Geometria analítica. Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida

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1 Geometria analítica Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida

2 Definição A palavra geometria vem do grego geometrien onde geo significa terra e metrien medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição de terras. O historiador grego Heródoto (500 a.c.) atribuiu aos egípcios o início da geometria, mas outras civilizações antigas (babilônios, hindus, chineses) também possuíam muitas informações geométricas.

3 Definição Geometria plana A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.

4 Definição Geometria espacial Ramo da geometria que estuda a medida do espaço ocupado por um sólido. Cálculo dos volumes de um cubo, prisma, pirâmide, cone, cilindro, esfera e de um paralelepípedo.

5 Definição Axioma O termo axioma é originado da palavra grega αξιωμα (axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou adequado, ou que tem um significado evidente. Entre os filósofos dos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade de prova. Exemplos: 1 - Dados quaisquer dois pontos distintos, A e B, existe uma única reta que os contém

6 Definição 2 Em cada reta existem ao menos dois pontos distintos 3 - Dois segmentos são congruentes (iguais) se eles têm a mesma medida. 4 - Dois ângulos são congruentes (iguais) se eles têm a mesma medida. Observação. Usamos o termo congruentes, e não iguais, para distinguir do termo igual, que significa, matematicamente, o mesmo objeto matemático.

7 Definição Alguns símbolos usados em geometria A, B, C,... ponto r, s, t,... reta AÔB, DÔE,... Ô ângulo do vértice O ou medida de ângulo

8 Definição AB,... segmento de extremidade A e B, ou reta que passa por A,B Δ ABC triângulo de vértices A,B,C AB CD segmento AB congruente ao segmento CD

9 VETORES

10 Grandezas físicas Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. Deste modo, grandezas físicas são as que podem ser medidas. São divididas em dois grupos: escalares e vetoriais.

11 Vetores e Escalares Um vetor possui módulo assim como direção e sentido. Uma grandeza vetorial possui tanto módulo (valor numérico) quando direção e sentido, portanto, pode ser representado por um vetor. Exemplo: deslocamento, velocidade e aceleração. Nem toda grandeza física envolve uma direção e/ou um sentido. Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Que são grandezas que só possuem um valor e uma unidade: Exemplo: temperatura, massa, tempo.

12 Representação de um vetor É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas. Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta) Tem uma direção (plano em que se analisa) E um sentido. (Que é pra onde a flecha está apontando). Sentido Módulo Direção da Reta Suporte Exemplo:

13 Representação de uma Grandeza Vetorial As grandezas vetoriais são representadas da seguinte forma: a letra que representa a grandeza, e uma a flechinha sobre a letra. Da seguinte forma... N v B d A M O F P

14 Comparação entre vetores Vetores iguais a b r s Mesmo Módulo Mesma Direção Mesmo Sentido a = b O vetor a é igual ao vetor b.

15 Comparação entre vetores Vetores Opostos a b c r s t Sobre os vetores b e c podemos afirmar: Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos opostos. a = b = c O vetor c é oposto aos vetores a e b.

16 Vetores Observações a) Quando escrevemos: v = AB, estamos dizendo que um vetor v é determinado pelo segmento orientado AB. Exemplo: v = AB b) Quando dois vetores são paralelos, indicamos por u// v. Exemplo: a//b

17 Vetores c) Dois vetores u e v são iguais, e indica-se por u = v, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido; Observe: u v u v u v u = v Sentidos opostos Módulos diferentes Direções e sentidos diferentes Módulo, direção e sentido iguais. d) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por 0 ou AA (a origem coincide com a extremidade). Por não possuir direção e sentidos definidos, considera-se paralelo a qualquer vetor A Vetor: 0 ou AA

18 Vetores e) A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto v, de mesmo módulo e mesma direção de v, porém, de sentido contrário. Se v = AB, o vetor BAé o oposto de AB, isto é, AB = AB = BA. v = AB= BA

19 Vetores f) - O vetor u é unitário se u = 1. - A cada vetor v, com v 0, é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de v u e u. Na figura, vemos v = 6 e u = u = 1 - O vetor u unitário que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v.

20 Vetores g) Quando dois vetores u e v são ortogonais, e indica-se por u v. u v i) Dois vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados Prof. Prof.: Me: Lucas Corrêa de Almeida

21 Exercícios 1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. A B C D L M N E K P O F J I H G

22 Exercícios 2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações H G E F D C A B

23 Soma vetorial Há duas regras para realização da soma vetorial: Regra do paralelogramo; Regra do polígono.

24 Soma vetorial regra do paralelogramo a + b = a S b Assim: S = a + b Neste caso os vetores são transpostos de forma a fecharem um paralelogramo, esta regra é eficaz somente com dois vetores. OBS: Paralelogramo porque traça-se uma reta paralela saindo da origem do outro seguimento.

25 Exemplos Dado os vetores...

26 Soma vetorial regra do polígono Y Y b W a a b + W Z = S X X Z Assim: S = a + b ou S = XY + WZ Nesta regra o vetor posterior sai da extremidade do primeiro.

27 Soma vetorial Propriedades Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades: i. Comutativa: u + v = v + u ii. iii. Associativa: u + v + w = u + ( v + w) Elemento neutro: u + 0 = u iv. Elemento oposto: u + ( u) = 0

28 Exercícios 3) Dado dois vetores u e v não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores u + v, u v, v u e u v, todos com origem em um mesmo ponto. v u u v

29 Exercícios 4) Com base na Figura abaixo, expressando-os com origem no ponto A: A B C D L M N E K P O F J I H G

30 Exercícios 5) Com base na figura abaixo, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: H G E F D C A B

31 Componentes de vetores Uma técnica mais organizada para somar vetores envolve álgebra, mas exigem que vetores sejam colocados em sistema de coordenadas. Um componente de um vetor é a projeção do mesmo sobre o eixo. y a a y θ x a x =componente de a na coordenada x a y =componente de a na coordenada y a x Este processo é chamado de decomposição de vetores. Portanto: sin θ = a y a cos θ = a x a tan θ = a y a x

32 Módulo de um vetor Considere o vetor no plano cartesiano: y(m) 4 v onde v x = 3 m e v y = 4 m 3 x(m) O módulo do vetor v, pode ser encontrado através de uma simples relação trigonométrica, conhecida como teorema de Pitágoras. Fazendo: a² = b² + c² v 2 = 3² + 4² v = v = 5m

33 Módulo de um vetor Podemos então dizer que, para encontrarmos o módulo de um vetor basta elevarmos seus componentes ao quadrado, soma-los e logo tirar a raiz: v = v² x + v² y No caso da soma de mais vetores, o módulo pode ser encontrado, fazendo a relação: v = v² x + v² y + v² z + +v² n

34 Observações a. Se todos os vetores são paralelos e não-nulos, proporcionais a v podemos ordena-los na mesma reta Por outro lado, supondo u// v, com v 0, sempre existe um número real tal que u = v Por exemplo, na figura abaixo, onde DC está dividido em cinco segmentos congruentes (de mesmo comprimento), em relação ao vetor AB ( AB = 2), tem-se BD = 2 AB AB = 3 2 AB CD = 5 2 AB

35 Observações b. Sabemos que cada vetor v, v 0, é possível associar dois vetores unitários paralelos a v. u v u O vetor unitário a v v ou v v de mesmo sentido de v é versor de v. Exemplo: - Se v = 5, o versor de v é v 5 ; - Se v = 1, o versor de v é 3 v ; 3 - Se v = 10, o versor de v é v 10.

36 Exemplo Exemplo:

37 Problemas pospostos Livro: Paulo Winterle Página: 14 n s: 1 e 2 Página: 15 n s: 4, 5 e 6 Pàgina: 16 n s: 8 e 12

38 VETORES UNITÁRIOS ou BASE CANÔNICA

39 Vetores Unitários Um vetor unitário é um vetor que possui módulo igual a 1. Sua única função é especificar uma direção e um sentido, ou seja, ele não possui dimensão e nem unidade. São representados da seguinte maneira: a = a x i + a y j + a z k

40 Vetores Unitários Podemos expressar qualquer vetor deste sistema de coordenadas. Por exemplo a e b abaixo: a = a x i + a y j b = b x i + b y j + b z k Este sistema é chamado de sistema de coordenadas dextrogiro; a x e a y são chamados de componentes escalares (ou como dito antes, simplesmente componentes); a x i e a y j são vetores, chamados componentes vetoriais de a. Exemplo: a x i a a = a x i + a y j a y j

41 Somando os vetores componente a componente Dado os vetores a e b, calcule soma: R = a + b a = a x i + a y j + a z k Sendo: b = b x i + b y j + b z k R = R x i + R y j + R z k R x = a x i + b x i R y = a y j + b y j Se calcularmos a diferença, teremos: R z = a z k + b z k R = a b R = a x b x i + a y b y j + a z b z k

42 Exercício Dado os vetores realize a soma e faça um gráfico contendo cada um e a resultante: a = 4,2 i 1,5 j b = 1,6 i + 2,9 c = 3,7 i j Exercícios do livro: 1/2/3/4/5/6/7/8/9/11/12/13

43 Multiplicação de Vetores Multiplicação de um vetor por um escalar (número) Se multiplicarmos um vetor ( a) por um escalar (S), obteremos um novo vetor S a. Seu módulo é o produto de a pelo valor absoluto de S. Sua direção e sentido são os mesmo se S > 0 e contrário se S < 0. Exemplo: Se S = 4 e a = 2 i + 3 j 6 k, então: S a = 4(2 i + 3 j 6 k) S a = 8 i + 12 j 24 k

44 Multiplicação de Vetores Multiplicação de vetor por vetor Existem duas formas de multiplicar vetor por vetor 1 ª PRODUTO ESCALAR (produz um escalar): O produto escalar de a e b é definido como: OBS: a. b = a. b. cos θ Se θ=0 cos 0 = 1 a. b = ab (vetores paralelos) Se θ=90 cos 90 = 0 a. b = 0 (vetores ortogonais) O produto escalar obedece a lei comutativa a. b = b. a

45 Multiplicação de Vetores Produto escalar Quando dois vetores estão escritos em notação de vetores unitários: a = a x i + a y j + a z k podemos escrever seu produto escalar como: a. b = a x i + a y j + a z k. b x i + b y j + b z k b = b x i + b y j + b z k a. b = a x b x i. i + a x b y i. j + a x b z i. k a y b x j. i + a y b y j. j + a y b z j. k a z b x k. i + a z b y k. j + a z b z k. k a. b = a x b x + a y b y + a z b z

46 Multiplicação de Vetores 2º PRODUTO VETORIAL (produz outro vetor) O produto vetorial de a e b, (lê-se a vetorial b), produz um terceiro vetor c cujo módulo é dado por: c = axb Onde o módulo pode ser calculado como: axb = ab sen θ OBS: Se θ = 0 ou 180 sin θ = 0 c = axb = 0 Se θ = 90 sin θ = 1 c = axb = ab Se θ = 270 sin θ = -1 c = axb = ab

47 Multiplicação de Vetores Produto vetorial Para determinarmos a orientação (direção e sentido) do vetor resultante, devemos usar a regra da mão direita. O sistema de coordenadas que obedecem esta regra são chamadas de dextrogiro. Regra da mão direita (onde o primeiro vetor do produto vetorial é o dedo indicador, e o segundo o dedo médio) Dextrogiro

48 Multiplicação de Vetores Produto vetorial Na notação de vetores unitários, podemos escrever: a x b = a x i + a y j + a z k x b x i + b y j + b z k a x b = a x b x i. i + a x b y i. j + a x b z i. k a y b x j. i + a y b y j. j + a y b z j. k a z b x k. i + a z b y k. j + a z b z k. k a x b = a x b y k + a x b z j +a y b x k +a y b z i a z b x j + a z b y i a x b = a x b y k a x b z j a y b x k a y b z i + a z b x j a z b y i Organizando teremos: a x b = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k Exercícios do livro: 10/14/15/16/17/18

49 Multiplicação de Vetores Produto vetorial Outro modo importante para determinação do produto vetorial é através da determinante, observe: a xb = det i j k a x a y a z = b x b y b z i j k a x a y a z b x b y b z i a x j a y b x b y = a y b z i + a z b x j + a x b y k a x b z j + a z b y i + a y b x k = a x b = a y b z a z b y i + a z b x a x b z j + (a x b y a y b x ) k Podemos observar que o resultado obtido é idêntico ao resultado anterior: Resultado anterior a x b = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k

50 Exercício 1) Dado os vetores: a = 3 i + 2 j 3 k Faça: e b = 2 i 2 j + k a) a. b b) b. a c) a x b d) b x a

51 Vetores na Geometria analítica Veremos agora como representar os vetores no plano cartesiano. Considere o vetor u, representado no plano cartesiano XOY, conforme figura ao lado: y Podemos observar que: u = OP u = P O y P u = x, y (0,0) u Portanto: u = x, y O x x Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de coordenadas cartesianas. As coordenadas (x,y) do ponto final de u são chamadas de componentes de u.

52 Exemplo Dado os vetores a = (4,3, 2) e b = ( 1,2,3), calcule para eles: a) A soma. b) Multiplicar o resultado da soma pelo escalar 5. c) O produto escalar. d) O produto vetorial.

53 Problemas propostos Livro: Paulo Winterle Página: 40 n s: 1, 2, 3 e 5. Página: 41 n s: 7 e 16 Página: 66 n s: 1, 2 e 3 Página: 87 n s: 1, 2 e 3

54 Produto misto Sejam três vetores u, v e w: u = (x 1, y 1, z 1 ) v = (x 2, y 2, z 2 ) w = (x 3, y 3, z 3 ) O produto misto de u, v e w é indicado por (u, v, w) e é dado pelo número real: u. v x w = u, v, w = [u, v, w] = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 Se o produto misto for nulo, significa que os vetores são coplanares. Observe que a ordem dos vetores é importante. A cada troca de posição o produto misto muda de sinal.

55 Produto misto Propriedades: i. u, v, w = 0, se um deles é o vetor nulo ou se forem coplanares. ii. u, v, w = v, u, w = v, w, u = iii. iv. mu, v, w = m u, v, w u + a, v, w = u, v, w + a, v, w Sobre a condição de coplanaridade entre 3 vetores: u, v, w = 0 Vetores coplanares Lineram. dependente (LD) u, v, w 0 Vetores não coplanares Linearm. Independente (LI)

56 Produto misto interpretação geométrica Geometricamente, o módulo do produto misto é igual ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não-coplanares u, v e w. u w v V P = u, v, w

57 Produto misto interpretação geométrica Exemplo: Sejam os vetores u = (3, m, 2), v = (1, 1,0) e w = (2, 1,2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 16 u. v. (unidades de volume)

58 Produto misto interpretação geométrica Outra forma geométrica que podemos encontrar com o produto misto é o volume do tetraedro. u w Dado pela equação: v V T = u, v, w 6

59 Produto misto interpretação geométrica Exemplo: Sejam os pontos A(1,2, 1), B(5,0,1), C(2, 1,1) e D(6,1, 3), vértices de um tetraedro. Calcular o volume do tetraedro, sabendo que u = AB, v = AC e w = AD.

60 Exercícios Livro: Paulo Winterle Página: 99 n s: 1, 2, 3, 4 e 5. Página: 100 n s: 6, 8 e 9.

61 A RETA

62 A Reta equação vetorial da reta Consideremos um ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e um vetor não nulo v = a, b, c. Só existe uma reta r que passa por A e tem direção de v. Um ponto P(x, y, z) pertence a r se e somente se, o vetor AP é paralelo a v, isto é: AP = t. v (1) Para algum real t, temos: P A = t. v ou P = A + t v (2) ou em coordenadas: x, y, z = x 1, y 1, z 1 + t a, b, c (3) Qualquer uma dessas equações é denominada equação vetorial de r. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.

63 A Reta equação vetorial da reta Exemplo: A reta r que passa por A(1,-1,4) e tem direção de v = (2,3,2), tem equação vetorial, de acordo com (3): x, y, z = x 1, y 1, z 1 + t a, b, c (3) Desta igualdade vem: r: x, y, z = 1, 1,4 + t 2,3,2 (4) onde (x, y, z) representa um ponto qualquer de r. Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t, Por exemplo, para t = 1, obtêm-se: x, y, z = 1, 1, ,3,2 x, y, z = (3,2,6) E, portanto, P 1 = (3,2,6) r

64 A Reta equação vetorial da reta De forma análoga. para t = 2, obtém-se x, y, z = 1, 1, ,3,2 = 5,5,8 e, portanto, P 2 5,5,8 r; para t = 3, obtém-se o ponto P 3 7,8,10 ; para t = 0, obtém-se o próprio ponto A 1, 1,4 ; para t = 1, obtém-se o ponto P 4 1, 4,2 ; E assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta. O gráfico mostra os pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros.

65 A Reta - equação vetorial da reta Observações: a) Vimos que cada real t corresponde um ponto P r. A recíproca também é verdadeira, isso é, a cada P r corresponde um número real t, Por exemplo, sabe-se que o ponto P(5,5,8) pertence à reta. r: x, y, z = 1, 1,4 + t 2,3,2 Logo, o ponto (5,5,8) é particular (x, y, z) na equação (4) e, portanto, é verdadeira a afirmação: (5,5,8) = 1, 1,4 + t 2,3,2, para algum real t. Desta igualdade, vem (5,5,8) = 1, 1,4 + t 2,3,2 ou (4,6,4) = +t 2,3,2, e portanto t = 2. b) A equação (4) não é única equação vetorial de r. Existem, na verdade, infinitas, pois basta tomar outro ponto r (em vez de A) ou outro qualquer não-nulo que seja múltiplo de v. Por exemplo, a equação: x, y, z = 1, 1,4 + t 4,6,4 É outra equação vetorial de r onde se utilizou o vetor 2 v = (4,6,4) como vetor diretor em vez de v 2,3,2.

66 Equações Paramétricas da Reta Da equação vetorial da reta x, y, z = x 1, y 1, z 1 + t a, b, c ou ainda x, y, z = x 1 + at, y 1 + bt, z 1 + ct pela condição de igualdade, obtém-se: x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + ct Esta equação é chamada equação paramétrica da reta.

67 Equações Paramétricas da Reta Exemplos Prof. Prof.: Me: Lucas Corrêa de Almeida

68 Equações Paramétricas da Reta Prof. Prof.: Me: Lucas Corrêa de Almeida

69 Equações Paramétricas da Reta

70 Equações Paramétricas da Reta

71 Equações Paramétricas da Reta

72 Equações Paramétricas da Reta 3) Escrever a equações paramétricas da reta r que passa por A(3, 1, 2) e B 1,2,4 sabendo que v = AB.

73 Equações paramétricas de um segmento de Reta Consideremos a reta r do exemplo anterior e nela o segmento AB. As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r, porém, com o 0 t 1. Considere A(3, 1, 2) e B 1,2,4 rate AB será: a equação paramétrica do segmento de AB: x = 3 2t y = 1 + 3t z = 2 + 6t Podemos observar que: para t = 0, obtém-se o ponto A. para t = 1, obtém-se o ponto B. e para t entre 0 e 1, obtém-se os pontos entre A e B. Observação: A equação P = A + t(b A) também pode ser expressa de modo equivalente por: P = tb + 1 t A

74 Equações Simétricas da Reta Equações simétricas da reta. Das equações paramétricas x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + bt com a, b e c 0, temos: t = x x 1 a t = y y 1 b t = z z 1 c Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades: x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c Sendo estas equações conhecidas como equações simétricas da reta.

75 Equações Simétricas da Reta Exemplo:

76 Equações reduzidas da Reta Equações reduzidas da reta. São equações formadas quando associamos uma coordenada geométrica em função de outra. Exemplo: Seja a reta r definida pelo ponto A(2, 4, 3) e pelo vetor diretor v = (1,2,3) e expressa pelas equações simétricas: r: x 2 = y + 4 = z Expressando duas variáveis em função da terceira, teremos: x 2 1 = y x 2 1 = z y + 4 = 2 x 2 y + 4 = 2x 4 y = 2x 8 1 z + 3 = 3 x 2 z + 3 = 3x + 6 z = 3x + 3 Sendo estas duas ultimas chamadas de equações reduzidas da reta r.

77 Ângulo de duas retas Ângulo de duas retas. Sejam as retas r 1 e r 2 com as direções v 1 e v 2, respectivamente. Chama-se ângulo de duas retas r 1 e r 2 o menor Ângulo de um vetor diretor de r 1 e de um vetor diretor de r 2. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se: cos θ = v 1.v 2 v 1 v 2, com 0 θ π 2 Observações: Quando o ângulo entre as retas forem de 90 (r 1 r 2 ) o produto escalar entre elas é zero v 1. v 2 = 0

78 Ângulo de duas retas Exemplo:

79 Reta ortogonal a duas retas Reta ortogonal a duas retas. Podemos também determinar uma terceira reta r 3 e direção v 3, tomando como referências duas retas r 1 e r 2 não-paralelas com direções v 1 e v 2. Se v 3 é ortogonal aos vetores v 1 e v 2, temos: v 3. v 1 = 0 v 3. v 2 = 0 Quando temos esta condição de ortogonalidade entre o vetor v 3 com os vetores v 1 e v 2, podemos dizer que v 3 é resultado do produto vetorial entre v 1 e v 2. v 3 = v 1 x v 2

80 Reta ortogonal a duas retas Exemplo: OBS: veja o tópico INTERCESÃO ENTRE DUAS RETAS na página 118.

81 Exercícios Livro: Paulo Winterle Página: 118 n s: 1, 4, 5, e 6. Página: 119 n s: 8, 12 e 13. Página: 120- n : 20

82 O PLANO

83 Equação geral do plano. Observe o plano π abaixo, contendo dois vetores n e AP: Vemos que n e AP são ortogonais, e sabemos que pelo produto escalar entre eles o resulta é zero: n AP = 0

84 Equação geral do plano. Sabendo que AP = P A, temos: n (P A) = 0 Se n = a, b, c, P(x, y, x) e A(x 1, y 1, z 1 ), teremos: a, b, c x, y, z x 1, y 1, z 1 = 0 a, b, c x x 1, y y 1, z z 2 = 0 a x x 1 ) + b(y y 1 ) + c(z z 2 = 0 ax + by + cz ax 1 by 1 cy 3 = 0 Se fizermos ax 1 by 1 cy 3 = d, teremos a equação geral do plano: ax + by + cz + d = 0

85 Equação geral do plano. Observações a) Assim como n = (a, b, c) é um vetor normal a π, qualquer vetor múltiplo de n é ortogonal (normal) ao plano. b) Para obtermos os pontos de um plano, basta atribuir valores a duas variáveis e calcular o valor da outra equação dada. Exemplo: considere a equação: π: 3x + 2y z + 1 = 0, se atribuirmos valores para x e y como sendo 4 e 2 respectivamente, encontraremos valores para z. Neste caso z será 9, e assim, o ponto encontrado será: (4, 2,9).

86 Exemplo Exemplo 1: Obter uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1,3) e tem n = (3,2,4) como um vetor normal.

87 Exemplo Exemplo 2: Escreva uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2,1,3) e é paralelo ao plano π 1 : 3x 4y 2z + 5 = 0

88 Exemplo Exemplo 3: A reta r: x = 5 + 3t y = 3 + 2t z = t + t é ortogonal ao plano π, que passa pelo ponto A(2,1, 2). Determine uma equação geral de π. Solução Como r π, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Sendo n = (3,2,1) um destes vetores, uma equação de π é da forma: 3x + 2y + z + d = 0 Como A ε π, deve-se ter: d = 0, assim d = 6, portanto, uma equação de π é 3x + 2y + z 6 = 0

89 Equação vetorial e paramétrica do plano Observe o plano π abaixo, que possui um ponto A(x 0, y 0, z 0 ) e dois vetores u = a 1, b 1, c 1 e v = (a 2, b 2, c 2 ) paralelos ao plano π, sendo u e v não-paralelos. Para todo ponto p(x, y, z) no plano, os vetores AP, u e v são coplanares. Mas para que P pertença ao plano, deve existir dois números reais h e t tais que: P A = hu + t v

90 Equação vetorial e paramétrica do plano ou P = A + hu + t v Se substituirmos as coordenadas de cada pontos e vetor, teremos: x, y, z = x 0, y 0, z 0 + h a 1, b 1, c 1 + t a 2, b 2, c 2 Está equação é denominada equação vetorial do plano π. Com u e v os vetores diretores.

91 Equação vetorial e paramétrica do plano Da equação da reta, podemos construir a paramétrica x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t Estas equação são chamadas de equações paramétricas de π, sendo h e t variáveis auxiliares denominadas parâmetros.

92 Exemplo Exemplo 4: Seja o plano π que passa pelo ponto A(2,2, 1) e é paralelo aos vetores u = (2, 3,1) e v = ( 1,5, 3). Obter: a) Uma equação vetorial. b) Um sistema de equações paramétricas. c) Uma equação geral de π. Solução a) x, y, z = x 0, y 0, z 0 + h a 1, b 1, c 1 + t a 2, b 2, c 2 x, y, z = 2,2, 1 + h 2, 3,1 + t 1,5, 3

93 Exemplo b) x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t x = 2 + 2h t y = 2 3h + 5t z = 1 + h 3t c) ax + by + cz + d = 0 Com na equação geral temos que encontrar o vetor ortogonal aos vetores u e v.

94 Exemplo Para encontrar o vetor n, basta fazer o produto vetorial entre u e v, pois como sabemos o produto vetorial entre dois vetores, resulta num vetor ortogonal aos dois. Assim: u x v = n u x v = i j k = (4,5,7) Assim: 4x + 5y + 7z + d = 0. Utilizando o ponto A, temos: d = 0 d = 11 Portanto, a equação geral de reta será: 4x + 5y + 7z 11 = 0

95 Ângulo de dois planos Considere os planos π 1 e π 2 com vetores normais n 1 e n 2, respectivamente. Chama-se ângulo de dois planos, o menor ângulo que um vetor normal de um plano forma o vetor normal o outro plano. cos θ = n 1 n 2 n 1 n 2

96 Exemplo Exemplo 5: Determine o ângulo entre os planos: π 1 : 2x + y z + 3 = 0 e π 2 : x + y 4 = 0