ÁLGEBRA LINEAR. Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Independência Linear. Prof. Susie C. Keller

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1 ÁLGEBRA LINEAR Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Prof. Susie C. Keller

2 Combinação Linear Sejam os vetores v 1, v 2,..., v n do espaço vetorial V e os escalares a 1, a 2,..., a n. Qualquer vetor v V da forma: v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n é uma combinação linear dos vetores v 1, v 2,..., v n.

3 Combinação Linear Exemplos: No espaço vetorial P 2 dos polinômios de grau 2, o polinômio v = 7x x 26 é uma combinação linear dos polinômios: De fato: v 1 = 5x 2 3x + 2 e v 2 = -2x 2 + 5x -8 pois: v = 3v 1 + 4v 2

4 Combinação Linear Exemplos: No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau 2, o polinômio v = 7x x 26 é uma combinação linear dos polinômios: De fato: v 1 = 5x 2 3x + 2 e v 2 = -2x 2 + 5x -8 pois: v = 3v 1 + 4v 2

5 Combinação Linear Exemplos: No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau 2, o polinômio v = 7x x 26 é uma combinação linear dos polinômios: De fato: v 1 = 5x 2 3x + 2 e v 2 = -2x 2 + 5x -8 pois: v = 3v 1 + 4v 2

6 Combinação Linear 2) Escrever v = (- 4, -18, 7) como combinação linear de v 1 =(1,-3,2) e v 2 =(2,4,-1). Pretende-se que: v = a 1 v 1 + a 2 v 2 (-4, -18, 7) = a 1 (1, -3, 2) + a 2 (2, 4, -1) (-4, -18, 7) = (1a 1, -3a 1, 2a 1 ) + (2a 2, 4a 2, -1a 2 )

7 Combinação Linear

8 Subespaços Gerados Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A={v 1, v 2,..., v n } V, A. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V.

9 Subespaços Gerados De fato, se: e u = a 1 v 1 + a 2 v a n v n v = b 1 v 1 + b 2 v b n v n são dois vetores quaisquer de S, pode-se escrever: I) u + v = (a 1 + b 1 )v 1 + (a 2 + b 2 )v (a n + b n )v n II) u = ( a 1 )v 1 + ( a 2 )v ( a n )v n Tendo em vista que u + v S e que u S, por serem combinações lineares de v 1, v 2,..., v n, conclui-se que S é um subespaço vetorial de V.

10 Subespaços Gerados Simbolicamente, o subespaço S é: S = {v V/ v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n IR} Observações: Diz-se que o subespaço S é gerado pelos vetores v 1, v 2,..., v n, ou gerado pelo conjunto A, e representa-se por: S = [v 1, v 2,..., v n ] ou S = G(A) Logo, v 1, v 2,..., v n são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o conjunto gerador de S.

11 Subespaços Gerados Para o caso particular de A =, define-se [ ] = {0}. A G(A), ou seja, {v 1, v 2,..., v n } [v 1, v 2,..., v n ]. Se G(A) = V, A é um conjunto gerador de V.

12 Subespaços Gerados Exemplos: 1) Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o IR 2, pois qualquer (x, y) IR 2 é combinação linear de i e j: (x, y) = xi+ yj = x(1, 0) + y(0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x,y) Então: [i, j] = IR 2

13 Subespaços Gerados 2) Os vetores i = (1, 0, 0) e j = (0, 1, 0) do IR 3 geram o subespaço pois S = {(x, y, 0) IR 3 /x, y IR} (x, y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) Então: [i, j] = S é um subespaço do IR 3 e representa, geometricamente, o plano xoy.

14 Subespaços Gerados Observações: Dados n vetores v 1,..., v n de um espaço vetorial V, se w V, tal que: w = a 1 v a n v n Então [v 1,..., v n, w] = [v 1,..., v n ] Pois todo vetor v que é combinação linear de v 1,...,v n,w também é combinação linear de v 1,..., v n.

15 Subespaços Gerados Supondo que v [v 1,..., v n, w] então existem números reais b 1,..., b n, b tais que Mas v = b 1 v b n v n + bw w = a 1 v a n v n logo ou v = b 1 v b n v n + b(a 1 v a n v n ) v = (b 1 + ba 1 ) v (b n + ba n )v n

16 Subespaços Gerados Portanto v é combinação linear de v 1,..., v n : v [v 1,..., v n ] A recíproca, se v [v 1,..., v n ], então v [v 1,..., v n, w] é trivial, pois se: então v = b 1 v b n v n, v = b 1 v b n v n + 0w Assim, sendo S um subespaço gerado por um conjunto A, ao acrescentarmos vetores de S a esse conjunto A, os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço S. Logo, um subespaço S pode ser gerado por uma infinidade de vetores, porém existe um número mínimo de vetores para gerá-lo.

17 Espaços Vetoriais Finitamente Gerados Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A V, tal que V = G(A). Os exemplos vistos até agora são de espaços vetoriais finitamente gerados. Ex.: IR 3 é gerado pelo conjunto finito de três vetores: A = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, pois (x,y,z) IR 3, tem-se: (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)

18 Espaços Vetoriais Finitamente Gerados Trataremos, em geral, de espaços vetoriais finitamente gerados. Um exemplo de espaço vetorial que não é finitamente gerado é o espaço P de todos os polinômios reais. Ex.: Dado A = {p 1,..., p n } P onde p n é um polinômio de grau n, qualquer combinação linear a 1 p 1 + a 2 p a n p n tem grau n.

19 Espaços Vetoriais Finitamente Gerados Assim, o subespaço [p 1,..., p n ] contém somente polinômios de grau menor ou igual ao grau de p n. Como P é formado por todos os polinômios, existem nele polinômios de grau maior que o de p n. Logo, G(A) P para todo conjunto finito A P.

20 O espaço vetorial IR 3 pode ser gerado por três vetores ou, também, por quatro ou por cinco vetores. Três vetores constituem o número mínimo necessário para gerar o IR 3. No caso da utilização de mais de três vetores para gerar o IR 3, sobram vetores no conjunto gerador. O nosso interesse é sempre que o conjunto gerador seja o menor possível e, para isso, precisamos ter noção dos conceitos de dependência e independência linear.

21 Definição Seja V um espaço vetorial e A = {v 1,..., v n } V. Consideremos a equação: a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 (1) Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução (solução trivial): a 1 = a 2 =... = a n = 0

22 O conjunto A é dito linearmente independente (LI), ou os vetores são ditos linearmente independentes caso a equação (1) admita apenas a solução trivial. Se existirem soluções a i 0, diz-se que o conjunto é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v 1,..., v n são LD.

23 Exemplos: 1) No espaço vetorial V = IR 3, os vetores v 1 = (2, -1, 3), v 2 = (-1, 0, -2) e v 3 = (2, -3, 1) formam um conjunto linearmente dependente, pois: ou seja 3v 1 + 4v 2 v 3 = 0 3(2, -1, 3) + 4(-1, 0, -2) - (2, -3, 1) = (0, 0, 0)

24 2) No espaço vetorial V = IR 4, os vetores v 1 = (2, 2, 3, 4), v 2 = (0, 5, -3, 1) e v 3 = (0, 0, 4, -2) formam um conjunto linearmente independente. De fato: a(2, 2, 3, 4) + b(0, 5, -3, 1) + c(0, 0, 4, -2) = (0, 0, 0, 0) (2a, 2a, 3a, 4a) + (0, 5b, -3b, b) + (0, 0, 4c, -2c) = (0, 0, 0, 0) (2a , 2a + 5b + 0, 3a -3b + 4c, 4a + b -2c) = (0, 0, 0, 0)

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26 Teorema Um conjunto A = {v 1,..., v i,..., v n } é LD se, e somente se, pelo menos um desses vetores é combinação linear dos outros. A demonstração é constituída de duas partes: 1º) Seja A linearmente dependente. Então, por definição, um dos coeficientes de: a 1 v a i-1 v i-1 + a i v i + a i+1 v i a n v n = 0 deve ser diferente de zero.

27 Supondo que a i 0, vem: a i v i = - a 1 v a i-1 v i-1 - a i+1 v i a n v n ou Portanto, v i é uma combinação linear dos outros vetores. n i n 1 i i 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i v a a... v a a v a a... v a a v

28 2º) Seja v i uma combinação linear dos outros vetores. Temos que: v i = b 1 v b i-1 v i-1 + b i+1 v i b n v n ou, ainda: b 1 v b i-1 v i-1 1v i + b i+1 v i b n v n = 0 e, portanto, a equação b 1 v ( 1)v i b n v n = 0 Se verifica para b i 0 (b i = -1). Logo, A é LD.

29 Observações: 1) O último teorema pode ser enunciado de forma equivalente: Um conjunto A = {v 1,..., v i,..., v n } é LI se, e somente se, nenhum desses vetores for combinação linear dos outros. 2) Para o caso particular de dois vetores, temos: Dois vetores v 1 e v 2 são LD se, e somente se, um vetor é múltiplo escalar do outro.

30 Exemplo: Os vetores v 1 = (1,-2,3) e v 2 = (2,-4,6) são LD, pois ou v v 2 v 2 = 2v 1. Já, os vetores v 1 = (1,-2,3) e v 2 = (2,1,5) são LI, pois v 1 k v 2 k IR.

31 Nos gráficos abaixo é apresentada a interpretação geométrica da dependência e independência linear

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33 Propriedades Seja V um espaço vetorial. I) Se A = {v} V e v 0, então A é LI. De fato: Como v 0, a igualdade av = 0 só se verifica se a = 0. Obs.: Considera-se, por definição, o conjunto é LI.

34 II) Se um conjunto A V contém o vetor nulo, então A é LD. De fato: Seja o conjunto A = {v 1,..., 0,..., v n }. Então, a equação 0. v a v n = 0 se verifica para todo a 0. Portanto, A é LD.

35 III) Se uma parte de um conjunto A V é LD, então A é também LD. De fato: Sejam A = {v 1,..., v r,..., v n } e sua parte A 1 = {v 1,..., v r } A, A 1 é LD. Como A 1 é LD, existem a i 0 que verificam a igualdade: a 1 v a r v r = 0 e esses mesmos a i 0 verificam também a igualdade:

36 a 1 v a r v r + 0. v r v n = 0 Logo, A = {v 1,..., v r,..., v n } é LD. IV) Se um conjunto A V é LI, qualquer parte A 1 de A é também LI. De fato: Pela propriedade anterior, se A 1 fosse LD, A também seria LD, o que contradiz a hipótese.

37 Observação: Se todos os subconjuntos próprios de um conjunto finito de vetores são LI, não significa que o conjunto seja LI. Ex.: Se considerarmos os vetores e 1 =(1,0), e 2 =(0,1) e v=(4,5), verificamos que cada um dos subconjuntos: A 1 = {e 1, e 2 }, A 2 = {e 1, v} e A 3 = {e 2, v} são LI. Porém o conjunto A = {e 1, e 2, v} é LD.

38 V) Se um conjunto A = {v 1,..., v n } V é LI e B = {v 1,..., v n, w} é LD, então w é combinação linear de v 1,..., v n. De fato: Como B é LD, existem escalares a 1,...,a n, b, nem todos nulos, tais que: a 1 v a n v n + b. w = 0 Se b = 0, então algum dos a i não é zero na igualdade: a 1 v a n v n = 0

39 Porém este fato contradiz a hipótese que A é LI. Consequentemente, tem-se b 0, e, portanto: o que implica: b. w = -a 1 v a n v n a w b a b 1 n v1... vn isto é, w é combinação linear de v 1,..., v n.