0; 1] ; R) 7! sup fjf (x)j ; x 2 [0; 1]g 2 R f 2 C 1 ([0; 1] ; R) 7! sup fjf (x)j + jf 0 (x)j ; x 2 [0; 1]g 2 R de nem normas, respectivamente, em C 0 ([0; 1] ; R) (conjunto da funções contínuas de [0; 1] em R) e C 1 ([0; 1] ; R) (conjunto das funções de classe C 1 de [0; 1] em R). 12

13 De nition 64 Seja (E; k:k) um espaço vetorial normado. A função d : E E! R de nida por d (u; v) = ku vk é uma métrica em E denominada métrica canônica. (E; k:k) é a topologia induzida pela métrica canônica. A topoogia canônica de Remark 65 Munido de suas estruturas canônicas de espaços métricos e topológicos, podemos agora falar de limites, funções contínuas, conjuntos compactos, conexos etc sobre espaços vetoriais normados. Exercise 66 Sejam (E; k:k) um espaço vetorial normado e x n ; y n 2 E, n 2 R sequências. 1. k:k : v 2 E! kvk 2 R é Lipschitziana? 2. Se x n! x 2 E; y n! y 2 E, n! 2 R, então x n + n y n! x + y 3. As operações de soma e de produto por escalar de um espaço vetorial normado são contínuas? De nition 67 Duas normas k:k 1 ; k:k 2 sobre um espaço vetorial E são ditas equivalentes se existem constantes ; > 0 tais que para todo v 2 E. kvk 2 kvk 1 kvk 2 Exercise 68 Demonstre que todas as normas em um espaço vetorial de dimensão nita são equivalentes. Exercise 69 Demonstre que as topologias canônicas induzidas por duas normas equivalentes coincidem. Qual a importância deste fato? De nition 70 Um espaço vetorial normado (E; k:k) que é completo (em relação à métrica canônica) é denominado Espaço de Banach. Exercise 71 Demonstre que todo espaço vetorial normado de dimensão nita é completo. Dê um exemplo de um espaço vetorial normado que não seja completo. Proposition 72 Sejam (E 1 ; k:k 1 ) ; : : : ; (E k ; k:k k ) espaços vetoriais normados, E = E 1 : : :E k o espaço produto de E 1 ; : : : ; E k (munido da norma do máximo), v n = (v 1n ; : : : ; v kn ) uma sequência em E e v = (v 1 ; : : : ; v n ) 2 E. Então: 1. a sequência v n converge para v se e somente se as sequências de coordenadas v in (i = 1; : : : ; k) convergem, respectivamente, para as coordenadas v i (i = 1; : : : ; k) de v. 2. a sequência v n é de Cauchy em E se e somente se as sequências de coordenadas v in (i = 1; : : : ; k) são de Cauchy em E i. Em particular, E é completo se e somente se E 1 ; : : : ; E k são completos. 13

14 Proof. (do ítem 1) (=)) Considere " > 0. Como v n! v, existe n 0 2 N tal que kv in v i k i max i=1;:::;k kv in v i k i = kv n vk M = d (v n ; v) < ", para todo i 2 f1; : : : ; kg e para todo n > n 0. Logo v in! v i, para todo i 2 f1; : : : ; kg. ((=) Considere " > 0. Como v in! v i (i = 1; : : : ; k), existem n 1 ; : : : ; n k 2 N tais que kv in v i k i < ", para todo i 2 f1; : : : ; kg e para todo n > n i. Se n 0 = max fn 1 ; : : : ; n k g, então kv in v i k i < ", para todo i 2 f1; : : : ; kg e para todo n > n 0. Em particular, kv n vk M = max i=1;:::;k kv in v i k i < " para todo n > n 0. Decorre da de nição que v n! v. Exercise 73 Sejam (E; k:k) um espaço vetorial normado de dimensão k 2 N, = fe 1 ; : : : ; e k g uma base de E, v n = kp v i e i. Então: i=1 k P i=1 v in e i uma sequência em E e v = 1. a sequência v n converge para v se e somente se as sequências de coordenadas v in (i = 1; : : : ; k) convergem, respectivamente, para as coordenadas v i (i = 1; : : : ; k) de v. 2. a sequência v n é de Cauchy em E se e somente se as sequências de coordenadas v in (i = 1; : : : ; k) são de Cauchy em E i. Proposition 74 Sejam (E; k:k) ; (F 1 ; k:k 1 ) ; : : : ; (F k ; k:k k ) espaços vetoriais normados, F = F 1 : : : F k o espaço produto de F 1 ; : : : ; F k (munido da norma do máximo) e f : x 2 U E! (f 1 (x) ; : : : ; f k (x)) 2 F uma função. 1. A função f é contínua em b 2 U se e somente se cada uma das funções coordenadas f i (i = 1; : : : ; k) é contínua em b. 2. Considere b 2 U 0 e l = (l 1 ; : : : ; l k ) 2 F. Então lim f (x) = l () lim f i (x) = l i x!b x!b (i = 1; : : : ; k). Proof. (do ítem 2) 14

15 (=)) Considere uma sequência x n 2 U fbg arbitrária convergindo para b. Por hipótese f (x n )! l e consequentemente (proposição 72) f i (x n )! l i (i = 1; : : : ; k). Logo lim f i (x) = l i. x!b ((=) Considere uma sequência x n 2 U fbg arbitrária convergindo para b. Por hipótese f i (x n )! l i (i = 1; : : : ; k). Consequentemente f (x n )! l (proposição 72). Logo lim x!b f (x) = l. Exercise 75 Sejam (E; k:k E ), (F; k:k F ) espaços vetorias normados (sendo F de dimensão nita), = fe 1 ; : : : ; e k g uma base de F e f : x 2 U E! kp f i (x) e i 2 F i=1 1. A função f é contínua em b 2 U se e somente se cada uma das funções coordenadas f i (i = 1; : : : ; k) é contínua em b. 2. Considere b 2 U 0 e l = (l 1 ; : : : ; l k ) 2 F. Então lim f (x) = l () lim f i (x) = l i x!b x!b (i = 1; : : : ; k). Exercise 76 Sejam (E; k:k E ), (F; k:k F ) e (G; k:k G ) espaços vetorias normados, f; g : U E! F e h : V F! G funções e c 2 R. 1. se f e g são contínuas em b 2 U, então f + cg também o é. 2. se existem os limites de f e g quando x tende a b 2 U 0, então exite o limite de f + cg (quando x tende à b) e lim (f + cg) (x) = lim f (x) + c: lim g (x) x!b x!b x!b 3. se b 2 U 0, lim g (x) = l 2 F, g (U) V e h é contínua em g (b), então x!b existe o limite de g h quando xtende à b e lim g h (x) = g x!b lim x!b h (x) 4. se g é contínua em b 2 X, g (U) V e h é contínua em g (b), então g h é contínua em b. 15

16 2 Aula Transformações lineares De nition 77 Sejam E e F dois espaços vetoriais sobre um corpo K. transformação linear de E em F é uma aplicação T : E! F tal que: Uma 1. T (u + v) = T (u) + T (v) 2. T (u) = T (u) para quaisquer u; v 2 E e 2 K. O conjunto das transformações lineares de E em F será denotado por L (E; F). Uma função A : E! F é denominada transformação a m de E em F se existem T 2 L (E; F) e w 2 F tal que A (v) = T (v) + w (v 2 E). O conjunto das transformações lineares a ns de E em F será denotado por A (E; F). Exercise 78 Sejam A um conjunto não vazios e E,F dois espaços vetoriais sobre um corpo K. O conjunto das funções de A em F será denotado por F (A; F). 1. Demonstre que o conjunto F (A; F) munido das operações (f; g) 2 F (A; F) F (A; F) 7! f + g 2 F (A; F) de nidas por (; f) 2 K F (A; F) 7! f 2 F (A; F) (f + g) (a) = f (a) + g (a) e (f) (a) = f (a) é um espaço vetorial. 2. Demonstre que o conjunto L (E; F) é um subespaço vetorial de F (E; F). De nition 79 Sejam E e F dois espaços vetoriais reais e T : E! F uma transformação linear. De nimos: 1. o núcleo ou kernel de T como sendo o subespaço de E de nido por Ker (T ) = fv 2 E ; T (v) = 0g. 2. a imagem de T como sendo o subespaço de F de nido por Im (T ) = ft (v) 2 F ; v 2 Eg. Exercise 80 Sejam E e F dois espaços vetoriais reais e T : E! F uma transformação linear. 16

17 1. Demonstre que T é injetiva se e somente se Ker (T ) = f0g. 2. Demonstre que toda transformação linear injetiva leva vetores linearmente independentes em vetores linearmente independentes. De nition 81 Um isomor smo linear entre espaços vetoriais E e F é uma bijeção T : E! F tal que T 2 L (E; F) e T 1 2 L (F; E). De nition 82 Seja e 1 ; : : : ; e n a base canônica de R n. Se E é um espaço vetorial de dimensão n 2 N e = fv 1 ; : : : ; v n g uma base de E, então o isomor smo linear T : E! R veri cando T (v i ) = e i i = 1; : : : ; n é denominado isomor smo canônico (com relação a base ) entre R n e E. Theorem 83 (Teorema do Núcleo e da Imagem) Sejam E e F dois espaços vetoriais reais e T : E! F uma transformação linear. Se E tem dimensão nita, então dim (Ker (T )) + dim (Im (T )) = dim (E) De nition 84 Sejam E e F dois espaços vetoriais normados. Uma transformação linear T : E! F é dita limitada se existe uma constante K > 0 tal que kt (v)k F K kvk E, para todo v 2 E. O conjunto das transformações lineares limitadas será denotado por B (E; F). Note que B (E; F) é um subespaço vetorial de L (E; F). Podemos de nir uma norma em B (E; F) colocando kt (v)k kt k = sup F, T 2 B (E; F). 06=v2E kvk E Exercise 85 Sejam E e F dois espaços vetoriais normados e T : E! F uma transformação linear. Se E tem dimensão nita, demonstre que T 2 B (E; F). Exercise 86 Sejam E, F e G espaços vetoriais normados e T : E! F e S : F! G transformações lineares. Demonstre que ks T k kt k : ksk. Proposition 87 Sejam E e F dois espaços vetoriais normados e T : E! F uma transformação linear. As seguintes a rmações são equivalentes: 1. T é Lipschitziana 2. T é uniformemente contínua 3. T é contínua 17

18 4. T é contínua na origem 5. existe K > 0 tal que kt (v)k F K, para todo v 2 S E (0 E ; 1) 6. T é limitada, isto é, T 2 B (E; F) Proof. (4 =) 5) Pela de nição de continuidade, existe > 0 talque kt (u)k F = kt (u) T (0 E )k F < 1, para todo u 2 B (0 E ; ). De na K = 1. Tome v 2 S E (0 E ; 1). Como v 2 B (0 E ; ), segue da desigualdade acima que kt (v)k F = kt (v)k F < 1 ) kt (v)k F < K. (5 =) 6) Escolha K > 0 tal que kt (v)k F K, para todo v 2 S E (0 E ; 1). Para todo vetor 0 6= v 2 E tem-se que kt (v)k F = v F kvk T K ) kt (v)k E kvk F < k kvk E. E Para nalizar, basta observar que a desigualdade acima é automaticamente válida quando v = 0 E. (6 =) 1) Tome K > 0 tal que Assim, para quaisquer u; v 2 E, tem-se kt (v)k F K kvk E (v 2) E. d F (T (u) ; T (v)) = kt (u) T (v)k F = kt (u v)k F K ku vk E = k:d E (u; v) Exercise 88 Dê um exemplo de uma transformação linear não contínua. Exercise 89 Demonstre que o núcleo de uma transformação linear limitada é sempre fechado. Remark 90 Sejam E e F espaços vetoriais reais de dimensão nita, = fu 1 ; : : : ; u m g base de E e = fv 1 ; : : : ; v n g base de F. Se T : E! F é uma transformação linear, então existem únicos escalares a 11 ; : : : ; a 1m ; : : : ; a n1 ; : : : ; a nm 2 K tais que, para todo u 2 E, 2 3 a 11 a 1m 6 [T (u)] = [u]. a n1 a nm Os escalares a ji obedecem as relações mx T (u i ) = a ji :v j i = 1; : : : ; n, para todo i 2 f1; : : : ; ng. j=1 18

19 2.2 Transformações Multilineares De nition 91 Sejam E 1 ; : : : ; E k ; F espaços vetoriais reais. Uma transformação k-linear E 1 : : : E k em F é uma aplicação T : E 1 : : : E k! F que é linear em cada uma de suas variáveis. Mais precisamente T (v 1 ; : : : ; v i0 1; v i0 + u i0 ; v i0+1; : : : ; v n ) = T (v 1 ; : : : ; v i0 1; v i0 ; v i0+1; : : : ; v n ) + T (v 1 ; : : : ; v i0 1; u i0 ; v i0+1; : : : ; v n ) para quaisquer i 0 2 f1; : : : ; kg, v i 2 E i, u i0 2 E i0. O conjunto das transformações k-lineares de E 1 : : :E k em F será denotado por L k (E 1 : : : E k ; F). Quando E = E 1 = : : : = E k escreveremos L k (E; F) para indicar o espaço L k (E : : : E; F). Suponha que E 1 ; : : : ; E k ; F são espaços vetoriais normados. Uma transformação k-linear T : E 1 : : : E k! F é dita limitada se existe uma constante K > 0 tal que kt (v 1 ; : : : ; v k )k F K kv 1 k E1 : : : : : kv k k Ek, para todo (v 1 ; : : : ; v k ) 2 E 1 : : :E k. O conjunto das transformações k-lineares limitadas será denotado por B k (E; F). Note que B k (E; F) é um subespaço vetorial de L k (E; F). Podemos de nir uma norma em B k (E; F) colocando kt k = sup 06=v i2e i i=1;:::;k kt (v 1 ; : : : ; v k )k F kv 1 k E1 : : : : : kv k k Ek, T 2 B (E; F). Proposition 92 Sejam E 1 ; : : : ; E k espaços vetoriais normados e T : E 1 : : : E k! F uma transformação k-linear. As seguintes a rmações são equivalentes: 1. T é contínua 2. T é contínua na origem de E 1 : : : E k 3. existe K > 0 tal que kt (v 1 ; : : : ; v k )k F K, para quaisquer v i 2 S Ei (0 Ei ; 1) 4. T é limitada, isto é, T 2 B k (E 1 : : : E k ; F) Proof. (4 =) 1) Faremos o caso k = 2. O caso geral deve ser feito por indução em k. Por hipótese, existe K > 0 tal que kt (v 1 ; : : : ; v k )k F K kv 1 k E1 : : : : : kv k k Ek, para todo (v 1 ; : : : ; v k ) 2 E 1 : : : E k. Fixe (a 1 ; a 2 ) 2 E 1 E 2. Para todo (v 1 ; v 2 ) 2 E 1 E 2 tem-se kt (v 1 ; v 2 ) T (a 1 ; a 2 )k F kt (v 1 ; v 2 ) T (a 1 ; v 2 )k F + kt (a 1 ; v 2 ) T (a 1 ; a 2 )k F = kt (v 1 a 1 ; v 2 )k F + kt (a 1 ; v 2 a 2 )k F K kv 1 a 1 k E1 : kv 2 a 2 + a 2 k E2 + K ka 1 k E1 : kv 2 a 2 k E2 K kv 1 a 1 k E1 : kv 2 a 2 k E2 + K kv 1 a 1 k E1 : ka 2 k E2 +K ka 1 k E1 : kv 2 a 2 k E2 19

20 Seja (v 1n ; v 2n ) 2 E 1 E 2 uma sequência convergindo para (a 1 ; a 2 ). Decorre da proposição (72) que e consequentemente que v in! a i ) kv in a i k Ei! 0 (i = 1; 2) kt (v 1n ; v 2n ) T (a 1 ; a 2 )k F! 0 ) T (v 1n ; v 2n )! T (a 1 ; a 2 ). Exercise 93 Sejam E 1 ; : : : ; E k espaços vetoriais normados e T : E 1 : : :E k! F uma transformação k-linear. Se cada E i possui dimensão nita, então T é contínua. Exercise 94 Uma transformação 2-linear (ou bilinear) não nula pode ser contínua? Justi que! Proposition 95 Sejam E e F dois espaços vetoriais normados. Suponha que E possui dimensão n 2 N e seja = fe 1 ; : : : ; e n g um base de E. De na e I = (e i1 ; : : : ; e ik ) 2 E : : : E, para todo I = (i 1 ; : : : ; i k ) 2 = fi = (i 1 ; : : : ; i k ) ; i j 2 f1; : : : ; ngg. Para toda família! I 2 F (I 2 ), existe única função T 2 L k (E; F) tal que Proof. Exercício. ' (e I ) =! I : Exercise 96 Enuncie e demonstre resultado análogo para T 2 L k (E 1 : : : E k ; F). 2.3 Formas Lineares De nition 97 Sejam E e F dois espaços vetoriais. Uma transformação k- linear ' de E em F é dita alternada se ou equivalentemente se ' (v 1 ; : : : ; v i ; : : : ; v i ; : : : ; v k ) = 0 ' (v 1 ; : : : ; v i ; : : : ; v j ; : : : ; v k ) = ' (v 1 ; : : : ; v j ; : : : ; v i ; : : : ; v k ), para quaisquer v 1 ; : : : ; v k 2 E. O conjunto das transformações k-lineares alternadas será denotado por A k (E; F). Remark 98 Note que A k (E; F) é subespaço vetorial de L k (E; F). De nition 99 Sejam E um espaço vetorial e k um número natural maior do que 1. Uma k-forma linear de E nada mais é do que um elemento de A k (E; R). Por simplicidade, denotaremos o conjunto das k-formas lineares de E somente por A k (E). De na A 0 (E) = R. 20

21 Exercise 100 Seja E um espaço vetorial de dimensão n. Demonstre que para todo k > n. A k (E) = 0 Ak (E), Example 101 Seja E um espaço vetorial. Dadas f 1 ; : : : ; f k 2 E, de na ^ (f1 ; : : : ; f k ) = f 1 ^ : : : ^ f k 2 A k (E), o produto exterior de f 1 ; : : : ; f k, por 0 1 f 1 (v 1 ) f 1 (v k ) B f 1^: : :^f k (v 1 ; : : : ; v k ) = C. A = V ol R k (f (v 1 ) ; : : : ; f (v k )) f k (v 1 ) f k (v k ) onde f 2 L E; R k é de nida por f (v) = (f 1 (v) ; : : : ; f k (v)). As k-formas lineares alternadas de E que se escrevem desta forma (não são todas!) são denominadas decomponíveis. Proposition 102 Sejam E um espaço vetorial de dimensão n, = fe 1 ; : : : ; e n g uma base de E e k um número natural menor ou igual à n. Denote por = fe 1; : : : ; e ng a base de E dual de. De na e I = e i 1 ^ : : : ^ e i k, para todo I = (i 1 ; : : : ; i k ) 2 = fi = (i 1 ; : : : ; i k ) ; 1 i 1 : : : i k ng. Então B = fe I ; I 2 g n é base de A k (E). Note que # = r Exercise 103 Com as notações da proposição: 1. Calcule e I (e J), para todo I; J 2 2. Qual a dimensão de A n (E)? 3. Dados g 1 ; : : : ; g k 2 E, determine a família de escalares I (I 2 ) tal que g 1 ^ : : : ^ g k = X I2 I :e I: Destaque o caso k = n. De nition 104 Dadas formas lineares! 2 A k (E) e 2 A l (E) desejamos de nir V (!; ) =! ^, o produto exterior de! por. Para tal basta considerar a única aplicação bilinear ^ : Ak (E) A l (E)! A k+l (E) 21

22 satisfazendo ^ (f1 ^ : : : ^ f k ; g 1 ^ : : : ^ g l ) = f 1 ^ : : : ^ f k ^ g 1 ^ : : : ^ g l para quaisquer funcionais f 1 ; : : : ; f k ; g 1 ; : : : ; g l 2 E. Exercise 105 Demonstre que a aplicação V está bem de nida. Exercise 106 Dados c 2 R,!;! 0 2 A k (E), ; 0 2 A l (E), 2 A m (E), são verdadeiras as seguintes propriedades 1.! ^ (c: + 0 ) = c: (! ^ ) + (! ^ 0 ) 2. (c:! +! 0 ) ^ = c: (! ^ ) + (! 0 ^ ) 3.! ^ ( ^ ) = (! ^ ) ^ : :! ^ ^ 4.! ^ = ( 1) kl : ^! 5. A (! ^ ) = (A!) ^ (A ) De nition 107 Sejam E e F dois espaços vetoriais. Uma transformação linear A 2 L (E; F) induz uma aplicação A :! 2 F! A! 2 E (denominada pullback por A) de nida por Generalizando, A induz aplicação (A!) (v) =! A (v). A :! 2 A k (F)! A! 2 A k (E) (denominada pullback por A) de nida por (A!) (v 1 ; : : : ; v k ) =! (A (v 1 ) ; : : : ; A (v k )). Exercise 108 Utilizando as notações da de nição precedente. 1. Seja G um espaço vetorial e B : F! G uma transformação linear. Demonstre que (B A) = A B 2. Se A é um isomor smo linear, então A é um isomor smo linear 3. Suponha que E e F possuem dimensão nita e seja = fe 1 ; : : : ; e m g, = ff 1 ; : : : ; f n g bases, respectivamente, de E e F. Considere os conjuntos = fi = (i 1 ; : : : ; i k ) ; 1 i 1 : : : i k ng 22

23 e Dados I 2 = fj = (j 1 ; : : : ; j k ) ; 1 i 1 : : : i k mg. e J 2, de na 2 3 a i1j 1 a i1j k 6 A IJ = a ik j 1 a ik j k onde [A] = (a ij) nm é a matriz de A nas bases e. (a) Prove que A (fi ) = P det (A IJ ) e J e determine A! para! = P J2 b I :fi 2 A k (F). I2 4. Se E = F e k = n = m, mostre que A! = a: det [A] :e 1 ^ : : : ^ e m para todo! = a:e 1 ^ : : : ^ e m 2 A m (E). 5. Se = fe 1 ; : : : ; e m g e = ff 1 ; : : : ; f m g são bases de E, mostre que f1 ^ : : : ^ fm = det [Id] a :e 1 ^ : : : ^ e m De nition 109 Sejam E um espaço vetorial de dimensão n e = fe 1 ; : : : ; e n g uma base de E. Dizemos que uma base = ff 1 ; : : : ; f n g de E tem a mesma orientação que se det [Id] > 0 e orientação oposta em caso contrário. Temos portanto duas orientações (classe de equivalência de bases) em E. Uma dita positiva (a classe de ) e outra dita negativa. Uma n-forma linear! 2 A n (E) é dita positiva se, para toda base positiva = fg 1 ; : : : ; g n g de E, tem-se! (g 1 ; : : : ; g n ) > 0. Exercise 110 Sejam E um espaço vetorial de dimensão n e = fe 1 ; : : : ; e n g uma base de E. Uma forma linear! = a:e 1 ^ : : : ^ e n 2 A n (E) é positiva se e somente se a > 0. 23

24 2.4 Espaços Euclidianos De nition 111 Seja E = (E; +; :) um espaço vetorial sobre um corpo K. Um produto interno sobre E é uma aplicação veri cando: h:; :i : (u; v) 2 E E! hu; vi 2 R 1. (Bilinearidade) hu + v; wi = hu; wi+hv; wi, hu; vi = hu; vi, hu; v + wi = hu; vi + hu; wi e hu; vi = hu; vi, onde u; v; w 2 E e 2 K 2. (Comutatividade) hu; vi = hv; ui, onde u; v 2 E 3. (Positividade) Para todo u 2 E f0g, hu; ui > 0Produto Interno De nition 112 Norma Proveniente de Produto Interno Exercise 113 Produto interno é uma função contínua? De nition 114 Produto Interno Canônico De nition 115 Dizemos que dois vetores u; v 2 E são ortogonais (em relação a um produto interno h:; :i) quando hu; vi = 0.Não é difícil veri car que hu; 0i = h0; ui = 0, para todo u 2 E. De nition 116 Projeção Ortogonal, Bases Ortogonais, Ortonormais, Ortogonalização de Gram-Schmidt Proposition 117 Desigualdade de Cauchy-Schwarz De nition 118 Seja E um espaço vetorial de dimensão n, orientado e munido de um produto interno Seja = fe 1 ; : : : ; e n g uma base ortonormal positiva de E e = fdx 1 ; : : : ; dx n g a base dual de. A n-forma linear! V = dx 1 ^ : : : ^ dx n é denominada elemento de volume de E Exercise 119 Demonstre que a forma elemento de volume! V está bem de nida, isto é, que não depende da base ortonormal positiva escolhida. Sejam E um espaço vetorial de dimensão nita sobre um corpo K e F um subespaço de E. Se h:; :i é um produto interno de nido sobre E, então podemos de nir o também subespaço vetorial de E F? = fv 2 E ; hv; ui = 0, para todo u 2 F g 24