ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) 2 o semestre de 2015

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1 ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) 2 o semestre de Notação de aplicações e conjuntos Sejam A e B dois conjuntos de natureza qualquer. Uma aplicação f : A B de A para B é uma lei pela qual a cada elemento a A está associado um único elemento b B, denotado por b = f(a) e chamado a imagem de a. Escreve-se também A f B. Dizemos que A é o domínio e B é o contra-domínio de f. Note que, por definição, consideramos duas aplicações f : A B e g : A C como diferentes se os contra-domínios são diferentes, isto é, B C, mesmo se a lei parece a mesma. Por exemplo, denotando 1 R := {r r é um número real} e R + := {r R r 0}, temos duas aplicações f : R R, f : r r 2, e g : R R +, g : r r 2, que são diferentes embora dadas através da mesma lei r r 2. (Escrevendo f : a b enfatizamos como f age sobre elementos; isto é equivalente a escrever f(a) = b.) Utilizamos a seguinte notação de conjuntos. O símbolo denota o conjunto vazio, isto é, sem elementos. (É razoável imaginar um conjunto como um saco de coisas. Neste caso, o vazio é um saco vazio.) Quando A está contido em B, ou seja, quando B contém A, escrevemos A B ou B A. Para verificar que A B, precisa-se provar a implicação a A = a B. Dois conjuntos A e B são considerados como iguais se eles têm os mesmos elementos. Em outras palavras, A = B é equivalente a A B e A B. Por exemplo, p {p} para qualquer conjunto p. Em particular, o conjunto { } não é vazio. Sejam A e B conjuntos. Denotamos por A B a interseção de A e B, isto é, A B := {x x A, x B}. Denotamos por A B := {x x A ou x B} a união de A e B. Denotamos por A B := { (a, b) a A, b B } o produto cartesiano de A e B. Este produto é formado por todos os pares ordenados (a, b), onde a A e b B. Não precisa saber o que é um par ordenado. É suficiente saber apenas a propriedade que caracteriza este conceito: (a, b) = (a, b ) a = a e b = b. De modo análogo, podemos definir o produto cartesiano A 1 A 2 A n de conjuntos A 1, A 2,..., A n. Seja A um conjunto e sejam S, S A subconjuntos. Denotamos por S \ S := {s S s / S } o complemento de S em S. Seja f : A B uma aplicação e sejam A A e B B. Então f(a ) := { f(a) a A } é a imagem de A por f e f 1 (B ) := { a A f(a) B } é a imagem inversa de B por f. Definimos a restrição f A : A B de f para A pela regra óbvia f A : a f(a ). A aplicação de inclusão i : A A é dada pela regra i : a a para todo a A. f g Sejam A B C duas aplicações dos formatos indicados. Definimos a aplicação composta ou a composição g f : A C pela regra (g f)(a) := g ( f(a) ) para todo a A. Essa operação é associativa: é fácil verificar que (h g) f = h (g f) para aplicações A f B g C h D. Podemos observar também que a restrição f A da aplicação f : A B para A A é a composição f i, isto é, f A = f i, onde i : A A é a aplicação de inclusão. Para qualquer conjunto A, temos a aplicação 1 Este é nosso jeito de definir um conjunto. Seja dado um conjunto A e seja P (x) uma propriedade de elementos. Então o conjunto C = { a A P (a) } é formado por todos os elementos a A que satisfazem a propriedade P (a).

2 2 2 o SEMESTRE DE 2015 idêntica 1 A : A A dada pela regra 1 A : a a. Essa aplicação satisfaz as identidades f 1 A = f e 1 A g = g para quaisquer aplicações f : A B e g : C A. Uma aplicação f : A B é dita injetora ou uma injeção se f(a 1 ) = f(a 2 ) = a 1 = a 2 para todos a 1, a 2 A. A aplicação de inclusão considerada acima é um exemplo de uma aplicação injetora. Uma aplicação f : A B é dita sobrejetora ou uma sobrejeção se todo elemento de B é a imagem por f de um elemento de A, isto é, se, para todo b B, existe um a A tal que f(a) = b. Uma aplicação f : A B simultâneamente injetora e sobrejetora é dita bijetora ou uma bijeção. Um jeito equivalente de definir bijeção: uma aplicação f : A B se chama bijeção se ela possui uma inversa de dois lados relativamente à composição; isto significa que existe uma aplicação (inversa) g : B A tal que f g = 1 B e g f = 1 A. 2. Escalares Necessitamos fixar um conjunto K de escalares. Normalmente, este será R ou C := {c c é um número complexo}. Mas quase tudo funcionará 2 tomando-se K = Q, onde Q := {q q é um número racional}. As propriedades que um conjunto numérico K deve ter para servir como conjunto de escalares são as seguintes: E1. 1 K. E2. k 1, k 2 K = k 1, k 1 + k 2, k 1 k 2 K. E3. 0 k K = 1 k K. Em palavras: temos escalar 1 e podemos efetuar adição, subtração, multiplicação e divisão. 3 Em particular, 0 K pois 0 = Espaço vetorial Seja V um conjunto munido de duas operações: K V V denotada (k, v) k v e chamada multiplicação por escalar, e V V + V denotada (v 1, v 2 ) v 1 + v 2 e chamada adição. Dizemos que V é um K-espaço vetorial se V1. v 1 + v 2 = v 2 + v 1 para todos v 1, v 2 V (comutatividade da adição). V2. (v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + (v 2 + v 3 ) para todos v 1, v 2, v 3 V (associatividade da adição). V3. Existe um n V tal que n + v = v para todo v V (existência do elemento neutro para a adição). Tal n é único: para elementos neutros n e n temos n = n + n = n + n = n. No que se segue, denotaremos este elemento por 0. V4. Para todo v V, existe um v V tal que v + v = 0. Para um dado v V, este v é único: se v + v = 0, temos v = 0 + v = (v + v ) + v = (v + v) + v = v + (v + v ) = v + 0 = 0 + v = v. Em seguida, chamaremos v oposto a v e o denotaremos por ( v). V5. k (v 1 + v 2 ) = (k v 1 ) + (k v 2 ) para todos v 1, v 2 V e k K (distributividade da multiplicação por escalar relativamente à adição em V ). V6. (k 1 + k 2 ) v = (k 1 v) + (k 2 v) para todos k 1, k 2 K e v V (distributividade da multiplicação por escalar relativamente às adições). V7. (k 1 k 2 ) v = k 1 (k 2 v) para todos k 1, k 2 K e v V (associatividade da multiplicação por escalar). V8. 1 v = v para todo v V. Daí segue 0 v = 0. Realmente, v = 1 v = (1 + 0) v = 1 v + 0 v = v + 0 v. Agora 0 = ( v) + v = ( v) + (v + 0 v) = ( ( v) + v ) + 0 v = v = 0 v. Também temos ( 1) v = v. Com efeito, 2 Na computação usa-se uma escolha mais exótica de escalares, a de 16 elementos. 3 A última operação exige que o escalar pelo qual dividimos não seja nulo.

3 ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) 3 v + ( 1) v = 1 v + ( 1) v = ( 1 + ( 1) ) v = 0 v = 0. Em seguida, vamos às vezes omitir e utilizar a notação de subtração v 1 v 2 := v 1 + ( v 2 ). 3. Exemplos. 1. R-espaço vetorial de vetores no plano R-espaço vetorial de vetores no espaço Seja C um conjunto. Denotamos por Func(C, K) := {f : C K} o conjunto de todas as funções (= aplicações) de C para K. Definimos operações. Para f, f 1, f 2 Func(C, K) e k K, façamos (f 1 + f 2 )(c) := f 1 (c) + f 2 (c) e (k f)(c) := kf(c) para qualquer c C. É fácil verificar que obtemos um K-espaço vetorial. Realmente, para provar que f 1 + f 2 = f 2 + f 1, precisamos apenas verificar que (f 1 +f 2 )(c) = (f 2 +f 1 )(c) para todo c C : pela definição, (f 1 +f 2 )(c) = f 1 (c)+f 2 (c) = f 2 (c)+f 1 (c) = (f 2 + f 1 )(c). O elemento neutro para a adição é a função identicamente nula, dada por 0(c) := 0 para todo c C. A função oposta a f é dada por ( f)(c) := f(c) para todo c C. Os outros axiomas se verificam de modo análogo Os próprios escalares K munidos das óbvias operações constituem um K-espaço vetorial Sejam V 1, V 2 K-espaços vetoriais. Em V 1 V 2, definimos operações (v 1, v 2 ) + (v 1, v 2) := (v 1 + v 1, v 2 + v 2) e k (v 1, v 2 ) := (k v 1, k v 2 ) para todos v 1, v 1 V 1, v 2, v 2 V 2 e k K. É fácil verificar que obtemos um K-espaço vetorial chamado soma direta de V 1 e V 2 e denotado por V 1 V 2. Por exemplo, o elemento neutro para a adição é (0, 0) e o oposto a (v 1, v 2 ) é ( v 1, v 2 ). De maneira semelhante, podemos definir a soma direta V 1 V 2 V n de n K-espaços vetoriais V 1, V 2,..., V n. Denotamos K n := K K K. }{{} n vezes 3.6. C é um R-espaço vetorial. R e C são Q-espaços vetoriais O conjunto K[x] := {k n x n + k n 1 x n k 1 x + k 0 k 0, k 1,..., k n 1, k n K, n 0} de todos os polinômios em uma variável x com coeficientes em K munido das óbvias operações (aqu, é melhor interpretar um polinômio como uma expressão formal, não como uma função) é um K-espaço vetorial. Fazendo K[x] <n := { f(x) K[x] grau de f(x) < n } obtemos um K-espaço vetorial que é de fato K n Seja C um conjunto e seja C 0 C. O conjunto { f Func(C, K) f C0 0 } munido das mesmas operações como no Exemplo 3.3 é um K-espaço vetorial, onde f C0 0 significa que a função f é identicamente nula sobre C Subespaços. Dependência linear. Base e dimensão Seja V um K-espaço vetorial e seja W V. Dizemos que W é um subespaço de V se S0. 0 W. S1. k K, w W = k w W. S2. w 1, w 2 W = w 1 + w 2 W. Em palavras: W é um subconjunto em V fechado relativamente às operações de tomar-se o 0, adição e multiplicação por escalar. É fácil ver que W munido das operações induzidas é um K-espaço vetorial. Denotamos W V Exemplos. 1. Seja V um K-espaço vetorial e sejam W 1, W 2 V. Então W 1 W 2 V e W 1 + W 2 := {w 1 + w 2 w 1 W 1, w 2 W 2 } V. Realmente, de 0 W 1 e 0 W 2 segue que 0 W 1 W 2. Se w W 1 W 2 e k K, então w W i para i = 1, 2. Sendo W i um subespaço, k w W i para i = 1, 2. Em outras palavras, k w W 1 W 2. Se w, w W 1 W 2, então w, w W i e w + w W i para i = 1, 2, pois W i é um subespaço. Logo, w + w W 1 W 2. Assim provamos que W 1 W 2 V. Obviamente, W 1 W 2 é o maior (no sentido de inclusão de conjuntos) subespaço contido em ambos W 1 e W 2. Vamos verificar que W 1 + W 2 V. Sendo 0 W 1 e 0 W 2, temos 0 = W 1 + W 2. Sejam w W 1 + W 2 e k K. Então w = w 1 + w 2 para alguns w 1 W 1 e w 2 W 2. Logo, k w = k w 1 + k w 2 W 1 + W 2, pois k w 1 W 1 e k w 2 W 2. Finalmente, sejam w, w W 1 + W 2. Então, w = w 1 + w 2 e w = w 1 + w 2 para w 1, w 1 W 1 e w 2, w 2 W 2 apropriados.

4 4 2 o SEMESTRE DE 2015 Daí, w + w = w 1 + w 1 + w 2 + w 2 com w 1 + w 1 W 1 e w 2 + w 2 W 2. Assim, W 1 + W 2 V. Note que W 1 + W 2 contém ambos W 1 e W 2. Realmente, todo w 1 W 1 pode ser escrito como w 1 = w com 0 W 2. Logo, W 1 W 1 + W 2. De modo semelhante, obtemos W 2 W 1 + W 2. Ainda mais, o subespaço W 1 + W 2 é o menor (no sentido de inclusão de conjuntos) subespaço que contém ambos W 1 e W 2. Com efeito, seja W V um subespaço tal que W 1, W 2 W. Então, para quaisquer w 1 W 1 e w 2 W 2, temos w 1, w 2 W. Daí, w 1 + w 2 W. Assim vemos que qualquer elemento de W 1 + W 2 pertence a W, ou seja, W 1 + W 2 W. Da mesma maneira podemos definir o subespaço W 1 + W W n := {w 1 + w w n w 1 W 1, w 2 W 2,..., w n W n } para subespaços W 1, W 2,..., W n V. Este subespaço é o menor que contém todos os W 1, W 2,..., W n. Como a adição é associativa, não colocamos os parênteses em W 1 + W W n Seja V um K-espaço vetorial e seja v V. Então é fácil ver que Kv := {k v k K} V. Obviamente, Kv é o menor subespaço que contém v. Caso v 0, todo w Kv admite a única forma w = k v com k K Seja V um K-espaço vetorial e sejam v 1,..., v n V. Denotamos [v 1,..., v n ] := Kv 1 + +Kv n. Pelos Exemplos e 4.1.2, [v 1,..., v n ] é o menor subespaço que contém todos os v 1,..., v n. Dizemos que [v 1,..., v n ] é o subespaço gerado por v 1,..., v n e chamamos os elementos v 1,..., v n geradores deste subespaço. É imediato que todo v [v 1,..., v n ] tem uma forma v = k 1 v k n v n, onde k 1,..., k n K. A expressão k 1 v k n v n se chama combinação linear de v 1,..., v n com coeficientes k 1,..., k n K. Nestes termos, um subconjunto W V não-vazio é um subespaço se, e só se, é fechado relativamente às combinações lineares de seus elementos com coeficientes arbitrários Temos subespaços K[x] <n K[x] <m K[x] para n m Temos R C para o R-espaço vetorial C e Q R C para o Q-espaço vetorial C O conjunto W := { f Func(C, K) f C0 0 } no Exemplo 3.8 é um subespaço do K-espaço vetorial Func(C, K), W Func(C, K) Soluções de um sistema homogêneo de equações lineares em n variáveis formam um subespaço do K-espaço vetorial K n Seja V um K-espaço vetorial. Então V V e 0 V, onde 0 denota o subconjunto formado apenas pelo elemento 0. Estes dois subespaços são o maior e o menor possíveis, respectivamente. Podemos escrever 0 = [ ], ou seja, o subespaço 0 é gerado por nada. Note também que todo subespaço de um subespaço é um subespaço: V W 1 e W 1 W 2 = V W Definição. Sejam v 1, v 2,..., v n V elementos de um K-espaço vetorial V. Dizemos que v 1, v 2,..., v n são linearmente independentes (abreviando, LI) se, para quaisquer k 1, k 2,..., k n K, k i v i = 0 = k i = 0 para todo i = 1, 2,..., n. Em palavras: se a combinação linear de v 1, v 2,..., v n é nula, então ela é trivial, isto é, todos os seus coeficientes são nulos. Se v 1, v 2,..., v n não são LI, dizemos que eles são linearmente dependentes (abreviando, LD). Os elementos v 1, v 2,..., v n V são LD se uma combinação não-trivial de tais elementos é nula, isto é, se existem k 1, k 2,..., k n K, nem todos nulos, tais que k i v i = 0. Note que, quando v 1, v 2,..., v n são LD, o elemento 0 admite a forma de duas diferentes combinações lineares de v 1, v 2,..., v n. Realmente, 0 = k i v i = 0 v i. O conceito de dependência linear é essencial quando procuramos uma coleção mínima de geradores de um subespaço: 4.3. Lema. Sejam v 1, v 2,..., v n V elementos de um K-espaço vetorial e seja k i v i = 0 uma

5 ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) 5 dependência linear não-trivial, onde k 1, k 2,..., k n K. Assim, k j 0 para algum j. Então podemos excluir o gerador v j da coleção de geradores v 1, v 2,..., v n não alterando o subespaço [v 1, v 2,..., v n ], isto é, [v 1, v 2,..., v n ] = [v 1, v 2,..., v j 1, v j+1,..., v n ]. Demonstração. Multiplicando a dependência por k 1 j e isolando v j, obtemos v j = ( k 1 j k i ) v i. i j Logo, v j [v 1, v 2,..., v j 1, v j+1,..., v n ]. É claro que [v 1, v 2,..., v j 1, v j+1,..., v n ] [v 1, v 2,..., v n ]. Lembrando que [v 1, v 2,..., v n ] é o mínimo subespaço que contém todos os v 1, v 2,..., v n e observando que v l [v 1, v 2,..., v j 1, v j+1,..., v n ] para todo l, concluímos que [v 1, v 2,..., v j 1, v j+1,..., v n ] [v 1, v 2,..., v n ] 4.4. Observação. Sejam v 1, v 2,..., v n V elementos LI de um K-espaço vetorial. Então todo v [v 1, v 2,..., v n ] admite uma única forma de combinação linear de v 1, v 2,..., v n. Demonstração. O fato que todo v [v 1, v 2,..., v n ] admite a forma de uma combinação linear de v 1, v 2,..., v n foi observado no Exemplo Para a unicidade, suponhamos que k i v i = k i v i, onde k 1, k 2,..., k n, k 1, k 2,..., k n K. Então (k i k i) v i = 0. Sendo v 1, v 2,..., v n LI, concluímos que k i k i = 0 para todo i = 1, 2,..., n, ou seja, k i = k i 4.5. Observação. Qualquer parte de uma coleção LI em um espaço vetorial é LI 4.6. Lema. Sejam v 1, v 2,..., v n V elementos LI de um K-espaço vetorial. Então, para qualquer k K e quaisquer 1 i, j n tais que i j, os elementos v 1, v 2,..., v i 1, v i +k v j, v i+1,..., v n são LI. Demonstração. Seja k i (v i + k v j ) + k l v l = 0 uma dependência linear de elementos l i v 1, v 2,..., v i 1, v i + k v j, v i+1,..., v n. Então k i (v i + k v j ) + k j v j + k l v l = 0, ou seja, k i v i + (k j + k i k) v j + k l v l = 0. Sendo v 1, v 2,..., v n LI, obtemos k l = 0 para todo l i, j, k i = 0 l i,j e k j + k i k = 0. Daí, k j = 0. Em outras palavras, todos os coeficientes da dependência linear acima são nulos 4.7. Corolário. Sejam v 1, v 2,..., v n V elementos LI de um K-espaço vetorial. Fixemos um índice 1 j n e tomemos quaisquer k l K para l j. Então os elementos são LI. v 1 + k 1 v j, v 2 + k 2 v j,..., v j 1 + k j 1 v j, v j, v j+1 + k j+1 v j,..., v n + k n v j Demonstração. Aplicando o Lema 4.6 com i = 1 e k = k 1, obtemos uma nova coleção LI v 1 + k 1 v j, v 2,..., v j,..., v n. Aplicando o Lema 4.6 à nova coleção com i = 2 e k = k 2, obtemos a coleção LI Assim, chegamos à coleção LI v 1 + k 1 v j, v 2 + k 2 v j, v 3,..., v j,..., v n. l i,j v 1 + k 1 v j, v 2 + k 2 v j,..., v j 1 + k j 1 v j, v j, v j+1,..., v n. Aplicando o Lema 4.6 a essa última coleção com i = j + 1 e k = k j+1, obtemos a coleção LI v 1 + k 1 v j, v 2 + k 2 v j,..., v j 1 + k j 1 v j, v j, v j+1 + k j+1 v j, v j+2,..., v n. Continuando a agir deste modo, chegamos ao resultado desejado

6 6 2 o SEMESTRE DE Teorema. Sejam v 1, v 2,..., v n V LI e seja V = [g 1, g 2,..., g m ]. Então m n. Demonstração. Utilizamos a indução sobre m. Para m = 0, o fato é óbvio. Suponhamos que m > 0. Façamos W := [g 1, g 2,..., g m 1 ]. Se v i W para todo i, pela hipótese de indução, obtemos m 1 n e, portanto, m n. Podemos supor que um dos v i s não pertence a W. Sem perda de generalidade, este é v n, v n / W. Vamos provar que Kv n + W = V. Para alguns k 1, k 2,..., k m K, temos v n = k j g j com k m 0 pois, caso contrário, v n [g 1, g 2,..., g m 1 ] = W. Isolando g m, obtemos g m = k 1 m v n m 1 (k 1 m k j ) g j. Em outras palavras, g m Kv n + W. Assim, g j Kv n + W para todo j. Agora, V = [g 1, g 2,..., g m ] implica Kv n + W = V. Portanto, para todo 1 i < n, existem k i K e w i W tais que v i = k i v n + w i. Isto pode ser reescrito como w i = v i + ( k i ) v n para todo i = 1, 2,..., n 1. Pelo Corolário 4.7 aplicado aos v i s, ao j = n e aos ( k l ) s, l n, e pela Observação 4.5, concluímos que w 1, w 2,..., w n 1 são LI. Aplicando a hipótese de indução para w 1, w 2,..., w n 1 W = [g 1, g 2,..., g m 1 ], obtemos m 1 n 1. Portanto, m n 4.9. Definição. Uma coleção LI de geradores b 1, b 2,..., b n V se chama base linear do K-espaço vetorial V. Enfatizamos que a base é uma coleção ordenada. Do Lema 4.3 segue o Corolário. De qualquer coleção finita de geradores de um espaço vetorial, é possível escolher uma base linear Corolário. Seja V um K-espaço vetorial finitamente gerado. Então toda coleção finita LI de elementos de V pode ser completada a uma base linear de V. Demonstração. Seja V = [g 1, g 2,..., g m ] e seja v 1, v 2,..., v n V uma coleção LI. Pelo Teorema 4.8, n m. Portanto, aumentando a coleção v 1, v 2,..., v n se necessário, podemos supor que ela é uma coleção máxima (no sentido de inclusão de conjuntos) LI. Vamos mostrar que ela é uma base linear. Basta provar que V = [v 1, v 2,..., v n ]. Se V [v 1, v 2,..., v n ], tomamos qualquer v n+1 V \ [v 1, v 2,..., v n ] e demonstramos que v 1, v 2,..., v n, v n+1 são LI, assim chegando a uma contradição com a maximalidade n+1 de v 1, v 2,..., v n. Realmente, suponhamos que k i v i = 0. Se k n+1 = 0, obtemos uma dependência linear dos v 1, v 2,..., v n, donde concluímos que todos os k i s são nulos. Se k n+1 0, podemos expressar v n+1 na forma de combinação linear dos v 1, v 2,..., v n : v n+1 = ( kn+1 1 k i) v i. Isto contradiz v n+1 / [v 1, v 2,..., v n ] Do Teorema 4.8 segue imediatamente o Corolário. Duas bases lineares de um espaço vetorial têm a mesma cardinalidade Definição. A cardinalidade 4 de uma base linear de um K-espaço vetorial V se chama dimensão de V sobre K e se denota por dim K V. Dos Lema 4.3 e Corolário 4.12 segue que a dimensão pode ser caracterizada como a cardinalidade de qualquer coleção mínima (no sentido de inclusão de conjuntos) de geradores. Pela demonstração do Corolário 4.11, a dimensão também pode ser caracterizada como a cardinalidade de qualquer coleção máxima LI. Note que do Teorema 4.8 segue que qualquer subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita tem dimensão finita. 4 Consideramos aqui somente os espaços vetoriais finitamente gerados, mas não é difícil generalizar as considerações para os espaços vetoriais de dimensão infinita.

7 ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) Corolário. Seja W V um subespaço de um K-espaço vetorial V finitamente gerado. Então existe um subespaço W V tal que W W = 0 e W + W = V. Demonstração. Tomamos uma base linear b 1, b 2,..., b n W de W e completâmo-la a uma base linear b 1, b 2,..., b n, b n+1,..., b m V de V, m n. Façamos W := [b n+1,..., b m ]. Claramente, W +W = V. Seja w W W. Então w = k i b i = k j b j para k 1, k 2,..., k n, k n+1,..., k m K apropriados. Daí obtemos uma dependência linear os k i s são nulos. Logo, w = 0 j=n+1 k i b i + j=n+1 ( k j ) b j = 0, implicando que todos Corolário. Sejam W 1, W 2 V subespaços de um K-espaço vetorial V finitamente gerado. Então dim K W 1 + dim K W 2 = dim K (W 1 W 2 ) + dim K (W 1 + W 2 ). Demonstração. Escolhemos uma base linear b 1, b 2,..., b n W 1 W 2 de W 1 W 2. Pelo Corolário 4.11, podemos completá-la a uma base linear b 1, b 2,..., b n, a 1, a 2,..., a m W 1 de W 1. Também completâmo-la a uma base linear b 1, b 2,..., b n, c 1, c 2,..., c l W 2 de W 2. Basta mostrar que b 1, b 2,..., b n, a 1, a 2,..., a m, c 1, c 2,..., c l W 1 + W 2 é uma base linear de W 1 + W 2, pois, neste caso, dim K (W 1 W 2 ) = n, dim K W 1 = n + m, dim K W 2 = n + l e dim K (W 1 + W 2 ) = n + m + l, implicando a fórmula desejada. De W 1 = [b 1, b 2,..., b n, a 1, a 2,..., a m ] e W 2 = [b 1, b 2,..., b n, c 1, c 2,..., c l ] segue que W 1 + W 2 = [b 1, b 2,..., b n, a 1, a 2,..., a m, c 1, c 2,..., c l ] (lembre-se que W 1 + W 2 é o menor subespaço que contém ambos W 1 e W 2 ). Seja k i b i + k j a j +..., a m, c 1, c 2,..., c l. Então l s=1 l s=1 k s c s = 0 uma dependência linear entre os b 1, b 2,..., b n, a 1, a 2, k s c s = k i b i + k j a j W 1 W 2, pois a parte direita da igualdade pertence a W 1 e a parte esquerda da igualdade pertence a W 2. Por outro lado, em termos da l base b 1, b 2,..., b n, c 1, c 2,..., c l de W 2, o elemento k s c s, sendo pertencente a W 1 W 2, tem que ter coeficientes não-nulos somente na frente dos b i s. Em outras palavras, todos os k s s são nulos. Agora temos k i b i + k j a j = 0. Lembrando que os b 1, b 2,..., b n, a 1, a 2,..., a m são LI, vemos que todos os k i s e k j s são nulos s= Dicionário. Seja β : b 1, b 2,..., b n uma base linear de um K-espaço vetorial V. Podemos associar a todo elemento v V uma coluna de escalares [v] β := é univocamente determinada pela igualdade v = escalares k 1 k 2. k n k i b i. k 1 k 2. k n n define um elemento v V dado pela mesma fórmula v := que, pela Observação 4.4, Reciprocamente, qualquer coluna de n k i b i. Assim, quando uma base linear em V é fixa, temos um dicionário perfeito que interpreta os elementos de V como as

8 8 2 o SEMESTRE DE 2015 colunas de escalares. Note que b i corresponde à coluna cujo único coeficiente não-nulo é igual a 1 e está no i-ésimo lugar. Mais ainda, este dicionário preserva a adição e a multiplicação por escalar. Com efeito, se [v] β = k 1 k 2.. k n e [v ] β = [v + v ] β = k v = k 1 k 2.. k n k 1 + k 1 k 2 + k 2. k n + k n, então v = n k i b i e v = k i b i. Portanto, v + v = (k i + k i) b i, ou seja,. Em outras palavras, [v + v ] β = [v] β + [v ] β. Para qualquer k K, temos kk 1 kk (kk i ) b i. Isto significa que [k v] β = 2. kk n. Logo, [k v] β = k[v] β. 5. Aplicações (transformações) lineares. Matrizes Uma aplicação A : U V entre K-espaços vetoriais é dita linear ou transformação linear se A1. A(u 1 + u 2 ) = Au 1 + Au 2 para todos u 1, u 2 U. A2. A(ku) = k(au) para todos u U e k K. Em palavras: A preserva a adição e a multiplicação por escalar Observação. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais, sejam u 1, u 2, ( n )..., u n U e sejam k 1, k 2,..., k n K. Então A k i u i = k i Au i. Em outras palavras, toda aplicação linear preserva combinações lineares 5.2. Exemplos 1. Seja U V um subespaço de um K-espaço vetorial V. Então a aplicação de inclusão i : U V é linear. Se uma aplicação linear é injetiva, ela se chama monomorfismo. Assim, i : U V é um exemplo de monomorfismo Seja U um K-espaço vetorial e seja k K. Então a multiplicação por k, dada pela regra m k : u ku, é uma aplicação linear m k : U U. Se uma aplicação linear é bijetora, ela se chama isomorfismo. Quando dois espaços vetoriais são isomorfos, eles desfrutam as mesmas propriedades algébricas. 5 É possível ver que a aplicação inversa a um isomorfismo também é linear. Caso k 0, a aplicação m k : U U é um exemplo de isomorfismo Seja V um K-espaço vetorial e seja β uma base linear em V. Então o Dicionário 4.16 estabelece uma aplicação linear dada pela regra v [v] β. Essa aplicação é um isomorfismo entre V e K n, onde n := dim K V Sejam U A B V W aplicações lineares entre K-espaços vetoriais. Então a composta B A é uma aplicação linear. Realmente, para todos u 1, u 2 U, temos, pela definição da composta, (B A)(u 1 + u 2 ) = B ( A(u 1 + u 2 ) ) = B(Au 1 + Au 2 ) = B(Au 1 ) + B(Au 2 ) = (B A)u 1 + (B A)u 2, pois A e B são lineares. Para quaisquer k K e u U, temos (B A)(ku) = B ( A(ku) ) = B(kAu) = kb(au) = k(b A)u pelos mesmos motivos. 5 Portanto, podemos considerá-los como os mesmos. A única diferença entre tais espaços vetoriais é que os correspondentes conjuntos são diferentes, ou seja, as naturezas de elementos são diferentes. Mas, para os fins de nossos estudos, isto não importa. Qualquer que seja a madeira da qual é feito um espaço vetorial, o funcionamento do espaço não depende dessa particularidade.

9 ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) Sejam U e V K-espaços vetoriais. No conjunto Lin K (U, V ) := {A : U V A é linear} de todas as aplicações lineares de U para V, definimos uma estrutura de K-espaço vetorial. Para A, A 1, A 2 Lin K (U, V ) e k K, façamos (A 1 + A 2 )u := A 1 u + A 2 u e (ka)u := kau para todo u U. A aplicação 0 dada pela regra 0 : u 0 é obviamente linear e faz papel de um elemento neutro, pois (A + 0)u = Au + 0u = Au + 0 = Au para todo u U. Seja A Lin K (U, V ). Definimos ( A)u := Au para todo u U. A aplicação ( A) assim definida é linear, pois ( A)(u 1 + u 2 ) = A(u 1 + u 2 ) = (Au 1 + Au 2 ) = ( Au 1 ) + ( Au 2 ) = ( A)u 1 + ( A)u 2 e ( A)(ku) = A(ku) = kau = k( A)u para todos u, u 1, u 2 U e k K (nestes cálculos, utilizamos que A é linear). Agora ( A + ( A) ) u = Au + ( A)u = Au Au = 0 = 0u, ou seja, A + ( A) = 0. Os outros axiomas se verificam de modo análogo ou ainda mais fácil Sejam U, V e W K-espaços vetoriais. Qualquer aplicação linear A : U V define uma aplicação linear A : Lin K (V, W ) Lin K (U, W ) dada pela regra A : B B A (pelo Exemplo 5.4.2, B A Lin K (U, W )). Realmente, sejam B, B 1, B 2 Lin K (V, W ) e seja k K. Precisamos verificar que ((B 1 + B 2 ) A = B 1 A + B 2 A e que (kb) A = k(b A). As igualdades para verificar significam que (B1 + B 2 ) A ) u = ( B 1 A + B 2 A ) u e ( (kb) A ) u = ( k(b A) ) u para todo u U. Essas verificações constituem um cálculo automático: ( (B1 + B 2 ) A ) u = (B 1 + B 2 )(Au) = B 1 (Au) + B 2 (Au) = (B 1 A)u + (B 2 A)u = ( B 1 A + B 2 A ) ( ) ( ) ( ) u, (kb) A u = (kb)(au) = kb(au) = k (B A)u = k(b A) u. Em palavras: a composição com A (à direita) é uma aplicação linear. De modo análogo, qualquer aplicação linear B : V W define uma aplicação linear B : Lin K (U, V ) Lin K (U, W ) dada pela regra B : A B A. Podemos resumir ambas propriedades afirmando que a composição é bilinear. Isto significa nada mais do que a linearidade da composição em cada um de seus argumentos quando o outro está fixo Lema. Sejam U e V K-espaços vetoriais, seja b 1, b 2,..., b n U uma base linear em U e sejam v 1, v 2,..., v n V. Então existe uma única aplicação linear A : U V tal que Ab j = v j para todo j = 1, 2,..., n. Demonstração. Todo u U admite uma única forma de combinação linear de elementos da base: u = k j b j para únicos k 1, k 2,..., k n K. Temos que definir a aplicação A pela regra Au := k j v j, ( n ) pois Ab j = v j e A k j b j = k j Ab j pela Observação 5.1. Assim, já temos a unicidade. Se u = k jb j com k 1, k 2,..., k n K, então Au = k j v j, Au = k jv j, ( n ) A(u + u ) = A (k j + k j)b j = pela regra acima. Concluímos que A(u + u ) = Au + Au. Para qualquer k K, temos ( n ) A(ku) = A (kk j )b j = kk j v j = k k j v j = kau (k j + k j)v j 5.4. Corolário. Duas aplicações lineares que coincidem em uma base linear são iguais 5.5. Exercício. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais. Prove que A0 = 0 e A( u) = Au para todo u U. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais. Chamamos A 1 0 = {u U Au = 0} núcleo de A.

10 10 2 o SEMESTRE DE Lema. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais e sejam U U e V V subespaços. Então a imagem AU e a imagem inversa A 1 V são subespaços, AU V e A 1 V U. Em particular, o núcleo de A é um subespaço de U. Demonstração. Todo elemento de AU tem a forma Au para algum u U. Sejam Au, Au 1, Au 2 AU quaisquer elementos de AU, onde u, u 1, u 2 U, e seja k K. Então Au 1 + Au 2 = A(u 1 + u 2) AU e kau = A(ku ) AU pois u 1 + u 2 U e ku U. Pelo Exercício 5.5, A0 = 0 AU. Sejam u, u 1, u 2 A 1 V e seja k K. Então Au, Au 1, Au 2 V. Agora A(u 1 +u 2 ) = Au 1 +Au 2 V e A(ku) = kau V. Em outras palavras, u 1 + u 2 A 1 V e ku A 1 V. Pelo Exercício 5.5, A0 = 0. Isto implica que 0 A 1 V O núcleo de uma aplicação linear é uma medida de até qual ponto a aplicação não é um monomorfismo: 5.7. Lema. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais. Então A é um monomorfismo se, e só se, o núcleo de A é nulo. Demonstração. Obviamente o núcleo de A é nulo se A é um monomorfismo. Suponhamos que A 1 0 = 0. Se Au 1 = Au 2, então 0 = Au 1 + ( Au 2 ) = Au 1 + A( u 2 ) = A(u 1 u 2 ) pelo Exercício 5.5. Sendo o núcleo nulo, u 1 u 2 = 0, ou seja, u 1 = u Definição. Seja W V um subespaço de um K-espaço vetorial V finitamente gerado. Pelo Corolário 4.14, existe um subespaço W V chamado complementar a W tal que W W = 0 e W + W = V. Neste caso, escrevemos W W = V. De fato, obtemos a soma direta de espaços vetoriais definida de uma outra forma, a interna. Vamos ver o porquê. Todo elemento v V admite uma única decomposição v = w + w com w W e w W. Realmente, para w 1, w 2 W e w 1, w 2 W, a igualdade w 1 + w 1 = w 2 + w 2 implica w 1 w 2 = w 2 w 1 W W. De W W = 0 segue w 1 = w 2 e w 1 = w 2. Agora, para quaisquer v, v 1, v 2 V e k K, temos as decomposições v = w + w, v 1 = w 1 + w 1 e v 2 = w 2 + w 2 para únicos w, w 1, w 2 W e w, w 1, w 2 W. Portanto, kv = kw + kw é a decomposição de kv e v 1 + v 2 = (w 1 + w 2 ) + (w 1 + w 2) é a decomposição de v 1 + v 2. Em outras palavras, a adição e a multiplicação por escalar fazem-se pelas componentes na decomposição, isto é, do mesmo jeito como na soma direta definida no Exemplo 3.5. Vemos também que as aplicações π : V W e π : V W dadas pelas regras π : v w e π : v w, onde v = w + w é a decomposição de v com w W e w W, chamadas projeções (relacionadas à soma direta), são lineares. Juntando bases lineares de W e de W, é fácil ver que dim K W + dim K W = dim K V Lema. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais com U finitamente gerado e seja W um subespaço complementar ao núcleo N := A 1 0 de A, isto é, U = N W. Então A W : W AU é um isomorfismo. Demonstração. De AN = 0 segue que AU = A(N + W ) = AW. Portanto, a aplicação A W : W AU é um epimorfismo (uma aplicação linear se chama epimorfismo se é sobrejetora). Se w W está no núcleo de A W : W AU, então Aw = 0. Logo, w N. Assim obtemos w N W = 0, ou seja, w = 0. Pelo Lema 5.7, A W : W AU é um monomorfismo Corolário. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais com U finitamente gerado. Então dim K A dim K AU = dim K U A dimensão da imagem de uma aplicação linear A : U V é dita posto de A, que se denota por rk A, rk A := dim K AU Dicionário. Sejam U e V K-espaços vetoriais, seja β : b 1, b 2,..., b n uma base linear de U e seja γ : c 1, c 2,..., c m uma base linear de V. Tomemos uma aplicação linear qualquer A : U V. Então,

11 ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) 11 para todo j = 1, 2,..., n, temos Ab j = a ij c i para únicos a ij K (note o uso atípico de índices). Associamos à aplicação linear A a (m n)-matriz [A] β γ := [a ij ] com coeficientes em K. Reciprocamente, seja [a ij ] uma (m n)-matriz arbitrária com coeficientes em K. Pelo Lema 5.3, existe uma única aplicação linear A : U V tal que Ab j = a ij c i para todo j = 1, 2,..., n. Assim, quando bases lineares em U e V são fixas, temos um dicionário perfeito que interpreta as aplicações lineares de Lin K (U, V ) como as (m n)-matrizes de escalares. Mais ainda, este dicionário estabelece um isomorfismo entre os K-espaços vetoriais Lin K (U, V ) e Matr m n K, onde Matr m n K é formado por todas as (m n)-matrizes sobre K. Realmente, sejam A, A Lin K (U, V ) e seja k K. Para todo j = 1, 2,..., n, temos Ab j = a ij c i e A b j = a ijc i, onde a ij, a ij K. Então (A + A )b j = Ab j + A b j = (a ij + a ij)c i e (ka)b j = kab j = (ka ij )c i para todo j = 1, 2,..., n. Traduzindo, obtemos [A] β γ = [a ij ], [A ] β γ = [a ij ], [A + A ] β γ = [a ij + a ij ] e [ka] β γ = [ka ij ]. Em outras palavras, [A + A ] β γ = [A] β γ + [A ] β γ e [ka] β γ = k[a] β γ. Este dicionário é compatível com o Dicionário 4.16, isto é, [Au] γ = [A] β γ[u] β para todos u U e A Lin K (U, V ). Com efeito, os fatos que [u] β = u = k 1 k 2. k n e [A]β γ = [a ij ] se expressam pelas igualdades k j b j e Ab j = a ij c i para todo j = 1, 2,..., n. Então, pela Observação 5.1, Resta observar que Au = k j Ab j = ( m ) ( n k j a ij c i = a ij k j )c i. a ij k j é o i-ésimo coeficiente da coluna [a ij ] Dicionário. Sejam U, V e W K-espaços vetoriais, seja β : b 1, b 2,..., b n uma base linear de U, seja γ : c 1, c 2,..., c m uma base linear de V e seja δ : d 1, d 2,..., d l uma base linear de W. Então [B A] β δ = [B]γ δ [A]β γ para todos A Lin K (U, V ) e B Lin K (V, W ). Realmente, as matrizes [A] β γ = [a ij ] l e [B] γ δ = [b si] são dadas pelas igualdades Ab j = a ij c i para todo j = 1, 2,..., n e Bc i = b si d s para todo i = 1, 2,..., m. Então ( m ) ( (B A)b j = B(Ab j ) = B a ij c i = a ij Bc i = a ij k 1 k 2. k n. l ) b si d s = s=1 s=1 l ( m b si a ij )d s. m Assim, o sj-ésimo coeficiente da matriz [B A] β δ é igual a b si a ij, ou seja, [B A] β δ = [B]γ δ [A]β γ. Deste modo, o Dicionário 5.11 traduz a composta de aplicações lineares para o produto de matrizes Definição. Seja V um K-espaço vetorial e sejam β e γ duas bases lineares de V. A matriz s=1

12 12 2 o SEMESTRE DE 2015 M β γ := [1 V ] β γ se chama matriz de mudança de base β para γ Lema. Sejam U e V K-espaços vetoriais, sejam β, β bases lineares de U e sejam γ, γ bases lineares de V. Então, para qualquer aplicação linear A : U V, temos [A] β γ = M γ γ [A]β γ M β β. Além disso, M β β = (M β β ) 1. Demonstração. Pelos Definição 5.13 e Dicionário 5.12, M γ γ [A]β γ M β β = [1 V ] γ γ [A]β γ [1 U ] β β = [1 V A 1 U ] β γ = [A]β γ. É fácil ver que [1 U ] β β = 1, onde 1 denota a matriz identidade. Portanto, ou seja, M β β = (M β β ) 1 M β β M β β = [1 U ] β β [1 U] β β = [1 U 1 U ] β β = [1 U] β β = 1, M β β M β β = [1 U] β β [1 U ] β β = [1 U 1 U ] β β = [1 U ] β β = 1, Corolário. Seja V um K-espaço vetorial, sejam β e γ duas bases lineares de V, seja M a matriz de mudança de base β para γ e seja A : V V uma aplicação linear. Então [A] γ γ = M [A] β β M 1 6. Espaço dual. Naturalidade Seja V um K-espaço vetorial. Uma aplicação linear do formato f : V K se chama funcional linear (lembre-se que, pelo Exemplo 3.4, K é um K-espaço vetorial). O espaço dual V é formado por todos os funcionais lineares, V := Lin K (V, K). Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais. Definimos a aplicação dual A : V U pela regra A : f f A para todo funcional linear f : V K, ou seja, A f := f A. Então A : V U é uma aplicação linear. Realmente, para todos f, f 1, f 2 V e k K, temos A (f 1 + f 2 ) = (f 1 + f 2 ) A = f 1 A + f 2 A = A f 1 + A f 2, A (kf) = (kf) A = k(f A) = ka f pelo Exemplo (bilinearidade de ). Para aplicações lineares U A,A V B W entre K-espaços vetoriais e k K, temos (A + A ) = A + A (ka) = ka (B A) = A B. Com efeito, para todo f V, temos (A + A ) f = f (A + A ) = f A + f A = A f + A f = (A + A )f, (ka) f = f (ka) = k(f A) = ka f pelo Exemplo (bilinearidade de ). Para todo g W, temos (B A) g = g (B A) = (g B) A = (B g) A = A (B g) = (A B )g. Em palavras: passar à aplicação dual é uma aplicação linear. Temos uma aplicação linear natural I V : V V definida pela regra I V : v (f fv) para todos v V e f V, ou seja, (I V v)f := fv K. Em outras palavras, interpretamos qualquer v V como um funcional linear sobre V que manda f V para fv K. Precisamos fazer algumas verificações. O fato que I V v definido acima é linear segue de (I V v)(f 1 + f 2 ) = (f 1 + f 2 )v = f 1 v + f 2 v = (I V v)f 1 + (I V v)f 2, (I V v)(kf) = (kf)v = k(fv) = k ( (I V v)f ), onde f, f 1 f 2 V e k K. O fato que a aplicação I V definida acima é linear reside no cálculo ( IV (v 1 + v 2 ) ) f = f(v 1 + v 2 ) = fv 1 + fv 2 = (I V v 1 )f + (I V v 2 )f = ( (I V v 1 ) + (I V v 2 ) ) ( f, IV (kv) ) f = f(kv) = k(fv) = k ( (I V v)f ) = ( k(i V v) ) f, onde v, v 1, v 2 V, f V e k K.

13 A U V I U U A I V V ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) 13 A naturalidade de I V em V significa o seguinte. Seja A : U V uma aplicação linear. Então temos o diagrama de aplicações lineares à esquerda. A naturalidade diz que este diagrama é comutativo, isto é, A I U = I V A. Verifiquemos este fato. Para todos u U e f V, temos ( (I V A)u ) f = ( I V (Au) ) f = f(au) = (f A)u = (A f)u e ( (A I U )u ) f = ( (A ) (I U u) ) f = ( (I U u) A ) f = (I U u)(a f) = (A f)u. Isto implica que (I V A)u = (A I U )u para todo u U, ou seja, que I V A = A I U. Intuitivamente, essa naturalidade expressa que, deformando ou movendo o espaço vetorial U através de A, temos uma correspondente deformação (natural) do espaço vetorial U tal que I U naturalmente acompanha este processo. Um outro jeito de expressar a naturalidade de I V é dizer que a definição de I V não envolve nenhuma escolha arbitrária (tal como, por exemplo, uma escolha de base linear) Proposição. Sejam U, V, W K-espaços vetoriais e sejam V 1, V 2 V subespaços tais que V = V 1 V 2. Então temos os isomorfismos naturais i : Lin K (U, V ) Lin K (U, V 1 ) Lin K (U, V 2 ), j : Lin K (V, W ) Lin K (V 1, W ) Lin K (V 2, W ) dados pelas regras i : A (π 1 A, π 2 A) e j : B (B j 1, B j 2 ), onde π l : V V l é a projeção e j l : V l V é a aplicação de inclusão, l = 1, 2. Demonstração. A linearidade de i e j segue da bilinearidade de (vide o Exemplo 5.2.6). Se ia = 0, então π 1 A = 0 e π 2 A = 0 implicando π 1 (Au) = 0 e π 2 (Au) = 0 para todo u U. Daí, Au = 0 para todo u U. Logo, A = 0. Pelo Lema 5.7, i é um monomorfismo. Se jb = 0, temos B j 1 = 0 e B j 2 = 0 implicando BV 1 = 0 e BV 2 = 0. Daí, BV = B(V 1 + V 2 ) = 0 e B = 0. Pelo Lema 5.7, j é um monomorfismo. Sejam A 1 : U V 1 e A 2 : U V 2 aplicações lineares. Definimos A : U V pela fórmula A = j 1 A 1 + j 2 A 2. Então π l A = A l para l = 1, 2, pois (6.2) π 1 j 1 = 1 V1, π 1 j 2 = 0, π 2 j 1 = 0, π 2 j 2 = 1 V2. Logo, ia = (A 1, A 2 ). Em outras palavras, i é um epimorfismo. Concluímos que i é um isomorfismo. Sejam B 1 : V 1 W e B 2 : V 2 W aplicações lineares. Definimos B : V W pela regra B : v 1 + v 2 B 1 v 1 + B 2 v 2, ou seja, B(v 1 + v 2 ) := B 1 v 1 + B 2 v 2 para todos v 1 V 1 e v 2 V 2. Uma verificação imediata mostra que B é linear. É fácil ver que jb = (B 1, B 2 ). Em outras palavras, j é um epimorfismo. Concluímos que j é um isomorfismo A Proposição 6.1 afirma que aplicações lineares para ou de uma soma direta são de fato pares de aplicações. Além das relações (6.2) utilizadas na demonstração da Proposição 6.1, é fácil verificar a relação (6.3) j 1 π 1 + j 2 π 2 = 1 V. Na verdade, I V : V V é um monomorfismo. Verificamos este fato apenas para V finitamente gerado. Realmente, se I V v = 0 para algum v V, então fv = 0 para todo f V. Pelo Corolário 4.14, podemos achar um subespaco W V complementar a Kv, V = Kv W. Suponhamos que v 0. Então v é uma base linear de Kv e, pelo Lema 5.3, podemos encontrar um funcional linear g : Kv K tal que gv = 1. Pela Proposição 6.1, existe um funcional linear f : V K tal que jf = (g, 0). Obviamente, fv = gv = 1 0. Uma contradição. Logo, v = 0 e, pelo Lema 5.7, I V é um monomorfismo. Seja β : b 1, b 2,..., b n uma base linear de V. Para todo j = 1, 2,..., n, pelo Lema 5.3, existe um único funcional linear b j : V K tal que b j b j = 1 e b j b i = 0 para i j. Então β : b 1, b 2,..., b n ( n ) é uma base linear de V chamada dual a β. Realmente, se k j b j = 0, então 0 = k j b j b i =

14 14 2 o SEMESTRE DE 2015 k j b j b i = k i para todo i. Em outras palavras, os b 1, b 2,..., b n são LI. Seja f V. Demonstramos que f = imediato: ( n ) (fb j )b j. Pelo Corolário 5.4, basta verificar que fb i = (fb j )b j b i para todo i. Isto é ( n ) (fb j )b j b i = (fb j )(b j b i ) = fb i. Em particular, dim K V = dim K V = dim K V se V é finitamente gerado. Daí concluímos que I V : V V é um isomorfismo natural para V finitamente gerado. Este isomorfismo pode ser visto como uma identificação. Isto significa que podemos pensar que V = V. Deste modo, a expressão fv para v V e f V pode ser lida de duas maneiras: 1. O escalar fv é o valor de f em v. Neste caso, interpretamos f como um funcional linear sobre V. 2. O escalar fv é o valor de v em f. Neste caso, interpretamos v como um funcional linear sobre V. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais finitamente gerados. Então, considerando I U e I V como aplicações idênticas, temos A = A pela naturalidade de I V Proposição. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais finitamente gerados. Então rk A = rk A. Demonstração. Denotamos por N := A 1 0 o núcleo de A e por W := AU a imagem de A. Seja W U um subespaço complementar a N e seja N V um subespaço complementar a W, isto é, U = N W e V = N W. Denotamos também as correspondentes injeções e projeções: N W j2 W, N j 1 N W j 2 W, N π 1 N W π 2 W. Note que a igualdade π 1 A = 0 e a relação análoga à (6.3) implicam A = 1 V A = (j 1 π 1 +j 2 π 2) A = j 2 π 2 A. Pelo Lema 5.9, rk A = dim K W. Pela observação acima, dim K W = dim K W. Basta mostrar que a aplicação φ : A V W dada pela regra φ : g g j 2 para g A V U é um isomorfismo. O fato que φ é linear segue da bilinearidade de (Exemplo 5.2.6). Suponhamos que φg = 0 para g A V. Então g = A f para algum f V. Um elemento arbitrário u U tem a forma u = n + w com n N e w W. Claramente, An = 0 e j 2 w = w. Logo, (A f)u = (f A)(n + w) = f ( A(n + w) ) = f(an + Aw) = f(aw) = = f ( A(j 2 w) ) = (f A j 2 )w = ( (A f) j 2 ) w = (φg)w = 0. Concluímos que g = A f = 0. Assim, φ é um monomorfismo. Para todo u U, temos Au W. Portanto, (π 2 A)u = π 2(Au) = Au W para todo u U. Pelo Lema 5.9, I := π 2 A j 2 : W W é um isomorfismo (lembre-se que A W = A j 2 ). Denotamos por I : W W o isomorfismo inverso a I. Seja h W um funcional linear. Então h I Lin K (W, K). Pela Proposição 6.1, existe um funcional linear f Lin K (V, K) tal que jf = (0, h I ). Isto implica (vide a definição de j na Proposição 6.1) que f j 2 = h I. De I I = 1 W segue f j 2 I = h, ou seja, h = f j 2 π 2 A j 2 = f A j 2 = φ(a f) pela relação j 2 π 2 A = A demonstrada acima. Concluímos que φ é um epimorfismo 6.5. Dicionário. Sejam U e V K-espaços vetoriais, seja β : b 1, b 2,..., b n uma base linear de U e seja γ : c 1, c 2,..., c m uma base linear de V. Então, para qualquer aplicação linear A : U V, temos [A ] γ β = ( t, [A] γ) β onde M t denota a matriz M transposta. Realmente, [A] β γ = [a ij ] com os coeficientes a ij K determinados pelas igualdades Ab j = a ij c i, j = 1, 2,..., n. Para desenvolver o elemento

15 ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) 15 n A c s na forma de uma combinação linear dos b j s, utilizamos a fórmula g = acima para qualquer g U. Assim, temos ( A c s = (A c ) s)b j b j = = Isto significa que [A ] γ β = [a sj ] t. ( ) (c s A)b j b j = ( ( m ) ) c s a ij c i b j = (gb j )b j demonstrada ( c s (Ab j ) ) b j = ( m a ij c sc i )b j = a sj b j Notação. Seja M Matr m n K uma matriz. Denotamos por M 1, M 2,..., M m todas as m sucessivas linhas de M e por M 1, M 2,..., M n todas as n sucessivas colunas de M. Os fatos que a matriz M está composta das suas próprias linhas e das suas próprias colunas podem ser agora escritos como M 1 M M = [M 1 M 2... M n ], M = 2.. M m No mesmo estilo, para as matrizes A Matr m n K e B Matr m l K, denotamos por [A B] a matriz [A 1 A 2... A n B 1 B 2... B l ] Matr m (n+l) K. Seja M Matr m n K uma matriz. Consideramos o K-espaço vetorial K m como formado por colunas. A dimensão do subespaço de K m gerado por todas as colunas de M se chama posto de M e é denotada por rk M Dicionário. Seja A : U V uma aplicação linear entre K-espaços vetoriais, seja β : b 1, b 2,..., b n uma base linear de U e seja γ : c 1, c 2,..., c m uma base linear de V. Denotamos M := [A] β γ. Como foi observado no Dicionário 4.16, o j-ésimo elemento b j da base linear β corresponde à coluna cujo único coeficiente não-nulo é igual a 1 e está no j-ésimo lugar. Daí, pela fórmula [A] β γ[v] β = [Av] γ, obtemos M j = M[b j ] β = [Ab j ] γ. Em palavras: a j-ésima coluna da matriz [A] β γ corresponde a Ab j. Agora, pelo Dicionário 4.16, concluímos que a imagem AU corresponde ao subespaço de K m gerado pelas colunas de [A] β γ. Em particular, rk[a] β γ = rk A. É fácil ver que o núcleo de A corresponde ao subespaço de K n formado por todas as soluções do sistema homogêneo MX = 0 (vide o Exemplo 4.1.7) Corolário. Seja M uma matriz. Então rk M = rk M t. Em palavras: o posto de uma matriz definido através de colunas e o definido através de linhas coincidem 6 Fazer algo natural normalmente é contrário a um ato da escolha violenta, tal como a de base linear ou de coordenadas. 7 Há pessoas, (a maioria dos autores de livros de álgebra linear) que consideram o espaço K n como o principal objeto de estudo na álgebra linear. Essa visão parece a tentativa de arrumar uma cama de Procrusto 8 retangular de matrizes para as aplicações lineares, obscurecendo assim a verdadeira natureza de tais aplicações. As matrizes naturalmente aparecem no estudo de aplicações lineares pois têm origem de somas diretas; mas mesmo a decomposição do espaço na soma direta dos unidimensionais é um ato de violência pois não é natural nem única. Quando precisamos efetuar cálculos explícitos para obter um resultado numérico que é necessário numa aplicação prática, as matrizes podem ser realmente bem-vindas. Neste caso, sim, fazemos uma 6 Vide também a Observação Hermann Weyl ( ): The introduction of numbers as coordinates... is an act of violence... 8 Um bandido grego, dos antigos, famoso pela sua cama de ferro... vide

16 16 2 o SEMESTRE DE 2015 violência, mas essa pode ser comparada com a de um cirurgião e não tem nada a ver com a de um bandido. O dicionário serve para usar a língua mais adequada à situação. Não fale Alemão com Deus! 9 7. Sistemas de equações lineares. Matrizes elementares Um sistema de equações lineares tem a forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m e pode ser escrito na forma matricial AX = B, onde A := [a ij ] Matr m n K se chama matriz do x 1 b 1 b 2.. sistema, X := x 2.. x n é a coluna de variáveis e B := b m. A matriz [A B] se chama matriz aumentada do sistema. O sistema AX = 0 se chama sistema homogêneo associado ao sistema AX = B. Sabemos (vide Exemplo 4.1.7) que todas as soluções do sistema homogêneo formam um subespaço em K n Observação. Seja S 0 uma solução particular do sistema AX = B. Então todas as soluções do sistema AX = B constituem o conjunto {S 0 + S AS = 0} 7.2. Lema. O sistema AX = B admite uma solução se, e só se, rk A = rk[a B]. Demonstração. O sistema pode ser escrito na forma x 1 A 1 + x 2 A x n A n = B. Portanto, rk A = rk[a B] se existe uma solução. Suponhamos que rk A = rk[a B]. Então o subespaço gerado por A 1, A 2,..., A n contém B. Logo, x 1 A 1 + x 2 A x n A n = B para alguns x 1, x 2,..., x n K Recordemos o método de Gauss-Jordan de solução de um sistema de equações lineares. Fazendo as seguintes operações elementares com a matriz aumentada do sistema Trocar a posição de duas linhas da matriz. Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero. Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha. podemos conseguir a matriz escalonada reduzida que se caracteriza pelas propriedades Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das não-nulas. O primeiro coeficiente não-nulo de cada linha não-nula, chamado pivô, é igual a 1. O pivô da (i + 1)-ésima linha não-nula está à direita do da i-ésima. Na coluna de um pivô, todos os outros coeficientes são nulos. (Omitindo a segunda exigência, caracterizamos uma matriz escalonada semi-reduzida. Para conseguir a escalonada semi-reduzida, as operações elementares do segundo tipo são desnecessárias.) Se o pivô de uma linha está na última coluna, o sistema não admite soluções. Caso contrário, chamamos livres as variáveis que não correspondem às colunas com pivôs. Essas servem como parâmetros da solução geral do sistema. Ainda mais, a solução geral obtida deste modo já providencia uma solução particular S 0 e uma base linear de soluções do sistema homogêneo associado. Um exemplo numérico: Seja a matriz aumentada do sistema. Ela já está escalonada reduzida. As variáveis Imperador Carlos V ( ) : Eu falo Espanhol com Deus, Italiano com as mulheres, Francês com os homens e Alemão com meu cavalo.

17 ÁLGEBRA LINEAR. NOTAS DE AULAS (ICMC-USP SÃO CARLOS) 17 x 1 + 3x 3 = 2 livres são x 3 e x 5. O sistema correspondente tem a forma x 2 + 2x 3 = 3. Considerando as variáveis x 4 + 4x 5 = 1 livres como parâmetros, x 3 := p 1 e x 5 := p 2, obtemos a solução geral do sistema x x x 3 = 0 + p p 2 x x := S 0 + p 1 S 1 + p 2 S 2 p 1, p 2 K. Aqui S 0 é uma solução particular do sistema e S 1, S 2 formam uma base linear de soluções do sistema homogêneo associado Observação. Seja A Matr m n K e seja B Matr m l K. Se a matriz [A B] é escalonada reduzida, então A é escalonada reduzida 7.4. Observação. Seja A Matr m m K uma matriz quadrada escalonada reduzida. Então, ou A = 1 m m, ou a última linha de A é nula, A m = 0. Demonstração. Suponhamos que A m 0. Então A não possui linhas nulas. Se o pivô da i- ésima linha fica na posição ii-ésima para todo i, temos A = 1 m m. Caso contrário, um dos pivôs fica estritamente à direita da diagonal principal. Isto, lembrando-se que a matriz A é quadrada, não deixa nenhum espaço para o pivô da m-ésima linha Podemos descrever o processo de escalonamento e pivotização utilizando matrizes elementares. Fixamos m. Denotamos por e ij a (m m)-matriz cujo único coeficiente não-nulo está na ij-ésima posição e é igual a 1. Sejam 1 i, j m, i j, dois índices distintos. Denotamos por E ij a (m m)-matriz que difere da matriz identidade 1 m m somente nas posições ii, ij, ji e jj. Os correspondentes coeficientes de E ij são 0, 1, 1 e 0. Podemos também definir E ij := 1 m m e ii + e ij + e ji e jj. O leitor pode facilmente verificar que, para qualquer (m n)-matriz A, a matriz E ij A é a matriz A com as linhas A i e A j trocadas. Em outras palavras, a primeira operação elementar se realiza através da multiplicação à esquerda por uma matriz do tipo E ij. Seja 1 i m e seja 0 k K. Denotamos por E i (k) a (m m)-matriz que difere da matriz identidade 1 m m somente na posição ii e tal que o ii-ésimo coeficiente de E i (k) é igual a k. Podemos também definir E i (k) := 1 m m + (k 1)e ii. É fácil ver que a multiplicação à esquerda por uma matriz do tipo E i (k) realiza a segunda operação elementar. Sejam 1 i, j m, i j, dois índices distintos e seja k K. Denotamos E ij (k) := 1 m m + ke ij. Para qualquer (m n)-matriz A, a matriz e ij A é a (m n)-matriz que possui uma única linha não-nula, a i-ésima, igual a A j. Portanto, E ij (k)a é a matriz A com uma única mudança: sua i-ésima linha é igual a A i + ka j. Em outras palavras, a terceira operação elementar realiza-se através da multiplicação à esquerda por uma matriz do tipo E ij (k). As matrizes dos três tipos descritos acima chamam-se elementares. Assim, para fazer uma matriz A Matr m n K escalonada reduzida, multiplicâmo-la à esquerda (sucessivamente) por algumas matrizes elementares E 1, E 2,..., E l Matr m m K de modo que a matriz E l... E 2 E 1 A fique escalonada reduzida. Para conseguir uma matriz escalonada semi-reduzida precisamos apenas das matrizes elementares do primeiro e do terceiro tipos. 10 O fato que S 1, S 2 são LI segue de uma óbvia observação, válida em geral: Seja x i uma variável livre. Então os i-ésimos coeficientes das colunas-soluções do sistema homogêneo são todos nulos, exceto aquele correspondendo à própria variável x i, que é igual a 1.