Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. Observação. Neste capítulo considera-se o produto interno

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1 Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal Observação. Neste capítulo considera-se o produto interno usual. De nição. Chama-se transposta conjugada de uma matriz A à matriz A T e denota-se por A H. Isto é, A H A T : Teorema. Seja A; B e C matrizes de tamanhos apropriados. Então (i) A H H A (ii) (A + B) H A H + B H (iii) (AC) H C H A H

2 De nição. (i) Seja A M nn (C). A diz-se hermitiana se e só se A H A: (ii) Seja A M nn (R). A diz-se simétrica se e só se A T A: Observação. Se A M nn (R) então A hermitiana, A simétrica.

3 Teorema. Se A fôr uma matriz simétrica ou hermitiana então todos os seus valores próprios são reais. Dem. Seja A M nn (C) tal que A é hermitiana. Seja um qualquer valor próprio de A e u um respectivo vector próprio associado. Tem-se hau; ui (Au) H u u H A H u u H Au u H u kuk e hau; ui (Au) H u (u) H u u H u kuk : Logo kuk 0 e como u 0 então isto é, é real. ;

4 Teorema. Se A fôr uma matriz simétrica ou hermitiana então os vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais entre si. Dem. Sejam u e v vectores próprios associados (respectivamente) aos valores próprios e, com. Tem-se e hau; vi (Au) H v ( u) H v é real hu; vi hau; vi (Au) H v u H Av u H v hu; vi. Logo então ( ) hu; vi 0 e como isto é, u e v são ortogonais. Teorema. hu; vi 0, Os subespaços próprios de uma matriz A simétrica ou hermitiana são ortogonais entre si.

5 De nição. Uma matriz quadrada P diz-se ortogonal se e só se P P T I, isto é, P T P : (As colunas de P T formam uma base ortonormada de R n.) De nição. Uma matriz quadrada P diz-se unitária se e só se UU H I, isto é, U H U. (As colunas de U H formam uma base ortonormada de C n.) Observação. Se A M nn (R) então A ortogonal, A unitária.

6 De nição. Seja A M nn (C). A diz-se unitariamente diagonalizável se e só se existir U H unitária e D diagonal tais que D UAU H ; isto é, se e só se existir uma base ortonormada de C n formada só por vectores próprios de A, constituindo estes as colunas da matriz U H. A matriz D será a matriz diagonal cujas colunas serão os correspondentes valores próprios. De nição. Seja A M nn (R). A diz-se ortogonalmente diagonalizável se e só se existir P T ortogonal e D diagonal tais que D P AP T ; isto é, se e só se existir uma base ortonormada de R n formada só por vectores próprios de A, constituindo estes as colunas da matriz P T. A matriz D será a matriz diagonal cujas colunas serão os correspondentes valores próprios.

7 De nição. Seja V um espaço unitário. Seja T : V! V linear. T diz-se unitariamente diagonalizável se e só se existir uma base B ortonormada de V tal que M (T ; B; B) seja uma matriz diagonal. De nição. Seja V um espaço euclidiano. Seja T : V! V linear. T diz-se ortogonalmente diagonalizável se e só se existir uma base B ortonormada de V tal que M (T ; B; B) seja uma matriz diagonal.

8 Teorema de Schur. Seja A uma matriz quadrada. Então, existe uma matriz unitária U H tal que UAU H T triangular superior (inferior). Dem. A demonstração será efectuada por indução em n. O resultado é óbvio para n. Suponhamos que a hipótese é válida para matrizes n n. Seja A M (n+)(n+) (C). Sejam um valor próprio de A e w um vector próprio associado tal que kw k. Aplicando o método de ortogonalização de Gram- Schmidt, seja fw ; : : : ; w n+ g uma base ortonormada para C n+. Seja W H a matriz cuja coluna i é igual ao vector w i, para i ; : : : ; n +. Então a matriz W H é unitária. Por outro lado, a primeira coluna de W AW H é igual a W Aw, tendo-se W Aw W w W w

9 e assim W AW H onde M é uma matriz n n. j j 0 j. j M 0 j ; Pela hipótese de indução, existe uma matriz nn unitária (V ) H tal que V M (V ) H T, onde T é uma matriz triangular superior. Seja V H Então V H é unitária e tem-se j 0 0 j 0 j. j (V ) H 0 j (V W ) A (V W ) H V W AW H V H.

10 j j 0 j. j V M (V ) H 0 j j j 0 j. j T 0 j T, onde T é uma matriz triangular superior. Como a matriz (V W ) H é unitária, pondo U H (V W ) H, tem-se UAU H T, com T triangular superior e U H unitária.

11 Exemplo A " # valores próprios de A : e N (A I) L (f(; )g) N (A I) L (f(; )g) U H p p p p Gram-Schmidt UAU H T p p p p " # p p p p " 0 # {z } T

12 Teorema de Schur. (Triangularização). Seja A M nn (C). Então existe U H unitária tal que UAU H T triangular superior (inferior). Teorema. Seja A M nn (C). A é hermitiana ) A é unitariamente diagonalizável (D UAU H ) Dem. existe U H unitária tal que UAU H é triangular. Seja T UAU H. Logo T H T e como T é triangular então T é diagonal. Teorema. Seja A M nn (R). A é simétrica ) A é ortogonalmente diagonalizável (D P AP T )

13 Teorema. Seja A M nn (C). Então A é hermitiana ) A é unitariamente diagonalizável (D UAU H ) Observação. No teorema anterior, a matriz U H é a matriz cujas colunas são os vectores próprios de A que formam uma base ortonormada de C n. A matriz D é a matriz diagonal cujas colunas são os correspondentes valores próprios. Observação. A é hermitiana diagonalizável : A é unitariamente Teorema. Seja A M nn (R). Então A é simétrica, A é ortogonalmente diagonalizável (D P AP T )

14 Observação. No teorema anterior, a matriz P T é a matriz cujas colunas são os vectores próprios de A que formam uma base ortonormada de R n. A matriz D é a matriz diagonal cujas colunas são os correspondentes valores próprios.

15 De nição. Seja A M nn (C). A diz-se normal se e só se A H A AA H. (Ou A T A AA T no caso em que A M nn (R)) Observação. fa : A é simétricag fa : A é normalg fa : A é ortogonalg fa : A é normalg fa : A é hermitianag fa : A é normalg fa : A é unitáriag fa : A é normalg Teorema. Seja A M nn (R) tal que A é normal com todos os valores próprios reais. Então A é simétrica:

16 Teorema. Então Seja A M nn (R) tal que A é normal. (i) kauk A H u, 8u (ii) A I é normal (iii) k(a I) uk (A I) H u A H I u (iv) Au u ) A H u u

17 Teorema. Os vectores próprios associados a valores próprios distintos, de uma matriz normal, são ortogonais Dem. Seja A M nn (C) tal que A é normal. Sejam ; valores próprios de A tais que e sejam u e v vectores próprios de A associados respectivamente a e. Tem-se e Au u ) A H u u Av v ) A H v v D A H u; v E A H u H v u H v u H v hu; vi D A H u; v E A H u H v u H Av u H v hu; vi Logo ( ) hu; vi 0: Assim, como, temse hu; vi 0:

18 Teorema. Seja A M nn (C). Então A é normal, A é unitariamente diagonalizável Dem. ()) Existe U H unitária e T triangular superior tais que T UAU H. Como A é normal então T T H T H T, isto é, T também é normal. Seja T t ij nn. Comparando as entradas das diagonais principais de T T H e T H T tem-se jt j + jt j + jt j + + jt n j jt j jt j + jt j + + jt n j jt j + jt j jt nn j jt n j + jt n j + jt n j + + jt nn j e assim, t ij 0 sempre que i j. Logo T é diagonal e A é unitariamente diagonalizável..

19 (() Seja A unitariamente diagonalizável. Sejam D diagonal e U H unitária tais que Logo D UAU H. A U H DU AA H U H DD H U A H A U H D H D U DD H D H D j j j j j n j AA H A H A e assim A é normal.

20 Exemplo A " + i i # A H A AA H A é hermitiana " + i i # A H A Logo A é normal. Então existem uma matriz unitária U H (U H U ) e uma matriz diagonal D tais que det(a I) D UAU H. + i i os valores próprios de A são e e tem-se N (A I) L (f( i; )g) ( ) ( ), N (A I) L + i;. Note-se que os vectores de N (A I) são ortogonais aos vectores de N (A I). Logo, uma base ortonormada de C formada só com vectores próprios de A pode

21 ser: 8 < : k( i; )k ( i; ) ; + i; + 9 i; Logo e ( p p i; U H S Bvp!B c D p " 0 0! ; p + p p i # p i; p + p p p UAU H!) p i. ;

22 Exemplo não é simétrica logo não é ortogonalmente diagonalizável. Mas: T T então é normal e como tal é unitariamente diagonalizável.

23 0 0 0 ip ip {z } D p p p p + p p i i p p i + p i p p p i + p p i + p i i p p p {z } U H

24 De nição. Seja A M nn (R) tal que A A T. Então A diz-se (i) de nida positiva sse u T Au > 0, 8u 0; (ii) de nida negativa sse u T Au < 0, 8u 0; (iii) semide nida positiva sse u T Au 0, 8u; (iv) semide nida negativa sse u T Au 0, 8u; (v) inde nida sse existirem pontos u onde u T Au seja positiva e pontos u onde u T Au seja negativa.

25 Positividade do produto interno Teorema. Seja A M nn (C) tal que A A H. Então A é de nida positiva, isto é, u H Au > 0 para todo o u 0,, todos os valores próprios de A são positivos Dem. Sendo A hermitiana (A A H ) então A é unitariamente diagonalizável, isto é, existem D diagonal e U H unitária tais que D UAU H. Assim (u H Au > 0 para todo o u 0),, (u H U H DUu > 0 para todo o u 0),, ((Uu) H D (Uu) > 0 para todo o u 0),, (u H Du > 0 para todo o u 0),, ( nx i ju i j i > 0 para todo o u 0),, ( i > 0 para todo o i ; :::; n) onde ; :::; n são os valores próprios de A são positivos. Logo A é de nida positiva.

26 Teorema. Seja A M nn (C) tal que A A H. Então (i) A é de nida positiva, todos os valores próprios de A são positivos; (ii) A é de nida negativa, todos os valores próprios de A são negativos; (iii) A é semide nida positiva, todos os valores próprios de A são não negativos; (iv) A é semide nida negativa, todos os valores próprios de A são não positivos; (v) A é inde nida, A tem pelo menos um valor próprio positivo e outro negativo.

27 Raíz quadrada De nição. Chama-se raíz quadrada de uma matriz A a uma matriz B tal que B A e escreve-se B p A. Exemplos. (i) Existem in nitas v u t" 0 0 # por exemplo " # s r com s; r; t N tais que t t r s s + r (triplos pitagóricos) (ii) Não existe v u t" # Observação. Sendo A do tipo n n com n valores próprios distintos e não nulos, então existem pelo menos n matrizes B tais que B A. Teorema. (i) Se A fôr simétrica e de nida positiva então existe uma única p A simétrica e de nida positiva: (ii) Se A fôr simétrica e semide nida positiva então existe uma única p A simétrica e semide nida positiva:

28 Teorema. Seja A M nn (R) tal que A é simétrica. Então, são equivalentes: (i) A é de nida positiva (u T Au > 0 8u 0) (ii) Existe uma raíz quadrada de A, isto é, existe B simétrica e de nida positiva tal que ou seja A B B p A (iii) Existe uma matriz invertível S tal que A S T S

29 Exemplo A " # valores próprios de A: e vectores próprios associados a : L (f( ; )g) n f0g vectores próprios associados a : L (f(; )g) n f0g " 0 0 # p p p p " # p p p p B p p p p " p # p 0 0 p p p p " p p p p # + p p p p + p A B " p p p p # + p p p p + " #

30 Exemplo. Cálculo de p A valores próprios de A : 0 e base ortogonal de R formada só por vectores próprios de A: 8 9 >< ( ; 0; ) ; ( ; ; 0) {z } >: N (A)nf0g ( ; 0; ) ; (; ; ) {z } N (A > I)nf0g>; f( ; 0; ) ; ( ; ; ) ; (; ; )g base ortonormada de R formada só por vectores próprios de A: 8 >< p p ; 0;! ; p p ; ; p {z } >: N (A)nf0g! ; p p p ; ; 9! > {z } N (A I)nf0g >;

31 p A p p p p p 0 p p p {z } P T p p p p p p p p p p {z } {z } D P p p p p p p p p p

32 Outro modo de calcular v u t base de R formada só por vectores próprios de A: 8 >< ( ; 0; ) ; ( ; ; 0) ; (; ; ) {z } >: N (A)nf0g {z } A {z } N (A 9 > I)nf0g >; {z } {z } P {z } D P p C {z } {z } A P p {z } D P

33 p A p {z } {z } P p {z } D P p p p p p p p p p