MCTB Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre corpos e espaços vetoriais sobre corpos

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1 MCTB Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre corpos e espaços vetoriais sobre corpos O Exercício 8 é o exercício bônus dessa lista Exercício 1. Seja K um conjunto formado exatamente por dois elementos, e. Defina em K a operação binária + : K K K como segue: (1) + = (2) + = (3) + = (4) + = Defina também a operação : K K K como: (1) = (2) = (3) = (4) = Mostre que (K, +, ) é um corpo. Observação 1. Note que o menor tamanho possível para um corpo é dois, já que exigimos na definição de corpo que 1 0. Exercício 2. Seja (K, +, ) um corpo. Mostre que: (1) Se 0 1 e 0 2 são elementos de K satisfazendo: x = x e x = x, x K, então 0 1 = 0 2. Em outras palavras, existe um único elemento neutro da soma num corpo que denotamos por 0. (2) Dado x K, se x 1 e x 2 são elementos de K satisfazendo: x + x 1 = 0 e x + x 2 = 0, então x 1 = x 2. Em outras palavras, num corpo cada elemento x possui um único oposto, denotado por x. (3) Se x 1 e x 2 são elementos de K que satisfazem: x 1 x = x e x 2 x = x, x K, então x 1 = x 2. Em outras palavras, um corpo possui uma única unidade, que é denotada por 1. (4) Dado x K com x 0, se x 1 e x 2 são elementos de K satisfazendo: x x 1 = 1 e x x 2 = 1, então x 1 = x 2. Em outras palavras, num corpo cada elemento não nulo x possui um único inverso multiplicativo, denotado por x 1. Exercício 3. Seja (K, +, ) um corpo. Mostre que: (1) 0 x = 0, para todo x K. 1

2 (2) Se x 1 e x 2 são elementos de K com x 1 x 2 = 0, então x 1 = 0 ou x 2 = 0. (3) x = ( 1) x, para todo x K. (4) Se x, x 1 e x 2 são elementos de K com x 0 e x x 1 = x x 2, então x 1 = x 2. Definição 1. Sejam (K, +,.) um corpo e S um subconjunto de K. Dizemos que S é um subcorpo de K se S é um corpo quando munido da restrição das operações de K. De agora em diante, vamos denotar um corpo (K, +, ) apenas pelo conjunto subjacente K. Assim como um espaço vetorial (V, +, ) sobre K será denotado apenas pelo conjunto subjacente V. Esse abuso de notação se faz necessário para que a notação não fique muito sobrecarregada. Exercício 4. Sejam K um corpo e S um subcorpo de K. Mostre que: (1) O elemento neutro da soma de S coincide com o elemento neutro da soma de K; (2) A unidade multiplicativa de S coincide com a unidade multiplicativa de K. Exercício 5. Mostre que: (1) Q é um subcorpo de R, onde R está munido das operações canônicas; (2) R é um subcorpo de C, onde C está munido das operações canônicas. Exercício 6. Mostre que todo subcorpo de C contém Q. Definição 2. Seja K um corpo. A característica de K é definida da seguinte forma: Se existe um número natural n 1 tal que (1) } {{ } = 0 n vezes então a característica de K é o menor natural m tal que (1) vale com n = m; Se não existe um natural n tal que (1) vale, então dizemos que a característica de K é nula. Exercício 7. Determine a caracteríctica do corpo do Exercício 1 e dos corpos C, R e Q, munidos das operações canônicas. Exercício 8. Mostre que se um corpo tem característica nula, então ele é infinito. Exercício 9. Sejam K um corpo e V um espaço vetorial sobre K. Mostre que: (1) Se 0 1 e 0 2 são elementos de V satisfazendo: v = v e v = v, v V, então 0 1 = 0 2. Em outras palavras, existe um único elemento neutro da soma num espaço vetorial e esse elemento é denotado por 0. 2

3 (2) Dado v V, se v 1 e v 2 são elementos de V satisfazendo: v + v 1 = 0 e v + v 2 = 0, então v 1 = v 2. Em outras palavras, num espaço vetorial cada elemento v possui um único oposto, denotado por v. (3) 0 v = 0, para todo v V. (4) v = ( 1) v, para todo v V. (5) Se λ K e v V satisfazem λ v = 0, então λ = 0 ou v = 0. Exercício 10. Seja K um corpo. Mostre que K pode ser visto como um espaço vetorial sobre K. Exercício 11. Sejam K um corpo e n um natural positivo. Denotamos por K n o conjunto da n-úplas de elementos de K, i.e.: K n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x i K, i = 1,..., n}. Defina as seguintes operações em K n : (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) e λ (x 1,..., x n ) = (λ x 1,...λ x n ), para todo λ K e todos x i, y i K. Mostre que (K n, +, ) é um espaço vetorial sobre K. Diga quem é o elemento neutro desse espaço vetorial, assim como o oposto de cada elemento. Exercício 12. Sejam K um corpo e S um subconjunto não vazio de K. Seja V o conjunto de todas as funções de S em K. Defina em V as seguintes operações: (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (λ f)(x) = λ f(x), x K, para todo λ K e todos f, g V. Mostre que (V, +, ) é um espaço vetorial sobre K. Diga quem é o elemento neutro desse espaço vetorial, assim como o oposto de cada elemento. Observação 2. Uma classe de objetos muito importante no estudo da álgebra linear é a classe dos polinômios sobre um corpo fixado. Se o corpo é R, então um polinômio com coeficientes em R é exatamente aquilo que vocês estão acostumados a chamar de polinômio, i.e., algo da forma: (2) a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, onde os coeficientes a i pertencem a R. Generalizando essa ideia, um polinômio com coeficientes num corpo arbitrário K seria um objeto como o descrito em (2), mas com os coeficientes a i pertencendo ao corpo K. Durante esse curso, vocês podem continuar pensando em polinômios da maneira descrita acima. No entanto, notem que esses objetos não estão bem definidos. Na próxima definição, vamos formalizar a noção de polinômio com coeficientes num corpo. 3

4 Definição 3. Dado um corpo K, uma sequência quase-nula em K é uma sequência (a n ) n 0 de elementos de K tal que existe um natural n 0 satisfazendo a m = 0, para todo m > n. um polinômio com coeficientes em K é uma sequência quase nula de elementos de K. Um polinômio com coeficientes em K é uma sequência quase-nula em K. Dado um polinômio p = (a n ) n 0 com coeficientes num corpo K, o grau de p é definido como o menor natural n tal que a m = 0, para todo m > n. Exercício 13. Relacione a ideia de polinômios descrita na Observação 2 com a descrita na Definição 3. Exercício 14. Dado um corpo K, denotamos por K[X] o conjunto formado por todos os polinômios com coeficientes em K. Defina as seguintes operações: (1) (a n ) n 0 + (b n ) n 0 = (a n + b n ) n 0 ; (2) λ (a n ) n 0 = (λ a n ) n 0, para todo λ K e todos (a n ) n 0, (b n ) n 0 K[X]. Mostre que ( K[X], +, ) é um espaço vetorial sobre K. Diga quem é o elemento neutro desse espaço vetorial, assim como o oposto de cada elemento. Observação 3. Eu acho interessante que vocês entendam a relação entre as operações descritas no Exercício 14 e as operações que vocês estão habituados a fazer com polinômios. Exercício 15. Sejam K um corpo e n e m números naturais positivos. Seja M n m (K) o conjunto das matrizes n m de elementos de K, i.e.: M n m (K) = {(x ij ) 1 i n,1 j m : x ij K}. Quando n e m estão fixados, vamos denotar a matriz (x ij ) 1 i n,1 j m por (x ij ) i,j, para simplificar a notação. Defina as seguintes operações: (x ij ) i,j + (y ij ) i,j = (x ij + y ij ) i,j e λ (x ij ) i,j = (λ x ij ) i,j, para todo λ K e todos (a ij ) i,j e (b ij ) i,j em M n m (K). Mostre que M n m (K) é um espaço vetorial sobre K, se munido das operações definidas acima. Diga quem é o elemento neutro desse espaço vetorial, assim como o oposto de cada elemento. Observação 4. Analogamente ao explicado na Observação 2, a descrição de matrizes sobre um corpo dada no Exercício 15 não é muito formal. Vocês podem usar essa descrição durante todo esse curso. Uma maneira de formalizar a idéia de matrizes sobre um corpo K é pensar que fixados naturais positivos n e m, uma matriz n por m sobre um corpo K é uma função definida no conjunto {1,..., n} {1,..., m} e tomando valores em K. Para ver a relação entre essa descrição e a noção de matrizes que vocês já tem, note que ao elemento (x ij ) i,j de M n m (K), podemos associar a função f : {1,..., n} {1,..., m} K definida por f(i, j) = x ij. Por outro lado, 4

5 a uma função f de {1,..., n} {1,..., m} em K podemos associar a matriz (f(i, j)) i,j. Note que com essa formalização da noção de matrizes, as operações descritas no Exercício 15 coincidem com as operações ponto a ponto de funções. Exercício 16. Sejam (K, +, ) um corpo e S um subcorpo de K. Mostre que K é um espaço vetorial sobre S, se munido das seguintes operações: (1) A soma é a soma de K; (2) O produto por escalar é a restrição do produto de K para S K. Observação 5. Note que dos Exercícios 5 e 16 segue que R pode ser visto como um espaço vetorial sobre Q e que C pode ser visto com um espaço vetorial sobre R, com as operações definidas no Exercício 16. 5