Sebenta de exercícios de Álgebra Linear

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1 Sebenta de exercícios de Álgebra Linear Curso: Eng. a do Ambiente Ano Lectivo 006/007 7 de Setembro de 006 (Versão: 1.0)

2 Conteúdo Notações e terminologia ii 1 Introdução Noções elementares sobre conjuntos Noções elementares sobre aplicações Noções elementares sobre estruturas algébricas. Grupo e Corpo 1.4 Noções elementares sobre polinómios Espaços Vectoriais 5.1 Espaços vectoriais Dependência e Independência linear Subespaços vectoriais Soma directa interna Aplicações Lineares 1.1 Aplicações lineares Núcleo e Imagem O espaço Hom(V; W ) Matrizes Operações fundamentais sobre matrizes Matriz de uma aplicação linear Característica de uma matriz Matriz de mudança de base e mudanças de base Sistemas de Equações Lineares. Determinantes 5.1 Sistemas de equações lineares Determinantes Valores e Vectores Próprios Subespaços invariantes. Valores e vectores próprios Subespaço próprio Diagonalização de endomor smos e matrizes Espaços com Produto Interno Produtos internos. Normas Bases ortonormadas. Processo de ortonormalização Produto externo e produto misto de vectores i

3 Notações e terminologia Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais: ; o conjunto vazio N = f0; 1; ; ; g o conjunto dos números naturais Z = f ; ; 1; 0; 1; ; g o conjunto dos números inteiros n o x Q = R : x Z ^ y Z n f0g o conjunto dos números racionais y R C o conjunto dos números reais o conjunto dos números complexos De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo := quer designar a igualdade de duas entidades por de nição. O símbolo v representa uma subestrutura de uma dada estrutura. Por exemplo, sendo V um espaço vectorial e F um subconjunto de V, para abreviar a expressão F é um subespaço vectorial de V, usamos o simbolismo F v V. Sendo X fn; Z; Q; R; Cg, representaremos por X >0 ; X 0 e X 6=0, respectivamente, os seguintes conjuntos: Como exemplos, o conjunto X >0 := fx X : x > 0g X 0 := fx X : x 0g X 6=0 := fx X : x 6= 0g. R 0 := fx R : x 0g = [0; +1[, representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto R 6=0 := fx R : x 6= 0g = R n f0g, representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero. ii

4 Capítulo 1 Introdução 1.1 Noções elementares sobre conjuntos 1) Considere os conjuntos A := f1; g e B := fa; b; cg. Determine A B. ) Considere os conjuntos A := fx; yg e B := fz; tg. Determine A B e veri que se A B = B A. ) Sendo A := f1; ; g, B := f1; 4; 5; 6; 7g e C := fa; b; cg, determine: a) A \ B e A \ C. b) A [ B e B [ C. 4) Considere o conjunto A := fx; y; zg. Diga, justi cando, quais das a rmações seguintes: a) x A. b) x A. c) fxg A. d) fxg A. são verdadeiras ou falsas. 5) Considere o conjunto A := f1; f; g ; 4g. Diga, justi cando, quais das a rmações seguintes: a) f; g A. b) f; g A. c) ff; gg A. são verdadeiras ou falsas. 6) Sendo A := fa; bg e B := fa; b; cg, determine: a) o conjunto das partes de A, i.e., P(A). b) o conjunto das partes de B, i.e., P(B). 7) Dado o conjunto X := ff; g ; 4g. Determine o conjunto das partes de X. 1

5 1. Noções elementares sobre aplicações 1) Considere a função f : R! R de nida por x 7! x. Determine: a) f(4). b) f(f1; g). c) f 1 (fg). d) f 1 (f0g). e) f 1 (f4g). f) f 1 (f1; ; 4; 7g). ) Considerem-se as funções f e g de domínio X := fa; bg R e codomínio R e de nidas por: f(a) = 1, f(b) = e g(a) =, g(b) = 1. Determine a lei de transformação das funções nas seguintes alíneas: a) f + g. b) 5f. c) f g. d) g + id. e) jfj. f) jfj + g. g) f g. h) 4f 5g. i) (4f 5g) + (jfj + g). ) Sejam f : R! R e g : R! R duas funções de nidas por: f(x) := x 5 se x > x se x e g(x) := x + 1. Determine a imagem dos elementos, para cada uma das funções, das alíneas seguintes: a) f( ). b) g( ). c) (g f)(1). d) (f g)(). e) (f f)(). 4) Considere a aplicação f : N! R de nida por x 7! x 5. a) Veri que se f é injectiva e sobrejectiva. b) Represente gra camente a função e veri que se está em consonância com a alínea anterior. c) Calcule f(a), sendo A := f4; 5; 6; 7g. 5) Considere as funções f : R! R e g : R! R de nidas, respectivamente, por x 7! x e x 7! x + 1. Veri que se: a) f é injectiva. b) g é injectiva. c) f é sobrejectiva. d) g é sobrejectiva. e) g f é injectiva. f) g f é sobrejectiva. g) f é bijectiva. h) g é bijectiva. i) g f é bijectiva. j) f g é injectiva. k) f g é sobrejectiva. l) f g é bijectiva.

6 1. Noções elementares sobre estruturas algébricas. Grupo e Corpo 1) Considere em R 6=0 as seguintes relações: a) xy := x + y + 5. b) x 0 y := x + y. Veri que se são operações binárias em R 6=0. ) Analise cada uma das estruturas seguintes: a) (N; +). b) (N; ). c) (Z; +). d) (Z; ). e) (Z 6=0 ; ). f) (Q; +). g) (Q; ). h) (Q 6=0 ; ). i) (R; +). j) (R; ). k) (R 6=0 ; ). l) (C; +). m) (C; ). n) (C 6=0 ; ). ) Considere em R as operações binárias e de nidas por: xy := x + y e x y := xy. Mostre que R, para as operações de nidas, tem uma estrutura de corpo. 4) Considere em C as operações binárias + e de nidas por: (x + yi) + (z + ti) := (x + z) + (y + t)i, (x + yi) (z + ti) := (xz yt) + (xt + yz)i. Mostre que C, para as operações de nidas, possui uma estrutura de corpo.

7 1.4 Noções elementares sobre polinómios 1) Considere as funções f; g; h : R! R de nidas, respectivamente, por: x 7! 5 4x + x + x, x 7! + x + x x e x 7! d + (c + 1)x + (b c)x + (a + b)x. a) Determine a lei de transformação da função nas alíneas seguintes: 1) f g. ) f + g. b) Resolva, em cada alínea, a equação polinomial: 1) f(x) + g(x) = 11 + x x + x. ) f(x) g(x) = x + 4x. ) f(x) + g(x) = 1 x + x. c) Determine os parâmetros a, b, c e d, de modo que, em cada alínea a equação seja possível: 1) h(x) = 0. ) f(x) + h(x) = 0. ) g(x) h(x) = 0. 4) f(x) + g(x) + p h(x) = 0. ) Determine x e y de forma que seja verdadeira a seguinte equação: (1 + x) + ( + y)i = 1 + 4i. ) Efectue as operações indicadas, sobre números complexos: a) ( + i) + ( 5i) + ( i). b) ( 5i) ( + i) (5 i). 5 c) i 1 + i. d) ( i) ( + 5i). 1 e) i + 1i. f) p i + 1i. g) +i. h) 1+i+ i 1 i + i. i i i) i 1+i ( i) (1 + i). 4) Mostre que sendo x; y; b C e a; ac jbj R >0, então: a jxj + Re(bxy) + c jyj = a x + b a y + (ac jbj ) jyj, onde Re designa a parte real do número complexo. 4

8 Capítulo Espaços Vectoriais.1 Espaços vectoriais 1) Mostre que qualquer corpo K é espaço vectorial sobre si próprio. Conclua que Q, R e C são espaços vectoriais sobre, respectivamente, Q, R e C. ) Mostre que C é espaço vectorial sobre R para a adição usual de números complexos e a multiplicação de um real por um complexo. Podemos considerar R um espaço vectorial sobre C?. ) Sejam V 1 ; V ; : : : ; V n espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K. Considere o produto cartesiano V 1 V V n munido das operações: (x 1 ; x ; : : : ; x n ) + (y 1 ; y ; : : : ; y n ) := (x 1 + y 1 ; x + y ; : : : ; x n + y n ) (x 1 ; x ; : : : ; x n ) := (x 1 ; x ; : : : ; x n ), onde (x 1 ; x ; : : : ; x n ) e (y 1 ; y ; : : : ; y n ) designam elementos quaisquer de V 1 V V n e um elemento qualquer de K. a) Prove que estas operações conferem ao conjunto V 1 V V n uma estrutura de espaço vectorial sobre K (a que se chama espaço vectorial produto dos espaços vectoriais V 1 ; V ; : : : ; V n ). b) Utilize a alínea anterior, para provar que K n é espaço vectorial sobre K (sendo K um corpo qualquer) e que em particular R n (resp., C n ) é espaço vectorial sobre R (resp., C). 4) Veri que se cada um dos seguintes conjuntos de polinómios numa variável e com coe cientes reais é um espaço vectorial real (resp., complexo) em relação às operações ordinárias de adição de polinómios e multiplicação de um polinómio por um número real (resp., complexo): a) Conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a n. b) Conjunto dos polinómios de grau n (n xo). 5) Em R n, de na-se as operações: a b := a b e a := a 5

9 com a; b R n e R. Quais dos axiomas da de nição de espaço vectorial são satisfeitos por R n para as operações e sobre R? 6

10 . Dependência e Independência linear 1) Indique quais dos seguintes sistemas de vectores de R sobre R são linearmente independentes: 1) ((1; 1; 1); (0; 1; 0); (1; 0; 1)). ) ((1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)). ) ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)). 4) ((0; 1; 0); (0; 0; 1); (1; 0; 0)). 5) ((1; ; ); (0; ; ); (0; 0; )). 6) ((1; ; ); ( 1; ; 4); (5; 5; 6)). 7) ((1; ; ); ( 1; ; 4); (5; 5; 6)). 8) ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1); (1; ; )). 9) ((1; 0; 0); (0; 1; 0)). 10) ((1; ; ); ( ; 4; 6)). 11) ((1; ; )). 1) ((0; 0; 0)). ) Indique quais dos seguintes sistemas de vectores de R [x] sobre R são linearmente independentes: 1) (1; x; x ; x ). ) (1 + x + x + x ; x + x + x ; x + x ; x ). ) (1; x + x ; x ; x x + 4x ). 4) (1 + x + x + 4x ; x ; 4x ). 5) (1 + x + x + 4x ; x ; 7 + x + x ). 6) (7 x ; 4x ). ) Relativamente ao espaço vectorial real R : a) Escreva o vector u := (; 4; ) como combinação linear dos vectores: 1) v := (1; ; 0), w := (0; 1; ) e z := (1; 0; ). ) v := (6; 0; 4), w := (0; 1; 0) e z := (; ; ). b) Determine o valor de k, tal que u := (1; ; k) possa ser escrito como combinação linear de v := (; 0; ) e w := (; 1; 5). 4) Determine os valores de a, para os quais os sistemas de vectores seguintes, são sistemas de vectores linearmente independentes nos espaços considerados: a) ((a; 1; 0); (1; a; 1); (1; 0; 0)) em R sobre R. b) (a + t; 1 + at t ; + t ) em R [t] sobre R. 5) Mostre que ((1 i; i); (; 1 + i)) é um sistema de vectores linearmente independente em C sobre R e linearmente dependente em C sobre C. 6) No espaço vectorial real R : a) Mostre que o sistema de vectores ((0; 0; 1); (0; 1; 0); (0; 0; 0)) é linearmente dependente. b) Considere o vector u := (1; ; ) e os sistemas de vectores (u; v; w) com: 1) A. v := (0; 1; ) e w := (0; 0; 1). B. v := (0; 1; ) e w := (1; 1; 1). 7

11 ) Estude quanto à dependência linear os dois sistemas de vectores. ) Veri que que o vector u só poderá ser expresso como combinação linear de v e w, quando o sistema de vectores (u; v; w) for linearmente dependente. 7) Considere o sistema de vectores ((1; 0; 0); (0; 1; 0)) linearmente independente. Veri que que ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (; ; 0)) é um sistema de vectores linearmente dependente, e que consequentemente, (; ; 0) pode ser expresso como combinação linear de (1; 0; 0) e (0; 1; 0). 8) Veri que que qualquer subsistema de vectores obtido a partir do sistema de vectores ((1; 1; ); (1; ; 1); (; 1; 1)) (sistema de vectores linearmente independente) é linearmente independente. 9) Veri que que o sistema de vectores ((1; 1; 1); ( ; ; ); (a; b; c)) é linearmente dependente, para todo o vector (a; b; c) R. 10) Veri que que o vector (1; 4; 5) pode ser obtido por uma única combinação linear dos vectores: a) u := (1; 1; ) e v := (1; ; 1) (note que (u; v) é linearmente independente) b) Considere o sistema de vectores linearmente independente (u; v; w) com u := (1; ; ), v := ( 1; ; 4) e w := (0; 0; ). Veri que que os sistemas (u; v + w; w), (u; v; w) com 6= 0, (u; v + w; w) são ainda sistemas linearmente independentes. c) Considere o sistema de vectores linearmente dependente (u; v; w) com u := (1; ; ), v := (1; ; 5) e w := (0; 0; ). Veri que que os sistemas (u; v + w; w), (u; v; w) e (u; v + w; w) são sistemas linearmente dependentes. 11) No espaço vectorial real R 4, considere os vectores a := (1; 0; 1; 0), b := (1; 0; 0; 1) e c := (1; 1; 1; 1). a) Mostre que (a; b; c) é um sistema linearmente independente. b) Será que (a; b) é um sistema linearmente independente? Justi que. c) Indique todos os subsistemas de vectores linearmente independentes do sistema (a; b; c). d) Dê um exemplo de um vector d 6= 0, tal que (a; b; c; d) seja linearmente dependente. 8

12 . Subespaços vectoriais 1) Determine o subespaço do espaço vectorial real R gerado por: a) f(1; 0; 1); (0; 1; 0); ( ; 1; )g. b) f(1; 0; 1); (0; 1; 0); ( ; 1; ); ( ; 4; )g. c) f(0; 1; 0); ( ; 1; )g. d) f(1; 1; 1); (1; 0; 1); (; 1; 0)g. ) Determine o subespaço do espaço vectorial real R [x] gerado por: a) f 1 + x; 1 + x g. b) fx; 1 + x; + x + 4x g. c) f 1 + x; + x g. d) f1 + x; + x; + x ; 6 9x g. ) Indique quais dos seguintes sistemas de vectores formam uma base nos respectivos espaços: a) ((1; 0; 0) ; (0; 1; 0); ( ; 1; )) no espaço vectorial R. b) ((0; 1; 0); ( ; 1; )) num subespaço vectorial de R de dimensão. c) (1; x; 1 + x ) no espaço vectorial R [x]. d) (1; x; + x ; x 5 ) num subespaço vectorial de R 5 [x] de dimensão 4. 4) Dos seguintes subconjuntos, determine quais são subespaços do respectivo espaço vectorial real, indicando para esses, uma base. a) A := f(x; y; z; w) R 4 : x + y = z + w = 0g. b) B := f(x; y; z; w) R 4 : w = 1g. c) C := f(a + b; a b; a; 4b) R 4 : a; b Rg. d) D := f(x; y; z; w) R 4 : y 0g. e) E := f(x; y; z; w) R 4 : x y = 0g. f) F := f(a + b; a b; 0; 0) R 4 : a; b Rg. g) G := f(x; y; z; w) R 4 : jxj > g. h) H := f(x; y; z; w) R 4 : log(x) 0g. i) I := f(x; y; z; w) R 4 : ax + by + cz + dw = 0 com a; b; c; d R ( xos)g. j) J := f(x; y; z; w) R 4 : ax + by + cz + dw = k com a; b; c; d; k R ^ k 6= 0g. k) K := fa + bx + cx R [x] : a b = 0g. l) L := a + bx + cx + dx R [x] : a b = 0 ^ c = p d. m) M := fa + bx + cx + dx + ex 4 R 4 [x] : b = c ^ d = a eg. 9

13 5) Sejam L := f(x; y; z) R : x + y + z = 0g e M := f(x; x; x) R : x Rg subespaços do espaço vectorial real R e sejam A := L\M, B := L+M e C := L [ M. a) Determine A, B e C. b) Dos subconjuntos A, B e C de R, qual(is) é(são) subespaço(s) do espaço vectorial R? 6) No espaço vectorial real R, considere os subespaços: A := (x; y; 0) R : x; y R e B := f(x; 0; z) R : x; z Rg. a) Represente-os gra camente. b) Determine gra camente, A\B. Determine algebricamente o mesmo conjunto e con rme a sua igualdade, pelos dois processos de cálculo. c) Veri que se A \ B é subespaço de R. 7) No espaço vectorial real R. a) Mostre que F := f(x; y; z) R : x y + z = 0g é um subespaço vectorial real. b) Determine o subespaço G do espaço vectorial real R gerado pelo conjunto fu 1 ; u g, sendo u 1 := (1; 0; ) e u := (0; 1; 1). c) Determine o subespaço F \ G e indique a sua dimensão. d) Veri que que o sistema (u 1 ; u ; u ) constitui uma base de R, sendo u um vector de R não pertencente a G. 10

14 .4 Soma directa interna 1) Sejam A, B e C subespaços vectoriais de R, sendo A := f(a; b; c) R : a + b + c = 0g, B := f(a; b; c) R : a = cg e C := f(0; 0; c) R : c Rg. a) Mostre que R = A + C. b) Mostre que R = A + B. c) Determine A [ B e B \ C e veri que se são subespaços vectoriais de R. ) No espaço vectorial real R, considerem-se os subespaços: A := f(a; b; 0) R : a; b Rg, B := f(0; b; c) R : b; c Rg, C := f(0; 0; c) R : c Rg e D := f(a; b; c) R : a = b = cg. a) Mostre que R = A + B. b) Mostre que R não é soma directa de A e B. c) Mostre que R = A C e R = B D. d) Determine a dim(a), dim(b), dim(c) e dim(d). Veri que que em qualquer dos casos dim(r ) = dim(a) + dim(c) = dim(b) + dim(d). ) No espaço vectorial real R [x], considerem-se os subespaços: a) Mostre que: A := fa + bx + cx R [x] : a + b + c = 0g, B := fa + bx + cx R [x] : a = cg, C := fa + bx + cx R [x] : a = bg. 1) R [x] = A + B. ) R [x] = A + C. ) R [x] = B + C. b) Quais das somas anteriores são somas directas internas? Justi- que. 11

15 Capítulo Aplicações Lineares.1 Aplicações lineares 1) Relativamente aos espaços vectoriais reais das alíneas seguintes, indique quais das aplicações são lineares: a) f : R! R de nida por f ((x 1 ; x )) = (x ; x 1 ). b) f : R! R de nida por f((x; y)) = (k 1 ; k ) com k 1 e k elementos reais xos. c) f : R! R de nida por f((x; y)) = (sen(x); y). d) f : R n [x]! R n [x] de nida por f(p) = p 0, onde p 0 é o polinómio obtido por derivação do polinómio p. e) f : R n [x]! R n [x + 1] de nida por f(p x ) = p x+1, onde p x é o polinómio na indeterminada x. f) f : R [x]! R [t] de nida por f(p x ) = p t+1, onde p x é o polinómio na indeterminada x. g) f : R! R [x] de nida por f ((a; b; c)) = a + bx + cx. h) f : R! R >0 de nida por f(x) = e x, onde R >0 é o espaço vectorial real, cuja operação binária nele de nida é o produto de números reais e a multiplicação por escalar é dada pela potenciação. i) f : R [x]! R de nida por: f(a + bx + cx + dx ) = Z 0 (c + d)x + (a + b)x dx. ) Seja f : C! C de nida por f(z) = z, onde z é o conjugado de z. Mostre que: a) f é linear, se C é considerado espaço vectorial real. b) f não é linear, se C é considerado espaço vectorial complexo. 1

16 . Núcleo e Imagem 1) Considere a aplicação f : R! R de nida por: f(x 1 ; x ; x ) = (x 1 + x ; x 1 + x ; x + x ). Prove que se trata de uma aplicação linear. Determine o respectivo núcleo e diga se f é um monomor smo. ) Considere a aplicação f : R 4! R de nida por: f(x 1 ; x ; x ; x 4 ) = (x 1 + x ; x 1 x + x 4 ). a) Mostre que é uma aplicação linear. Determine o respectivo núcleo e diga se f é um monomor smo. b) Determine ainda, as imagens inversas dos vectores (1; 0) e ( 1; ) de R. ) Considere a aplicação f : R! R de nida por: f(x; y; z) = (x y + z; x + y + z). a) Mostre que f é uma aplicação linear. b) Determine Ker(f) e diga se f é um monomor smo. c) Determine a imagem de f, ou seja, Im(f) e diga se f é um isomor smo. d) Dado o vector v := (1; ), determine f 1 (fvg). e) Determine Ker(f). 4) Considere uma aplicação linear f : R! R tal que: f(1; 1; 0) = (0; 1; 1), f(1; 0; 1) = (1; 1; 1) e f(0; 1; 1) = (; 1; 1). a) Determine a lei de transformação de f. b) Determine Ker(f). Diga se f é um automor smo. c) Determine f 1 (f(; 1; 1)g). 5) Considere duas aplicações lineares f; g : R 4! R 4 tais que: e Determine: f(1; 0; 0; 0) = (1; 0; 0; 1), f(1; 1; 0; 0) = (0; 1; 0; 1), f(1; 1; 1; 0) = (1; 0; 1; 0), f(1; 1; 1; 1) = (0; 1; 1; 0) g(1; 0; 0; 0) = (1; 0; 1; 0), g(0; 1; 0; 0) = (0; 1; 1; 0), g(0; 0; 1; 0) = (1; 0; 1; 1), g(0; 0; 0; 1) = (1; 1; 1; 1). a) a lei de transformação de f e g. b) Ker(f) \ Im(g). 1

17 c) Ker(f) \ Ker(g). d) Ker(f + g). e) Ker(f g). 6) Seja f um endomor smo em R e tal que: f(1; 1; 0) = (0; 1; 0), f(0; 1; 0) = (0; 1; 0) e f(0; 0; 1) = (1; 0; 0). a) Determine f(1; 1; 1) e f 1 (f(0; 1; 1)g). b) Diga se f é um epimor smo. c) Determine Ker(f) e Ker(f) \ Im(f). 7) Considere a aplicação f : R [x]! R 1 [x] de nida por: f(a + bx + cx ) = b + (a c)x. a) Mostre que f é uma aplicação linear. b) Determine Ker(f), uma base deste espaço e a respectiva dimensão. 14

18 . O espaço Hom(V; W ) 1) Sejam f; g Hom(R ; R). Mostre que para todo o x R, a aplicação h(x) = (f(x); g(x)) é uma aplicação linear de R em R, ou seja, h Hom(R ; R ). ) Seja f : V! W uma aplicação entre os espaços vectoriais V e W de bases (e 1 ; e ; e ) e (e 0 1; e 0 ), respectivamente. Considere-se f de nida por: f(xe 1 + ye + ze ) = (x + k)e (y + z)e 0, com k R. a) Para que valores de k é f uma aplicação linear. b) Para os valores de k determinados na alínea anterior, determine o Ker(f) e uma sua base. ) Sejam f; g Hom(R ; R ) e h Hom(R ; R) de nidas, respectivamente, por: f(x; y; z) = (x y; z), g(x; y; z) = (x z; y) e h(x; y) = x + y. a) Determine a lei de transformação de f + g. b) Determine a lei de transformação de h (f + g). c) Veri que que se tem h (f + g) = (h f) + (h g). d) Calcule Ker(h (f + g)). 4) Sejam R um escalar arbitrário e f; g Hom(R ; R ) de nidas, respectivamente, por: f(x; y) = (x; 0; y) e g(x; y) = (y x; x). a) Determine a lei de transformação de f. b) Determine a lei de transformação de g (f). c) Veri que que se tem (g f) = (g) f = g (f). d) Determine Im((g f)). 15

19 Capítulo 4 Matrizes 4.1 Operações fundamentais sobre matrizes 1) Considere as seguintes matrizes sobre o corpo R: A :=, B := e C := Veri que quais das seguintes operações estão de nidas e, para essas determine o seu valor: a) (5A)(4C). b) A + B. c) B + C. d) C t B. e) BC t. f) AC. g) CA. h) (AC). i) (AC)B. j) A(CB). k) (CB) + I. ) Considere o espaço vectorial M (R): a) Mostre que os seguintes sistemas de vectores: ) ; ; ; ) ; ; ; constituem bases nesse espaço. 4 1 b) Escreva o vector como combinação linear das bases das alíneas anteriores. ) Considere as seguintes matrizes de ordem sobre R: A := e B := Mostre que AB 6= BA. matrizes? O que conclui quanto à comutatividade de 4) Dadas duas matrizes A; B M nn (R) elas comutam se AB = BA. Determine a expressão geral das matrizes de que comutam com 1 1 a matriz

20 5) Considere as seguintes matrizes de M (R): A :=, B := e C := Mostre que AB = AC e no entanto B 6= C, ou seja, a lei do corte não é válida para o produto de matrizes. 6) Considere as seguintes matrizes sobre R: 0 1 A := e B := Resolva as seguintes equações matriciais: a) A + X = 4B. b) BA + 5X = A. c) B + X = A. d) B + X = A + p B. e) B t A + X = X + A. f) 1 X + AX + B = O. 7) Considere as matrizes A; B M nn (K) tal que AB = A e BA = B. Mostre que: a) B t A t = A t e A t B t = B t. b) as matrizes A e B são idempotentes (Uma matriz A é idempotente se A = A). c) se a matriz A é invertível, então A = B = I nn. 5 d) se considerarmos A := e B := então não é válida a recíproca de 7b) ) Seja K um corpo e M mn (K) o conjunto das matrizes do tipo m n sobre K. Mostre que M mn (K) constitui um espaço vectorial sobre K, para as operações usuais de soma de matrizes e produto de um elemento de K por uma matriz. 9) Sejam A; A 0 ; A 00 M mn (K), B; B 0 M nq (K), C M ql (K) e K. Mostre que: a) (A + A 0 ) + A 00 = A + (A 0 + A 00 ). b) A + A 0 = A 0 + A. c) (AB)C = A(BC). d) (A + A 0 )B = AB + A 0 B. e) (AB) = (A)B = A(B). 5, 1 Este exercício pode mais facilmente ser resolvido usando a noção de inversa de uma matriz. Neste caso necessitamos da inversa da matriz I + A. 17

21 4. Matriz de uma aplicação linear 1) Considerando a aplicação identidade id V : V! V e xando em V uma base qualquer, determine a matriz de id V. ) Determine a matriz da aplicação linear f : R! R de nida por: f(x; y) = (x + y; x y; y x), com respeito à base canónica de R e à base ((1; 1; 0); (1; 0; 1); (0; 1; 1)) de R. 0 1 ) No espaço vectorial R, a matriz A := de ne uma aplicação linear em relação a uma base xa nesse espaço. Determine essa aplicação linear, quando essa base, é a seguinte base no domínio e codomínio da aplicação: a) ((1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)). b) ((1; 1; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)). c) ((1; 0; 0) ; (0; 1; 1) ; (1; 0; 1)). 4) Considere a aplicação f : R [x]! R [x] de nida por: f(p) = x d dx (p), sendo d dx a derivada em ordem a x. a) Mostre que f é uma aplicação linear. b) Suponha, xadas em R [x] e em R [x], respectivamente, as bases 1; 1 + x; 1 + x + x e 1; 1 + x; 1 + x + x ; 1 + x + x + x. Determine a matriz que representa f em relação a essas bases. c) Determine Ker(f) e Im(f) e, estude f quanto à sua invertibilidade. 5) Considere o espaço vectorial R [x]. Seja f : R [x]! R [x] a aplicação linear de nida por: f(p) = p p 0 + p, onde p 00 e p 0 representam respectivamente, a segunda e primeira derivada de p. Determine a matriz da aplicação linear f em relação à base (x; 1 + x; x + x ; x ) xada nos respectivos espaços vectoriais domínio e codomínio de f. 6) No espaço vectorial real R, xe-se a base canónica. 18

22 a) Determine f(x; y), sendo f : R! R aaplicação de nida em 0 relação à base canónica pela matriz A :=. 0 b) Veri que que f é um automor smo em R e, determine a respectiva aplicação inversa. c) Determine a matriz de f 1 para a base canónica e veri que que é a inversa da matriz A. 7) Sejam f : R! R e g : R! R aplicações lineares de nidas, respectivamente, por: f(x) = (x; 0) e g(x) = (x; x). Determine: a) A := M(f; (1); ((1; 0); (0; 1))). b) B := M(g; (1); ((1; 0); (0; 1))). c) C := M(f + g; (1); ((1; 0); (0; 1))). d) Con rme que A + B = C. 8) Sejam f : R! R e g : R! R aplicações lineares de nidas, respectivamente, por: Determine: f(x; y) = (x; y; x + y) e g(x; y; z) = x + y + z. a) A := M(f; ((1; 0); (0; 1)); ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1))). b) B := M(g; ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)); (1)). c) C := M(g f; ((1; 0); (0; 1)); (1)). d) Con rme que BA = C. 19

23 4. Característica de uma matriz 1) Determine a característica das seguintes matrizes sobre R: a) A := b) B := c) C := d) D := e) E := 4 5. f) F := ) Determine a característica das seguintes matrizes sobre C: i i a) A := 4 1 i 1 i 5. b) B := 4 1 i 1 5 : i i 1 i i c) C := e) E := 4 i i 0 1 i i 1 0 i. d) D := 5. f) F := i i 0 i i 0 1 i 1 + i 1 0 i i i i 1 ) Veri que se os seguintes sistemas de vectores são linearmente independentes: a) ((; 0; 1; 0); (4; 1; 0; 1); (1; ; 1; 0); (6; 1; 1; 1)). b) ((1; 1; 0; 0); (1; 1; 1; 1); (; 1; 0; 1); (1; 1; 0; 1)). c) ((1; 1; 0; 0; 1); (1; 1; 1; 1; ); (; 1; 0; 1; ); (1; 1; 0; 1; 0)) d) ((1; 1; 0; 0; 1); (1; 1; 1; 1; ); (; 1; 0; 1; ); (1; 1; 0; 1; 0); (1; 0; 1; 1; 1)). 4) Determine os valores reais de para os quais a característica das seguintes matrizes é máxima: a) A := b) B := c) C := d) D := ) Discuta, segundo os valores reais de e, a característica das seguintes matrizes:

24 a) A := 6 4 c) C := b) B :=

25 4.4 Matriz de mudança de base e mudanças de base 1) Considere em R as bases: (v 1 ; v ; v ) := ((; 1; 1); (0; 0; 1); ( 1; 1; 1)) (u 1 ; u ; u ) := ((1; 1; 0); ( 1; 1; 1); (0; 1; )). a) Determine M(id R ; (u j ) j ; (v j ) j ). b) Usando a alínea anterior, escreva o vector 5u 1 + 4u + u como combinação linear dos vectores v 1, v e v. ) Considere as seguintes bases de R e R, respectivamente: (v i ) i := ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)), (u i ) i := ((1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)) e (v 0 1; v 0 ) := ((1; 0); (0; 1)), (u 0 1; u 0 ) := ((1; 1); (1; 0)). Considere também a aplicação linear f : R! R, de nida por: Determine: a) A := M(f; (v i ) i ; (v 0 j) j ). b) B := M(f; (u i ) i ; (u 0 j) j ). f(x; y; z) = (x + y; y + z). c) As matrizes invertíveis P e Q que veri cam a igualdade B = Q 1 AP. ) Seja f : R [x]! R uma aplicação linear cuja matriz em relação às bases (v 1 ; v ; v ) = 1; x; x e (u 1 ; u ; u ) = ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)) de R [x] e R, respectivamente, é A := 4 Determine M(f; (v 0 j) j ; (u 0 i) i ) em que: a) (v 0 j) j := (; 1 + x; x ) e (u 0 i) i := ((1; 1; 0); (1; 1; 1); (0; 1; 1)). b) (v 0 j) j := (1 + x; x; x ) e (u 0 i) i := ((1; 0; 1); (0; 1; 0); (0; 0; )). 4) Sejam V e W espaços vectoriais reais e (v 1 ; v ; v ) e (w 1 ; w ) bases de V e W, respectivamente. Seja f : V! W uma aplicação linear tal que: M(f; (v j ) j ; (w i ) i ) = a) Mostre usando matrizes que (v 1 v ; v 1 + v ; v 1 + v + v ) e (w 1 + w ; w ) são bases de V e W, respectivamente. b) Determine a matriz de f em relação às bases da alínea anterior. 5.

26 Capítulo 5 Sistemas de Equações Lineares. Determinantes 5.1 Sistemas de equações lineares 1) Resolva, caso seja possível, os seguintes sistemas de equações lineares: 8 8 < x y + z = >< a) x + 5y z = 1. b) : x + y + z = 8 < x + y + z = y + x c) x z = y + 1 : y + z = x 8 < x + y z = 1 e) x y + z = : 4x + y + z = 4 >: 8 <. d) : 8 ><. f) >: 8 x y + z + w = 1 >< x + 15y + 18z + 14w = 1 g) x + y z w = >: x 6y + 11z + 7w = 9 8 ><. h) >: x + y + z + w = 10 x + y + z + 4w = 8 x + 5y + 4z + 7w = 8 x + 5y + 8z + 6w = 1 x y + z = 1 x + y + z = x + y + z = x + y + z + w = 0 x z + w = 1 x + y z w = 1 x y + 8z = 5 x + y + z + w = 0 x y + z w = 0 5x y + z w = 0 x + 5y + z + w = ) Discuta, segundo os valores dos parâmetros a; b; R, os sistemas: 8 8 < x + y + z = + 1 < x + y + (1 )z = + 1 a) x + y + z = 1. b) (1 + )x y + z = 0 : x + y = + : x y + z = + 8 < c) : 8 < e) : x + y + z w = 0 x + y + z w = 0 x + y + z + w = 0 x + y + w = x + y + az + 5w = x z w = b 8 <. d) : 8 <. f) : x + y + z = 0 x + y + z = 1 x + y = x + y + 4z + t = 1 x + 4y z + t = x + y + az + t = b...

27 ) Averigúe, se existe uma matriz coluna X, tal que AX = BX com: A := e B := ) Determine as matrizes inversas de: 1 1 a) b) d) e) c) 5. f)

28 5. Determinantes 1) Seja A = [a ij ] M 66 (K). No desenvolvimento do det(a), quais os sinais dos termos: a) a 1 a 1 a a 46 a 55 a 64. b) a a 1 a 45 a 4 a 56 a 61. ) Calcule o determinante das seguintes matrizes: a). b) c) d) e) f) ) Veri que que são nulos os determinantes das seguintes matrizes: x x 0 ax + bx 0 a + b c 1 a) 4 y y 0 ay + by 0 5. b) 4 b + c a 1 5. z z 0 az + bz 0 c + a b 1 4) Sem calcular os determinantes, prove as seguintes igualdades: a 1 b 1 a 1 x + b 1 y + c 1 a) a b a x + b y + c a b a x + b y + c = a 1 b 1 c 1 a b c a b c. a 1 + b 1 x a 1 b 1 x c 1 b) a + b x a b x c a + b x a b x c = x a 1 b 1 c 1 a b c a b c. 5) Calcule o determinante das seguintes matrizes: 1 n 1 0 n a) A := 1 0 n b) B := [b ij ] i=1;:::;n := j=1;:::;n se i 6= j i se i = j ) Resolva as seguintes equações: k 0 0 a) = 0. b) 1 1 k x 1 1 c) 1 1 x 1 = n x x x x x 0 = 0.

29 7) Calcule o determinante das seguintes matrizes, usando o teorema de Laplace generalizado: a a) A := M b a (R). b) B := 6 0 b a b a 1 5 M 55(R) b a 8) Mostre que o resultado do cálculo de um determinante de uma matriz arbitrária do tipo, usando o teorema de Laplace generalizado e efectuando-o ao longo das duas últimas linhas, é igual, ao efectuado através do teorema de Laplace e desenvolvendo-o ao longo da primeira linha dessa matriz. 9) Seja A := a) Calcule det(a). b) Calcule A. b c) Calcule adj(a). d) Determine A ) Seja A := a) Calcule det(a). b) Calcule adj(a). c) Veri que se AA b = det(a)i. d) Determine A 1. 11) Considere a função f : R! R, (x; y; z) 7! (f 1 (x; y; z); f (x; y; z); f (x; y; z)), onde para cada i = 1; ; as funções f i : R! R são de nidas, respectivamente, por: f 1 (x; y; z) := x +y +z, f (x; y; z) := x+cos(z) e f (x; y; z) := x+tg(y). a) Veri que que f não é uma aplicação linear. b) Calcule o jacobiano da função f. 1) Utilizando a regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas de equações: 8 8 < x 5y + z = 7 < x y + z + t = 1 a) x + y 4z =. b) x y + z t =. : : x 4y 6z = 5 x y + z 6t = 1 8 >< c) >: x + y + z + 4w = 5 x + y + z + w = 1 x + y + z + w = 1 4x + y + z + w = 5. 6

30 Capítulo 6 Valores e Vectores Próprios 6.1 Subespaços invariantes. Valores e vectores próprios 1) Determine os valores próprios e os vectores próprios correspondentes, dos endomor smos de nidos, em relação à base canónica, pelas seguintes matrizes sobre o corpo R: a) d) b) 5. e) c) 4 5. f) ) Determine os valores próprios e os vectores próprios correspondentes, dos endomor smos de nidos, em relação à base canónica, pelas seguintes matrizes sobre o corpo C: 1 a) d) 4 i 0 i i 0 i b) ) Seja A := 4 5. e) 4 a b c) i 0 p 5 + i + i 5. f) 6 4 i i i i M (R). Que condições devem satisfazer a e b para que A admita o valor próprio zero? 4) Mostre que uma matriz A é invertível se, e só se, não tem o valor próprio zero. 5) Seja A uma matriz invertível e B uma matriz da mesma ordem. Mostre que AB e BA têm o mesmo polinómio característico. 7

31 6. Subespaço próprio 1) Determine os subespaços próprios das alíneas a), c), d) e e) do exercício 1). ) Determine os subespaços próprios das alíneas a) e d) do exercício ). ) Considere o subespaço vectorial F do espaço vectorial real Hom(R; R), que tem como base o sistema de vectores (sin ; cos ) e, seja d d : F! F a aplicação linear diferencial. Determine: a) A matriz de d em relação à base dada. d b) O polinómio característico de d. d c) Os subespaços próprios associados aos valores próprios correspondentes. 8

32 6. Diagonalização de endomor smos e matrizes 1) Considere o endomor smo f : R! R, que em relação à base canónica, 1 1 é de nido pela matriz A := M 0 1 (R). Mostre que não é diagonalizável. ) Considere o endomor smo f : R! R, que em relação à base canónica, é de nido pela matriz A := M (R) a) Diga, justi cando, se a matriz A é diagonalizável. b) Determine os subespaços próprios associados aos respectivos valores próprios. ) Seja f : R! R o endomor smo de nido em relação a uma certa base pela matriz A := 4 5 M (R). Diga, se f é diagonalizável, e em caso a rmativo, indique uma base em relação à qual a matriz de f é a matriz diag(0; 0; 4). 4) Considere o endomor smo f : R! R, que em relação à base canónica, 1 1 é de nido pela matriz A := M (R) a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios da matriz A. b) Indique uma matriz P tal que P 1 AP seja uma matriz diagonal, e utilize este resultado, para calcular A 1 e A 5. 9

33 Capítulo 7 Espaços com Produto Interno 7.1 Produtos internos. Normas 1) Veri que se as seguintes aplicações de nem ou não produtos internos em R : a) hu; vi := u 1 v 1 + u v + u 1 v + u v 1 + u v. b) hu; vi := u 1 v 1 u 1 v u v 1 + u v + 5u v. ) Relativamente aos produtos internos de nidos no exercício anterior, determine hu; vi, onde: a) u := (1; 1; 1) e v := (1; ; ). b) u := ( 1; 0; 1) e v := ( 1; ; 0). ) Em R [x], veri que se são produtos internos: a) hp; qi := a b + a 1 b 1 + a 0 b 0. b) hp; qi := 1 4 a 0b a 1b 1 + a b. 4) Veri que se as seguintes aplicações de nem ou não produtos internos: n P P n a) hx; yi := x i y i, no espaço vectorial R n. i=1 i=1 P b) hx; yi := n x i y i, no espaço vectorial R n. i=1 P c) hx; yi := n x i y i, no espaço vectorial C n. i=1 d) ha; Bi := n P i;j=1 a ij b ij, no espaço vectorial M nn (R). 5) Considere as matrizes A; B M mn (R): a) Prove que ha; Bi := tr(a t B) é um produto interno, onde tr é o traço da matriz. b) Mostre que j tr(a t B)j tr(a t A) tr(b t B). 0

34 6) Sejam u, v e w vectores de um espaço euclidiano satisfazendo: Calcule: a) hu + v; w + vi. b) hv w; u + wi. c) ku + vk. d) ku v + 4wk. hu; vi =, hv; wi = e hu; wi = 5 kuk = 1, kvk = e kwk = 7. 7) Sejam u, v e w vectores de um espaço unitário satisfazendo: Calcule: hu; vi = + i, hv; wi = i e hu; wi = 5 i kuk = 1, kvk = e kwk = 7. a) hu + v; w + vi. b) hv w; iu + wi. c) ku + vk. d) ku v + 4iwk. 8) Considere o espaço euclidiano R com o produto interno canónico. Determine um vector normado e perpendicular ao vector (1; 0; ). 9) Considere no espaço vectorial R a base canónica ( xa) e o produto interno canónico. Dados os vectores: u := e 1 e + e, v := e e e w := e 1 + e. a) Determine um vector perpendicular a u e a v e de norma igual a p 10. b) Determine um vector perpendicular a v e a w e de norma igual a p ) Determine para o produto interno canónico de R, o seno e o coseno do ângulo formado pelos seguintes vectores: a) a := e 1 + e e e b := 6e 1 e + e. b) a := e 1 e + e e b := e 1 + e 5e. 11) Determine para que valores de, são perpendiculares os seguintes vectores, para o produto interno canónico de R : a) a := e 1 + e + e e b := 4e 1 e e. b) a := 1e 1 + e + e e b := 5e 1 e e. 1

35 7. Bases ortonormadas. Processo de ortonormalização 1) Considere de nido em R o produto interno canónico. Aplique o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt aos seguintes sistemas de vectores linearmente independentes: a) ((1; ; ); ( 1; 0; 1); (5; ; 7)). b) ((1; 0; ); ( 1; 1; 1); (1; ; 0)). ) Considere de nido em R [x] o produto interno canónico. Aplique o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt aos seguintes sistemas de vectores linearmente independentes: a) (1; x; x ). b) (1; x + x ; x ). ) Considere o espaço vectorial R [x] com o seguinte produto interno: hp; qi := Z 1 1 pqdx, em relação à base canónica (1; x; x ). Determine uma base ortonormada para o produto interno dado. 4) Considere o espaço vectorial M (R) com o seguinte produto interno: ha; Bi := tr(a t B), em relação à base canónica (E 11 ; E 1 ; E 1 ; E ) desse espaço. Determine uma base ortonormada para o produto interno dado.

36 7. Produto externo e produto misto de vectores 1) Considere no espaço euclidiano R uma base ortonormada ( xa) (e 1 ; e ; e ). Dados os vectores: u := e 1 e + e, v := e + e e w := e 1 + e. Determine: a) u ^ v. b) v ^ w. c) w ^ w. d) u ^ (v ^ w). e) (u ^ v) ^ w. f) (u ^ u) ^ w. g) (u + v) ^ w. h) u ^ (v + w). ) No espaço euclidiano R, considere xa a base (e 1 ; e ; e ) formada por vectores normados e que fazem entre si ângulos no valor de. Dados os vectores: Determine: x := e 1 e, y := e 1 + e e z := e 1 + e. a) a) x ^ y. b) hx ^ y; zi. c) (x ^ y) ^ z. ) Considere o espaço vectorial real R. a) Veri que se as seguintes bases são bases directas: 1) ((1; 0; 0) ; (1; 1; 0) ; (1; 1; 1)). ) ((1; 1; 0) ; (1; 1; 1) ; (1; 0; 0)). ) ((1; 1; 1) ; (1; 0; 0) ; (1; 1; 0)). b) Veri que se as seguintes bases são bases inversas: 1) ((1; 1; 0) ; (1; 0; 0) ; (1; 1; 1)). ) ((1; 0; 0) ; (1; 1; 1) ; (1; 1; 0)). ) ((1; 1; 1) ; (1; 1; 0) ; (1; 0; 0)). 4) Sejam u e v vectores linearmente independentes, num espaço euclidiano de dimensão. Considere o vector w := (v ^ u) v nesse espaço. a) Veri que se u? (v + w). b) Mostre que \ (v; w). c) Se kvk = 1 e ku ^ vk =, calcule kwk. 5) Considere-se o espaço euclidiano R e a base ortonormada ( xa) (e 1 ; e ; e ) e ainda a aplicação f : R! R de nida por x 7! x ^ (e 1 + e + e ). a) Veri que se f é um endomor smo no espaço R. b) Determine a matriz de f, em relação à base considerada.