Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 Geometria Analítica e Álgebra Linear por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-UATA 2011

2 Conteúdo 1 Vetores Introdução Vetores no Plano Vetores no Espaço O Espaço Euclidiano R n Interpretação Geométrica e Algébrica de Vetores Operações entre Vetores Propriedades dos Vetores Outras Considerações sobre Vetores Produto Interno ou Produto Escalar Produto Vetorial Produto Misto Reta, Plano, Cônicas e Quádricas A reta - Descrição e Interseções O Plano - Descrição e Interseções Distâncias Cônicas Parábola Elípse Hipérbole Quádricas Matrizes, Determinantes, Sistemas de Equações Lineares Matrizes Tipos Especiais de Matrizes Operações com Matrizes Adição e Subtração de Matrizes Multiplicação por Escalar Multiplicação de Matrizes Operações Elementares e Sistemas Lineares Determinantes

3 3.6 Matriz Adjunta e Matriz Inversa Regra de Cramer Espaços Vetoriais; Transformações Lineares; Autovalores e Autovetores Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais Combinação Linear Dependência e Independência Linear Base de um Espaço Vetorial Mudança de Base Transformações Lineares Autovalores e Autovetores

4 Capítulo 1 Vetores 1.1 Introdução Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente determinadas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, por um número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. 1.2 Vetores no Plano O matemático Francês Rene Descartes, introduziu um sistema de referências formado por dois eixos, um horizontal chamado eixo das abscissas e outro vertical chamado eixo das ordenadas. Um ponto P neste sistema está definido pelas coordenadas (a, b), onde a e b são números reais tais que a é tomado no eixo das abscissas, que denotaremos por eixo dos X e b é tomado no eixo das ordenadas, o qual denotaremos por eixo dos Y. Este sistema de referências foi denominado sistema de coordenadas ou plano cartesiano, em homenagem a Descartes. Em geral, nos referimos ao plano cartesiano apenas como plano. Dados dois pontos P e Q do plano, chamamos de segmento orientado, denotado por P Q, ao segmento de reta com ponto inicial P e ponto final Q. Dado o segmento P Q, dizemos que o segmento QP é um segmento oposto a P Q. Como conjunto de pontos os segmentos P Q e QP são iguais, mas como segmentos orientados eles são distintos. Dois segmentos orientados são equivalentes se eles tiverem o mesmo comprimento e a mesma direção e sentido. Na Figura 1.1 os segmentos P Q e RS são equivalentes. Para todo 4

5 segmento orientado no plano, existe outro equivalente a ele, cujo ponto inicial é a origem. Por exemplo, o segmento P Q, com ponto inicial em P (6, 2) e ponto final em Q(2, 3), é equivalente ao segmento OA com ponto inicial na origem e ponto final em A( 4, 5) (Veja Figura 1.2). Figura 1.1: Figura 1.2: Os segmentos orientados com ponto inicial na origem são denominados vetores no plano. Para cada ponto P (a, b) do plano está associado um único vetor v = OP e, reciprocamente, para cada vetor do plano, associamos um único ponto do plano que é o ponto final. Representamos um vetor v = OP pelas coordenadas do seu ponto final P (a, b) escrevendo [ ] v = (a, b) ou a v = (Veja Figura 1.3). b Figura 1.3: Vetor (x, y) no Plano De um modo geral, dados dois vetores quaisquer do plano v 1 e v 2 não-paralelos, para cada vetor v representado no mesmo plano de v 1 e v 2, existe uma só dupla de números reais a 1 e a 2 tal que v = a1 v 1 + a 2 v 2. 5

6 Neste caso, dizemos que v é uma combinação linear de v 1 e v 2 e o conjunto B = { v 1, v 2 } é chamado base do plano. Os números a 1 e a 2 são chamados componentes ou coordenadas de v na base B. Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonornais, ou seja, uma base onde seus vetores são ortogonais entre si e cada um deles é unitário. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se da base canônica C = ( i, j ), onde i = (1, 0) e j = (0, 1). É a base canônica que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xoy. Figura 1.4: Sistema xoy Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que v = x i + y j. Os números x e y são as componentes de v na base canônica. O vetor v será representado por v = (x, y), dispensando a referência à base canônica C. Assim, definimos vetor no plano como sendo o par ordenado (x, y) de números reais. O par (x, y) é chamado expressão analítica de v. A cada ponto P (x, y) do plano xoy corresponde o vetor v = OP = x i + y j. Isto é, as coordenadas do ponto P são as próprias componentes do vetor OP na base canônica. Em resumo, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Chamamos de vetor nulo, e representamos por O = (0, 0), ao vetor que tem os pontos inicial e final coincidentes com a origem. Chamamos de vetor oposto de um vetor v = OP ao vetor w = OQ que tem o mesmo comprimento de v e direção oposta a de v. Em outras palavras, se v = (a, b), então w = ( a, b) é o vetor oposto a v e escrevemos w = v. 6

7 Dois vetores u e v são iguais, e indica-se por u = v, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. Em outras palavras, se u = (a, b) e v = (c, d), então u = v se a = c e b = d. Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados. 1.3 Vetores no Espaço No espaço, consideramos a base canônica { i, j, k } como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) que corresponde ao vetor i, o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) que corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) que corresponde ao vetor k. Cada dupla de vetores de base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina um plano cartesiano. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xoy ou xy, o plano xoz ou xz e o plano yoz ou yz (Ver Figura 1.5). Figura 1.5: Planos xy, xz e yz no espaço Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor OP = x i + y j + z k, isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. O vetor v = x i + y j + z k também pode ser expresso por v = (x, y, z) que é a expressão analítica de v. Observe as Figuras 1.6 e 1.7: 7

8 Figura 1.6: Ponto (x, y, z) R 3 Figura 1.7: Vetor (x, y, z) R 3 Para marcar um ponto A(a, b, c) qualquer no espaço, procedemos da seguinte maneira: primeiro marca-se o ponto A (a, b, 0) no plano xy e depois desloca-se P paralelamente ao eixo dos z, c unidades para cima (se c for positivo) ou para baixo (se c for negativo). No gráfico abaixo marcamos o ponto A(3, 2, 4) no espaço e o ponto A (3, 2, 0) no plano xy. Figura 1.8: Ponto (x, y, z) Figura 1.9: Pontos A(3, 2, 4) e A (3, 2, 0) no Espaço Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes. A cada octante correspondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo com o sentido positivo adotado para os eixos. O primeiro é constituido dos pontos de coordenadas todas positivas. Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido positivo. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro. 8

9 Na figura 1.10, estão colocados os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A, B, C e D estão situados abaixo do plano xy e todos têm cota igual a -2: ponto A(6, 4, 2), situado no 1 o octante; ponto B( 5, 3, 2), situado no 2 o octante; ponto C( 6, 5, 2), situado no 3 o octante; ponto D(5, 3, 2), situado no 4 o octante; ponto A (6, 4, 2), situado no 5 o octante; ponto B ( 5, 3, 2), situado no 6 o octante; ponto C ( 6, 5, 2), situado no 7 o octante; ponto D (5, 3, 2), situado no 8 o octante. Figura 1.10: Pontos no Espaço Observações: 1) O vetor v = OP será denotado por v = (x, y, z) ou x v = y. z 2) Se V é um conjunto de vetores no espaço, escrevemos V = {(x 1, x 2, x 3 ); x i R} = R R R = R 3. 3) No espaço, todo conjunto de três vetores não-coplanares constitui uma de suas bases, isto é, todo vetor do espaço pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores desta base. 1.4 O Espaço Euclidiano R n O espaço euclidiano R n (n inteiro positivo) é o conjunto de todas as n-uplas ordenadas X = (x 1, x 2,..., x n ) de números reais. Observações: 1) A ordem em que aparece os números na n-upla deve ser preservado. Caso contrário, teremos uma outra n-upla (a menos que x 1 = x 2 =... = x n ). Por exemplo, a n-upla (1, 3, 2, 5) é diferente da n-upla (3, 1, 2, 5). 2) Só é possível representar uma n-upla no gráfico para n 3. 3) As n-uplas X = (x 1, x 2,..., x n ) podem ser vistas como pontos ou como vetores do R n. 9

10 1.5 Interpretação Geométrica e Algébrica de Vetores Fixemos um ponto O do espaço, o qual chamamos de origem, e três segmentos unitários, mutualmente ortogonais OA, OB e OC formando um triedro positivo. Os vetores i = OA, j = OB e k = OC formam uma base ortonormal positiva {i, j, k}. Indicamos OX, OY e OZ as retas que contém os segmentos OA, OB e OC, respectivamente. Essas retas são denominadas eixo das abscissas ou eixo dos X, eixo das ordenadas ou eixo dos Y e eixo das cotas ou eixo dos Z, respectivamente. O plano formado pelos eixos X e Y é o plano XY, o plano formado pelos eixos X e Z é o plano XZ e o plano formado pelos eixos Y e Z é o plano Y Z. A cada ponto P do espaço corresponde um único segmento orientado OP com origem em O. Figura 1.11: Espaço R 3 O segmento OP determina um único vetor v = OP que se escreve de maneira única como v = x i + y j + z k. Assim, a cada ponto P do espaço corresponde uma única terna ordenada (x, y, z) de números reais. Os números reais x, y e z são as coordenadas do ponto P no sistema O, i, j, k. Reciprocamente, a cada terna ordenada (x, y, z) de números reais corresponde um único ponto P do espaço tal que v = OP = x i + y j + z k. Portanto, podemos representar os pontos do espaço por ternas ordenadas de números reais. Logo, se P satisfaz certas condições de natureza geométrica, essas condições podem ser expressas por meio de relações numéricas entre suas coordenadas x, y e z, trabalhando com vetores em sua forma algébrica. É o que chamamos de Geometria Analítica. 1.6 Operações entre Vetores a) Multiplicação de um vetor por um número Multiplicar um vetor u por um número α é considerar um novo vetor w = α u, que é α vezes o comprimento de u, possui a mesma direção de u se α > 0, e é igual ao vetor oposto de α u se α < 0. Se α = 0, w é o vetor nulo. 10

11 Figura 1.12: Multiplicação por Escalar b) Adição de Vetores Dados os vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) e α R. Define-se vetor soma como sendo o vetor u + v dado por u + v = (x1 + x 2, y 1 + y 2 ). Chamamos de vetor diferença entre u e v ao vetor u v = u + ( v ). No paralelogramo determinado pelos vetores u e v (Veja Figura 1.13), a soma u + v é representada por uma das diagonais e a diferença u v pela outra diagonal. Figura 1.13: Vetores Soma e Diferença A soma de um vetor u = (x, y) com seu oposto w = u = ( x, y) é o vetor nulo O = (0, 0). Se u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) são ternas ou vetores do R 3 e α R, então definimos: u + v = (x1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) e α u = (αx 1, αy 1, αz 1 ). 11

12 De modo análogo, se u = (x 1, x 2,..., x n ) e v = (y 1, y 2,..., y n ) são n-uplas ou vetores do R n e α R, definimos: u + v = (x1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) e α u = (αx 1, αx 2,..., αx n ). Exemplo Dados os vetores u = (2, 3) e v = ( 1, 4), determine 3 u + 2 v e 3 u 2 v. Solução: 3 u + 2 v = 3(2, 3) + 2( 1, 4) = (6, 9) + ( 2, 8) = (6 2, 9 + 8) = (4, 1); 3 u 2 v = 3(2, 3) 2( 1, 4) = (6, 9) ( 2, 8) = (6 + 2, 9 8) = (8, 17). Exemplo Dados os vetores u = (2, 3, 5) e v = (1, 2, 0) e α = 2, determine u + v, α u e α v. Solução: u + v = (2, 3, 5) + (1, 2, 0) = (2 + 1, 3 + 2, 5 + 0) = (3, 1, 5); α u = 2(2, 3, 5) = (2(2), 2( 3), 2(5)) = (4, 6, 10); α v = 2(1, 2, 0) = (2(1), 2(2), 2(0)) = (2, 4, 0). 1.7 Propriedades dos Vetores Os vetores gozam de uma série de propriedades decorrentes das propriedades relativas às operações com números reais. Ou seja, para quaisquer vetores u, v, w R n e números reais α, β R, verifica-se as seguintes propriedades: P 1 ) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ; P 2 ) u + v = v + u ; P 3 ) Existe o vetor nulo 0 tal que 0 + u = u + 0 = u ; P 4 ) Existe o vetor oposto de u dado por u tal que u + ( u ) = 0 ; P 5 ) α( u + v ) = α u + α v ; P 6 ) (α + β) u = α u + β u ; P 7 ) (α.β) u = α(β u ) = β(α u ); P 8 ) 1. u = u. Estas propriedades servem para caracterizar certos conjuntos que, apesar de terem natureza diferente dos vetores no espaço, comportam-se como eles. Esses espaços recebem o nome de espaços vetoriais. Veremos a seguir a demonstração da propriedade P 1 ) no caso n = 3. O caso n 3 é análogo. A demonstração das demais propriedades fica como exercício. 12

13 P 1 ) Sejam u = (x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) e w = (x 3, y 3, z 3 ). Então: [ ] u + ( v + w ) = (x1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 ) + (x 3, y 3, z 3 ) = (x 1, y 1, z 1 ) + (x 2 + x 3, y 2 + y 3, z 2 + z 3 ) ( ) = x 1 + (x 2 + x 3 ), y 1 + (y 2 + y 3 ), z 1 + (z 2 + z 3 ). Usando a propriedade associativa para números reais, segue que u + ( v + w ) = ( (x 1 + x 2 ) + x 3, (y 1 + y 2 ) + y 3, (z 1 + z 2 ) + z 3 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) + (x 3, y 3, z 3 ) = ( u + v ) + w. Exemplo Determine o vetor x na igualdade onde u = (3, 1) e v = ( 2, 4). 3 x + 2 u = 1 2 v + x, Solução: Devido as propriedades acima, podemos resolver a equação dada como uma equação numérica. Portanto, se multiplicarmos a equação por 2, segue que Substituindo u e v, segue que 6 x + 4 u = v + 2 x 6 x 2 x = v 4 u 4 x = v 4 u 1 x = v u. 4 x = 1 4 ( 2, 4) (3, 1) = ( 1 2 3, 1 + 1) = ( 7 2, 2). Exemplo Determine os números α e β que satisfazem a equação vetorial para w = (10, 2), u = (3, 5) e v = ( 1, 2). w = α u + β v, Solução: Substituindo os vetores na igualdade, obtemos (10, 2) = α(3, 5) + β( 1, 2) = (3α, 5α) + ( β, 2β) = (3α β, 5α + 2β). Da condição de igualdade de dois vetores, segue que { 3α β = 10 5α + 2β = 2. Resolvendo o sistema acima, encontramos α = 2 e β = 4. equação vetorial na forma w = 2 u 4 v. Logo, podemos escrever a 13

14 1.8 Outras Considerações sobre Vetores Vetor Definido por Dois Pontos Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade em B(x 2, y 2 ). Os vetores OA e OB tem expressões analíticas dadas por OA = (x1, y 1 ) e OB = (x2, y 2 ). Segue que AB = OB OA = (x2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). Por simplicidade, escreve-se AB = B A. No caso em que A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) são dois pontos quaisquer do espaço, então AB = B A = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Exemplo Dados os pontos A( 1, 2), B(3, 1) e C( 2, 4), determine o ponto D de modo que 1 CD = AB. 2 Solução: Seja D(x, y). Temos CD = D C = (x, y) ( 2, 4) = (x+2, y 4) Da equação dada, segue que (x + 2, y 4) = 1 2 (4, 3) = (2, 3 2 ). Pela condição de igualdade de dois vetores, temos o sistema x + 2 =2 cuja solução é x = 0 e y = 5 2. Logo D(0, 5 2 ). e y 4 = 3 2 AB = B A = (3, 1) ( 1, 2) = (4, 3). Exemplo Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, 2, 4), B(5, 1, 3) e C(0, 1, 2). Solução: Como os lados opostos do paralelogramo são paralelos segue que AD = BC ou AB = DC. Como BC = C B = (0, 1, 2) (5, 1, 3) = ( 5, 0, 5) e AD = D A, segue da primeira equação que D = A + BC = (3, 2, 4) + ( 5, 0, 5) = ( 2, 2, 9). Exemplo Sendo A( 2, 4) e B(4, 1) extremidades de um segmento, determinar os pontos C e D que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. Exemplo Sendo A(2, 1) e B(5, 2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. 14

15 Módulo de um Vetor Se v = (x, y), então o módulo (ou comprimento) de v é dado por v = x 2 + y 2. No caso em que v = (x, y, z), então o módulo de v é dado por Exemplo Se v = (2, 3), tem-se Distância entre dois Pontos v = x 2 + y 2 + z 2. v = ( 3) 2 = 13. A distância entre dois pontos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) é o módulo (comprimento) do vetor AB, isto é, d(a, B) = AB. Como AB = B A = (x 2 x 1, y 2 y 1 ), segue que d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. No caso em que A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ), tem-se que d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Exemplo Calcular a distância entre os pontos A(3, 2) e B(2, 5) do plano. Solução: Temos d(a, B) = (2 3) 2 + (5 2) 2 = ( 1) 2 + (3) 2 = = 10. Exemplo Calcular a distância entre os pontos A(3, 2, 4) e B(1, 2, 6) do espaço. Solução: Temos d(a, B) = (1 3) 2 + ( 2 + 2) 2 + (6 4) 2 = ( 2) 2 + (0) 2 + (2) 2 = = 8 = 2 2. Vetor Unitário e Versor Um vetor é unitário quando possui módulo igual a 1. O versor de um vetor v é um vetor v da forma v. Exemplo Determine o versor de v = (3, 4). Solução: O versor de v é dado por v u = v = (3, 4) (3, 4) = = 32 + ( 4) 2 25 (3, 4) 5 = ( 3 5, 4 5 ). O versor é sempre um vetor unitário, pois (3 ) 2 ( u = + 4 ) 2 9 = = 25 = 1. 15

16 Ponto Médio Seja o segmento de extremos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como AM = MB, ou seja, (x x 1, y y 1 ) = (x 2 x, y 2 y), o que implica que x x 1 = x 2 x e y y 1 = y 2 y. Resolvendo, encontramos x = x 1 + x 2 2 e y = y 1 + y 2. Portanto o ponto médio é dado por 2 M ( x1 + x 2 2, y 1 + y ) 2. 2 No caso em que A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) são pontos extremos do espaço, o ponto médio M de AB é ( x1 + x 2 M, y 1 + y 2, z 1 + z ) Exemplo Determinar o ponto médio do segmento de extremos A( 2, 3) e B(6, 2). Solução: O ponto médio é dado por ( M, ) 2 2 ou ( M 2, 5 ). 2 Exemplo Seja o triângulo de vértices A(4, 1, 2), B(2, 5, 6) e C(1, 1, 2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado AB. Solução: A mediana em questão é o segmento que tem como extremidades o ponto médio M de AB e o vértice oposto C. Então, o comprimento da mediana é o módulo do vetor MC. Temos que M( , 1 + 5, 2 6 ) = M(3, 2, 4). 2 2 Portanto, MC = C M = (1, 1, 2) (3, 2, 4) = ( 2, 3, 2) Logo, o comprimento da mediana é dada por Paralelismo Entre Vetores MC = ( 2) 2 + ( 3) = 17. Dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) são paralelos se existe um número real α tal que u = α v, ou seja, (x1, y 1 ) = α(x 2, y 2 ) = (αx 2, αy 2 ). Da condição de igualdade de vetores, segue que x 1 = αx 2 e y 1 = αy 2. Donde resulta que x 1 x 2 = y 1 y 2 = α. Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. 16

17 No caso do espaço, se os vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) são paralelos, então u = α v ou x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α. Observações: 1) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. 2) Se uma das componentes de um vetor for nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula. Exemplo Verificar se os vetores u = ( 2, 3) e v = ( 4, 6) são paralelos ou não. Solução: Temos 2 4 = 1 2 e 3 6 = 1 2. Exemplo Sabendo que o ponto P ( 3, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(1, 2, 4) e B( 1, 3, 1), determine m e n. Solução: Como os pontos A, B e P pertencem à mesma reta, qualquer dupla de vetores formadas utilizando estes três pontos são paralelos. Tomemos a condição AB// AP, ou seja, ( 2, 1, 3)//( 4, m + 2, n 4) e, portanto, 2 4 = 1 m + 2 = 3 n 4. Donde temos o sistema { 2(m + 2) = 4 2(n 4) = 12, cuja solução é m = 4 e n = 2. Exercícios 1) Dados os pontos A(2, 1) e B( 1, 4) e os vetores u = ( 1, 3) e v = ( 2, 1), determinar a) u b) u + v c) 2 u 3 v d) a distância entre os pontos A e B. 2) Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja equidistante dos pontos A( 1, 2) e B(5, 4). 3) Dado o vetor v = ( 2, 1), achar o vetor paralelo a v que tenha a) o mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v ; b) sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v ; c) o mesmo sentido de v e módulo 4; d) sentido contrário ao de v e módulo 2. 17

18 1.9 Produto Interno ou Produto Escalar Definição Analítica de Produto Interno Dadas as ternas u = (x 1, x 2, x 3 ) e v = (y 1, y 2, y 3 ) temos os vetores u = x 1 i + x2 j + x3 k e v = y 1 i + y2 j + y3 k. Definimos o produto interno (ou produto escalar) entre u e v por u. v = x1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. (1.1) No caso das n-uplas u = (x 1, x 2,..., x n ) e v = (y 1, y 2,..., y n ) temos u. v = x1 y 1 + x 2 y x n y n. O produto interno de u por v também é indicado por < u, v > e se lê u interno v. R n munido do produto interno torna-se um espaço chamado espaço euclidiano n- dimensional. Em R 2 e R 3 o produto interno nada mais é do que o produto escalar comum da Física, onde a definição é, em geral, formulada geometricamente como o produto do comprimento de u pelo comprimento de v e pelo cosseno do ângulo formado por eles. Exemplo Dados os vetores u = 3 i 5 j + 8 k e v = 4 i 2 j k, determinar o produto interno entre u e v. Solução: Temos u. v = 3(4) 5( 2) + 8( 1) = 14. Exercícios 1) Dados os vetores u = (3, 2, 1) e v = ( 1, 4, 1), calcular: a) u. v ; b) u. u ; c) 0. v ; d) ( u + v ).(2 u v ). 2) Dados os vetores u = (4, α, 1) e v = (α, 2, 3) e os pontos A(4, 1, 2) e B(3, 2, 1), determinar o valor de α tal que u.( v + BA) = 5. Propriedades do Produto Interno Para quaisquer vetores u, v, w e z e o número real α, verifica-se as seguintes propriedades: P 1 ) u. v = v. u P 2 ) u.( v + w ) = u. v + u. w e ( u + v ). w = u. w + v. w P 3 ) ( u + v ).( w + z ) = u. w + u. z + v. w + v. z P 4 ) α( u. v ) = (α u ). v = u.(α v ) P 5 ) i. i = j. j = k. k = 1 e i. j = i. k = j. k = 0 P 6 ) u. u 0 e u. u = 0 u = 0. Vamos demonstrar a propriedade P 2 ) no caso n = 3. Para n 3, a demonstração é análoga. 18

19 As demais propriedades ficam como exercícios. Sejam u = (x 1, x 2, x 3 ), v = (y 1, y 2, y 3 ) e w = (z1, z 2, z 3 ). Então u.( v + w ) = (x1, x 2, x 3 ).(y 1 + z 1, y 2 + z 2, y 3 + z 3 ) = x 1 (y 1 + z 1 ) + x 2 (y 2 + z 2 ) + x 3 (y 3 + z 3 ) = x 1 y 1 + x 1 z 1 + x 2 y 2 + x 2 z 2 + x 3 y 3 + x 3 z 3 = (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) + (x 1 z 1 + x 2 z 2 + x 3 z 3 ) = u. v + u. w. Observações: 1) A propriedade P 1 ) diz que o produto interno é uma operação comutativa ou simétrica. P 2 ) diz que o produto interno é uma operação distributiva. P 4 ) é uma operação associativa entre vetores e P 6 ) diz que o produto interno é definido positivo. 2) Segue da definição de produto interno que u. u = u 2, onde u é um vetor qualquer. De fato, o módulo do vetor u = (x, y, z) é dado por Por outro lado, u = x 2 + y 2 + z 2 u 2 = x 2 + y 2 + z 2. u. u = (x, y, z).(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = u 2. Exemplo Sendo u = 4, v = 2 e u. v = 3, calcular (3 u 2 v ).( u + 4 v ). Solução: Usando as propriedades do produto interno, temos (3 u 2 v ).( u + 4 v ) = 3 u.( u + 4 v ) 2 v.( u + 4 v ) Exemplo Mostrar que i) u + v 2 = u u. v + v 2 ii) u v 2 = u 2 2 u. v + v 2. iii) ( u + v ).( u v ) = u 2 v 2. = 3 u. u + 12 u. v + 2 v. u 8 v. v = 3 u u. v 8 v 2 = 3(4) (3) 8(2) 2 = 38. Solução: i) Usando as propriedades do produto interno, segue que u + v 2 = ( u + v ).( u + v ) = u.( u + v ) + v.( u + v ) = u. u + u. v + v. u + v. v = u u. v + v 2. 19

20 ii) Análoga à demonstração de i). iii) Usando as propriedades do produto interno, segue que ( u + v ).( u v ) = u.( u v ) + v.( u v ) = u. u u. v + v. u v. v = u 2 v 2. Definição Geométrica de Produto Interno Se u e v são vetores não-nulos e θ o ângulo entre eles, então u. v = u v cos(θ), 0 o θ 180 o. (1.2) Ou seja, o produto interno entre dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo formado por eles. Exemplo Sendo u = 2, v = 3 e 120 o o ângulo entre u e v, calcular a) u. v b) u + v a) u v. Solução: a) Usando a fórmula, segue que u. v = u v cos(120 o ) = 2.3.( 1/2) = 3. b) Temos que u + v 2 = u u. v + v 2 = ( 3) = = 7. Logo, c) De modo análogo, temos u + v = 7. u v 2 = u 2 2 u. v + v 2 = 2 2 2( 3) = = 19. Logo, u v = 19. Equivalência das Definições de Produto Interno A definição analítica de produto interno dada em (1.1) é equivalente à definição geométrica dada em (1.2). 20

21 De fato, vejamos o caso em que n = 2. Sejam u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) vetores do plano e θ o ângulo formado por eles. Segue da lei dos co-senos que ou seja, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos(θ) ou ainda, ( ) 2 ( ) 2 ( 2 (x1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = x x y1 2 + y2) 2 2 u v cos(θ) que é equivalente a ou seja, x 2 1 2x 1 y 1 + y x 2 2 2x 2 y 2 + y 2 2 = x x y y u v cos(θ) 2x 1 y 1 2x 2 y 2 = 2 u v cos(θ) x 1 y 1 + x 2 y 2 = u v cos(θ). Para exemplificar essa equivalência, considere os vetores u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 0) no espaço e o ângulo entre eles que é de 45 o. Usando a definição analítica, temos Usando a definição geométrica, temos u. v = (1, 1, 0).(0, 1, 0) = 1(0) + 1(1) + 0(0) = 1. u. v = u v cos(45 o ) = ( 2)(1)( 2/2) = 1. Teorema (Desigualdade de Schwarz) Dados dois vetores u e v quaisquer, então u. u u v. Prova: Se u ou v é o vetor nulo, o resultado é imediato, pois ambos os lados da desigualdade são nulos. Suponhamos que u e v são não-nulos. Então para qualquer t R, tem-se 0 (t u + v, t u + v ) = t 2 u 2 + t u. v + t v. u + v 2 = u 2 t 2 + 2t u. v + v 2 Ou seja, temos um trinômio do 2 o grau que deve ser positivo para todo t R. Neste caso, devemos ter 0, isto é, devemos ter 4 u. v 2 4 u 2. v 2 0 ou equivalentemente, u. v u v. 21

22 Teorema (Desigualdade Triangular) Dados dois vetores u e v quaisquer, então Prova: Temos u + v u + v. u + v 2 = u u. v + v 2 Usando a Desigualdade de Schwarz, segue que u + v 2 = u u v + v 2 = ( u + v ) 2. Tomando raiz quadrada em ambos os membros, segue o resultado. A desigualdade triangular confirma a propriedade geométrica, segundo a qual, a soma dos comprimentos de dois lados de um triângulo é maior do que o comprimento do terceiro lado. A igualdade que aparece só ocorre quando os dois vetores forem paralelos e de mesmo sentido. Condição de Ortogonalidade de dois Vetores Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, u. v = 0 Observação: O único vetor que é ortogonal a si mesmo é o vetor nulo. Na verdade, o vetor nulo é ortogonal a todo vetor. Teorema (Pitágoras) Dois vetores u e v quaisquer são ortogonais se, e somente se, u + v 2 = u 2 + v 2. Prova: Temos que u e v são ortogonais se, e somente se, u. v = 0 se, e somente se, u + v 2 = u u. v + v 2 = u 2 + 2(0) + v 2 = u 2 + v 2. Exemplo Mostre que os seguintes pares de vetores são ortogonais: a) u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 2) b) i e j. Solução: a) u. v = (1, 2, 3).(4, 5, 2) = 1(4) 2(5) + 3(2) = = 0. b) i. j = (1, 0, 0).(0, 1, 0) = 1(0) + 0(1) + 0(0) = 0. Exemplo Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, 1) e A(2, 2, 2) é um triângulo retângulo. Solução: Devemos mostrar que existem dois vetores que determinam os lados do triângulo cujo produto interno entre eles é zero. Consideremos os vetores AB = (0, 2, 2), AC = (0, 1, 3), 22 BC = (0, 1, 1),

23 Também poderíamos considerar os vetores opostos deles. Logo, AB. AC = (0, 2, 2).(0, 1, 3) = = 8 0; AB. BC = (0, 2, 2).(0, 1, 1) = = 0; AC. BC = (0, 1, 3).(0, 1, 1) = = 4 0; Como AB. BC = 0, segue que o triângulo é retângulo em B. Exemplo v 2 = (1, 0, 1). Determinar um vetor que seja ortogonal aos vetores v 1 = (1, 1, 0) e Solução: Seja u = (x, y, z) o vetor ortogonal a v 1 e v 2. Devemos ter u. v 1 = (x, y, z).(1, 1, 0) = x y = 0 e u. v 2 = (x, y, z).(1, 0, 1) = x + z = 0. Assim, temos o sistema { x y = 0 x + z = 0 que possui infinitas soluções do tipo y = x e z = x. Logo, os vetores ortogonais a v 1 e v 2 são da forma u = (x, x, x) ou u = x(1, 1, 1), x R, isto é, são todos múltiplos de (1, 1, 1). Exemplo Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. Solução: Lembremos que todo losango é um paralelogramo cujos lados têm o mesmo comprimento. Considerando o losango ABCD, devemos mostrar que AC. BD = 0. Temos que AC = AB + AD e BD = AB AD. Logo, AC. BD = ( AB + AD).( AB AD) = AB 2 AD 2 = 0, pois AB = AD. Cálculo do Ângulo de dois Vetores Dados dois vetores u e v e θ o ângulo entre eles, podemos determinar θ a partir da fórmula u. u cos(θ) = u v, 0o θ180 o. Exemplo Calcular o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e v = ( 1, 2, 2). Solução: Seja θ o ângulo procurado, então Logo, cos(θ) = u. u u v = (1, 1, 4).( 1, 2, 2) = = = 1 2 = θ = arccos( 2/2) = 45 o

24 Exemplo Sabendo-se que v = (2, 1, 1) forma um ângulo de 60 o com o vetor AB determinado pelos pontos A(3, 1, 2) e B(4, 0, m), determinar m. Solução: Devemos ter v. AB cos(60 o ) = v AB. Como cos(60 o ) = 1/2 e AB = B A = (1, 1, m + 2), segue que 1 2 = (2, 1, 1).(1, 1, m + 2) m2 + 4m + 4 = 2 1 m 2 6 m2 + 4m + 6 = Elevando ambos os membros ao quadrado, tem-se 1 4 = 1 + 2m + m2 6m m m 6m2 + 24m m m + 36 = 4 + 8m + 4m 2 m 2 + 8m + 16 = 0. Resolvendo a equação quadrática m 2 + 8m + 16 = 0, encontramos m = 4 como raíz dupla. Exemplo Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, 3, 3), B(2, 1, 2) e C(1, 0, 2). Solução: O ângulo  é determinado pelos vetores AB e AC. Logo Logo, Analogamente, cos ˆB = e, cos Ĉ = BA. BC BA = BC CA. CB CA CB = cos  = AB. AC Notemos que  + ˆB + Ĉ = 180o. Exemplo AB AC ( 1, 2, 1).( 2, 3, 1) = =  = arccos(9/ 84) = 10 o 53. (1, 2, 1).( 1, 1, 0) 3 = ˆB = arccos( 3/2) = 150 o. (2, 3, 1).( 1, 1, 0) = 5 Ĉ = arccos(5/ 28) = 19 o Se θ é o ângulo entre os vetores u e v, mostre que 1 cos θ 1. Solução: Da desigualdade de Schwarz, segue que u v u. v u v Dividindo por u v, segue que u. v 1 u 1 v 1 cos θ 1. 24

25 1.10 Produto Vetorial Chama-se de produto vetorial de dois vetores u = x 1 i + x2 j + x3 k e v = y1 i + y 2 j + y3 k, tomados nesta ordem, e se representa por u v, ao vetor u x v = 2 x 3 x y 2 y 3 i 1 x 3 x y 1 y 3 j + 1 x 2 y 1 y 2 k = (x2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). (1.3) O produto vetorial de u por v também é denotado por u v e lê-se u vetorial v. Observamos que a definição dada em (1.3) pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace para determinantes, onde neste caso, a primeira linha é trocada pelos vetores unitários i, j e k. Portanto, usamos a seguinte notação i j k u v = x 1 x 2 x 3 (1.4) y 1 y 2 y 3 O símbolo à direita de (1.4) não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, o seu desenvolvimento como determinante nos dá a definição de produto vetorial dada em (1.3), o que facilita a memorização da fórmula. Exemplo Calcular u v para u = 5 i + 4 j + 3 k e v = i + k. Solução: u v = i j k = i j k = 4 i 2 j 4 k = (4, 2, 4). Dispositivo Prático para o Cálculo do Produto Vetorial Dispõe-se os dois vetores em linha e repete-se pela ordem, as duas primeiras colunas. Por exemplo, no caso dos vetores u = (5, 4, 3) e v = (1, 0, 1) tem-se As três componentes de u v são dadas pelos três determinantes, conforme está indicado a seguir: = = = 4. Exemplo Dados os vetores u = (1, 1, 3) e v = (2, 1, 4), determinar a) u v b) v u c) u u d) v v. 25

26 Solução: a) u i j k v = = i j k = 7 i +2 j +3 k = ( 7, 2, 3) b) v i j k u = = i j k = (7, 2, 3) = ( u v ) c) u i j k u = = i j k = 0 i 0 j +0 k = (0, 0, 0) = d) v v = 0 i 0 j + 0 k = (0, 0, 0) = 0. Propriedades do Produto Vetorial Para quaisquer vetores u, v e w e o número real α, verifica-se as seguintes propriedades: P 1 ) u v = ( v u ) P 2 ) u v = 0 se, e somente se, u // v P 3 ) Se u = 0 ou v = 0, então u v = 0 P 4 ) u ( v + w ) = ( u v ) + ( u w ) P 5 ) α( u v ) = (α u ) v = u (α v ) P 6 ) u.( v w ) = ( u v ). w P 7 ) i i = j j = k k = 0 e i j = k, i k = j e j k = i A demonstração dessas propriedades segue das propriedades dos determinates. Por exemplo, quando trocamos uma linha por outra, o determinante muda de sinal, o que demonstra P 1 ); se duas linhas são paralelas o determinante é nulo, o que demonstra P 2 ); se uma linha é nula, o determinante é nulo, o que demonstra P 3 ); e assim por diante. Observações: 1) O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral ( u v ) w u ( v w ). De fato, basta ver, por exemplo, que ( i j ) j = k j = i, enquanto que, i ( j j ) = i 0 = 0. 2) Segue de P 2 ) que u u = 0 e u 0 = 0. 3) Como um vetor está bem definido quando conhecemos sua direção, seu sentido e seu comprimento, passaremos a definir o vetor u v no caso de u e v serem não-nulos e não-paralelos. 26

27 Características do Produto Vetorial Dados os vetores u = (x 1, x 2, x 3 ) e v = (y 1, y 2, y 3 ), analisaremos a direção, o sentido e o comprimento de u v. a) Direção de u v. De fato, basta ver que Usando a propriedade P 6 ), temos O vetor u v é simutaneamente ortogonal a u e a v. ( u v ). u = 0 e ( u v ). v = 0. ( u v ). u = u.( u v ) = ( u u ). v = 0. u = 0. De forma análoga, demonstra-se que ( u v ). v = 0. Observação: Como o vetor v u tem a mesma direção de u v (apenas tem sentidos opostos), também ele é ortogonal tanto a u como a v. Exemplo Dados os vetores u = (3, 1, 2) e v = ( 2, 2, 5), verificar que ( u v ). u = 0 e ( u v ). v = 0. Solução: Temos u v = i j k = i j k = i 19 j +8 k = (1, 19, 8). Logo, e ( u v ). u = (1, 19, 8).(3, 1, 2) = = 0 ( u v ). v = (1, 19, 8).( 2, 2, 5) = = 0. Exemplo Sejam os vetores u = (1, 1, 4) e v = (3, 2, 2). Determinar um vetor que seja a) ortogonal a u e v ; b) ortogonal a u e v e unitário; c) ortogonal a u e v e tenha módulo igual a 4; d) ortogonal a u e v e tenha cota igual a 7. 27

28 Solução: a) Um vetor simultaneamente ortogonal a u e v é o vetor u v. Mas, i j k u v = = (10, 10, 5) Logo, um vetor ortogonal a u e v é o vetor (10, 10, 5). Observação: Como multiplicar um vetor por um número real não altera a sua direção, todos os vetores do tipo α( u v ), α R são também ortogonais a u e v, ou seja, existem infinitos vetores do tipo α(10, 10, 5), α R que são ortogonais a u e v. b) A partir de u v (ou de α( u v ), α 0), obtém-se dois vetores unitários: e u 1 = u v u v = (10, 10, 5) = (10, 10, 5) 15 u 2 = ( 2 u 1 = 3, 2 3, 1. 3) ( 2 = 3, 2 3, 1 3) c) Basta multiplicar por 4 o vetor unitário encontrado no item b). Logo, o vetor procurado é da forma ( 2 4 3, 2 3, 1 ( 8 = 3) 3, 8 3, 4 3) ou da forma ( 4 2 3, 2 ) ( 3, 1 = 8 3 3, 8 ) 3, 4. 3 d) Dentre os infinitos vetores da forma α(10, 10, 5) = (10α, 10α, 5α), deseja-se aquele que possua cota igual a 7. Portanto, devemos ter 5α = 7, ou seja, α = 7/5. Logo, o vetor procurado é 7 (10, 10, 5) = (14, 14, 7). 5 b) Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determinado utilizando-se a regra da mão-direita. Sendo θ o ângulo entre u e v, suponhamos que u sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v. Se os dedos da mão-direita forem dobradas na mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de u v (figura 10). Caso tenhamos dúvidas sobre o sentido de u v, podemos associar estes dois vetores a uma dupla de vetores unitários escolhidos entre i, j e k. Por exemplo, associando u v, com i j e tendo em vista que i j = k, o sentido de k daria o sentido de u v. Da mesma forma temos j k = i e k i = j. 28

29 c) Comprimento de u v Se θ é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então u v = u v sen θ. Este resultado segue da seguinte Identidade de Lagrange: u v 2 = u 2 v 2 ( u. v ) 2. De fato, usando que u. v = u v cos θ, segue da Identidade de Lagrange que u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 (1 cos 2 θ) = u 2 v 2 sen 2 θ. Extraindo as raízes quadradas e notando que sen θ 0 (pois 0 o θ 180 o ), obtemos Exemplo u v = u v sen θ. Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular AB AC. Solução: Temos que AB AC = AB AC sen Â. Sendo o triângulo ABC equilátero, tem-se que  = 60o. Logo, AB AC = (10)(10)sen 60 o = (100)( 3/2) = Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial Considere um paralelogramo determinado pelos vetores não-nulos u e v e seja θ o ângulo formado por estes vetores. Portanto, a área de um paralelogramo determinado pelos vetores u e v é numericamente 29

30 A medida da base é u e da altura é v sen θ. Logo a área A deste paralelogramo é A = (base)(altura) = u v sen θ ou seja, A = u v. igual ao comprimento do vetor u v. Observação: Como consequência segue que a área de um triângulo é dada por A = u v 2 pois todo triângulo é metade de um paralelogramo. Exemplo Dados os vetores u = 2 i e v = 3 j, determine a área do paralelogramo determinado por estes vetores. Solução: Temos Logo, a área é dada por u v = i j k A = u v = 6. = (0, 0, 6) = 6 k. Exemplo Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores u = (3, 0, 1) e v = (6, 1, 2). Solução: Temos Logo, u v = i j k = (1, 0, 3). u v = = 10. Exemplo Dados os vetores u = (1, 1, 1) e v = (2, 3, 4), calcular a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v ; b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u. 30

31 Solução: a) A área é dada por A = u v. Como segue que, u v = i j k = ( 1, 2, 1), A = ( 1, 2, 1) = = 6 u.a (unidades de área). b) Para determinar a altura usamos a fórmula Logo, h = A u = = A = (base)(altura) = u h. 6 3 = 2 u.c (unidades de comprimento). Exemplo Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, 1, 0) e C(4, 2, 2), determinar a) a área do triângulo ABC; b) a altura do triângulo relativa ao vértice C. Solução: A área do triângulo ABC é dada por A = AB AC. 2 Como AB = (1, 2, 1) e AC = (2, 1, 3), segue que AB AC = (7, 1, 5). Logo, (7, 1, 5) A = = = = 5 3 u.a b) A altura do triângulo é a mesma do paralelogramo ABCD. Portanto, pode ser dada pela fórmula A = (base)(altura) = AB h. Logo, h = A AB = AB AC (1, 2, 1) = 75 6 = u.c (unidades de comprimento). Exemplo Dados os vetores u = (2, 1, 1) e v = (1, 1, a), calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 62. Solução: Deseja-se ter u v = 62. Mas u v = (a 1, 2a 1, 3), logo, devemos ter (a 1)2 + ( 2a 1) 2 + ( 3) 2 = 62. Elevando ambos os membros ao quadrado e ordenando os termos, obtemos a seguinte equação quadrática em a 5a 2 + 2a 51 = 0, cuja solução é a = 3 ou a = 17/5. 31

32 Condição de Alinhamento de Três Pontos no Espaço Considere três pontos do espaço A, B e C não alinhados. Estes pontos determinam dois vetores, por exemplo, AB e AC, tais que AB AC 0. No entanto, se A, B e C forem colineares, então AB AC = 0, pois AB e AC, sendo colineares, terão coordenadas proporcionais e, o determinante do produto vetorial, terá duas linhas proporcionais Produto Misto Chama-se produto misto dos vetores u = x 1 i + x2 j + x3 k, v = y1 i + y2 j + y3 k e w = z 1 i + z2 j + z3 k, tomados nesta ordem, ao número real u.( v w ). Usamos a notação [ u, v, w ] para indicar o produto misto dos vetores u, v e w. Tendo em vista que i j k v w = y 1 y 2 y 3 = y 2 y 3 y z z 1 z 2 z 3 2 z 3 i 1 y 3 y z 1 z 3 j + 1 y 2 z 1 z 2 k = (y2 z 3 y 3 z 2, y 3 z 1 y 1 z 3, y 1 z 2 y 2 z 1 ), segue que u.( v w ) = (x1, x 2, x 3 ).(y 2 z 3 y 3 z 2, y 3 z 1 y 1 z 3, y 1 z 2 y 2 z 1 ) = y 2 y 3 z 2 z 3 x 1 y 1 y 3 z 1 z 3 x 2 + y 1 y 2 z 1 z 2 x 3 x 1 x 2 x 3 = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z. 3 Logo, o produto misto entre os vetores u = x 1 i + x2 j + x3 k, v = y1 i + y2 j + y3 k e w = z1 i + z2 j + z3 k, pode ser dado por [ u, v, w ] = u.( v x 1 x 2 x 3 w ) = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z. (1.5) 3 Observação: Deve-se estar atento a ordem dos vetores no produto misto. Por exemplo, o produto misto dos vetores v, w e u, nesta ordem, é dado por [ v, w, u ] = v.( w y 1 y 2 y 3 u ) = z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x. 3 que é diferente do produto misto dos vetores u, v e w dados em (1.5). 32

33 Exemplo Calcular o produto misto [ u, v, w ] em cada caso abaixo: a) u = 2 i + 3 j + 5 k, v = i + 3 j + 3 k e w = 4 i 3 j + 2 k. b) u = (1, 3, 0), v = ( 1, 2, 1) e w = (3, 0, 2). c) u = (0, 1, 1), v = (2, 2, 3) e w = ( 1, 1, 2). Solução: a) [ u, v, w ] = u.( v w ) = = = 2(15) 3( 14) + 5( 9) = 27. b) [ u, v, w ] = u.( v w ) = = 19. c) [ u, v, w ] = u.( v w ) = = 1. Propriedades do Produto Misto As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes. Considere os vetores u, v, w e z vetores quaisquer e α R. Então temos as seguintes propriedades: P 1 ) [ u, v, w ] = [ v, u, w ] = [ u, w, v ]; P 2 ) [ u, v, w ] = [ v, w, u ] = [ w, u, v ]; P 3 ) [α u, v, w ] = [ u, α v, w ] = [ u, v, α w ] = α[ u, v, w ]; P 4 ) [ u + z, v, w ] = [ u, v, w ] + [ z, v, w ], [ u, v + z, w ] = [ u, v, w ] + [ u, z, w ], [ u, v, w + z ] = [ u, v, w ] + [ u, v, z ]; P 5 ) [ u, v, w ] = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. Observações: 1) A propriedade P 1 ) diz que o produto misto muda de sinal quando trocamos a posição de dois vetores consecutivos. Já a propriedade P 2 ) diz que se fizermos duas permutações consecutivas o produto misto não muda de sinal. Em resumo, tem-se que o produto misto [ u, v, w ] troca de sinal se fizermos uma permutação e não troca de sinal se fizermos duas. Resulta destas propriedades que u.( v w ) = ( u v ). w, pois [ u, v, w ] = [ w, u, v ]. 2) A propriedade P 5 ) continua válida se pelo menos um dos vetores é nulo ou se dois deles forem paralelos. Exemplo Verificar se os vetores u = (2, 1, 1), v = (1, 0, 1) e w = (2, 1, 4) são coplanares ou não. 33

34 Solução: Temos [ u, v, w ] = = 3 0. Como [ u, v, w ] 0, segue que os vetores não são coplanares. Exemplo coplanares ou não. Verificar se os vetores u = (1, 3, 0), v = ( 1, 5, 0) e w = (6, 4, 0) são Solução: Temos [ u, v, w ] = = 0. Como [ u, v, w ] = 0, segue que os vetores são coplanares. Exemplo Determinar o valor de m de modo que os vetores u = (2, m, 0), v = (1, 1, 2) e w = ( 1, 3, 1) sejam coplanares. Solução: Devemos ter [ u, v, w ] = 0. Logo, devemos ter [ u, v, 2 m 0 w ] = = 0 2 2m 12 + m = 0 m = Exemplo Verificar se os pontos A(1, 2, 4), B( 1, 0, 2), C(0, 2, 2) e D( 2, 1, 3) estão no mesmo plano. Solução: Os quatro pontos dados são coplanares se os vetores AB = ( 2, 2, 6), AC = ( 1, 0, 2) e AD = ( 3, 1, 7) forem coplanares, ou seja, se [ AB, AC, AD] = 0. Temos [ AB, AC, AD] = = 0. Logo, os pontos dados são coplanares. Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Logo, o volume do paralelepípedo é V = (área da base)(altura) = v w u cos θ = ( u v w cos θ) = u.( v w ), onde a última igualdade decorre de (1.2). Portanto, V = [ u, v, w ]. 34

35 Geometricamente, o produto misto [ u, v, w ] é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não-coplanares u, v e w. A área da base do paralelepípedo é v w. Seja θ o ângulo entre os vetores u e v w. Sendo v w um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto, h = u cos θ. Note que consideramos o valor absoluto cos θ, pois θ pode ser um ângulo obtuso. Exemplo Determinar o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u = (0, 0, 2), v = (0, 2, 2) e w = (2, 2, 0). Solução: Temos que Logo, [ u, v, w ] = = 8. V = [ u, v, w ] = 8 = 8. Exemplo Dados os vetores u = (3, m, 2), v = (1, 1, 0) e w = (2, 1, 2), calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w seja igual a 16 u.v (unidades de volume). Solução: Devemos ter V = [ u, v, w ] = 16. Sendo segue que [ u, v, 3 m 2 w ] = = 2m 8, m 8 = 16 2m 8 = 16 ou 2m 8 = 16 m = 12 ou m = 4. Observação: Sejam A, B, C e D pontos não-coplanares. Segue que os vetores AB, AC e AD também são não-coplanares. Por outro lado, da Geometria, Espacial sabemos que o prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o volume V t do tetraedro é um terço do volume do prisma, isto é, V t = 1 3 V p = 1 6 V. 35

36 Em consequência, estes vetores determinam um paralelepípedo cujo volume é V = [ AB, AC, AD]. Este paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho e, portanto, o volume V p de cada prisma é a metade do volume V do paralelepípedo, isto é, V p = 1 2 V. Logo, o volume do tetraedro é dado por V t = 1 6 [ AB, AC, AD]. Exemplo Determinar o volume do tetraedro formado a partir dos vetores u = (1, 1, 0), v = (1, 1, 1) e w = (3, 2, 1). Solução: O volume do tetraedro é dado por V t = 1 6 [ u, v, w ]. Como segue que, [ u, v, w ] = = 1, V t = 1 6 (1) = 1 6. Exemplo Sejam A(1, 2, 1), B(5, 0, 1), C(2, 1, 1) e D(6, 1, 3) vértices de um tetraedro. Calcular a) O volume deste tetraedro; b) A altura do tetraedro relativa ao vértice D. Solução: a) O volume do tetraedro é dado por V t = 1 6 [ AB, AC, AD]. Como segue que, [ AB, AC, AD] = = 36, V t = 1 (36) = 6u.v. 6 36

37 b) A altura do tetraedro traçada do vértice D é a própria altura do paralelepípedo de base determinada por AB e AC. Como o volume V do paralelepípedo é dado por V = (base)(altura) = AB AC h, tem-se que Sendo segue que AB AC = h = h = V AB AC. i j k = (2, 6, 10), (2, 6, 10) = = u.c. 37

38 Capítulo 2 Reta, Plano, Cônicas e Quádricas 2.1 A reta - Descrição e Interseções Equação Vetorial da Reta Consideremos um ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e um vetor não-nulo v = (a, b, c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P (x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v, isto é, AP = t v, (2.1) para algum t R. Segue de (2.1) que ou Em coordenadas, tem-se P A = t v. P = A + t v. (2.2) (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c). (2.3) Qualquer uma das equações (2.1), (2.2) ou (2.3) é denominadaequação vetorial da reta r. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. Exemplo Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(1, 1, 4) e tem a direção de v = (2, 3, 2). Solução: Segue de (2.3) que a reta procurada tem equação vetorial onde (x, y, z) representa um ponto qualquer de r. Observações: r : (x, y, z) = (1, 1, 4) + t(2, 3, 2), (2.4) 38

39 1) Se quisermos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, obtém-se (x, y, z) = (1, 1, 4) + 1(2, 3, 2) = (1 + 2, 1 + 3, 4 + 2) = (3, 2, 6), obtendo assim o ponto P 1 (3, 2, 6) r. Para t = 2, obtém-se (x, y, z) = (1, 1, 4) + 2(2, 3, 2) = (1 + 4, 1 + 6, 4 + 4) = (5, 5, 8), obtendo assim o ponto P 2 (5, 5, 8) r. E assim por diante. Para todos os valores reais infinitos de t, teremos todos os infinitos pontos da reta. 2) Dado um ponto P que passa por uma reta r, existe um número real t que satisfaz a equação vetorial da reta. Por exemplo, se o ponto P (7, 8, 10) pertence a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 4) + t(2, 3, 2), então temos que (7, 8, 10) = (1, 1, 4) + t(2, 3, 2) (7, 8, 10) (1, 1, 4) = t(2, 3, 2) (6, 9, 6) = t(2, 3, 2) t = 3. 3) A equação (2.4) não é a única equação vetorial de r, pois basta tomar outro ponto de r diferente de A, ou tomar qualquer vetor não-nulo que seja múltiplo de v. Por exemplo, a equação r : (x, y, z) = (1, 1, 4) + t(6, 9, 6) é outra equação vetorial de r onde se utilizou o vetor 3 v = (6, 9, 6) como vetor diretor em vez de v = (2, 3, 2). Equações Paramétricas da Reta Podemos escrever a equação vetorial (2.3) da seguinte maneira Que nos dá as seguintes equações (x, y, z) = (x 1 + at, y 1 + bt, z 1 + ct). x y z = x 1 + at = y 1 + bt = z 1 + ct. As equações dadas em (2.5) são chamadas equações paramétricas da reta. Exemplo Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, 2) e é paralela ao vetor v = (2, 1, 3). Solução: Seja P (x, y, z) um ponto qualquer da reta r. A equação vetorial de r é dada por (x, y, z) = (3, 4, 2) + t(2, 1, 3). Logo, as equações paramétricas de r são dadas por x = 3 + 2t y = 4 + t z = 2 + 3t. (2.5) 39

40 Equações Simétricas da Reta Das equações paramétricas supondo abc 0, vem x = x 1 + at, y = y 1 + bt e z = z 1 + ct, t = x x 1, t = y y 1 a b e t = z z 1. c Como para cada ponto da reta corresponde um único valor para t, obtemos as igualdades x x 1 a = y y 1 b = z z 1. (2.6) c As equações (2.6) são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e tem a direção do vetor v = (a, b, c). Exemplo Determinar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a direção do vetor v = (2, 2, 1). Solução: As equações simétricas são dadas por x 3 2 = y 2 = z Observação: Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis. Por exemplo, para x = 5, tem-se = 1 = y 2 = z + 4 1, onde y = 2 e z = 6 e, portanto, o ponto (5, 2, 6) pertence à reta. Equações Reduzidas da Reta Das equações dadas em (2.6), tem-se x x 1 a = y y 1 b De modo análogo, tem-se de (2.6) que x x 1 a = z z 1 c Logo, podemos escrever bx bx 1 = ay ay 1 y = bx bx 1 + ay 1 a cx cx 1 = az az 1 z = cx cx 1 + az 1 a = b a x + ay 1 bx 1. a = c a x + az 1 cx 1. a y = mx + n e z = px + q, (2.7) onde m = b a, n = 1 a (ay 1 bx 1 ), p = c a e q = 1 a (az 1 cx 1 ). As equações dadas em (2.7) são denominadas equações reduzidas da reta r, na variável x. De modo análogo, define-se equações reduzidas da reta nas variáveis y e z. 40

41 Exemplo Seja r a reta definida pelo ponto A(2, 4, 3) e pelo vetor diretor v = (1, 2, 3). Determinar as equações reduzidas de r na variável x. Solução: As equações simétricas são dadas por Segue que x 2 1 = y x 2 1 = y = z y + 4 = 2x 4 y = 2x 8 e x 2 = z + 3 z + 3 = 3x + 6 z = 3x Logo, as equações reduzidas de r na variável x são dadas por y = 2x 8 z = 3x + 3. Observações: 1) Com relação ao exemplo anterior pode-se ver que todo ponto P r é do tipo P (x, 2x 8, 3x + 3), onde x pode assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x = 5, tem-se o ponto P (5, 2, 12). 2) Ainda com relação ao exemplo anterior, podemos notar que as equações paramétricas de r são dadas por x = 2 + t, y = 4 + 2t z = 3 3t. Escrevendo t em relação a x, tem-se t = x 2. Substituindo t = x 2 em y e em z, segue que y = 4 + 2(x 2) = 2x 8 e z = 3 3(x 2) = 3x + 3, que são as equações reduzidas de r. Exemplo Dado o ponto A(2, 3, 4) e o vetor v = (1, 2, 3), pede-se. a) determinar as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v ; b) determinar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente; c) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4; d) verificar se os pontos D(4, 1, 2) e E(5, 4, 3) pertencem a r; e) determinar para que valores de m e n o ponto F (m, 5, n) pertencem a r; f) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r; g) escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(5, 2, 4) e é paralela a r; h) escrever equações paramétricas da reta l que passa por A e é paralela ao eixo dos y. Solução: a) Segue de (2.4) que as equações paramétricas são x = 2 + t r : y = 3 2t z = 4 + 3t. (2.8) 41

42 b) Para t = 1, tem-se x = 2 + (1) = = 3 y = 3 2(1) = 3 2 = 1 z = 4 + 3(1) = = 1. Logo, B(3, 1, 1) r. Para t = 4, tem-se x = 2 + (4) = = 6 y = 3 2(4) = 3 8 = 5 z = 4 + 3(4) = = 8. Logo, C(6, 5, 8) r. c) Como o ponto deve ter abscissa 4, deve-se ter x = 4, ou seja, 2 + t = 4, o que implica em t = 2. Segue que y = 3 2(2) = 3 4 = 1 e z = 4 + 3(2) = = 2. Logo, o ponto procurado é (4, 1, 2). d) Devemos verificar se existe t real tal que os pontos D(4, 1, 2) e E(5, 4, 3) verificam as equações (2.8). Para D(4, 1, 2), as equações 4 = 2 + t 1 = 3 2t 2 = 4 + 3t. se verificam para t = 2 e, portanto, D r. Para E(5, 4, 3), as equações 5 = 2 + t 4 = 3 2t 3 = 4 + 3t. não se verificam para um mesmo valor de t. Por exemplo, a primeira equação é satisfeita para t = 3, a segunda para t = 7/2 e a terceira para t = 7/3. Portanto, D não pertence à r. e) Como F r, as equações m = 2 + t, 5 = 3 2t, n = 4 + 3t se verificam para algum t real. Da equação 5 = 3 2t, segue que t = 1. Portanto, m = 2 + ( 1) = 1 e n = 4 + 3( 1) = 7. f) Tomando o ponto B(3, 1, 1) r e o vetor diretor 2 v = (2, 4, 6), tem-se x = 3 + 2t r : y = 1 4t z = 1 + 6t. Por outro lado, tomando o ponto C(6, 5, 8) r e o vetor diretor v = ( 1, 2, 3), tem-se x = 6 t r : y = 5 + 2t z = 8 3t. 42

43 g) Como s//r, os vetores diretores de s são os mesmos de r. Para v = (1, 2, 3), tem-se x = 5 + t s : y = 2 2t z = 4 + 3t. h) Como a reta l é paralela ao eixo dos y, um de seus vetores diretores é j = (0, 1, 0). Então a reta procurada é dada por x = 2 + 0t = 2 l : y = 3 + 1t = 3 + t z = 4 + 0t = 4. Reta Definida por Dois Pontos A reta que passa pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor v = AB. Exemplo Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A(3, 1, 2) e B(1, 2, 4). Solução:Escolhendo o ponto A e o vetor diretor v = AB = B A = ( 2, 3, 6), tem-se as equações paramétricas x = 3 2t r : y = 1 + 3t z = 2 + 6t. Observação: As equações vetoriais dos segmentos AB e BA com 0 t 1, são respectivamente, P = A + t(b A) e P = B + t(a B), onde P (x, y, z) representa um ponto qualquer do segmento. A equação P = A + t(b A) também pode ser expressa de modo equivalente por P = tb + (1 t)a. Exemplo Determinar um vetor diretor da reta { y = 2x 8 r : z = 3x + 3 Solução: Uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e depois encontrar o vetor diretor dado por AB. Para isso, atribuimos valores a x e determinamos y e z. Por exemplo, para x = 0, tem-se y = 8 e z = 3, obtendo assim o ponto A(0, 8, 3). Para x = 1, tem-se y = 6 e z = 0, obtendo assim o ponto B(1, 6, 0). Logo, AB = (1, 2, 3) é um vetor diretor de r. Outra maneira seria isolar a variável x nas duas equações, obtendo-se as equações simétricas de r x 1 = y + 8 = z 3 2 3, cujo vetor diretor (1, 2, 3) aparece claramente. 43

44 Retas Paralelas aos Planos Coordenados Uma reta é paralela a um dos planos xoy, xoz ou yoz se seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula. Observação: Se uma reta r é paralela ao eixo xoy, então qualquer ponto de r é da forma P (x, y, c), onde c é um número fixado que determina a distância da reta ao plano xoy. Dados dois pontos distintos P 1 (x 1, y 1, c) e P 2 (x 2, y 2, c) da reta r, segue que o vetor diretor P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, 0) que possui a terceira componente nula. Retas Paralelas aos Eixos Coordenados Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a i = (1, 0, 0) ou a j = (0, 1, 0) ou a k = (0, 0, 1). Neste caso, duas das componentes do vetor diretor são nulas. Por exemplo, a reta r que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor v = (0, 0, 3) é paralela ao eixo Oz, pois a direção de v é a mesma de k, já que v = 3 k. Mais ainda, a reta r pode ser expressada pelas equações x = 2, y = 3, z = 4 + 3t. Observação: 1) Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo coordenado, costuma-se fazer uma simplificação, expressando as equações só pelas constantes. No caso do exemplo acima, diz-se que as equações de r são do tipo x = 2, y = 3, subentendendo-se que z é uma variável livre que assume todos os valores reais. Na verdade, todos os pontos de r são do tipo (2, 3, z) e as coordenadas constantes identificam a reta. 2) Os eixos Ox, Oy e OZ são retas particulares. Todas passam pela origem O(0, 0, 0) e tem a direção de i, j e k, respectivamente. Logo suas equações são { y = 0 z = 0, { x = 0 z = 0, e { x = 0 y = 0, nesta ordem. Ângulo entre duas Retas Sejam as retas r 1 e r 2 com as direções de v 1 e v 2, respectivamente. Chama-se ângulo de duas retas r 1 e r 2 o menor ângulo de um vetor diretor de r 1 e de um vetor diretor de r 2. Sendo θ este ângulo, tem-se cos θ = v 1. v 2 v 1 v 2, com 0 θ π 2. 44

45 Exemplo Calcular o ângulo entre as retas x = 3 + t r 1 : y = t e r 2 : x = y 3 = z 1 1. z = 1 2t Solução: Os vetores que definem as direções das retas r 1 e r 2 são, respectivamente, v 1 = (1, 1, 2) e v 2 = ( 2, 1, 1). Logo, Portanto, cos θ = v 1. v 2 v 1 v 2 (1, 1, 2).( 2, 1, 1) = = 3 = θ = arccos(1/2) = π 3 rad = 60o. Retas Ortogonais Sejam as retas r 1 e r 2 com as direções de v 1 e v 2, respectivamente. Então r 1 r 2 se, e somente se, v 1. v 2 = 0. Observações: 1) Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. No caso de serem concorrentes, diz-se que elas são perpendiculares. 2) Toda reta r ortogonal, ao mesmo tempo, a r 1 e r 2 terá a direção de um vetor v tal que v. v 1 = 0 e v. v 2 = 0. Neste caso, poderíamos determinar o vetor v 0 dado por v = v 1 v 2. Exemplo Verificar se as retas x = 3 2t r 1 : y = 4 + t z = t { y = 2x + 1 e r 2 : z = 4x são ortogonais ou não. Solução: Os vetores diretores de r 1 e r 2 são, repectivamente, v 1 = ( 2, 1, 1) e v 2 = (1, 2, 4). Logo, v 1. v 2 = ( 2, 1, 1).(1, 2, 4) = ( 2)(1) + (1)( 2) + (1)(4) = 0. Portanto, as retas r 1 e r 2 são ortogonais. 45

46 Exemplo Determinar equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, 1) e é ortogonal às retas x = 5 r 1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3, 4) e r 2 : y = t z = 1 t. Solução: As direções de r 1 e r 2 são definidas pelos vetores v 1 = (2, 3, 4) e v 2 = (0, 1, 1), respectivamente. Então o vetor diretor da reta r é dado por v = v 1 v 2 = (1, 2, 2). Logo, as equações paramétricas de r são x = 3 + t r : y = 4 + 2t z = 1 + 2t. Interseção de Duas Retas Sejam r 1 e r 2 duas retas dadas. Se existe um ponto P (x, y, z) comum às duas retas, suas coordenadas verificam todas as equações de r 1 e r 2, isto é, o ponto P é solução única do sistema formado pelas equações das duas retas. Neste caso dizemos que as retas r 1 e r 2 são concorrentes e P é o ponto de interseção destas retas. Exemplo Verificar se as retas dadas abaixo são concorrentes. Em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção. x = 3 + t x = 5 + 3h a) r 1 : y = 1 + 2t e r 2 : y = 3 2h z = 2 t z = 4 + h { x = t y = 2x 3 b) r 1 : e r 2 : y = 4 t z = x z = 2 + 2t { y = 3x + 2 x + 2 c) r 1 : e r 2 : = y 1 z = 2x = z 4. Solução: a) Igualando as expressões em x, y e z nas equações de r 1 e r 2, tem-se 3 + t = 5 + 3h 1 + 2t = 3 2h 2 t = 4 + h. ou t 3h = 2 2t + 2h = 4 t h = 2. Resolvendo o sistema, encontramos t = h = 1. Substituindo t = 1 nas equações de r 1, tem-se x = 3 + ( 1) = 2, y = 1 + 2( 1) = 1, z = 2 ( 1) = 3. 46

47 Portanto, o ponto de interseção é P (2, 1, 3). O mesmo ponto seria obtido substituindo-se h = 1 nas equações de r 2. b) Substituindo x, y e z das equações de r 1 nas equações de r 2, tem-se { 4 t = 2t t = t. Da primeira equação encontramos t = 7 e da segunda equação encontramos t = 2. Logo o sistema não tem solução e, portanto, não existe ponto de interseção das retas dadas. c) Escrevendo y e z das equações de r 2 em função de x,vtem-se x = y 1 6 y = 3x 5 e x = z 4 z = 2x + 4. Igualando com y e z dados em r 1, tem-se { 3x + 2 = 3x 5 2x 5 = 2x + 4. cujas equações não tem solução. Portanto, não existe ponto de interseção das retas dadas. Observações: 1) No exemplo acima, podemos ver que v 1 = (1, 3, 2) e v 2 = (2, 6, 4) são os vetores diretores de r 1 e r 2, respectivamente, e que v 2 = 2 v 1. Logo as retas r 1 e r 2 são paralelas e não-coincidentes. 2) Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano, como as retas do exemplo 1. Também são coplanares as retas do exemplo 3, que apesar de não serem concorrentes, são paralelas. 3) Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. É o caso do exemplo 2, pois as retas além de não serem concorrentes são também não-paralelas e, portanto, não-coplanares. 2.2 O Plano - Descrição e Interseções Equação Geral do Plano Sejam A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = (a, b, c), n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano. Como n π, n é ortogonal a todo vetor representado em π. Então, um ponto P (x, y, z) pertence a π se, e somente se, o vetor AP é ortogonal a n, isto é, n.(p A) = 0 ou equivalentemente, (a, b, c).(x x 1, y y 1, z z 1 ) = 0. 47

48 Donde segue que, que pode ser escrito como ax + by + cz ax 1 by 1 cz 1 = 0, ax + by + cz + d = 0, (2.9) onde d = ax 1 by 1 cz 1. A equação (2.9) é a equação geral do plano. Observações: 1) Sendo n = (a, b, c) um vetor normal a π, qualquer vetor k n, k 0, é também vetor normal a π. 2) Nota-se que os coeficientes a, b e c das variáveis x, y e z, respectivamente, que aparecem na equação do plano são as componentes do vetor normal. Por exemplo, um plano com equação π : 2x 3y + 5z 1 = 0, possui um vetor normal dado por n = (2, 3, 5). Exemplo Obter uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e tem n = (3, 2, 4) como vetor normal. Solução: Como n é normal a π, sua equação é da forma 3x + 2y 4z + d = 0. Sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, isto é, 3(2) + 2( 1) 4(3) + d = d = d = 0 d = 8. Logo a equação do plano é 3x + 2y 4z + 8 = 0. Exemplo paralelo ao plano Escrever uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é π 1 : 3x 4y 2z + 5 = 0. Solução: Usaremos o fato que: qualquer vetor normal a um plano é normal a qualquer plano paralelo a este. O vetor normal ao plano π 1 é n 1 = (3, 4, 2). Como π//π 1, segue que n 1 é também normal a π. Logo uma equação de π é da forma Sendo A um ponto de π, segue que 3x 4y 2z + d = 0. 3(2) 4(1) 2(3) + d = d = d = 0 d = 4. Logo a equação do plano é 3x 4y 2z + 4 = 0. 48

49 Exemplo Determine uma equação geral de um plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 2) e é ortogonal a reta r dada pelas equações paramétricas x = 5 + 3t r : y = 4 + 2t z = 1 + t Solução: Como r π qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano π. Sendo n = (3, 2, 1) um destes vetores, uma equação de π é da forma Sendo A um ponto de π, segue que 3x + 2y + z + d = 0. 3(2) + 2(1) + ( 2) + d = d = d = 0 d = 6. Logo a equação do plano é 3x + 2y + z 6 = 0. Outros Tipos de Equações do Plano Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, s) com p.q.s 0, então π admite a equação x p = y q = z s = 1, que é denominada equação segmentária do plano π. Para determinar a equação segmentária de um plano a partir de sua equação geral, basta determinar os pontos que representam os eixos coordenados. Exemplo Determine as equações segmentáris do plano π cuja equação geral é π : 3x + 2y + z 6 = 0. (2.10) Solução: Os pontos que representam os eixos coordenados são (2, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 6). Logo a equação segmentária de π é dada por x 2 = y 3 = z 6 = 1. (2.11) Também podemos determinar a equação segmentária (2.11) dividindo a equação geral (2.10) por 6. Reciprocamente, multiplicando a equação segmentária (2.11) por 6, obtemos a equação geral do plano (2.10). Sejam A(x A, y A, z A ) um ponto pertencente a um plano π e u = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ) dois vetores paralelos a π, porém, u e v não-paralelos. 49

50 Para todo ponto P do plano, os vetores AP, u e v são coplanares. Um ponto P (x, y, z) pertence a π se, e somente se, existem números reais h e t tais que P A = h u + t v, ou ou, em coordenadas P = A + h u + t v, (x, y, z) = (x A, y A, z A ) + h(a 1, b 1, c 1 ) + t(a 2, b 2, c 2 ), h, t R. (2.12) A equação (2.12) é denominada equação vetorial do plano π. Os vetores u e v são os vetores diretores de π. Da equação (2.12) obtém-se (x, y, z) = (x A + a 1 h + a 2 t, y A + b 1 h + b 2 t, z A + c 1 h + c 2 t), que resulta nas seguintes equações x = x A + a 1 h + a 2 t y = y A + b 1 h + b 2 t z = z A + c 1 h + c 2 t, h, t R. (2.13) As equações dadas em (2.13) são denominadas equações paramétricas do plano π. As variáveis h e t são variáveis auxiliares denominadas parâmetros. Exemplo Seja o plano π que passa pelo ponto A(2, 2, 1) e é paralelo aos vetores u = (2, 3, 1) e v = ( 1, 5, 3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π. Solução: Uma equação vetorial é dada por (x, y, z) = (2, 2, 1) + h(2, 3, 1) + t( 1, 5, 3), h, t R. As equações paramétricas são dadas por x = 2 + 2h t y = 2 3h + 5t z = 1 + h 3t, h, t R. Para obter uma equação geral de π, primeiro notemos que o vetor u v = (4, 5, 7) é simultaneamente ortogonal a u e a v, portanto, é um vetor normal ao plano. Logo uma equação geral de π é da forma 4x + 5y + 7z + d = 0. 50

51 Como A π segue que 4(2) + 5(2) + 7( 1) + d = 0 d = 11. Logo, uma equação geral de π é dada por 4x + 5y + 7z 11 = 0. Observações: 1) Para se obter um ponto qualquer de π a partir de suas equações paramétricas, basta atribuir valores reais para h e t e determinar x, y e z. 2) Existe uma outra maneira de se obter uma equação geral de π. Como P (x, y, z) representa um ponto qualquer do plano, os vetores AP, u e v são coplanares e, portanto, o produto misto deles é nulo, isto é, [ AP, u, v ] = 0 que nos dá uma equação geral do plano. No caso do exemplo acima, temos x 2 y 2 z = 0 4x + 5y + 7z 11 = Exemplo Dado o plano π determinado pelos pontos A(1, 1, 2), B(2, 1, 3) e C( 1, 2, 6), obter um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π. Solução: Existe apenas um plano que contém três pontos não colineares. Os vetores nãoparalelos u = AB = (1, 2, 5) v = AC = ( 2, 1, 4) são vetores diretores de π e, portanto, as equações paramétricas do plano podem ser dadas por x = 1 + h 2t y = 1 + 2h t z = 2 5h + 4t, h, t R Sendo u e v vetores diretores de π, o vetor normal a π é i j k n = u v = = (3, 6, 3) Logo, uma equação para π é da forma Como A π segue que 3x + 6y + 3z + d = 0. 3(1) + 6( 1) + 3(2) + d = 0 d = 3. 51

52 Logo, uma equação geral de π é dada por ou, equivalentemente, 3x + 6y + 3z 3 = 0, x + 2y + z 1 = 0. Observação: Para determinar as equações paramétricas, utilizamos o ponto A para determinar os vetores u = AB e v = AC. Para utilizar o ponto B, deve-se escolher os vetores u = BA e v = BC e, processo análogo para a escolha do ponto C. Exemplo Dado o plano π de equação 2x y z + 4 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de π. Solução: Basta tomar três pontos não alinhados de π e proceder como no exemplo anterior. Fazendo x = y = 0, obtém-se z = 4 e o ponto A(0, 0, 4) π. Fazendo x = 1 e y = 0, obtém-se z = 6 e o ponto B(1, 0, 6) π. Fazendo x = 0 e y = 1, obtém-se z = 3 e o ponto B(0, 1, 3) π. Como AB = (1, 0, 2) e AC = (0, 1, 1) são vetores diretores de π, as equações paramétricas de π são dadas por x = h + 0.t y = 0.h + 1.t z = h 1.t ou x = h y = t z = 4 + 2h t. Observação: Uma outra maneira de obter equações paramétricas a partir da equação geral, é substituindo duas das variáveis pelos parâmetros h e t e, posteriormente, isolar a terceira variável em função destes. Por exemplo, se na equação geral 2x y z + 4 = 0, fizermos y = h e z = t, teremos 2x h t + 4 = 0. Isolando x resulta que x = 2 + 1h + 1 t. Então 2 2 x = 2 + 1h + 1t 2 2 y = h z = t. são as equações paramétricas do plano. De modo análogo, teríamos outros sistemas da forma Exemplo r 1 : x = h y = t z = 4 + 2h t. e x = h y = 4 + 2h t z = t. Determinar uma equação geral do plano que contenha as retas { y = x + 1 z = 3x 2. x = 2t e r 2 : y = 3 + 2t z = 1 6t. 52

53 Solução: Isolando a variável x nas duas equações de r 1, obtemos r 1 : x 1 = y 1 = z + 2 x = 2t e r 2 : y = 3 + 2t 1 3 z = 1 6t. Logo os vetores diretores de r 1 e r 2 são, respectivamente, v 1 = (1, 1, 3) e v 2 = (2,, 2, 6). Nota-se que v 2 = 2 v 1, e, portanto, as retas r 1 e r 2 são paralelas e os vetores v 1 e v 2 não são vetores diretores do plano. Por outro lado, os pontos A(0, 1, 2) r 1 e B(0, 3, 1) r 2 também pertencem ao plano π e o vetor AB = (0, 2, 3) está representado neste plano. Logo, um vetor normal de π é dado por n = v 1 AB = Portanto uma equação geral do plano é da forma Como A(0, 1, 2) π, tem-se i j k = (9, 3, 2) x 3y + 2z + d = 0. 9(0) 3(1) + 2( 2) + d = 0 d = 7. Logo, uma equação geral do plano é dada por Ângulo entre dois Planos 9x 3y + 2z + 7 = 0. Sejam os planos π 1 e π 2 com vetores normais n 1 e n 2, respectivamente. Chama-se ângulo de dois planos π 1 e π 2 o menor ângulo que um vetor normal π 1 faz com um vetor normal π 2. Sendo θ este ângulo, tem-se Exemplo cos θ = n 1. n 2 n 1 n 2, com 0 θ π 2. (2.14) Determine o ângulo entre os planos π 1 : 2x + y z + 3 = 0 e π 2 : x + y 4 = 0. Solução: Notemos que n 1 = (2, 1, 1) e n 2 = (1, 1, 0) são vetores normais a π 1 e π 2, respectivamente. Segue de (2.14) que Logo, cos θ = n 1. n 2 n 1 n 2 = (2, 1, 1).(1, 1, 0) = = = θ = arccos( 3/2) = π 6 rad = 30o

54 Planos Perpendiculares Sejam os planos π 1 e π 2 com vetores normais n 1 e n 2, respectivamente. Então π 1 π 2 n 1 n 2 n 1. n 2 = 0. Exemplo Verificar se os planos π 1 : 3x + y 4z + 2 = 0 e π 2 : 2x + 6y + 3z = 0. Solução: Notemos que n 1 = (3, 1, 4) e n 2 = (2, 6, 3) são vetores normais a π 1 e π 2, respectivamente. Além disso, Logo, os planos π 1 e π 2 são perpendiculares. n 1. n 2 = (3, 1, 4).(2, 6, 3) = = 0. Exemplo Verificar se os planos x = 2 h + 2t π 1 : x + y 4 = 0 e π 2 : y = h + t z = t. Solução: O vetor n 1 = (1, 1, 0) é um vetor normal a π 1. Para determinar um vetor normal a π 2, notemos que u = ( 1, 1, 0) e v = (2, 1, 1) são vetores diretores de π 2. Logo, um vetor normal a π 2 é dado por n 2 = u i j k v = = (1, 1, 3) Além disso, n 1. n 2 = (1, 1, 0).(1, 1, 3) = = 2 0. Logo, os planos π 1 e π 2 não são perpendiculares. Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano Sejam r uma reta com direção do vetor v e π um plano com vetor normal n. Então, tem-se r//π v n v. n = 0 e r π v // n v = α n, α R. 54

55 Exemplo x = 1 + 2t r : y = 3t z = t. Sejam a reta r e os planos π 1 e π 2 dados abaixo π 1 : 5x + 2y 4z 1 = 0 e π 2 : 4x 6y + 2z 5 = 0. Determinar se r é paralela ou perpendicular aos planos π 1 e π 2. Solução: Notemos que o vetor diretor de r é v = (2, 3, 1), que n 1 = (5, 2, 4) é um vetor normal a π 1 e que n 2 = (4, 6, 2) é um vetor normal a π 2. Além disso, v. n 1 = (2, 3, 1).(5, 2, 4) = = 0. Logo, v n 1 e, portanto, r é perpendicular a π 1. Por outro lado, sendo n 2 = 2 v, ou v = 1 2 n 2, segue que v // n 2 e, portanto, r é paralela a π 2. Reta Contida em Plano Uma reta r está contida em um plano π se: a) quaisquer dois pontos A e B de r forem também pontos de π b) ou se um ponto A de r pertence a π e v. n = 0, onde v é um vetor diretor de r e n é um vetor normal de π. Exemplo Determinar os valores de m e n para que a reta x = 3 + t r : y = 1 t z = 2 t esteja contida no plano π : 2x + my + nz 5 = 0. Solução: Notemos que os pontos A(3, 1, 2) e B(4, 2, 3) pertencem à reta r. Para que r esteja contida em π é preciso que A e B também pertençam a π, isto é, as coordenadas de A e B devem satisfazer a equação de π. Assim, obtemos o sistema { m 2n + 1 = 0 cuja solução é m = 3 e n = 1. 2m 3n + 3 = 0 Interseção entre Planos A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações deseja-se determinar. Como a reta deve está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto (x, y, z) r devem satisfazer, simultaneamente, as equações do dois planos. 55

56 Exemplo Determinar a interseção dos planos π 1 : 5x y + z 5 = 0 e π 2 : x + y + 2z 7 = 0. Solução: Qualquer ponto (x, y, z) r deve satisfazer o sistema { 5x y + z 5 = 0 r : x + y + 2z 7 = 0, que pode ser escrito da forma r : { y = 3x 1 z = 2x + 4. que são as equações reduzidas de r. Observação: Outra maneira de obter equações de r é determinar um de seus pontos e um vetor diretor. No caso do exemplo anterior, podemos determinar um ponto A r cuja abscissa é zero. Neste caso teremos o sistema { y + z 5 = 0 r : y + 2z 7 = 0, cuja solução é y = 1 e z = 4. Logo, A(0, 1, 4). Como um vetor diretor v de r é simultaneamente ortogonal a n 1 = (5, 1, 1) e n 2 = (1, 1, 2), normais aos planos π 1 e π 2, respectivamente, segue que i j k v = n 1 n 2 = = ( 3, 9, 6). Podemos usar v = 1 ( 3, 9, 6) = (1, 3, 2). Logo as equações paramétricas de r são 3 dadas por x = t r : y = 1 + 3t z = 4 2t. Interseção entre Reta e Plano Exemplo Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π, onde x = 1 + 2t r : y = 5 + 3t e π : 2x y + 3z 4 = 0. z = 3 t Solução: Qualquer ponto (x, y, z) de r deve satisfazer a equação do plano π. coordenadas x, y e z de r devem satisfazer a equação de π, isto é, Logo, as 2( 1 + 2t) (5 + 3t) + 3(3 t) 4 = 0. 56

57 Donde segue que t = 1. Substituindo-se t = 1 nas equações de r obtém-se o ponto de interseção P ( 3, 2, 4). Exemplo Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π, onde r : { x 2y 2z + 2 = 0 2x + y z = 0 e π : x + 3y + z 2 = 0. Solução: Se existe um ponto P (x, y, z) r que também pertence a π, suas coordenadas devem satisfazer as equações dos três planos dados. Logo, P será a solução do sistema x 2y 2z + 2 = 0 2x + y z = 0 x + 3y + z 2= 0. cuja solução é x = 2, y = 1 e z = 3. Portanto, a interseção da reta r com o plano π é o ponto P (2, 1, 3). 2.3 Distâncias Distância entre dois Pontos Dados os pontos P 1 (x 1, y 1, z 1 ) e P 2 (x 2, y 2, z 2 ), a distância d entre os pontos P 1 e P 2 é dada por d(p 1, P 2 ) = P 1 P 2, isto é, d(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Exemplo Calcular a distância entre os pontos P 1 (2, 1, 2) e P 2 (3, 2, 1). Solução: Segue da fórmula da distância entre dois pontos que d(p 1, P 2 ) = (3 2) 2 + (2 1) 2 + (1 + 2) 2 = 11 u.c. (unidades de comprimento) Distância de um Ponto a uma Reta Dado um ponto P do espaço e uma reta r. Consideremos um ponto A em r e um vetor diretor v. Os vetores v e AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(p, r). Isto é, a distância do ponto P à reta r é dada por d(p, r) = v AP. v 57

58 Exemplo Calcular a distância do ponto P (2, 1, 4) à reta x = 1 + 2t r : y = 2 t z = 3 2t. Solução: Notemos que a reta r passa pelo ponto A( 1, 2, 3) e possui vetor diretor v = (2, 1, 2). Como AP = (3, 1, 1), segue que i j k v AP = = ( 3, 8, 1) Da fórmula da distância de um ponto a uma reta segue que d(p, r) = v AP ( 3, 8, 1) = v (2, 1, 2) = ( 3)2 + ( 8) 2 + (1) (2)2 + ( 1) 2 + ( 2) = = u.c. Observação: Podemos calcular a distância de um ponto P a uma reta r de outra maneira. Primeiro determina-se a uma equação geral do plano π que passa por P e é perpendicular à reta r, depois determina-se o ponto I de interseção de π com r. A distância é dada por d(p, r) = P I. Distância de Ponto a Plano Dado um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e um plano π cuja equação é ax + by + cz + d = 0, tem-se que a distância de P 0 a π é dada por d(p 0, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a2 + b 2 + c 2. (2.15) Exemplo Calcular a distância do ponto P 0 (4, 2, 3) ao plano π : 2x+3y 6z+3 = 0. Solução: d(p 0, π) = 2(4) + 3(2) 6( 3) + 3 (2)2 + (3) 2 + ( 6) = = = 5. Observações: 1) Podemos calcular a distância de um ponto P 0 a um plano π de outra maneira. Primeiro, determina-se equações da reta r que passa por P 0 e é perpendicular ao plano π, depois determina-se o ponto I de interseção de r com π. A distância é dada por d(p 0, r) = P I. 2) A fórmula também se aplica para dois planos π 1 e π 2 paralelos e, neste caso, tem-se d(π 1, π 2 ) = d(p 0, π 2 ) com P 0 π 1 ou d(π 1, π 2 ) = d(p 0, π 1 ) com P 0 π 2 e também para uma reta r e um plano π paralelos que, neste caso, tem-se d(r, π) = d(p, π) com P r. 58

59 Exemplo Calcular a distância da reta r ao plano π, onde r : { y = 2x + 3 z = 2x + 1 e π : 4x 4y + 2z 7 = 0. Solução: Escrevendo x em função de y e z, tem-se x 1 = y 3 2 = z 1 2. Logo, um vetor diretor de r é v = (1, 2, 2). Por outro lado, um vetor normal a π é n = (4, 4, 2). Como v. n = (1, 2, 2).(4, 4, 2) = 0, segue que r é paralela a π. Tomando P (1, 5, 3) r, tem-se da fórmula (2.15) que d(r, π) = d(p, π) = 4(1) 4(5) + 2(3) ( 4) = = = Distância entre duas Retas Dadas as retas r e s, deseja-se determinar a distância d(r, s). Consideremos os seguintes casos: 1) r e s são concorrentes. Neste caso, tem-se 2) r e s são paralelas. Neste caso, tem-se d(r, s) = 0. d(r, s) = d(p, s) com P r ou d(r, s) = d(p, r) com P s. 3) r e s são reversas. Sejam as retas r 1 definida pelo ponto A 1 e pelo vetor diretor v 1 e r 2 definida pelo ponto A 2 e pelo vetor diretor v 2. Os vetores v 1, v 2 e A 1 A 2, por serem não-coplanares, determinam um paralelepípedo cuja altura é a distância d(r 1, r 2 ) que se deseja determinar. Neste caso, tem-se d(r, s) = [ v 1, v 2, A 1 A 2 ] v 1. v 2 Exemplo x r 1 : y z Calcular a distância entre as retas = 1 + t = 3 2t = 1 t e r 2 : { y = x 3 z = x

60 Solução: A reta r 1 passa pelo ponto A 1 ( 1, 3, 1) e tem direção v 1 = (1, 2, 1) e a reta r 2 passa pelo ponto A 2 (0, 3, 1) e tem direção v 2 = (1, 1, 1). Como A 1 A 2 = (1, 6, 0), segue que [ v 1, v 2, A 1 A 2 ] = = 9 e v 1 i j k v 2 = = (3, 0, 3) Logo, d(r, s) = [ v 1, v 2, A 1 A 2 ] v 1 v 2 = 9 (3, 0, 3) = = 9 = Observação: Podemos calcular essa distância de outra maneira. Primeiro, determina-se uma equação geral do plano π definido pelo ponto A 1 e pelos vetores diretores v 1 e v 2. Como v 2 é vetor diretor de π, a reta r 2 é paralela a π. A distância é dada por d(r 1, r 2 ) = d(r 2, π) = d(p, π), P r 2. 60

61 2.4 Cônicas Parábola Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo F chamado foco e de uma reta fixa d chamada diretriz. Consideremos uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Na figura 2.1 estão assinalados os pontos (P, P 1, P 2, P 3 e V ), que são equidistantes do ponto F e da reta d. Chamamos de eixo a reta e que passa por F e é perpendicular a reta d. Chamamos de vértice da parábola o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. Denotamos por p a distância entre o vértice V e o foco F. Um ponto P qualquer pertence à parábola se, e somente se, ou seja, se d(p, F ) = d(p, d) onde P é o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta d. d(p, F ) = d(p, P ), (2.16) Figura 2.1: Equações da Parábola Seja V (x v, y v ) o vértice de uma parábola qualquer. Para determinar as equações dessa parábola, vamos considerar o caso em que o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y e quando o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x. 1 caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y. Neste caso, teremos o foco dado por F (x v, y v + p) e a diretriz dada por d : y = y v p. Se P (x, y) é um ponto qualquer dessa parábola, então teremos d(p, F ) = d(p, P ), 61

62 onde P é o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta d e é dado por P (x, y v p). Assim, teremos (x xv ) 2 + [y (y v + p)] 2 = (x x) 2 + [y (y v p)] 2. Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos ou seja, Daí, segue que (x x v ) 2 + (y y v p) 2 = (0) 2 + (y y v + p) 2 (x x v ) 2 + (y y v ) 2 2p(y y v ) + p 2 = (y y v ) 2 + 2p(y y v ) + p 2. (x x v ) 2 = 4p(y y v ). que é a forma padrão da equação da parábola paralela ao eixo dos y. 2 caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x. Neste caso, teremos o foco dado por F (x v + p, y v ) e a diretriz dada por d : y = x v p. Se P (x, y) é um ponto qualquer dessa parábola, então prosseguindo como no caso anterior, obtemos que (y y v ) 2 = 4p(x x v ). que é a forma padrão da equação da parábola paralela ao eixo dos x. Figura 2.2: Em resumo, para uma parábola de vértice V (x v, y v ), temos o seguinte: 1) Se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x, então: 62

63 A parábola tem equação padrão (y y v ) 2 = 4p(x x v ); O foco é F (x v + p, y v ), a equação da diretriz é x = x v p e a equação do eixo é y = y v. 2) Se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y, então: A parábola tem equação padrão (x x v ) 2 = 4p(y y v ); O foco é F (x v, y v + p), a equação da diretriz é y = y v p e a equação do eixo é x = x v. Exemplo Determinar uma equação da parábola de vértice V (3, 2), eixo paralelo ao dos y e parâmetro p = 1. 2 Solução: Como o eixo da parábola é paralelo ao dos y, sua equação é da forma (x x v ) 2 = 4p(y y v ), Substituindo as coordenadas do vértice e p = 1, segue que 2 ou seja, que é a equação padrão da parábola. Observações: (x 3) 2 = 4( 1 )(y + 2), 2 (x 3) 2 = 2(y + 2), 1. A equação (x 3) 2 = 2(y +2) ainda pode ser escrita na forma x 2 6x 2y +5 = 0, que é a equação geral da parábola. Na verdade, qualquer parábola cujo eixo coincide ou é paralelo a um dos eixos coordenados, sempre pode ser representado pela equação geral da forma ax 2 + cx + dy + f = 0, a 0 (2.17) ou da forma by 2 + cx + dy + f = 0, b 0. (2.18) Explicitando y numa equação do tipo (2.17) ou x numa equação do tipo (2.18), obtemos as respectivas equações explícitas da parábola na forma y = ax 2 + bx + c, a 0 e x = ay 2 + by + c, a No caso em que o vértice da parábola é o ponto V (0, 0), o eixo da parábola coincide com os eixos coordenados e teremos o seguinte: 1) Se o eixo da parábola é o eixo dos x, então: A parábola tem equação padrão y 2 = 4px; 63

64 O foco é F (p, 0), a equação da diretriz é x = p e a equação do eixo é y = 0. 2) Se o eixo da parábola é o eixo dos y, então: A parábola tem equação padrão x 2 = 4py; O foco é F (0, p), a equação da diretriz é y = p e a equação do eixo é x = As equações y 2 = 4px e x 2 = 4py são chamadas de equações reduzidas da parábola em seus respectivos eixos. Figura 2.3: Figura 2.4: Exemplo Para cada uma das parábolas abaixo, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz a) x 2 = 8y b) x = 1 2 y2. Solução: a) Neste caso, o eixo da parábola é o eixo dos y e o vértice é V (0, 0). Portanto, o foco é F (0, p) e a diretriz é y = p, onde p satisfaz x 2 = 4py. Comparando com a equação dada, tem-se que 4p = 8, isto é, p = 2. Logo o foco da parábola é F (0, 2) e a diretriz é y = 2. Para o esboço do gráfico, podemos ver que para y = 2, tem-se x = ±4. Logo, os pontos (4, 2) e ( 4, 2) são pontos da parábola. b) Neste caso, o eixo da parábola é o eixo dos x e o vértice é V (0, 0). Portanto, o foco é F (p, 0) e a diretriz é x = p, onde p satisfaz y 2 = 4px. Como a equação dada pode ser escrita como y 2 = 2x, segue que 4p = 2, isto é, p = 1. Logo o foco da parábola é 2 F ( 1, 0) e a diretriz é x = 1. Para o esboço do gráfico, podemos ver que para x = 2, 2 2 tem-se x = ±2. Logo, os pontos ( 2, 2) e ( 2, 2) são pontos da parábola. Exemplo Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condições: a) vértice V (0, 0) e foco F (1, 0); b) vértice V (0, 0) e diretriz y = 3; c) vértice V (0, 0), passa pelo ponto P ( 2, 5) e concavidade voltada para cima. 64

65 Solução: a) Como o vértice é V (0, 0) e o foco é F (1, 0), segue que o eixo da parábola coincide com o eixo dos x. Portanto, sua equação é da forma y 2 = 4px. Como o foco deve ser F (p, 0), segue que p = 1. Logo, a equação da parábola é y 2 = 4x. b) Como o vértice é V (0, 0) e a diretriz é y = 3, segue que o eixo da parábola coincide com o eixo dos y. Portanto, sua equação é da forma x 2 = 4py. Como a diretriz deve ser y = p, segue que p = 3. Logo a equação da parábola é x 2 = 12y. c) Como o vértice é V (0, 0) e a concavidade é voltada para cima, o eixo da parábola coincide com o eixo dos y. Portanto, sua equação terá a forma x 2 = 4py. Como o ponto P ( 2, 5) pertence a parábola, segue que ( 2) 2 = 4p(5) p = 1 5. Portanto, a equação da parábola é da forma x 2 = 4 5 y. Exemplo Dada uma parábola de vértice V (4, 2) e foco F (1, 2), determinar sua equação geral, sua equação na forma explícita e esboçe o gráfico. Solução: Como a ordenada do vértice é a mesma do foco, o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x, portanto, a equação da parábola é da forma (y y v ) 2 = 4p(x x v ), onde x v = 4, y v = 2 e p = 1 4 = 3. Substituindo na equação acima, tem-se ou equivalentemente, (y 2) 2 = 12(x 4) y x 4y 44 = 0 que é a equação geral da parábola. Escrevendo x em função de y, tem-se x = 1 12 y y Exemplo Em cada caso abaixo, determinar uma equação reduzida da parábola, o vértice, o foco, uma equação da diretriz, uma equação do eixo e esboçar o gráfico da parábola: a) y 2 + 6y 8x + 17 = 0 b) x 2 + 4x + 8y + 12 = 0. Solução: a) Primeiro escrevemos a equação na forma y 2 + 6y = 8x 17. Para completar o quadrado do primeiro termo, devemos somar 9 a ambos os membros da igualdade acima, donde segue que y 2 + 6y + 9 = 8x (y + 3) 2 = 8x 8. 65

66 ou ainda, (y + 3) 2 = 8(x 1) (2.19) que é a forma padrão de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos x. Fazendo X = x 1 e Y = y + 3, obtemos Y 2 = 8X que é a equação reduzida da parábola. Por outro lado, a equação (2.19) é da forma (y y v ) 2 = 4p(x x v ) (2.20) onde x v e y v são as coordenadas do vértice. Portanto, o vértice é V (1, 3) e confrontando as equações (2.19) e (2.20), segue que 4p = 8, donde segue que p = 2. Como o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x, o foco é F (x v + p, y v ), isto é, F (3, 3) e a diretriz é x = x v p = 1 2 = 1. A equação do eixo é dada pela ordenada do vértice, isto é, y = 3. b) Escrevendo a equação na forma x 2 +4x = 8y 12 e completando os quadrados, obtemos (x + 2) 2 = 8(y + 1) (2.21) que é a forma padrão de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos y. Fazendo X = x + 2 e Y = y + 1, obtemos X 2 = 8Y que é a equação reduzida da parábola. Como a equação (2.21) é da forma (x x v ) 2 = 4p(y y v ) (2.22) onde x v e y v são as coordenadas do vértice, segue que o vértice é V ( 2, 1). Confrontando as equações (2.21) e (2.22), segue que 4p = 8, donde segue que p = 2. Como o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y, o foco é F (x v, y v + p), isto é, F ( 2, 3) e a equação da diretriz é y = y v p = = 1. A equação do eixo é dada pela abscissa do vértice, isto é, x = 2. Equações Paramétricas da Parábola Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é o dos y: x 2 = 4py. Nesta equação, onde x pode assumir qualquer valor real, se fizermos x = t, teremos y = 1 4p t2. Assim, temos x = t, y = 1 4p t2, t R, 66

67 que são as equações paramétricas da parábola. De modo análogo, se o eixo da parábola é o eixo dos y, tem-se as seguintes equações paramétricas cujo vértice é V (0, 0). x = 1 4p t2, y = t, t R, Exemplo Obter as equações paramétricas da parábola de equação x 2 = 1 4 y. Solução: Fazendo x = t, teremos y = 4x 2. Logo, as equações paramétricas são x = t, y = 4x 2, t R. Observação: De modo análogo, obtém-se equações paramétricas no caso do eixo da parábola ser paralelo a um dos eixos x ou y, como veremos no exemplo abaixo. Exemplo Obter as equações paramétricas da parábola de equação (y 3) 2 = 2(x + 2). Solução: Fazendo y 3 = t, segue que y = t + 3 e Assim, o sistema t 2 = 2(x + 2) = 2x + 4 x = t x = t2 4, y = t + 3, t R 2 constitui as equações paramétricas da parábola Elípse Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Consideremos no plano dois pontos distintos F 1 e F 2, tal que d(f 1, F 2 ) = 2c e um número real positivo a com 2a > 2c. Dizemos que 2a é a distância dada na definição de elípse e F 1 e F 2 são os dois pontos fixos denominados focos. Um ponto P pertence à elipse se, e somente se, Os elementos da elipse são os seguintes: Focos: são os pontos F 1 e F 2 ; d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a. (2.23) 67

68 Distância focal: é a distância 2c entre os focos; Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F 2 ; Eixo maior: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a, contendo os focos; Eixo menor: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b e perpendicular a A 1 A 2 no seu ponto médio; Vértices: são os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2 ; Excentricidade: é o número real e = c a. Observações: 1) As constantes a, b e c satisfazem a 2 = b 2 + c 2, (2.24) o que mostra que b < a e c < a. 2) A excentricidade é responsável pela forma da elipse, isto é, elipses com excentricidade próxima de zero são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de um são achatadas. Por outro lado, fixada uma excentricidade, por exemplo, e = 1, todas as infinitas elipses com esta excentricidade tem a mesma forma. 2 Equações Reduzidas da Elípse Consideremos a elipse de centro na origem, isto é, C(0, 0). Suponhamos inicialmente que o eixo maior está sobre o eixo dos x. Seja P (x, y) um ponto qualquer de uma elipse de focos F 1 ( c, 0) e F 2 (c, 0). Da equação (2.23), segue que Em coordenadas, tem-se d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a F 1 P + F 2 P = 2a. Depois de alguns cálculos, encontramos (x + c, y 0) + (x c, y 0 = 2a. (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ). Como por (2.25) tem-se que a 2 c 2 = b 2, segue que b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Dividindo ambos os membros da equação por a 2 b 2, obtém-se x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (2.25) 68

69 que é a equação reduzida da elipse para este caso. No caso em que o eixo maior está sobre o eixo dos y, segue de modo análogo que a equação reduzida da elipse é dada por x 2 b 2 + y2 a 2 = 1. Observação: Como em toda elipse tem-se a > b (ou a 2 > b 2 ), para saber se a elipse tem seu eixo maior sobre Ox ou sobre Oy, basta observar onde está o maior denominador (a 2 ) na sua equação reduzida. Se esse for denominador de x 2, o eixo maior está sobre Ox, caso contrário, estará sobre Oy. Exemplo Dada a elipse 9x y 2 = 225, determinar a equação dessa elipse na forma reduzida, a medida dos semi-eixos, os focos e a excentricidade. Solução: Dividindo a equação por 225, tem-se que pode ser escrita na forma 9x y2 225 = 1, 25 + y2 9 = 1, que é a equação reduzida da elipse. Por outro lado, tem-se que x 2 { a 2 = 25 b 2 = 9 { a = 5 b = 3. Logo a medida do eixo maior é 2a = 10 e a medida do eixo menor é 2b = 6. Notemos que o eixo maior da elipse está sobre o eixo dos x, pois 25 é denominador de x 2. Como o eixo maior da elipse está sobre o eixo dos x, segue que os focos são da forma F 1 ( c, 0) e F 2 (c, 0), onde c satisfaz a 2 = b 2 + c 2. Logo, c 2 = a 2 b 2 = = 25 9 = 16. Logo, c = 4 e, portanto, F 1 ( 4, 0) e F 2 (4, 0). A excentricidade é dada por e = c a = 4 5. Exemplo Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação. Solução: Nota-se que o foco é ponto do eixo x e, portanto, a equação reduzida da elipse é da forma x 2 a + y2 2 b = 1, 2 69

70 onde a e b devem ser determinados. Sendo a medida do eixo maior igual a 8, segue que 2a = 8, o que resulta em a = 4. Por outro lado, sendo o centro da elipse (0, 0) e um dos focos (3, 0), segue que c = 3. Falta determinar b. Mas, de (2.25) tem-se que b 2 = a 2 c 2 = = 16 9 = 7. Portanto b = 7. Substituindo a 2 = 16 e b 2 = 7 na equação, temos que é a equação procurada. x y2 7 = 1, Outras Formas de Equação da Elipse Seja uma elipse de centro C(x c, y c ) (0, 0). Trataremos aqui, apenas os casos em que os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados. Suponhamos inicialmente que o eixo maior é paralelo ao eixo dos x. Utilizando uma conveniente translação de eixos, obtemos um novo sistema x O y em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo O x. Logo, sua equação reduzida é x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Para expressá-la em relação ao sistema original xoy, utilizamos as fórmulas de translação que substituindo na equação, temos x = x x c e y = y y c, (x x c ) 2 a 2 + (y y c) 2 b 2 = 1, que é a forma padrão para este caso. De modo análogo, se o eixo maior é paralelo ao eixo dos y, a equação padrão da elipse é dada por (x x c ) 2 + (y y c) 2 = 1. b 2 a 2 Em resumo, para uma elipse de centro C(x c, y c ), temos o seguinte: 1) Se o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo dos x, então: A elipse tem equação padrão (x x c) 2 a 2 + (y y c) 2 b 2 = 1; Os vértices são da forma A 1 (x c a, y c ), A 2 (x c + a, y c ), B 1 (x c, y c b) e B 2 (x c, y c + b) e os focos são da forma F 1 (x c c, y c ) e F 2 (x c + c, y c ). 2) Se o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo dos y, então: 70

71 A elipse tem equação padrão (x x c) 2 b 2 + (y y c) 2 a 2 = 1; Os vértices são da forma A 1 (x c, y c a), A 2 (x c, y c + a), B 1 (x c b, y c ) e B 2 (x c + b, y c ) e os focos são da forma F 1 (x c, y c c) e F 2 (x c, y c + c). Exemplo Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4, 2), excentricidade e = 1 e eixo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse. 2 Solução: Como o eixo maior é paralelo ao eixo dos y, a equação padrão da elipse é dada por (x x c ) 2 + (y y c) 2 = 1. b 2 a 2 Sendo o centro C(4, 2), segue que x c = 4 e y c = 2. Resta determinar a e b. Como o eixo menor tem medida 6, tem-se que 2b = 6, o que resulta em b = 3. Por outro lado, sendo e = c a = 1 2, segue que c = a/2. Substituindo b = 3 e c = a/2 na fórmula a 2 = b 2 + c 2, tem-se a 2 = (a/2) 2 = 9 + a2 4 a 2 = 12. Substituindo x c = 4, y c = 2, b 2 = 9 e a 2 = 12, segue que que é a equação padrão da elipse. (x 4) (y + 2)2 12 = 1, Observação: Podemos escrever a equação da elipse do exemplo anterior de uma outra forma, isto é, se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os termos, teremos 4(x 2 8x + 16) + 3(y 2 + 4y + 4) = 36. Ou equivalentemente, 4x 2 + 3y 2 32x + 12y + 40 = 0, que é uma equação geral desta elipse. Qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representado por uma equação geral que terá a forma ax 2 + by 2 + cx + dy + f = 0, com a e b de mesmo sinal. circunferência. Em particular, quando a = b, esta equação representa uma 71

72 Exemplo Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico da elipse de equação 4x 2 + 9y 2 8x 36y + 4 = 0. Solução: Escrevemos a equação na forma (4x 2 8x) + (9y 2 36y) = 4 4(x 2 2x) + 9(y 2 4y) = 4. Completando os quadrados dos termos entre parênteses, temos Donde segue que 4(x 2 2x + 1) + 9(y 2 4y + 4) = 4 + 4(1) + 9(4) = 36. 4(x 1) 2 + 9(y 2) 2 = 36. Dividindo ambos os membros por 36, segue que (x 1) (y 2)2 4 = 1, (2.26) que é a forma padrão da equação da elipse. Fazendo x = x 1 e y = y 2, segue que x y 2 4 = 1, que é a equação reduzida da elipse. Segue de (2.26) que o centro da elipse é C(1, 2). Observando a equação (2.26), segue que { a 2 = 9 b 2 = 4 { a = 3 b = 2. Como o centro é C(1, 2), os vértices da elipse são dados por A 1 (1 a, 2), A 2 (1 + a, 2), B 1 (1, 2 b) e B 2 (1, 2 + b) ou seja, A 1 ( 2, 2), A 2 (4, 2), B 1 (1, 0) e B 2 (1, 4). Como o centro é C(1, 2), os focos são dados por F 1 (1 c, 2) e F 2 (1 + c, 2). Mas, c 2 = a 2 b 2 = 9 4 = 5 c = 5. Logo, os focos são F 1 (1 5, 2) e F 2 (1 + 5, 2). A excentricidade é dada por e = c a =

73 Equações Paramétricas da Elípse Consideremos a elipse de equação x2 a + y2 = 1. Tracemos a circunferência de centro O e raio 2 b2 igual ao semi-eixo maior a da elipse. Seja P (x, y) um ponto qualquer desta elipse. A reta que passa por P e é paralela ao eixo dos y, intercepta a circunferência em A e o raio AO determina com o eixo dos x um ângulo θ. A partir daí, podemos escrever { x = a cos θ y = b senθ, 0 θ 2π, que são as equações paramétricas dessa elipse. Observações: 1) No caso da elipse ser do tipo x2 b + y2 = 1, suas equações paramétricas são da forma 2 a2 { x = b cos θ y = a senθ, 0 θ 2π, 2) Quando o centro da elipse for C(x c, y c ), teremos as equações paramétricas { x = xc + a cos θ y = y c + b senθ, quando o eixo maior é paralelo a Ox e { x = xc + b cos θ y = y c + a senθ, quando o eixo maior é paralelo a Oy. Exemplo Obter as equações paramétricas da elipse de equação 16x y 2 = 400. Solução: Escrevendo a equação na forma reduzida, tem-se 25 + y2 16 = 1. Portanto, a = 5 e b = 4. Logo as equações paramétricas são { x = 5 cos θ y = 4 senθ, 0 θ 2π, Exemplo x 2 Obter as equações paramétricas da elipse de equação 9x 2 + 4y 2 54x + 16y + 61 = 0. Solução: Escrevendo a equação na forma padrão, tem-se (x 3) 2 (y + 2)2 + = Logo, o centro da elipse é C(3, 2), a = 3 e b = 2. Além disso, o eixo maior é paralelo a Oy, portanto, as equações paramétricas são { x = cos θ y = senθ. 73

74 2.4.3 Hipérbole Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. Consideremos no plano dois pontos distintos F 1 e F 2, tal que a distância d(f 1, F 2 ) = 2c e um número real positivo a com 2a < 2c. Dizemos que 2a é a distância dada na definição de elípse e F 1 e F 2 são os dois pontos fixos denominados focos. Um ponto P pertence à hipérbole se, e somente se, d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a ou d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±2a (2.27) Faremos a seguir a construção de uma hipérbole. Consideremos no plano dois pontos quaisquer F 1 e F 2 com d(f 1, F 2 ) = 2c e seja C o ponto médio do segmento F 1 F 2. Tracemos uma circunferência de centro C e raio c. Tomemos um valor arbitrário a, com a < c e, marquemos sobre F 1 F 2, a partir de C, os pontos A 1 e A 2 tais que d(c, A 1 ) = d(c, A 2 ) = a. Por estes pontos tracemos cordas perpendiculares ao diâmetro F 1 F 2. As quatro extremidades destas cordas são os vértices de um retângulo MNP Q inscrito nesta circunferência. Tracemos as retas r e s que contém as diagonais do referido retângulo e, por fim, temos a hipérbole. Com base nesta figura temos os seguintes elementos da hipérbole: Focos: são os pontos F 1 e F 2 ; Distância focal: é a distância 2c entre os focos; Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F 2 ; Vértices: são os pontos A 1 e A 2 ; Eixo real ou transverso: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a; Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b e perpendicular a A 1 A 2 no seu ponto médio C; Excentricidade: é o número real e = c/a; Assíntotas: são as retas r e s; Abertura: é o ângulo θ entre as duas assíntotas; Observações: 1) As constantes a, b e c satisfazem c 2 = a 2 + b 2, (2.28) o que mostra que b < c e a < c. 2) Sendo c > a, tem-se e > 1. A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com a sua abertura. Quanto maior a excentricidade, maior será a abertura. 3) As assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos vértices. A hipérbole tangencia suas assíntotas no infinito. 4) Quando a = b, o retângulo MNP Q se transforma num quadrado e as assíntotas serão perpendiculares (θ = 90 o ). A hipérbole, neste caso é denominada hipérbole equilátera. 74

75 5) A hipérbole fica determinada quando se conhece o centro C e os valores a, b e c, pois a partir destes elementos constrói-se o retângulo M N P Q e, consequentemente, as assíntotas r e s, e dái, os dois ramos da hipérbole. Equações Reduzidas da Hipérbole Consideremos a hipérbole de centro na origem, isto é, C(0, 0). Suponhamos inicialmente que o eixo real está sobre o eixo dos x. Seja P (x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole de focos F 1 ( c, 0) e F 2 (c, 0). Da equação (2.27), segue que d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a. Em coordenadas, tem-se (x + c) 2 + (y 0) 2 (x c) 2 + (y 0) 2 = 2a. Depois de alguns cálculos, e usando o fato que c 2 = a 2 + b 2, tem-se que é a equação reduzida da hipérbole para este caso. x 2 a 2 y2 b 2 = 1 (2.29) No caso em que o eixo real está sobre o eixo dos y, segue de modo análogo que a equação reduzida da hipérbole é dada por y 2 a x2 2 b = 1. 2 Observação: Para a hipérbole de centro na origem C(0, 0), tem-se: 1) Se o eixo real da hipérbole está sobre o eixo dos x, então os focos são da forma F 1 ( c, 0) e F 2 (c, 0), os vértices são da forma A 1 ( a, 0) e A 2 (a, 0) e as assíntotas são da forma y = ± b a x. 2) Se o eixo real da hipérbole está sobre o eixo dos y, então os focos são da forma F 1 (0, c) e F 2 (0, c), os vértices são da forma A 1 (0, a) e F 2 (0, a) e as assíntotas são da forma y = ± a b x. Exemplo Em cada caso abaixo, determinar a equação reduzida da hipérbole, a medida dos semi-eixos, os focos, os vértices, a excentricidade, as assíntotas e esboce o gráfico. a) x 2 y 2 = 4 b) 4y 2 x 2 = 16. Solução: a) Dividindo a equação por 4, tem-se x 2 4 y2 4 = 1, que é a equação reduzida da hipérbole cujo eixo real é o eixo Ox. Além disso, tem-se que a 2 = b 2 = 4, o que implica que a = b = 2 são as medidas dos semi-eixos. Notemos que 75

76 a hipérbole é equilátera. Como o eixo real da hipérbole está sobre o eixo dos x e o centro é C(0, 0), segue que os focos são da forma F 1 ( c, 0) e F 2 (c, 0) e os vértices são da forma A 1 ( a, 0) e A 2 (a, 0), onde c satisfaz c 2 = a 2 + b 2, isto é, c 2 = = = 8. Logo, c = 8 = 2 2. Portanto, F 1 ( 2 2, 0), F 2 (2 2, 0), A 1 ( 2, 0) e A 2 (2, 0). A excentricidade é dada por e = c a = 2 2 = 2. 2 As assíntotas são do tipo y = ± b a x = ±2 2 x = ±x. b) Dividindo a equação por 16, tem-se y 2 4 x2 16 = 1, que é a equação reduzida da hipérbole cujo eixo real é o eixo Oy. Além disso, tem-se que { a 2 = 4 b 2 = 16 { a = 2 b = 4 que são as medidas dos semi-eixos. Como o eixo real da hipérbole está sobre o eixo dos y e o centro é C(0, 0), segue que os focos são da forma F 1 (0, c) e F 2 (0, c) e os vértices são da forma A 1 (0, a) e A 2 (0, a), onde c satisfaz c 2 = a 2 + b 2, isto é, c 2 = = = 20. Logo, c = 20 = 2 5. Portanto, F 1 (0, 2 5), F 2 (0, 2 2), A 1 (0, 2) e A 2 (0, 2). A excentricidade é dada por e = c a = 2 5 = 5. 2 As assíntotas são do tipo y = ± a b x = ±2 4 x = ±1 2 x. Exemplo Uma hipérbole tem focos em F 1 ( 5, 0) e F 2 (5, 0) e a medida do eixo real é 6. Determinar sua equação. Solução: Nota-se que os focos são pontos do eixo x e, portanto, a equação reduzida da hipérbole é da forma x 2 a y2 2 b = 1, 2 onde a e b devem ser determinados. Sendo a medida do eixo real igual a 6, segue que 2a = 6, o que resulta em a = 3. Por outro lado, sendo os focos F (±5, 0), segue que c = 5. Falta determinar b. Mas, de (2.28) tem-se que b 2 = c 2 a 2 = = 25 9 =

77 Portanto b = 4. Substituindo a 2 = 9 e b 2 = 16 na equação, temos que é a equação procurada. x 2 9 y2 16 = 1, Outras Formas de Equação da Hipérbole Seja uma hipérbole de centro C(x c, y c ) (0, 0). Trataremos aqui, apenas os casos em que os eixos da hipérbole são paralelos aos eixos coordenados. Suponhamos inicialmente que o eixo real é paralelo ao eixo dos x. Utilizando uma conveniente translação de eixos, obtemos um novo sistema x O y em relação ao qual a hipérbole tem centro na origem e eixo real sobre o eixo O x. Logo, sua equação reduzida é x 2 a 2 y 2 b 2 = 1. Para expressá-la em relação ao sistema original xoy, utilizamos as fórmulas de translação que substituindo na equação, temos x = x x c e y = y y c, (x x c ) 2 a 2 (y y c) 2 b 2 = 1, que é a forma padrão para este caso. De modo análogo, se o eixo real é paralelo ao eixo dos y, a equação padrão da hipérbole é dada por (y y c ) 2 (x x c) 2 = 1. a 2 b 2 Em resumo, para uma hipérbole de centro C(x c, y c ), temos o seguinte: 1) Se o eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo dos x, então: A hipérbole tem equação padrão (x x c) 2 a 2 (y y c) 2 b 2 = 1; Os vértices são da forma A 1 (x c a, y c ), A 2 (x c + a, y c ), B 1 (x c, y c b) e B 2 (x c, y c + b) e os focos são da forma F 1 (x c c, y c ) e F 2 (x c + c, y c ). 2) Se o eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo dos y, então: A hipérbole tem equação padrão (y y c) 2 a 2 (x x c) 2 b 2 = 1; Os vértices são da forma A 1 (x c, y c a), A 2 (x c, y c + a), B 1 (x c b, y c ) e B 2 (x c + b, y c ) e os focos são da forma F 1 (x c, y c c) e F 2 (x c, y c + c). 77

78 Exemplo Determinar uma equação da hipérbole de vértices A 1 (1, 2) e A 2 (5, 2), sabendo que F (6, 2) é um de seus focos. Solução: Como as ordenadas de A 1, A 2 e de F são as mesmas, tem-se que o eixo real é paralelo ao eixo dos x. Logo, a equação padrão é da hipérbole é da forma (x x c ) 2 a 2 (y y c) 2 b 2 = 1. Sendo o centro o ponto médio de A 1 A 2 segue que C(3, 2). Por outro lado, a = d(c, A 1 ) = 2 e c = d(c, F ) = 3. Da relação c 2 = a 2 + b 2, segue que b 2 = c 2 a 2 = = 9 4 = 5. Substituindo x c = 3, y c = 2, a 2 = 4 e b 2 = 5, tem-se que é a equação padrão da hipérbole. (x 3) 2 4 (y + 2)2 5 = 1, Observação: Podemos escrever a equação da hipérbole do exemplo anterior de uma outra forma, isto é, se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os termos, teremos 5(x 2 6x + 9) 4(y 2 + 4y + 4) = 20. Ou equivalentemente, 5x 2 4y 2 30x 16y + 9 = 0, que é uma equação geral desta hipérbole. Assim, qualquer hipérbole cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma com a e b de sinais contrários. ax 2 + by 2 + cx + dy + f = 0, Exemplo Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico da hipérbole de equação 9x 2 4y 2 54x + 8y = 0. Solução: Escrevemos a equação na forma (9x 2 54x) (4y 2 8y) = 113 9(x 2 6x) 4(y 2 2y) = 113. Completando os quadrados dos termos entre parênteses, temos 9(x 2 6x + 9) 4(y 2 2y + 1) = (9) 4(1) =

79 Donde segue que 9(x 3) 2 4(y 1) 2 = 36. Dividindo ambos os membros por 36, segue que (y 1) 2 9 (x 3)2 4 = 1, (2.30) que é a forma padrão da equação da hipérbole de eixo real paralelo ao eixo dos y. Fazendo x = x 3 e y = y 1, segue que y 2 9 x 2 4 = 1, que é a equação reduzida da hipérbole. Segue de (2.30) que o centro da hipérbole é C(3, 1). Como o centro é C(3, 1) e o eixo real da hipérbole está sobre o eixo dos y, segue que os focos são da forma F 1 (3, 1 c) e F 2 (3, 1 + c) e os vértices são da forma A 1 (3, 1 a) e F 2 (3, 1 + a). Observando a equação (2.30), segue que { a 2 = 9 b 2 = 4 { a = 3 b = 2. Usando o fato que c 2 = a 2 + b 2 = = 13, segue que c = 13. Logo, os focos são da forma F 1 (3, 1 13) e F 2 (3, ) e os vértices são da forma A 1 (3, 2) e F 2 (3, 4). A excentricidade é dada por e = c a = Equações Paramétricas da Hipérbole Consideremos a hipérbole de equação x2 a y2 = 1. Escrevendo esta equação como 2 b2 ( x ) 2 ( y ) 2 = 1, a b significa dizer que x a e y são números reais cuja diferença de seus quadrados é sempre igual b a 1. Se na identidade sen 2 θ + cos 2 θ = 1, dividirmos ambos os membros por cos 2 θ 0, obtemos sen 2 θ cos 2 θ + 1 = 1 cos 2 θ, ou seja, Como senθ cos θ = tan θ e 1 cos θ ( senθ ) 2 ( 1 ) 2, + 1 = cos θ cos θ = sec θ, segue que sec 2 θ tan 2 θ = 1. 79

80 Confrontando esta última equação com a equação da hipérbole, obtemos Donde concluimos que x x a = sec θ e y b = a sec θ = tan θ. y = b tanθ, 0 θ 2π θ π 2, θ 3π 2 são as equações paramétricas dessa hipérbole. Observações: 1) Quando θ percorre o intervalo ( π/2, π/2) será descrito o ramo direito da hipérbole (x a) e quando θ percorre o intervalo (π/2, 3π/2) será descrito o ramo esquerdo da hipérbole (x a). 2) No caso da hipérbole ser do tipo y2 a x2 = 1, suas equações paramétricas são da forma 2 b2 { x = b tan θ y = a sec θ, 0 θ 2π. 3) Quando o centro da hipérbole for C(x c, y c ), teremos as equações paramétricas { x = xc + a sec θ y = y c + b tan θ, quando o eixo real é paralelo a Ox e { x = xc + b tan θ y = y c + a sec θ, quando o eixo real é paralelo a Oy. Exemplo Obter equações paramétricas da hipérbole de equação 4x 2 9y 2 36 = 0. Solução: Escrevendo a equação na forma reduzida, tem-se x 2 9 y2 4 = 1. Notemos que a hipérbole tem centro C(0, 0) e seu eixo real é paralelo ao eixo Ox. Além disso, a = 3 e b = 2. Logo, { x = 3 sec θ são equações paramétricas desta hipérbole. y = 2 tan θ, Exemplo Obter equações paramétricas da hipérbole de equação x 2 3y 2 + 8x + 12y 13 = 0. 80

81 Solução: Escrevendo a equação na forma padrão, tem-se (x + 4) 2 9 (y 2)2 3 = 1. Logo, o centro da hipérbole é C( 4, 2), a = 3 e b = 3. Além disso, o eixo maior é paralelo a Ox, portanto, as equações paramétricas são { x = sec θ y = tan θ. 81

82 2.5 Quádricas A equação geral do 2 o grau nas três variáveis x, y e z ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q = 0 onde pelo menos um dos coeficeientes a, b, c, d, e ou f é diferente de zero, representa uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Superfícies de Revolução Superfície de Revolução é uma superfície gerada por uma curva plana, chamada geratriz, que gira de 360 o em torno de uma reta, chamada eixo, situada no plano da curva. Neste caso, o traço da superfície num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície de revolução é obtida através da equação da gertriz. Se a geratriz estiver contida num dos planos coordenados e girar de 360 o em torno de um dos eixos desse plano, a equação da superfície assim gerada será obtida da seguinte maneira: i) se a curva gira em torno do eixo x, substitui-se y ou z na equação da curva por y 2 + z 2 ; ii) se a curva gira em torno do eixo y, substitui-se x ou z na equação da curva por x 2 + z 2 ; iii) se a curva gira em torno do eixo z, substitui-se x ou zy na equação da curva por x 2 + y 2. A seguir estudaremos as superfícies quádricas denominadas elipsóides, hiperbolóides e parabolóides. Elipsóides Consideremos no plano yz a elipse de equações y 2 b + z2 = 1, x = 0. 2 c2 Ao girarmos essa elipse em torno do eixo Oy, obtemos o elipsóide de revolução cuja equação será obtida da equação da elipse, substituindo-se z por ± x 2 + z 2, donde resulta na equação x 2 c + y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 De maneira análoga, se obtém o elipsóide de revolução em torno de Oz. Neste caso, sua equação é obtida da equação da elipse, substituindo-se y por ± x 2 + y 2, obtendo assim, a equação b + y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 O elipsóide da maneira mais geral é dado pela equação x 2 x 2 a + y2 2 b + z2 = 1, (2.31) 2 c2 82

83 onde a, b e c são reais positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide. Observamos que os pontos (±a, 0, 0), (0, ±b, 0) e (0, 0, ±, c) são soluções da equação geral chamada forma canônica do elipsóide. Observações: 1) O traço do elipsóide no plano xy é a elipse O traço do elipsóide no plano xz é a elipse E o traço do elipsóide no plano yz é a elipse x 2 a + y2 = 1, z = 0. 2 b2 x 2 a + z2 = 1, y = 0. 2 c2 y 2 b + z2 = 1, x = 0. 2 c2 2) No caso de a = b = c, a equação geral do elipsóide toma a forma x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (2.32) e representa uma superfície esférica de centro C(0, 0, 0) e raio a, que também é uma superfície de revolução obtida pela revolução de uma circunferência em torno de um de seus diâmetros. 3) Se o centro do elipsóide é o ponto (h, k, t) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, temos a seguinte equação geral (x h) 2 (y k)2 (z t)2 + + = 1, (2.33) a 2 b 2 c 2 que é obtida por uma translação de eixos. 4) No caso de uma superfície esférica de centro C(h, k, t) e raio r, sua equação é (x h) 2 + (y k) 2 + (z t) 2 = r 2. (2.34) 5) Uma superfície esférica do tipo (2.34) poderá representar um ponto se r 2 = 0 e poderá ser um conjunto vazio no caso de r 2 < 0. Exemplo Determinar uma equação da superfície esférica de C e raio r em cada caso abaixo: a) C(0, 0, 0) e raio r = 4. b) C(2, 4, 1) e raio r = 3. 83

84 Solução: a) Segue da equação (2.32) que b) Segue da equação (2.34) que x 2 + y 2 + z 2 = 4 2 ou x 2 + y 2 + z 2 16 = 0. (x 2) 2 + (y 4) 2 + (z + 1) 2 = 3 2. Desenvolvendo os quadrados e agrupando os termos em comum, segue que x 2 + y 2 + z 2 4x 8y + 2z + 12 = 0. Exemplo Dada a equação da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 + 6x 4y 12 = 0, determinar o centro e o raio. Solução: Podemos escrever a equação na forma (x 2 + 6x) + (y 2 4y) + z 2 = 12. Completando os quadrados dos termos entre parênteses, segue que (x 2 + 6x + 9) + (y 2 4y + 4) + z 2 = = 25. Esta última equação pode ser escrita na forma da equação (2.34), isto é, (x + 3) 2 + (y 2) 2 + (z 0) 2 = 5 2. Logo o centro desta superfície esférica é C( 3, 2, 0) e seu raio 5. Exemplo Obter uma equação geral do plano π, tangente à superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 4x + 6y + 2z 35 = 0, no ponto P (4, 3, 2). Solução: Um plano π será tangente a uma superfície esférica de centro C e raio r se a distância d(c, π) = r e, sendo P o ponto de tangência, o vetor CP é um vetor normal ao plano π. Para determinar C, escrevemos a equação da superfície esférica (x 2) 2 + (y + 3) 2 + (z + 1) 2 = 49 e, portanto, o centro é C(2, 3, 1) e o raio é r = 7. Um vetor normal ao plano π é CP = (2, 6, 3). Logo, uma equação geral de π é dada por 2x + 6y + 3z + d = 0. Usando o fato que o ponto P (4, 3, 2) pertence ao plano, segue que 2(4) + 6(3) + 3(2) + d = 0 d = = 32. Portanto, uma equação geral de π é dada por 2x + 6y + 3z 32 = 0. 84

85 Hiperbolóides Os hiperbolóides de revolução serão obtidos por rotação de uma hipérbole em torno de um de seus eixos. Consideremos no plano yz a hipérbole de equações y 2 b z2 = 1, x = 0. (2.35) 2 c2 A rotação da hipérbole (2.35) em torno do eixo Oz resulta no hiperbolóide de uma folha cuja equação é obtida substituindo y, na equação da hipérbole dada, por ± x 2 + y 2 o que resulta em x 2 b + y2 2 b z2 2 c = 1. 2 A equação geral de um hiperbolóide de uma folha, para este caso, é dada por x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 (2.36) chamada forma canônica do hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são x 2 a y2 2 b + z2 2 c = 1 (2.37) 2 que representa o hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo Oy e x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 (2.38) que representa o hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo Ox. A equação (2.36) mostra que o traço do hiperbolóide no plano xy é a elipse x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, z = 0 e os traços nos planos xz e yz são as hipérboles x 2 a z2 2 c = 1, y = 0 e y 2 2 b z2 = 1, x = 0, 2 c2 respectivamente. Um traço no plano z = k é uma elipse que de tamanho à medida que o plano se afasta do plano xy. Os traços nos planos x = k e y = k são hipérboles. A rotação da hipérbole (2.35) em torno do eixo Oy resulta no hiperbolóide de duas folha cuja equação é obtida substituindo z, na equação da hipérbole dada, por ± x 2 + z 2 o que resulta em x2 c 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1. 85

86 A equação geral de um hiperbolóide de duas folhas, para este caso, é dada por x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 (2.39) chamada forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo Oy. As outras duas formas são x 2 a y2 2 b z2 2 c = 1 (2.40) 2 que representa o hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo Ox e x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 (2.41) que representa o hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo Oz. Observemos ainda que os traços desses hiperbolóides nos planos x = k, y = k ou z = k (k constante) resultam em hipérboles, elipses, um ponto ou um conjunto vazio. Parabolóides Consideremos no plano yz a parábola de equações z = y2, x = 0. (2.42) b2 A rotação dessa parábola em torno do eixo Oz resulta no parabolóide de revolução cuja equação será obtida substituindo y, na equação da parábola dada, por ± x 2 + y 2, o que resulta em z = x2 b + y2 2 b. 2 Um parabolóide mais geral, denominado parabolóide elíptico, é representado pela equação z = x2 a 2 + y2 b 2 (2.43) chamada forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são y = x2 a + z2 (2.44) 2 c 2 que representa o parabolóide elíptico ao longo do eixo Oy e x = y2 b 2 + z2 c 2 (2.45) que representa o parabolóide elíptico ao longo do eixo Ox. A equação (2.43) mostra que o traço do parabolóide no plano xy é a origem (0, 0, 0), os traços nos planos z = k > 0 são elipses, nos planos z = k < 0 são vazios e nos planos x = k e 86

87 y = k são parábolas. Por exemplo, considere o parabolóide elíptico de equação y = 4x 2 + z 2 ao longo do eixo Oy. Podemos escrever esta equação na forma y = x2 1/4 + z2 1. Notemos que o seu traço no plano y = 4 é a elipse x 2 + z 2 /4 = 1 e nos planos x = 0 e z = 0, tem-se as parábolas y = z 2, x = 0 e y = 4x 2, z = 0 respectivamente. A superfície dada por uma equação do tipo z = y2 b 2 x2 a 2 (2.46) é denominada parabolóide hiperbólico e esta equação é chamada forma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz. As outras formas são y = z2 c x2 e x = z2 2 a 2 c y2 2 b 2 que representam parabolóides hiperbólicos ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. A equação (2.46) mostra que os traços nos planos x = k e y = k são são parábolas, ao passo que em z = k são hipérboles que se degeneram em duas retas quando z = k = 0. Quando z = k > 0, os traços são hipérboles com eixo real paralelo a Oy e quando z = k < 0, os traços são hipérboles com eixo real paralelo a Oy. Na verdade, fazendo z = 0 em (2.46), segue que y 2 ( b x2 y 2 a = 0 2 b x y a)( b + x ) = 0 y a b x a = 0 ou y b + x a = 0 que representam as retas y = ± b a x. Superfícies Cônicas Consideremos no plano yz a reta g de equações z = my, x = 0. A rotação desta reta em torno do eixo Oz resulta na superfície cônica circular cuja equação será obtida da equação da reta g, substituindo-se y por ± x 2 + y 2, o que resulta em ( z = m ± ) x 2 + y 2 ou z 2 = m 2 (x 2 + y 2 ) que pode ser escrito como z 2 = x2 a 2 + y2 a 2. 87

88 A reta g é chamada geratriz da superfície e o ponto O, que separa as duas folhas, é o vértice da superfície. Uma superfície cônica mais geral, denominada superfície cônica elíptica é representada pela equação z 2 = x2 a + y2 (2.47) 2 b 2 chamada forma canônica da superfície cônica ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são y 2 = x2 a + y2 e x 2 = y2 2 b 2 b + z2 2 c 2 que representam superfícies cônicas elípticas ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. A equação (2.47) mostra que o traço da superfície no plano xy é o ponto O(0, 0, 0) e em z = k são elipses. Os traços nos planos x = k ou y = k são hipérboles que se degeneram em duas retas no caso de x = 0 ou y = 0. Exemplo: Se a reta z = 2y, x = 0, do plano yz é girada em torno de Oz, a superfície de revolução resultante é a superfície cônica circular de vértice na origem e eixo coincidente com Oz, e cuja equação se obtém de z = 2y substituindo-se y por ± x 2 + y 2, o que resulta em z = ±2 x 2 + y 2 ou z 2 = 4(x 2 + y 2 ). Observação: No caso dos hiperbolóides, parabolóides e superfícies cônicas de centro ou vértice no ponto (h, k, t) e eixo paralelo a um eixo coordenado, de forma análoga ao que foi feito para o elipsóide, as equações serão obtidas das correspondentes formas canônicas subsstituindo-se x por x h, y por y k e z por z t. Superfícies Cilíndricas Seja C uma curva plana e r uma reta fixa não-paralela ao plano de C. Chamamos de superfície cilíndrica, a superfície gerada por uma reta g que se move paralelamente à reta fixa r em contato permanentemente com a curva plana C. A reta g que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica. Esta superfície pode ser vista como um conjunto de infinitas retas paralelas que são as infinitas posições da geratriz. Para exemplificar, considere a parábola no plano xy dada por x 2 = 2y, z = 0. Como a geratriz é uma reta paralela ao eixo Oz, a superfície cilíndrica está ao longo deste eixo. Tomando um ponto da diretriz, por exemplo, A(2, 2, 0) todo ponto do tipo (2, 2, z), para z real qualquer, também satisfaz a equação da parábola, pois esta pode ser vista como x 2 = 2y + 0z. Em outras palavras, a superfície contém o ponto A e toda reta que passa 88

89 por A e paralela ao eixo Oz, isto é, o valor de z não influi no fato de um ponto P (x, y, z) pertencer ou não à superfície. Neste caso, a própria equação da diretriz é a equação da superfície cilíndrica, isto é, x 2 = 2y. Em geral, o gráfico em três dimensões de uma equação que não apresenta uma determinada variável, corresponde a uma superfície cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente. E, ainda, conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilíndrica é chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica. Portanto, a equação x z2 9 = 1 representa uma superfície cilíndrica elíptica (a diretriz é uma elipse) ao longo do eixo Oy. 89

90 Capítulo 3 Matrizes, Determinantes, Sistemas de Equações Lineares 3.1 Matrizes Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Representamos uma matriz que possui m linhas e n colunas da seguinte forma a 11 a a 1n a 21 a a 2n A m n =..... = [a ij] m n. a m1 a m2... a mn Observações: 1) Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou até mesmo outras matrizes; 2) O elemento a ij está na i-ésima linha e na j-ésima coluna. Por exemplo, o elemento a 23 se encontra na segunda linha e terceira coluna; 3) A notação A m n quer dizer que a matriz A possui m linhas e n colunas e dizemos que A é uma matriz de ordem m n; 4) Em geral, colocamos os elementos de uma matriz entre colchetes, entre parênteses ou entre duas barras. Por exemplo: [ ] 2 1, 0 4 ( ) 1 0 3, Usaremos com mais frequência a notação de colchetes. 5) Uma matriz com apenas uma linha é também chamada de vetor linha e com apenas uma coluna de vetor coluna. 90

91 Vejamos abaixo alguns exemplos de matrizes: A 3 3 = 3 0 1, A 1 3 = [ ], A 1 1 = [ 2 ] 2, A 3 1 = Podemos também construir matrizes que possuam uma relação entre seus elementos, a partir de uma lei de formação. Exemplo: Representar explicitamente a matriz quadrada de ordem 2, cujo elemento genérico é a ij = 2i 3j + 5. Solução: Temos a 11 = 2(1) 3(1) + 5 = = 4; a 12 = 2(1) 3(2) + 5 = = 1; a 21 = 2(2) 3(1) + 5 = = 6; a 22 = 2(2) 3(2) + 5 = = 3. [ ] 4 1 Logo a matriz procurada é A =. 6 3 Exemplo: Representar explicitamente a matriz A = (a ij ), com 1 i 3 e 1 j 3, tal { aij = 1, se i j que a ij = 0, se i = j Solução: Temos a 12 = a 13 = a 21 = a 23 = a 31 = a 32 = 1 e a 11 = a 22 = a 33 = 0. Logo a matriz A é dada por A = Exemplo: Representar explicitamente a matriz A = (a ij ), com 1 i 3 e 1 j 4, tal a ij = 2, se i < j que a ij = 3, se i = j a ij = 1, se i > j Solução: Temos a 12 = a 13 = a 14 = a 23 = a 24 = a 34 = 2, a 11 = a 22 = a 33 = 3 e a 21 = a 31 = a 32 = 1. Logo a matriz A é dada por A = Definição: Duas matrizes A m n = [a ij ] m n e B p q = [b ij ] p q são iguais se possuem o mesmo número de linhas (m=p), o mesmo número de colunas (n=q) e se todos os seus elementos correspondentes são iguais (a ij = b ij ). Exemplo 1: As matrizes são iguais. A 2 3 = [ ] log e B 2 3 = [ ] 9 sen 90 o

92 Exemplo 1: Dadas as matrizes [ ] x + y 2z + w A = x y z w determinar x,y,z e w de modo que se tenha A=B. Solução: Basta resolver os dois sistemas { x + y = 3 e x y = 1 e B = [ ] 3 5, 1 4 { 2z + w = 5 z w = 4 Resolvendo os dois sistemas, obtemos x = 2, y = 1, z = 3 e w = Tipos Especiais de Matrizes Vejamos alguns tipos especiais de matrizes. Matriz Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m=n). Por exemplo: A 3 3 = 3 0 1, B 2 2 = [ ] 1 5, C 1 1 = [ 5 ]. 4 2 Observações: 1) No caso de matrizes quadradas do tipo A m m, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem m. 2) A diagonal de uma matriz quadrada [a ij ] m m é formada pelos elementos a ij com i = j. Matriz Nula: é a matriz que possui todos os elementos iguais a zero, isto é, a ij = 0 para todo i e j. Por exemplo: A 3 3 = , B 2 2 = , C 1 1 = [ 0 ]. Matriz Linha: é a matriz que possui uma única linha (m=1). Por exemplo: A 1 4 = [ ], B 1 2 = [ 3 0 ], C 1 6 = [ ]. Matriz Coluna: é a matriz que possui uma única coluna (n=1). Por exemplo: 2 A 3 1 = 1, B 2 1 = 3 [ ] 3, C 1 6 = [ ]. 0 92

93 Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada [a ij ] m m onde a ij = 0 para todo i j, isto é, todos os elementos que não estão na diagonal são nulos. Por exemplo: [ ] A 3 3 = , B 2 2 =, C 4 4 = Matriz Identidade: é uma matriz quadrada [a ij ] m m onde a ij = 1 para i = j e a ij = 0 para i j, isto é, todos os elementos que estão na diagonal são iguais a 1 e os elementos que estão na diagonal são nulos. Por exemplo: A 3 3 = 0 1 0, B 2 2 = [ ] 1 0, C 4 4 = 0 1 Notemos que uma matriz identidade é uma matriz diagonal Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada [a ij ] m m onde a ij = 0 para i > j, isto é, todos os elementos que estão abaixo da diagonal são iguais a zero. Por exemplo: [ ] A 3 3 = a b , B 2 2 =, C 4 4 = 0 c Matriz Triangular Inferior: é uma matriz quadrada [a ij ] m m onde a ij = 0 para i < j, isto é, todos os elementos que estão acima da diagonal são iguais a zero. Por exemplo: [ ] A 3 3 = a , B 2 2 =, C 4 4 = b c Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada [a ij ] m m onde a ij = a ji, isto é, as linhas de uma matriz simétrica são iguais as colunas da matriz original e vice-versa. Por exemplo: a b c d [ ] A 3 3 = b e f g 2 3, B 2 2 = c f h i, C 4 4 = d g i j Notemos que a parte superior de uma matriz simétrica é uma reflexão da parte inferior em relação à sua diagonal. 93

94 3.3 Operações com Matrizes Adição e Subtração de Matrizes Definição: (Soma de matrizes) A soma de duas matrizes de mesma ordem A = [a ij ] m n e B = [b ij ] m n é uma matriz m n, que denotaremos por A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é, A + B = [a ij + b ij ] m n Exemplo: Se A = e B = , segue que A + B = = Definição: Dada a matriz A = (a ij ) com 1 i m e 1 j n, chamamos de matriz oposta de A a matriz B = (b ij ) com 1 i m e 1 j n tal que b ij = a ij para todo 1 i m e 1 j n. Escrevemos a matriz oposta de A como A. Exemplo: A matriz oposta de A = [ ] [ ] é a matriz A = Definição: (Subtração de matrizes) Dadas duas matrizes A e B m n, definimos a diferença entre A e B, e denotamos por A B, como a soma de A com a matriz oposta de B, ou seja, A B = A + ( B). Exemplo: Se A = [ ] e B = A B = A + ( B) = [ ] 3 2 então 2 3 [ ] [ ] 3 2 = 2 3 [ ] Propriedades da Adição de Matrizes P 1 ) A+B=B+A (comutativa); P 2 ) A+(B+C)=(A+B)+C (associativa); P 3 ) A + 0 m n = 0 m n + A = A, onde 0 m n é a matriz nula m n (elemento neutro); P 4 ) A + ( A) = ( A) + A = 0 m n (elemento oposto). A demonstração destas propriedades segue imediatamente das propriedades dos números reais. Exemplo: Sendo A = [ ] 1 3, B = 2 4 [ ] e C = [ ] 2 0, determinar a matriz X 1 5 tal que A + X = C B. Solução: Acrescentando pela esquerda a matriz oposta de A a ambos os membros da equação matricial, segue que A + (A + X) = A + (C B). Usando a segunda propriedade da 94

95 adição de matrizes, segue que ( A+A)+X = A+(C B). Usando a quarta propriedade, [ ] [ ] segue que X = A + (C B). Como A = e C B =, segue que [ ] 1 3 X = Multiplicação por Escalar [ ] 1 2 = 1 8 [ ] Seja A = [a ij ] m n uma matriz m n e k um número real. Definimos uma nova matriz ka dada por ka = [ka ij ] m n. [ ] [ ] Exemplo: Se k = 2 e A =, tem-se que ka = Propriedades P 1 ) k(a+b)=ka+kb; P 2 ) (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A; P 3 ) k 1 (k 2 A) = k 2 (k 1 A) = (k 1 k 2 )A; P 4 ) 0A = 0 m n ; P 5 ) 1.A = A; P 6 ) ( 1).A = A. A demonstração segue diretamente das propriedades dos números reais. [ ] 2 3 Exemplo: Dada a matriz A =, determine a matriz X tal que 3(X 2A) = 2X 8A. 1 4 Solução: Resolvendo a equação matricial, segue que 3X 6A = 2X 8A 3X 2X = 8A + 6A X = 2A X = Multiplicação de Matrizes Sejam as matrizes A = [a ij ] m n e B = [b ij ] n p. Definimos a matriz AB como sendo onde c uv = AB = [c uv ] m p, n a uk b kv = a u1 b 1v + a u2 b 2v a un b nv. k=1 [ ] Observações: 1) Só é possível efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Além disso, a matriz resultante terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda, ou seja, se A = [a ij ] m n e B = [b ij ] p q, então o produto AB é possível apenas se n = p e AB será uma matriz m q; 95

96 2) O elemento c ij da matriz AB é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B e somando estes produtos. Exemplo 1: Dadas as matrizes A = possível. Solução: Usando a definição, tem-se e B = 5 3 [ ] 1 1, determinar AB e BA se [ ] 2(1) + 1(0) 2( 1) + 1(4) 2 2 A.B = = 4(1) + 2(0) 4( 1) + 2(4) = (1) + 3(0) 5( 1) + 3(4) 5 8 Não é possível obter o produto BA, pois o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A. 1 0 [ ] Exemplo 2: Dadas as matrizes A = 5 4 e B =, determinar AB e BA, se possível. Solução: Notemos que é possível obter o produto AB, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B que é igual a 2. Usando a definição, tem-se 1 0 1(0) + 0(3) 1(6) + 0(8) 1(1) + 0( 2) [ ] A.B = (0) + 3(3) 2(6) + 3(8) 2(1) + 3( 2) = (0) + 4(3) 5(6) + 4(8) 5(1) + 4( 2) = (0) + 1(3) 0(6) + 1(8) 0(1) + 1( 2) Não é possível obter o produto BA, pois o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A. Propriedades da Multiplicação de Matrizes P 1 ) Em geral AB BA (pode ser que AB ou BA não esteja nem definido); Desde que seja possível as operações abaixo, tem-se: P 2 ) AI = IA = A; P 3 ) A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC; P 4 ) (AB)C = A(BC); P 5 ) 0 m n A n p = 0 m p e A m n 0 n p = 0 m p ; P 6 ) (ka)b = A(kB) = k(ab). Observações: 1) A propriedade P 2 ) justifica o nome da matriz identidade; 2) As propriedades P 3 ) e P 4 ) são, respectivamente, a distributiva à esquerda e a direita da multiplicação em relação a soma; 96

97 3) Se B=I, segue de P 2 ) que AB=BA. Também teremos AB=BA se A=B Exemplo 3: Dadas as matrizes A = e B = 2 4 6, mostre que AB BA. Solução: Usando a definição, tem-se e A.B = = = B.A = = Logo AB BA. Exemplo 4: Determinar os valores de x, y, z e w tais que [ ] x y. z w Solução: Temos a igualdade de matrizes Portanto, devemos resolver o sistema [ ] 2 3 = 3 4 [ ] 2x + 3y 3x + 4y = 2z + 3w 3z + 4w [ ] [ ] { 2x + 3y = 1 3x + 4y = 0 e { 2z + 3w = 0 3z + 4w = 1. Donde segue que x = 4, y = 3, z = 3 e [ w = 2. ] 1 2 Exemplo 5: Dadas as matrizes A = e B = 1 3 para determinar: a) (A + B) 2 b) A 2 + 2(AB) + B 2. Solução: [ ] [ ] a) (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = = b) A 2 + 2(AB) + B 2 = AA + 2(AB) + BB [ ] [ ] [ ] [ ] [ = [ ] [ ] [ ] [ ] = = [ ] [ ] 1 1, use o fato que A 2 = A.A 1 0 ] [ ]

98 Observação: Notemos do exemplo anterior que (A + B) 2 A 2 + 2(AB) + B 2. [ ] Exemplo 6: Suponhamos que a matriz forneça as quantidades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II a) Se ingerimos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina? b) Se os preços por unidade de vitaminas A,B e C são, respectivamente, 1,50, 3,00 e 5,00 reais, quanto pagaríamos pela porção de alimentos indicada no item a)? Solução: a) Podemos representar o consumo dos alimentos I e II pela matriz consumo [ 5 2 ]. A quantidade de cada vitamina ingerida é obtida pela matriz produto : [ ] [ ] = [ ] Portanto, são ingeridas 30 unidades da vitamina A, 15 da B e 2 da C. b) O preço pela porção é obtido pela matriz produto : 1, 5 [ ] = [ 100 ]. 5 Portanto, pagaríamos 100 reais pela porção de alimentos encontrado em a). Matriz Transposta Dada uma matriz A = [a ij ] m n, obtemos uma nova matriz A T = [b ij ] n m, cujas linhas são as colunas de A, isto é, b ij = a ji. A matriz A T é denominada matriz transposta de A. 2 1 [ ] Exemplo: Dadas as matrizes A = , B = e C = [ 1 2 ], determinar as matrizes transpostas A T, B T e C T. Solução: Temos A T = [ ], B T = [ ] 1 3 = B e C T = 3 2 Propriedades Sejam A e B matrizes e k um número real. Tem-se as seguintes propriedades: P 1 ) A é uma matriz simétrica se, e somente se, A = A T ; P 2 ) (A T ) T = A; P 3 ) (A + B) T = A T + B T ; P 4 ) (ka) T = ka T ; P 5 ) (AB) T = B T A T. 98 [ ] 1. 2

99 [ ] 2 1 Exemplo: Dadas as matrizes A = e B = 1 4 a) (A + B) T b) (AB) T c) A T B T d) B T A T. Solução: [ ] T [ ] a) (A + B) T = = [ ] T [ ] b) (AB) T = = [ ] [ ] [ ] c) A T B T = = [ ] [ ] [ ] d) B T A T = = [ ] 1 3, determinar: Operações Elementares e Sistemas Lineares Operações Elementares e Forma Escada A partir de operações elementares sobre as linhas de uma matriz ampliada de uma sistema dado, podemos determinar a solução desse sistema. São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz. I) Permuta da i-ésima e j-ésima linhas (L i L j ). Exemplo: L 2 L II) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (L i kl i ). Exemplo: L 2 4L III) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (L i L i + kl j ). Exemplo: L 3 L 3 + 2L Definição: Se A e B são matrizes m n, dizemos que B é linha equivalente a A, se B for obtida a partir de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas 99

100 de A. Escrevemos A B ou A B Exemplo: Verificar que a matriz B = 0 1 é linha equivalente à matriz A = Solução: Temos A = L2 L2 4L1 L3 L3+3L L3 L3 4L = B. 0 0 L 2 L 2 Uma matriz m n é linha reduzida à forma escada se: 1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é igual a 1; 2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os seus outros elementos iguais a zero; 3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo); 4) Se as linhas 1, 2,..., r são as linhas não nulas e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k i, então k 1 < k 2 <... < k r. Observação: A condição 4) impõem a forma escada à matriz, isto é, o número de zeros precedentes ao primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver. Exemplos: Dadas as matrizes A = , B = , C = D = , E = identificar quais possuem forma escada e quais não possuem. Solução: A matriz A é forma escada. A matriz B não é forma escada, pois a condição 2) não é satisfeita. A matriz C não é forma escada, pois as condições 1) e 4) não são satisfeitas. A matriz D não é forma escada, pois as condições 1) e 3) não são satisfeitas. A matriz E é forma escada. 100

101 Teorema: Toda matriz A m n é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma escada. Posto e Nulidade de uma Matriz Dada uma matriz A m n, seja B m n a matriz linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número n p Exemplo: Determinar o posto e a nulidade da matriz A = Solução: Primeiro escreverems A na sua forma escada. Temos L2 L2+L1, L3 L3 L / / /8 L1 L1 2L2, L3 L3+4L2 L1 L1+3L3, L2 L2 2L3 Portanto, a matriz A possui posto p = 3 e a nulidade é 4 3 = 1. L L / / / /8 L L Exemplo: Determinar o posto e a nulidade da matriz A = Solução: Primeiro escreveremos a matriz A na sua forma escada. Temos L 1 L / Logo o posto de A é 2 e a nulidade é 1. L 2 L 2 2L 1, L 3 L 3 L 1, L 4 L 4 4L 1 L 1 L 1 4L 2, L 3 L 3 +9L / / L L 2 101

102 Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (3.1).. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m com a ij, 1 i m e 1 j n, números reais (ou complexos). Uma solução do sistema (3.1) é uma n-upla de números (x 1, x 2,..., x n ) que satisfaça simultaneamente as m equações de (3.1). Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas é solução também do outro. Podemos escrever o sistema (3.1) na forma matricial a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n.... x 2. = b 2. a m1 a m2... a mn x n b n ou na forma A.X = B, onde a 11 a a 1n b 1 x 1 a 21 a a 2n A =..., X = b 2. e B = x 2.. a m1 a m2... a mn b n x n Dizemos que A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B é a matriz dos termos independentes. Podemos associar uma outra matriz ao sistema (3.1) denominada matriz ampliada do sistema que é dada por a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b n Observação: Cada linha da matriz ampliada é uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. Exemplo: Escrever o sistema x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 4 x 1 3x 2 2x 3 = 5 102

103 na forma matricial e determinar sua matriz amplida. Solução: Escrevemos o sistema na forma matricial x x 2 = x 3 5 A matriz ampliada é Soluções de um Sistema de Equações Lineares As operações com linhas de um sistema produzem outro sistema equivalente ao inicial. Em termos de matrizes, tem-se: Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes. Para resolver um sistema inicial, reduziremos a matriz ampliada do sistema inicial até chegarmos numa forma que torne o sistema final equivalente mais fácil de ser resolvido. Isto é feito escrevendo a matriz ampliada do sistema em sua forma escada. Exemplo: Resolver o sistema x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 4 x 1 3x 2 2x 3 = Solução: A matriz ampliada do sistema é A = Fazendo as operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada acima, segue que L2 L2 2L1, L3 L3 L /3 2/ /3 11/ /3 2/ L1 L1 4L2, L3 L3+7L2 1 L 1 L 1 3 L 3, L 2 L 2 3 L L L /3 11/ /3 2/ /3 2/ L 3 3L 3

104 Portanto, temos o seguinte sistema equivalente: x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 3 0x 1 + x 2 + 0x 3 = 2 0x 1 + 0x 2 + x 3 = 2 Donde segue que x 1 = 3, x 2 = 2 e x 3 = 2 é a solução do sistema. A forma da matriz linha reduzida que deixa o sistema mais fácil de se resolver é a chamada forma escada que vimos acima. Um sistema com m equações e n incógnitas pode ter: 1 - Uma única solução: neste caso dizemos que o sistema é possível (compatível) e determinado; 2 - Infinitas soluções: neste caso dizemos que o sistema é possível (compatível) e indeterminado; 3 - Nenhuma solução: neste caso dizemos que o sistema é impossível (incompatível). Teorema: Um sistema com m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. Mais ainda, se as duas matrizes possuem posto igual a p e se n é o número de colunas da matriz dos coeficientes, segue que o sistema terá uma única solução se p = n e terá infinitas soluções se p < n. No caso de p < n, podemos escolher n p incógnitas e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. Dizemos que n p é o grau de liberdade do sistema. Exemplo: Em cada caso abaixo, determinar o número de linhas (m) e o número de colunas (n) da matriz dos coeficientes, o posto da matriz dos coeficientes (Pc), o posto da matriz ampliada (Pa), e se o sistema for possível, determinar seu grau de liberdade [ ] a) b) c) d) Solução: a) Temos que m = n = 3 e P c = P a = 3. Logo o grau de liberdade do sistema é zero e a solução é única e dada por x = 3, y = 2 e z = 2. b) Temos que m = 2, n = 3 e P c = P a = 2. Neste caso, o grau de liberdade do sistema é 3 2 = 1. Portanto, teremos infinitas soluções da forma x = 7z 10 e y = 5z 6. Desta forma, para cada z dado, tem-se uma solução diferente. c) Temos que m = n = 3, P c = 2 e P a = 3. Como P c P a, segue que o sistema é impossível e, portanto, não possui solução. d) Temos que 104.

105 m = 3, n = 4 e P c = P a = 2. Neste caso, o grau de liberdade do sistema é 4 2 = 2. Portanto, teremos infinitas soluções da forma x = 10z + 2w 10 e y = 7z w + 4. Desta forma, podemos atribuir quaisquer valores para z e w, obtendo assim, soluções diferentes. Exemplo: Resolver os seguintes sistemas x + 3y + z = 0 { x + 2y + z + w = 0 a) 2x + 6y + 2z = 0 b) x + 3y z + 2w = 0 x 3y z = 0 Solução: a) A matriz ampliada associada ao sistema é a) { x + 2y + z + w = 1 x + 3y z + 2w = 3. Colocando na forma escada, obtemos Temos que m = n = 3 e P c = P a = 1. Logo o grau de liberdade é 2 e as infinitas soluções são da forma x = 3y z. Fazendo y = a e z = b, segue que as soluções são da forma x = 3a b, y = a, z = b. Na forma matricial x 3 1 y = a 1 + b 0. z 0 1 Notemos que se a = 1 e b = 0, tem-se ( 3, 1, 0) como uma solução do sistema. Por outro lado, fazendo a = 0 e b = 1, tem-se ( 1, 0, 1) como uma outra solução do sistema. Na verdade, essas duas soluções são as soluções bases do sistema e todas as demais soluções são escritas em função destas. b) A matriz ampliada associada ao sistema é Colocando na forma escada, obtemos [ ] [ ]

106 Temos que m = 2, n = 4, P c = P a = 2. Logo o grau de liberdade é 2 e as infinitas soluções são da forma x = 5z + w e y = 2z w. Fazendo z = a e w = b, segue que as soluções são da forma x = 5a + b, y = 2a b, z = a, w = b. Na forma matricial, temos x 5 1 y z = a t b Notemos que ( 5, 2, 1, 0) e (1, 1, 0, 1) são as soluções bases do sistema. c) A matriz ampliada associada ao sistema é [ ] Colocando na forma escada, obtemos [ ] Temos que m = 2, n = 4, P c = P a = 2. Logo o grau de liberdade é 2 e as infinitas soluções são da forma x = 5z + w + 3 e y = 2z w + 2. Fazendo z = a e w = b, segue que as soluções são da forma x = 5a + b + 3, y = 2a b + 2, z = a, w = b. Na forma matricial, temos x y z = a w b Fazendo a = 1 e b = 0, tem-se que ( 2, 4, 1, 0) é uma solução do sistema. Por outro lado, fazendo a = 0 e b = 1, tem-se que (4, 1, 0, 1) é uma outra solução do sistema. 3.5 Determinantes Dada uma matriz quadrada A = (a ij ), o determinante de A é um número associado à matriz A que depende da ordem dessa matriz. Esvrevemos det(a); A ; det[a ij ]. As definições de determinantes de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3, respectivamente, são dadas abaixo det[a 11 ] = a 11 [ ] a11 a det 12 = a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a

107 a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ). a 31 a 32 a 33 Exemplo: Calcular o determinante das seguintes matrizes: [ ] a) A = [5] b) B = c) C = Solução: a) det A = 5; b) det B = = 3(5) ( 2)(2) = = 19; c) det C = = 2(0 6) 3(3 + 8) + 5( 9 0) = = Propriedades do determinante P 1 ) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz A são nulos, então det A = 0. Exemplo, det = P 2 ) det A = det A T. Exemplo, det = det P 3 ) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante, então o determinante fica multiplicado por esta constante. Exemplo, det = 5 e det = 3(5) = P 4 ) Se trocarmos a posição de duas linhas o determinante muda de sinal. Exemplo, det = 5 e det = P 5 ) Se uma matriz A possui duas linhas (ou colunas) iguais, então det A = 0. Exemplo, det =

108 P 6 ) Se somarmos a uma linha de uma matriz outra linha multiplicada por uma constante, o determinante não se altera. Exemplo, det = 5 e det = Trocamos L 3 por L 3 + 2L 1. P 7 ) det(a.b) = det A. det B. Desenvolvimento de Laplace Da definição de determinante de uma matriz 3 3, segue que a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 a = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32. a 31 a 32 a 33 Portanto os determinantes de matrizes 3 3 podem ser expressos como determinantes de submatrizes 2 2. Ou seja, det A = a 11 A 11 a 12 A 12 + a 13 A 13 onde A ij é a submatriz da matriz inicial, onde a i-ésima linha e j-ésima coluna foram retiradas. Além disso, se chamarmos ij = ( 1) i+j A ij obtemos a expressão det A = a a a Esta propriedade continua válida para matrizes de ordem n > 3. Assim, podemos expressar n n det A n n = a i1 i1 + a i2 i a in in = a ij ij = a ij ( 1) i+j A ij Chamamos ij de cofator do elemento a ij da matriz A = [a ij ]. Exemplo: Use o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes: a) A = b) B = c) C = Solução: a) Usando o desenvolvimento de Laplace com a segunda linha da matriz A, segue que det A = 2( 1) ( 1) ( 1)( 1) = 2( 1)+1(8)+1( 5) = j=1 j=1

109 b) Usando o desenvolvimento de Laplace com a terceira linha da matriz B, segue que det B = 2( 1) = 2(5) = 10. c) Usando o desenvolvimento de Laplace com a quarta coluna da matriz C, segue que det C = 4( 1) ( 1) = 4(78) + 1(60) = = Matriz Adjunta e Matriz Inversa Dada uma matriz A, podemos formar uma nova matriz a partir dos cofatores de A, chamada matriz dos cofatores de A, a qual denotamos por A = [ ij ]. Chamamos de matriz adjunta de uma matriz A, à matriz transposta da matriz dos cofatores de A, isto é, adja = A T Exemplo: Determinar a matriz adjunta da matriz A = Solução: A matriz dos cofatores de A é dada por A = , onde 11 = ( 1) = 1(5 24) = = ( 1) = 1( 15 4) = = ( 1) = 1( 18 1) = = ( 1) = 1(5 0) = 5 22 = ( 1) = 1(10 0) = = ( 1) = 1(12 1) = = ( 1) = 1(4 0) = 4 32 = ( 1) = 1(8 0) = 8 33 = ( 1) = 1(2 + 3) =

110 Logo, a matriz dos cofatores é dada por A = Portanto, a matriz adjunta de A é dada por adja = A T = Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de matriz inversa de A, a uma matriz B tal que A.B = B.A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Denotamos a inversa de A por A 1. Exemplo: [ Determinar ] a inversa da [ matriz ] dada em cada caso a) A = b) A = Solução: a) Procuramos uma matriz quadrada B de ordem 2 tal que A.B = I 2. Considerando [ ] a b B =, segue que c d [ ] [ ] [ ] 2 3 a b 1 0. =. 1 4 c d 0 1 Donde segue que Portanto, temos os sistemas { 2a + 3c = 1 a + 4c = 0 [ ] 2a + 3c 2b + 3d = a + 4c b + 4d e [ ] { 2b + 3d = 0 b + 4d = 1 Resolvendo os sistemas, encontramos a = 4, b = 3, c = 1 e d = 2. Logo, a matriz inversa de A é [ A 1 = B = 1 5 b) De modo análogo, encontramos [ 2 1 A 1 = B = Observações: 1) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis, então A.B é 110 ]. ].

111 inversível e (A.B) 1 = B 1.A 1 ; 2) Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que A.B = I, então A é inversível e A 1 = B; [ ] 0 2 3) Nem toda matriz possui inversa. Por exemplo, a matriz A = não possui inversa. 0 1 Teorema: Uma matriz A possui inversa se, e somente se, det A 0. Além disso, A 1 = 1 det A (adja). [ ] 6 2 Exemplo: Calcular a inversa da matriz A = Solução: Como det A = 2 0, segue que A possui inversa que é dada por A 1 = 1 2 (adja). A matriz dos cofatores e a matriz adjunta são: [ ] 4 11 A = e adja = 2 6 Logo a matriz inversa é dada por A 1 = 1 2 [ ] 4 2 = 11 6 [ ] [ 4 ] Observação: Outra forma de encontrar a inversa de uma matriz A é colocando na forma escada uma nova matriz formada por A e pela matriz identidade da mesma ordem de A. A inversa de A será a matriz que aparece à frente da matriz identidade na forma escada. Se a forma escada não for a identidade, a matriz A não possui inversa. [ ] 6 2 Exemplo: Calcular a inversa da matriz A = se existir Solução: Consideramos a matriz formada por A e pela matriz I 2, isto é, [ ] A 2 = Agora colocaremos a matriz A 2 na forma escada. As operações usadas estão colocadas ao lado de cada matriz a ser operada. Temos [ ] [ ] [ ] Logo a matriz inversa é L L 1 [ ] L 1 L L 2 A 1 = L 2 L 2 11L 1 [ ] [ ] L 2 3L 2

112 Exemplo: Calcular a inversa da matriz A = se existir Solução: Consideramos a matriz formada por A e pela matriz I 4, isto é, A 4 = Depois de algumas operações elementares sobre as linhas da matriz A 4, obtemos a forma escada A 4 = Logo a matriz inversa de A é A = Exemplo: Calcular a inversa da matriz A = se existir Solução: Consideramos a matriz formada por A e pela matriz I 3, isto é, A 3 = Depois de algumas operações elementares sobre as linhas da matriz A 3, obtemos a forma escada A 3 = Como a forma escada não é a identidade, a matriz A não possui inversa. 112

113 3.7 Regra de Cramer Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n. = b n com a ij, 1 i n e 1 j n, números reais (ou complexos). Podemos escrever o sistema acima na forma matricial a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n.... x 2. = b 2. a n1 a n2... a nn ou ainda, na forma onde A.X = B, a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n A =..., X = x 2. e B = b 2.. a n1 a n2... a nn x n b n Regra de Cramer: Se det A 0, então a solução do sistema é dado por b 1 a a 1n a 11 b 1... a 1n a 11 a b 1 b 2 a a 2n a 21 b 2... a 2n a 21 a b b n a n2... a nn a n1 b n... a nn a n1 a n2... b n x 1 =, x 2 =,..., x n =. det A det A det A Notemos que o determinante que aparece no numerador é obtido substituindo a i-ésima coluna da matriz dos coeficientes pela coluna dos termos independente e no denominador temos o determinante da matriz dos coeficientes (por isso det A 0). Exemplo: Use a regra de Cramer para determinar uma solução do sistema x n 2x 3y + 7z = 1 x + 3z = 5 2y z = 0 b n 113

114 Solução: A matriz dos coeficientes é dada por A = Como det A = 1 0, podemos usar a Regra de Cramer. Neste caso, teremos x = = 49; y = = 9 e z = =

115 Capítulo 4 Espaços Vetoriais; Transformações Lineares; Autovalores e Autovetores 4.1 Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais Espaços Vetoriais Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações elementares: soma, V V V, e multiplicação por escalar, R V V, tais que, para quaisquer u, v, w V e a, b R, tem-se as seguintes propriedades: i) (u + v) + w = u + (v + w); ii) u + v = v + u; iii) existe 0 V tal que 0 + u = u + 0 = u (0 é o elemento neutro da soma); iv) existe u V tal que u + ( u) = 0 (-u é o elemento oposto); v) a(u + v) = au + av; vi) (a + b)u = au + bu; vii) (ab)u = a(bu) = b(au); viii) 1.u = u.1 = u (1 é o elemento neutro do produto); Se ao invés de termos números reais como escalares tivermos números complexos, dizemos que V é um espaço vetorial complexo. No que segue, chamaremos de vetor todo elemento de um espaço vetorial. Exemplo 1: O conjunto dos vetores no espaço V = R 3 = {(x 1, x 2, x 3 ); x i R} é um espaço vetorial real. De fato, como já vimos no estudo de vetores, estes satisfazem as propriedades de (i) a (viii). Neste caso, para u = (x 1, x 2, x 3 ) e v = (y 1, y 2, y 3 ), vetores em R 3 e a R, tem-se as 115

116 operações de soma e multiplicação por escalar dadas por u + v = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) e au = (ax 1, ax 2, ax 3 ). Exemplo 2: O conjunto formado pelas n-uplas V = R n = {(x 1, x 2,..., x n ); x i R} é um espaço vetorial real. De fato, as propriedades que são válidas para as ternas em R 3 também são válidas para as n-uplas em R n. Neste caso, para u = (x 1, x 2,..., x n ) e v = (y 1, y 2,..., y n ), vetores em R 3 e a R, tem-se as operações de soma e multiplicação por escalar dadas por u + v = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) e au = (ax 1, ax 2,..., ax n ). Exemplo 3: O conjunto V = P n dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n é um espaço vetorial real. De fato, as operações são somas de polinômios e multiplicação de polinômios por escalares, portanto, satisfazem as propriedades de (i) a (viii). Neste caso, se P n = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x n e Q n = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b n x n com a i, b i R, então as operações de soma e multiplicação por escalar são dadas por P n + Q n = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x 1 + (a 2 + b 2 )x (a n + b n )x n e ap n = (aa 0 ) + (aa 1 )x 1 + (aa 2 )x (aa n )x n. Exemplo 4: O conjunto V = M(m, n) das matrizes reais m n, com a soma e produto por escalar usuais, é um espaço vetorial real. De fato, as operações são somas de matrizes e multiplicação de matrizes por escalares, portanto, satisfazem as propriedades de (i) a (viii). Neste caso, se A mn = [a ij ] e B mn = [b ij ] com a ij, b ij R, então as operações de soma e multiplicação por escalar são dadas por A mn + B mn = [a ij + b ij ] e a(a mn ) = [aa ij ] para todo 1 i m e 1 j n. Notemos que V = M(1, n) = {[a 11 a a 1n ]; a 1i R} pode ser identificado com o R n. Por outro lado, { [ ] a11 a V = M(2, 2) = 12 a 21 a ; a ij R }.

117 Exemplo 5: O conjunto V = M(2, 2) das matrizes 2 2 cujos elementos são números complexos, é um espaço vetorial complexo. As operações são adição de matrizes e multiplicação destas por números complexos. Neste caso, se [ ] a11 + ib A 22 = 11 a 12 + ib 12 a 21 + ib 21 a 22 + ib 22 [ ] c11 + id e B 22 = 11 c 12 + id 12 c 21 + id 21 c 22 + id 22 onde a ij, b ij, c ij, d ij R, então as operações de soma e multiplicação por escalar são dadas por [ ] (a11 + c A 22 + B 22 = 11 ) + i(b 11 + d 11 ) (a 12 + c 12 ) + i(b 12 + d 12 ) e (a 21 + c 21 ) + i(b 21 + d 21 ) (a 22 + c 22 ) + i(b 22 + d 2 ) [ ] a11 + ib (α + iβ)(a 22 ) = (α + iβ) 11 a 12 + ib 12 a 21 + ib 21 a 22 + ib 22 [ ] (a11 α b = 11 β) + i(b 11 α + a 11 β) (a 12 α b 12 β) + i(b 12 α + a 12 β) (a 21 α b 21 β) + i(b 21 α + a 21 β) (a 22 α b 22 β) + i(b 22 α + a 22 β). Subespaços Vetoriais Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se: i) Para quaisquer u, v W, tivermos u + v W ; ii) Para quaisquer a R e u W, tivermos au W. Observações: 1) As condições da definição acima nos garante que ao operarmos em W, não obteremos um vetor fora de W. Portanto, W é também um espaço vetorial, pois as operações ficam ai bem definidas e, além disso, não precisamos verificar as propriedades de espaço vetorial, pois elas são válidas em V que contém W. 2) Todo subespaço de um espaço vetorial contém o vetor nulo. De fato, se W é um subespaço de V, então a condição (ii) é válida para a = 0 R e, portanto, 0 W. 3) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços vetoriais (que são chamados subespaços triviais), o conjunto formado apenas pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial. Exemplo 1: Se V = R 2 e W V é uma reta passando pela origem, então W é um subespaço de V. Notemos que se somarmos dois vetores de W, obteremos outro vetor em W e se multiplicarmos um vetor de W por um número, o vetor resultante também estará em W. 117

118 Em geral, os subespaços de R 2 são a origem, as retas que passam pela origem e o próprio R 2. Exemplo 2: Se V = R 3 e W V é um plano passando pela origem, então W é um subespaço de V. Notemos que a soma de quaisquer dois vetores de W é um vetor de W e a multiplicação de um vetor de W por um escalar é também um vetor de W. Em geral, os subespaços de R 3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem e o próprio R 3. Exemplo 3: Se V = R 5 e W = {(0, x 2, x 3,..., x 5 ); x i R} V, então W é um subespaço de V. Exemplo 4: Se V = M(m, n) e W V o conjunto das matrizes triangulares superiores, então W é um subespaço de V, pois a soma de matrizes triangulares superiores e a multiplicação de um escalar por uma matriz triangular superior, são matrizes triangulares superiores. Exemplo 5: Se V = M(n, 1) e W V o conjunto solução de um sistema linear homogêneo de n incógnitas, então W é um subespaço de V. Exemplo 6: Se V = R 2 e W V é uma reta que não passa pela origem, então W não é um subespaço de V. Isto acontece porque existem vetores u, v W tais que u + v não pertence a W. E ainda, o vetor nulo não pertence a W. Em geral, para mostrarmos que W V não é um subespaço vetorial de V, basta mostrar que o vetor nulo não pertence a W. Exemplo 7: Se V = R 2 e W = {(x, x 2 ); x R} V, então W não é um subespaço vetorial de V. De fato, notemos que os vetores u = (1, 1) e v = (2, 4) pertencem a W, no entanto, o vetor u + v = (3, 5) não pertence a W. Exemplo 8: Se V = M(m, n) e W V é o subconjunto de todas as matrizes em que a 11 < 0, então W não é um subespaço vetorial de V. De fato, a condição (i) é satisfeita, no entanto, a condição (ii) não é satisfeita, pois multiplicando qualquer submatriz de W por um número a < 0, podemos ter a 11 > 0 na submatriz resultante e esta não pertencerá a W. Teorema: (Intersecção de subespaços) Sejam W 1 e W 2 subespaços de um espaço vetorial V. Então a intersecção W 1 W 2 é um subespaço de V. Prova: (Exercício) Exemplo 9: Se V = R 3, então W 1 W 2 é a reta de intersecção entre os planos W 1 W 2. e 118

119 Exemplo 10: Se V = M(m, n) e W 1 o conjunto das matrizes triangulares superiores e W 2 o conjunto das matrizes triangulares inferiores, então W 1 W 2 é o conjunto das matrizes diagonais. Teorema: (Soma de subespaços) Sejam W 1 e W 2 subespaços de um espaço vetorial V. Então W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 V ; w 1 W 1, w 2 W 2 } é um subespaço de V. Prova: (Exercício) Exemplo 11: Se V = R 3 e W 1 e W 2 são retas que passam pela origem, então W = W 1 + W 2 é o plano que contém as duas retas. Exemplo 12: Se V = R 3 e W 1 V é um plano e W 2 V é uma reta contida neste plano, ambos passando pela origem, então W 1 + W 2 = W 1. { [ ] } { [ ] a b 0 0 Exemplo 13: Se W 1 = ; a, b R e W 2 = 0 0 c d { [ ] } a b W 1 + W 2 = ; a, b, c, d R = M(2, 2). c d ; c, d R }, então Observação: Quando W 1 W 2 = {0}, então W 1 + W 2 é chamado soma direta de W 1 com W 2 e é denotado por W 1 W Combinação Linear Definição: Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), v 1, v 2,..., v n V e a 1, a 2,..., a n números reais (ou complexos). Então o vetor v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n é um elemento de V. Dizemos que v é uma combinação linear de v 1, v 2,..., v n. Fixados os vetores v 1, v 2,..., v n V, então o conjunto W formado por todos os vetores de V que são combinação linear de v 1, v 2,..., v n é um subespaço vetorial de V. Dizemos que W é o subespaço gerado por v 1, v 2,..., v n o qual denotamos por W = [v 1, v 2,..., v n ]. Assim, podemos escrever W = [v 1, v 2,..., v n ] = {v V ; v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n, a i R, 1 i n}. Também caracterizamos o subespaço gerado W = [v 1, v 2,..., v n ] como o menor subespaço de V que contém o conjunto de vetores {v 1, v 2,..., v n }. Exemplo 1: Sejam V = R 3, v V, v 0. Então [v] = {av, a R}. Ou seja, [v] é 119

120 a reta que contém o vetor v. Exemplo 2: Se v 1, v 2 R 3 são tais que αv 1 v 2 para todo α R, então [v 1, v 2 ] é o plano que passa pela origem e contém v 1, v 2. Exemplo 3: Se V = R 2, v 1 = (1, 0) e v 2 = (0, 1), então V = [v 1, v 2 ]. De fato, dado qualquer vetor v = (x, y) V, podemos escrever Exemplo 4: Se v 1 = v = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xv 1 + yv 2. [ ] [ ] { [ ] a b e v 2 =, então [v 1, v 2 ] = Dependência e Independência Linear ; a, b R }. Definição: Seja V um espaço vetorial e v 1, v 2,..., v n V. Dizemos que o conjunto {v 1, v 2,..., v n } é linearmente independente, ou que os vetores v 1, v 2,..., v n são LI, se a equação a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0, implica que a 1 = a 2 =... = a n = 0. Se existir ao menos um a i 0, dizemos que o conjunto {v 1, v 2,..., v n } é linearmente dependente, ou que os vetores v 1, v 2,..., v n são LD. Observação: Segue da definição que o conjunto {v 1, v 2,..., v n } é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros. Ou equivalentemente, o conjunto {v 1, v 2,..., v n } é LI se, e somente se, nenhum destes vetores for combinação linear dos outros. Exemplo 1: Se V = R 3 e v 1, v 2 V, então {v 1, v 2 } é LD se, e somente se, v 1 e v 2 estiverem na mesma reta passando pela origem (v 1 = λv 2 ). Exemplo 2: Se V = R 3 e v 1, v 2, v 3 V, então {v 1, v 2, v 3 } é LD se, e somente se, v 1, v 2 e v 3 estiverem no mesmo plano passando pela origem. Exemplo 3: Se V = R 2 e e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) V, então {e 1, e 2 } é LI. De fato, a 1 e 1 + a 2 e 2 = 0 a 1 (1, 0) + a 2 (0, 1) = (0, 0) (a 1, a 2 ) = (0, 0) a 1 = a 2 = 0. Exemplo 4: Se V = R 3 e e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 2 = (0, 0, 1) V, então {e 1, e 2, e 3 } é LI. De fato, como no exemplo anterior, se a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 = 0 então a 1 = a 2 = a 3 = 0. Exemplo 5: Se V = R 2, então o conjunto de vetores {(1, 1), (1, 0), (1, 1)} é LD. De fato, existem a 1 = a 3 = 1/2 e a 2 = 1, tais que a 1 (1, 1) + a 2 (1, 0) + a 3 (1, 1) = 1 2 (1, 1) (1, 0) (1, 1) = (0, 0, 0) =

121 4.4 Base de um Espaço Vetorial Definição: Dizemos que o conjunto de vetores {v 1, v 2,..., v n } é uma base de V se: i) {v 1, v 2,..., v n } é LI; ii) [v 1, v 2,..., v n ] = V. Exemplo 1: Se V = R 2, e 1 = (1, 0) e e 2 = (0, 1), então {e 1, e 2 } é uma base de R 2 conhecida como base canônica do R 2. De fato, como vimos no exemplo 3 da seção anterior, o conjunto {e 1, e 2 } é LI. Por outro lado, se (x, y) R 2, podemos escrever (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe 1 + ye 2. Logo, todo vetor de R 2 é uma combinação linear de e 1 e e 2. Exemplo 2: O conjunto de vetores {(1, 1), (0, 1)} é uma outra base de R 2. De fato, a 1 (1, 1) + a 2 (1, 0) = (0, 0) (a 1 + a 2, a 1 ) = (0, 0) { a1 + a 2 = 0 a 1 = 0 a 1 = a 2 = 0. Logo, o conjunto {(1, 1), (0, 1)} é LI. Por outro lado, se (x, y) R 2, podemos escrever (x, y) = x(1, 1) + (y x)(0, 1). Logo, todo vetor de R 2 é uma combinação linear dos vetores (1, 1) e (0, 1). Portanto, {(1, 1), (0, 1)} é uma base de R 2. Exemplo 3: O conjunto {(0, 1), (0, 2)} não é uma base de R 2. De fato, {(0, 1), (0, 2)} é LD, pois a(0, 1) + b(0, 2) = (0, 0) (0, a + 2b) = (0, 0) a = 2b. Portanto, a e b não são nessariamente zero. Por exemplo, para a = 2 e b = 1, tem-se 2(0, 1) + 1(0, 2) = (0, 0). Exemplo 4: Os vetores e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) e e 3 = (0, 0, 1) formam uma base de R 3 conhecida como base canônica do R 3. De fato, como vimos no exemplo 4 da seção anterior, o conjunto {e 1, e 2, e 3 } é LI. Por outro lado, se (x, y, z) R 3, podemos escrever (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = xe 1 + ye 2 + ze 3. Logo, todo vetor de R 3 é uma combinação linear de e 1, e 2 e e 3. Exemplo 5: O conjunto de vetores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é uma base de R 3. De fato, apesar de serem LI, não gera todo o R 3, isto é, [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] R 3, pois dado um vetor qualquer de R 3 não podemos escrevê-lo como combinação linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0). 121

122 Exemplo 6: O conjunto { [ ] 1 0, 0 0 [ ] 0 1, 0 0 [ ] 0 0, 1 0 [ ] } 0 0 é uma base de M(2, 2). De 0 1 fato, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a b 0 0 a +b +c +d = = a = b = c = d = c d 0 0 [ ] x y Logo o conjunto é LI. Por outro lado, dada qualquer matriz M(2, 2), escrevemos z w [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x y = x + y + z + w. z w Portanto, qualquer matriz de M(2, 2) pode ser escrita como combinação linear das matrizes dadas. Observações: 1) Sejam v 1, v 2,..., v n vetores não nulos que geral um espaço vetorial V. Então, dentre estes vetores podemos extrair uma base de V. 2) Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores v 1, v 2,..., v n. Então qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD. Como consequência, segue que qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores. 3) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado de dimensão de V e é denotado por dim V. 4) Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita. 5) Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. 6) Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V. 7) Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U dim V e dim W dim V. Além disso, dim (U + W ) = dim U + dim W dim (U W ). 8) Dada uma base β = {v 1, v 2,..., v n } de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores v 1, v 2,..., v n. Definição: Sejam β = {v 1, v 2,..., v n } base de V e v V, onde v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n. Dizemos que os números a 1, a 2,..., a n são as coordenadas de v na base β e denotamos por a 1 a 2 [v] β =.. a n 122

123 Exemplo 1: Para β = {(1, 0), (0, 1)} a base canônica do R 2, segue que qualquer vetor v = (a, b) R 2 pode ser escrito como (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). [ ] a Logo, a e b são as coordenadas de v na base β e escrevemos [(a, b)] β =. Por exemplo, b para v = (3, 5), escrevemos (3, 5) = 3(1, 0) + 5(0, 1). [ ] 3 Logo, 3 e 5 são as coordenadas de v = (3, 5) na base β e escrevemos [(3, 5)] β =. 5 Exemplo 2: Determinar as cordenadas do vetor v = (3, 5) na base β = {(1, 1), (0, 1)}. Solução: Escrevendo o vetor v = (3, 5) como combinação linear dos vetores da base, temos { { a = 3 a = 3 (3, 5) = a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) a + b = 5 b = 2 Assim, podemos escrever (3, 5) = 3(1, 1) + 2(0, 1). Portanto, 3 e 2 são as coordenadas de [ ] 3 v = (3, 5) na base β = {(1, 1), (0, 1)}, ou seja, [(3, 5)] β =. 2 Observação: A ordem dos elementos que aparecem na base também influencia na matriz das coordenadas desta base. De fato, considerando as bases β 1 = {(1, 0), (0, 1)} e [ ] [ ] 3 5 β 2 = {(0, 1), (1, 0)}, tem-se [(3, 5)] β1 = e [(3, 5)] β2 = Mudança de Base Sejam α = {u 1, u 2,..., u n } e β = {v 1, v 2,..., v n } bases ordenadas de um espaço vetorial V. Dado um vetor v R, podemos escrevê-lo como { v = x1 u 1 + x 2 u x n u n (4.1) v = y 1 v 1 + y 2 v y n v n. Logo, as coordenadas de v em relação as bases α e β são, respectivamente, x 1 x 2 [v] α =. x n y 1 y 2 e [v] β =.. Como {u 1, u 2,..., u n } é base de V, podemos escrever os vetores v i como combinação linear dos u j, isto é, v 1 = a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n v 2 = a 12 u 1 + a 22 u a n2 u n (4.2).... v n = a 1n u 1 + a 2n u a nn u n 123 y n

124 Substituindo (4.2) na segunda equação de (4.1), segue que v = y 1 v y n v n = y 1 (a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n ) y n (a 1n u 1 + a 2n u a nn u n ) = (a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n )u (a n1 y 1 + a n2 y a nn y n )a n Como v = x 1 u 1 + x 2 u x n u n e as coordenadas em relação a uma base são únicas, segue que x 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n x 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n x n.... x n = a n1 y 1 + a n2 y a nn Em forma matricial, temos x 1 a 11 a a 1n y 1 x 2. = a 21 a a 2n y a n1 a n2... a nn y n Donde segue que onde [v] α = [I] β α[v] β, a 11 a a 1n [I] β a 21 a a 2n α =.... a n1 a n2... a nn A matriz [I] β α é denominada matriz de mudança de base da base β para a base α. Exemplo: Sejam α = {(2, 1), (3, 4)} e β = {(1, 0), (0, 1)} bases de R 2. Determine a matriz [I] β α de mudança de base da base β para a base α. Solução: Devemos escrever os vetores de β como combinação linear dos vetores de α da seguinte forma { (1, 0) = a11 (2, 1) + a 21 (3, 4) (4.3) (0, 1) = a 12 (2, 1) + a 22 (3, 4) Da primeira equação de (4.3), segue que (1, 0) = (2a 11 +3a 21, a 11 +4a 21 ) Da segunda equação de (4.3), segue que (0, 1) = (2a 12 +3a 22, a 12 +4a 22 ) { 2a11 + 3a 21 = 1 a a 21 = 0 { 2a12 + 3a 22 = 0 a a 22 = a 11 = 4 11 e a 21 = a 12 = 3 11 e a 22 = 2 11.

125 Portanto, a matriz de mudança de base é [ ] [I] β a11 a α = 12 = a 21 a 22 [ Observação: Podemos usar a matriz de mudança de base do exemplo anterior para determinar as coordenadas de qualquer vetor na base α. Por exemplo, se quisermos determinar [(5, 8)] α, seguimos da seguinte forma [(5, 8)] α = [I] β α[(5, 8)] β = [ ]. ] [ ] [ ] 5 4 =. 8 1 Isto é, (5, 8) = 4(2, 1) 1(3, 4). 4.6 Transformações Lineares Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear (ou aplicação linear) é uma função T : V W que satisfaz as seguintes condições: i) Para quaisquer u, v V, tem-se ii) Para quaisquer u V e k R, tem-se T (u + v) = T (u) + T (v) T (ku) = kt (u). Exemplo 1: Verificar se a função T : R R dada por T (x) = αx, com α R, é uma transformação linear ou não. Para quaisquer x, y R, tem-se T (x + y) = α(x + y) = αx + αy = T (x) + T (y). Logo, a primeira condição é satisfeita. Por outro lado, para quaisquer x R e k R, tem-se T (kx) = α(kx) = k(αx) = kt (x). Portanto, a segunda condição também é satisfeita. Pela definição acima, segue que T é uma transformação linear. Na verdade, toda transformação linear T : R R é da forma T (x) = αx, com α R. De fato, se T : R R é uma transformação linear, então T (x) = T (x.1) = xt (1) = αx, onde α = T (1). 125

126 Segue da observação acima que a função T : R R dada por T (x) = x 2 transformação linear. De fato, para quaisquer x, y R, tem-se não é uma T (x + y) = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 e T (x) + T (y) = x 2 + y 2. Logo, T (x + y) T (x) + T (y). Portanto, T não é transformação linear. Exemplo 2: Verificar se a função T : R 2 R 3 dada por T (x, y) = (2x, 0, x + y) é uma transformação linear ou não. Sejam u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) vetores quaisquer em R 2. Segue que ( ) ) ( ) T (u+v) = T (x 1, y 1 )+(x 2, y 2 ) = T (x 1 +x 2, y 1 +y 2 = 2(x 1 +x 2 ), 0, (x 1 +x 2 )+(y 1 +y 2 ) ) = (2x 1 + 2x 2, 0, x 1 + x 2 + y 1 + y 2 = (2x 1, 0, x 1 + y 1 ) + (2x 2, 0, x 2 + y 2 ) = T (x 1, y 1 ) + T (x 2, y 2 ) = T (u) + T (v). Logo, a primeira condição é satisfeita. Por outro lado, para quaisquer u = (x, y) R 2 e k R, tem-se ( ) T (ku) = T (kx, ky) = 2(kx), 0, k(x + y) = k(2x, 0, x + y) = kt (x, y) = kt (u). Portanto, a segunda condição também é satisfeita. Pela definição acima, segue que T é uma transformação linear. Exemplo 3: Se V = W = {P n } são polinômios de grau menor ou igual a n, então a aplicação derivada D : P n P n dada por D(f) = f é uma transformação linear. De fato, para quaisquer funções deriváveis f e g, tem-se que D(f + g) = D(f) + D(g) e D(kf) = kd(f), k R. Observações: 1) Toda transformação linear T : V W leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W, isto é, se 0 V, então T (0) = 0 W. 2) Se T (0) 0 segue que T não é uma transformação linear. Por exemplo, a função T : R 3 R 2 dada por T (x, y, z) = (x+1, y, z) não é uma transformação linear, pois T (0, 0, 0) = (1, 0, 0) 0. 3) Se T (0) = 0 não se garante que T seja uma transformação linear. Por exemplo, a função T : R R dada por T (x) = x 2 satisfaz T (0) = 0, mas não é uma transformação linear, como vimos acima. 4) A toda matriz A m n está associada uma transformação linear T A : R n R m. Em contrapartida, toda transformação linear T : R n R m pode ser representada por uma matriz m n. Por exemplo, a aplicação T A : R n R m dada por T A (X) = AX, onde A é 126

127 uma matriz m n e X é um vetor coluna n 1, é uma transformação linear. De fato, para quaisquer X, Y R n e k R, segue das propriedades de matrizes que T A (X + Y ) = A(X + Y ) = AX + AY = T A (X) + T A (Y ) e T A (kx) = kt A (X). 2 0 Exemplo 4: Se A é a matriz A = 0 0, então a aplicação linear T A : R 2 R 3 será 1 1 ([ ]) 2 0 x T A (X) = T A = 0 0. y 1 1 [ ] x = y 2x 0 x + y Ou ainda, T A (x, y) = (2x, 0, x + y), que é a aplicação linear do exemplo 2 acima.. Transformações do Plano no Plano Exemplo 1: (Expansão ou contração uniforme) A função T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = α(x, y), α R é uma aplicação linear que é uma expansão uniforme se α > 1 e uma contração uniforme se α < 1. Por exemplo, a aplicação T (x, y) = 2(x, y) é uma expansão e T (x, y) = 1 (x, y) é uma contração. Em termos de vetores colunas, escrevemos 2 ([ ]) x T A = α y [ ] x = y [ α 0 0 α ] [ ] x y Exemplo 2: (Reflexão em Torno do Eixo x) A função T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = (x, y) é uma aplicação linear que é uma reflexão em torno do eixo x. Em termos de vetores colunas, escrevemos ([ ]) [ ] [ ] [ ] x x 1 0 x T A = = y y 0 1 y Exemplo 3: (Reflexão em Torno da Origem) A função T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = ( x, y) é uma aplicação linear que é uma reflexão em torno da origem. Em termos de vetores colunas, escrevemos ([ ]) x T A = y [ ] [ x 1 0 = y 0 1 ] [ ] x y Exemplo 4: (Reflexão em Torno do Eixo y) A função T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = ( x, y) é uma aplicação linear que é uma reflexão em torno do eixo y. Em termos de vetores colunas, escrevemos ([ ]) [ ] [ ] [ ] x x 1 0 x T A = = y y 0 1 y 127

128 Exemplo 5: (Cisalhamento Horizontal) A função T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = (x + αy, y), α R é uma aplicação linear que é um cisalhamento horizontal. Em termos de vetores colunas, escrevemos ([ ]) [ ] x x + αy T A = = y y [ 1 α 0 1 Exemplo 6: (Translação) A função T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = (x+a, y +b), a, b R é uma translação do plano segundo o vetor (a, b). Esta aplicação é linear se, e somente se, a = b = 0. Em termos de vetores colunas, escrevemos ([ ]) x T A = y [ ] x + a = y + b [ ] [ x y ] [ ] x + y ] [ ] a. b Exemplo 7: (Rotação de um Ângulo) A função T θ : R 2 R 2 dada por T θ (x, y) = (x cos θ ysen θ, y cos θ + x sen θ) é uma aplicação linear que é uma rotação de ângulo θ. Isto é, se α é o ângulo que o vetor u = (x, y) faz com o eixo-x, então α + θ é o ângulo que T θ (x, y) faz com o eixo-x. Em termos de vetores colunas, escrevemos ([ ]) x T A = y Conceitos e Teoremas [ ] x cos θ ysen θ = y cos θ + x sen θ [ cos θ sen θ sen θ cos θ Teorema: Sejam V e W dois espaços vetoriais, β = {v 1, v 2,..., v n } uma base de V e w 1, w 2,..., w n elementos arbitrários de W. Então existe uma aplicação linear T : V W tal que T (v 1 ) = w 1, T (v 2 ) = w 2,..., T (v n ) = w n. Mais ainda, se v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n, então T (v) = T (a 1 v 1 +a 2 v a n v n ) = a 1 T (v 1 )+a 2 T (v 2 )+...+a n T (v n ) = a 1 w 1 +a 2 w a n w n. ] [ x y A aplicação T assim definida é linear e é a única que satisfaz as condições acima. Exemplo 1: Determinar a transformação linear T : R 2 R 3 tal que T (1, 0) = (2, 1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1). Solução: Neste caso e 1 = (1, 0) e e 2 = (0, 1) é uma base de R 2 e w 1 = (2, 1, 0) e w 2 = (0, 0, 1) são elementos de R 3. Segue do teorema acima que existe uma aplicação linear T : R 2 R 3 tal que T (e 1 ) = w 1 e T (e 2 ) = w 2. Se v = (x, y) é um vetor qualquer de R 2, então v = xe 1 + ye 2 e T (v) = T (xe 1 + ye 2 ) = xt (e 1 ) + yt (e 2 ) = xw 1 + yw 2 = x(2, 1, 0) + y(0, 0, 1) = (2x, x, y). Logo, a transformação linear é dada por T (x, y) = (2x, x, y). ] 128

129 Exemplo 2: Determinar a transformação linear T : R 2 R 3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 2) = (0, 1, 0). Solução: Primeiro verificaremos se os vetores v 1 = (1, 1) e v 2 = (0, 2) formam uma base de R 2. Temos que a(1, 1) + b(0, 2) = (0, 0) (a, a 2b) = (0, 0) a = b = 0. Logo, o conjunto {(1, 1), (0, 2)} é LI. Por outro lado, se v = (x, y) R 2, podemos escrever v = (x, y) = x(1, 1) + ( y x)(0, 2). 2 Logo, todo vetor de R 2 é uma combinação linear dos vetores (1, 1) e (0, 2). Portanto, os vetores v 1 = (1, 1) e v 2 = (0, 2) formam uma base de R 2 e w 1 = (3, 2, 1) e w 2 = (0, 1, 0) são elementos de R 3. Segue do teorema acima que existe uma aplicação linear T : R 2 R 3 tal que T (v 1 ) = w 1 e T (v 2 ) = w 2. Se v = (x, y) é um vetor qualquer de R 2, então v = xv 1 + ( y 2 x)v 2 e T (v) = xt (v 1 )+( y 2 x)t (v 2) = xw 1 ( y 2 +x)w 2 = x(3, 2, 1) ( y 2 +x)(0, 1, 0) = (3x, x y 2, x). Logo, a transformação linear é dada por T (x, y) = (3x, x y 2, x). Definição: Seja T : V V uma aplicação linear. A imagem de T é o conjunto dos vetores w W tais que existe um vetor v V, que satisfaz T (v) = w. Ou seja, I(T ) = {w W ; T (v) = w, para algum v V }. Notemos que I(T ) é um subconjunto de W e, além disso, é um subespaço vcetorial de V. Em geral, escrevemos T (V ) para representar a imagem de V pela aplicação linear T. Definição: Seja T : V V uma aplicação linear. Chama-se nucleo de T ao conjunto de todos os vetores v V tais que T (v) = 0. Ou seja, ker(t ) = {v V ; T (v) = 0}. Notemos que ker(t ) é um subconjunto de V e, além disso, é um subespaço vetorial de V. Transformações Lineares e Matrizes Fixadas as bases α = {v 1, v 2,..., v n } de R n e β = {w 1, w 2,..., w n } de R m, podemos associar à matriz a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn 129 m n

130 uma transformação linear T A : R n R m dada por T A (v), para v R n da seguinte forma: Seja X = [v] α = x 1. x n. Então Logo, T A (v) = y 1 w 1 + y 2 v y n v n. a 11 a a 1n a 21 a a 2n x 1 A.X =..... x n a m1 a m2... a mn = Exemplo 1: Dadas as bases α = {(1, 0), (0, 1)} de R 2 e β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de [ ] R 3, determinar a transformação linear T A : R 3 R 2 associada à matriz A = x Solução: Seja X = [(x, y, z)] β = y. Então z A.X = [ ] x y = z y 1. y n. [ ] x 3y + 5z. 2x + 4y z Logo, T A (x, y, z) = (x 3y + 5z)(1, 0) + (2x + 4y z)(0, 1) = (x 3y + 5z, 2x + 4y z). Veremos agora como determinar uma matriz associada a uma transformação linear. Sejam T : V W uma transformação linear, α = {v 1, v 2,..., v n } uma base de V e β = {w 1, w 2,..., w m } uma base de W. Segue que T (v 1 ), T (v 2 ),..., T (v n ) são vetores de W e, portanto, temos T (v 1 ) = a 11 w 1 + a 21 w a m1 w m T (v 2 ) = a 12 w 1 + a 22 w a m2 w m. =. T (v n ) = a 1n w 1 + a 2n w a mn w m. A transposta da matriz dos coeficientes deste sistema, denotada por [T ] α β de T em relação às bases α e β. Assim, teremos a 11 a a 1n [T ] α a 21 a a 2n β =... = A. a m1 a m2... a mn é chamada matriz 130

131 Neste caso, T = T A passa a ser a aplicação linear associada à matriz A e às bases α e β. Exemplo 2: Seja T : R 3 R 2 dada por T (x, y, z) = (2x + y z, 3x 2y + 4z). Determinar [T ] α β, onde α = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e β = {(1, 3), (1, 4)}. Solução: Vamos calcular T nos elementos da base α e escrevê-los como combinação linear dos elementos da base β. Temos Portanto, T (1, 1, 1) = (2, 5) = 3(1, 3) 1(1, 4) T (1, 1, 0) = (3, 1) = 11(1, 3) 8(1, 4) T (1, 0, 0) = (2, 3) = 5(1, 3) 3(1, 4). [T ] α β = [ ] Observação: Se mudarmos as bases α e β, teremos outra matriz para a transformação T. Exemplo 3: Seja T : R 3 R 2 dada por T (x, y, z) = (2x + y z, 3x 2y + 4z). Determinar [T ] α β, onde α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β = {(1, 0), (0, 1)}. Solução: Vamos calcular T nos elementos da base α e escrevê-los como combinação linear dos elementos da base β. Temos Portanto, T (1, 0, 0) = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1); T (0, 1, 0) = (1, 2) = 1(1, 0) 2(0, 1) e T (0, 0, 1) = ( 1, 4) = 1(1, 0) + 4(0, 1). [T ] α β = [ ] Observação: Quando α e β são as bases canônicas, dizemos que T é a transformação identidade e escrevemos apenas [T ] ao invés de [T ] α β. Exemplo 4: Dadas as bases α = {(1, 1), (0, 1)} de R 2 e β = {(0, 3, 0), ( 1, 0, 0), (0, 1, 1)} de R 3, determinar a transformação linear T : R 2 R 3 cuja matriz é Solução: Notemos que 0 2 [T ] α β = T (1, 1) = 0(0, 3, 0) 1( 1, 0, 0) 1(0, 1, 1) = (1, 1, 1) e T (0, 1) = 2(0, 3, 0) + 0( 1, 0, 0) + 3(0, 1, 1) = (0, 9, 3). 131

132 Para encontrar T (x, y), primeiro escrevemos (x, y) como combinação linear dos elementos da base β, isto é, (x, y) = x(1, 1) + (y x)(0, 1). Aplicando T e usando a linearidade, temos ( ) T (x, y) = T x(1, 1) + (y x)(0, 1) = xt (1, 1) + (y x)t (0, 1) = x(1, 1, 1) + (y x)(0, 9, 3) = (x, 9y 10x, 3y 4x). Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais, α base de V, β base de W e T : V W uma aplicação linear. Então para todo v V, tem-se [T (v)] β = [T ] α β.[v] α. Exemplo 5: Dadas as bases α = {(1, 0), (0, 1)} de R 2 e β = {(1, 0, 1), ( 2, 0, 1), (0, 1, 0)} de 1 1 R 3, determinar a transformação linear T : R 2 R 3 cuja matriz é [T ] α β = Solução: Do teorema anterior, segue que Como [(x, y)] α = Portanto, [ ] x, então y [T (x, y)] β = [T ] α β.[(x, y)] α. 1 1 [T (x, y)] β = [ ] x = y x y y 2x + 3y T (x, y) = (x y)(1, 0, 1) + y( 2, 0, 1) + ( 2x + 3y)(0, 1, 0) = (x 3y, 2x + 3y, x) Autovalores e Autovetores Dados um espaço vetorial V e uma transformação linear T : V V, estamos interessados em saber quais vetores são levados em múltiplos de si mesmo, isto é, procuramos um vetor v V e um escalar λ R tal que T (v) = λv. O escalar λ é chamado de autovalor ou valor característico de T e v é chamado de autovetor ou vetor característico de T. Assim, temos a seguinte definição: Definição: Seja T : V V um operador linear. Se existirem v V, v 0 e λ R tais que T (v) = λv, dizemos que λ é um autovalor de T e v é autovetor de T associado 132

133 ao autovalor λ. Exemplo 1: Seja T : R 2 R 2 um operador linear dado por T (v) = 2v, com v R 2. Então λ = 2 é um autovalor de T e qualquer (x, y) (0, 0) é um autovalor de T. De um modo geral, toda transformação linear T : R 2 R 2 dada por T (v) = av, com v R 2 possui autovalor λ = a e qualquer v = (x, y) (0, 0) como autovalor de T. Dada uma transformação linear T : V V e fixada uma base α de V, podemos reduzir o problema de determinar autovalores e autovetores de T ao problema de determinar autovalores e autovetores para a matriz [T ] α α. Autovalores e Autovetores de uma Matriz e Polinômios Característicos Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então os autovalores λ e autovetores v de A são dados pela equação Av = λv ou Av = (λi)v, onde I é a matriz identidade. Ainda podemos escrever (A λi)v = 0. Escrevendo na forma matricial, temos a 11 λ a a 1n x 1 0 a 21 a 22 λ... a 2n x = 0. a m1 a m2... a mn λ 0 Se tivermos det(a λi) 0, o sistema acima tem uma única solução x 1 = x 2 =... = x n = 0. Logo, a equação (A λi)v = 0 se verifica apenas para v = 0. Como procuramos v 0, devemos considerar det(a λi) = 0. Fazendo P (λ) = det(a λi) segue que os autovalores da matriz A são as raízes λ de P. Para determinar os autovetores, substituimos os autovalores encontrados, na equação (A λi)v = 0. [ ] 3 4 Exemplo 1: Determinar os autovalores e autovetores da matriz A =. 1 2 Solução: Para determinar os autovalores de A, devemos determinar as raízes do polinômio P (λ) = det(a λi). Mas, [ ] 3 λ 4 P (λ) = det(a λi) = det = ( 3 λ)(2 λ) + 4 = λ 2 + λ λ Fazendo P (λ) = 0, tem-se λ 2 + λ 2 = 0, o que implica que λ = 1 ou λ = 2. Logo os autovalores de A são λ 1 = 2 e λ 2 = 1. Para determinar os autovetores de A, substituimos λ 1 = 2 e λ 2 = 1 na equação (A λi)v = 0. Ou seja, devemos determinar os vetores v = (x, y) (0, 0) que satisfazem a x n 133

134 equação Para λ 1 = 2, tem-se [ ] [ ] x = y [ ] 3 λ λ [ ] 0 0 [ ] x = y [ ] 0. 0 { x + 4y = 0 x + 4y = 0 x = 4y. Portanto, os autovetores associados ao autovalor λ 1 = 2 são da forma v = (4y, y), y 0 ou v = (x, x ), x 0. 4 Para λ 2 = 1, tem-se [ ] [ ] [ ] { 4 4 x 0 4x + 4y = 0. = x = y. 1 1 y 0 x + y = 0 Portanto, os autovetores associados ao autovalor λ 1 = 1 são da forma v = (x, x), x 0 ou v = (y, y), y 0. [ ] 3 1 Exemplo 2: Determinar os autovalores e autovetores da matriz A =. 1 3 Solução: Neste caso, teremos [ ] 3 λ 1 P (λ) = det(a λi) = det = λ 2 2 3λ λ Segue que P (λ) = 0 não admite raízes reais. Portanto, a matriz A não admite autovalores nem autovalores reais. Observação: Se trabalhássemos com espaços vetoriais complexos, teríamos no exemplo anterior que o polinômio característico P (λ) = λ 2 2 3λ + 4 = 0 possui as raízes complexas λ = 3 ± i. Os autovetores encontrados, neste caso, são v = (x, ±xi), x Exemplo 3: Determinar os autovalores e autovetores da matriz A = Solução: Neste caso, teremos 3 λ 0 4 P (λ) = det(a λi) = det 0 3 λ 5 = (3 λ) 2 ( 1 λ) λ Fazendo P (λ) = 0, encontra-se os autovalores de A que são λ 1 = 1 e λ 2 = 3. Para determinar os autovetores de A, devemos determinar os vetores v = (x, y, z) (0, 0, 0) que satisfazem a equação 3 λ 0 4 x λ λ 134. =. y z 0 0

135 Para λ 1 = 1, tem-se x y = z 0 4x 4z = 0 4y 5z = 0 0 = 0 { x = z y = 5 4 z. Portanto, os autovetores associados ao autovalor λ 1 = 1 são da forma v = (z, 5 z, z), z 0 4 quaisquer. Para λ 2 = 3, tem-se x y = z 0 4z = 0 5z = 0 4z = 0 Donde segue que z = 0 e x e y são quaisquer valores arbitrários. Portanto, os autovetores associados ao autovalor λ 2 = 3 são da forma v = (x, y, 0), x, y 0 quaisquer Exemplo 4: Determinar os autovalores e autovetores da matriz A = Solução: Neste caso, teremos 3 λ 0 4 P (λ) = det(a λi) = det 0 3 λ 5 = (3 λ) 2 ( 1 λ) λ Fazendo P (λ) = 0, encontra-se os autovalores de A que são λ 1 = 1 e λ 2 = 3. Para determinar os autovetores de A, devemos determinar os vetores v = (x, y, z) (0, 0, 0) que satisfazem a equação 3 λ 3 4 x λ λ. =. y z 0 0 Para λ 1 = 1, tem-se x y = z 0 4x 3y 4z = 0 4y 5z = 0 0 = 0 { x = z y = 5 4 z. Portanto, os autovetores associados ao autovalor λ 1 = 1 são da forma v = ( 31z, 5 z, z), z quaisquer. Para λ 2 = 3, tem-se x y = z y 4z = 0 5z = 0 4z = 0

136 Donde segue que y = z = 0 e x um arbitrário qualquer. Portanto, os autovetores associados ao autovalor λ 2 = 3 são da forma v = (x, 0, 0), x 0 qualquer. Exemplo 4: Seja T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = ( 3x + 4y, x + 2y). Determinar os autovalores e autovetores de T. Solução: Se α é a base canônica do R 2, então a matriz associada a T é A = [T ] α α = [ 3 ] cujos autovalores e autovetores estão determinados no exemplo