ESTUDO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DO ALPHA ONE

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1 ESUDO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DO ALPHA ONE Felipe Perroni de Oliveira Instituto ecnológico de Aeronáutica (IA) São José dos Campos, SP, Brasil Bolsista PIBIC-CNPq Resumo. O presente relatório apresenta uma estimativa das condições de equilíbrio da aeronave Alpha One de um modo geral inicialmente, seguida pela adoção de hipóteses simplificadoras para o estudo do modo em que o helicóptero paira. Palavras chave: Alpha One, equilíbrio, estabilidade. 1. Introdução Para qualquer voo estável, uma aeronave precisa estar em equilíbrio com respeito a três eixos ortogonais, cuja origem está posicionada no centro de gravidade da aeronave. Ao longo desses eixos, atuam ao todo três forças resultantes e três momentos resultantes. A escolha dos eixos, entretanto, não é única. Os sistemas de eixos passíveis de escolha são: Sistema de eixos do vento (escoamento não perturbado) Sistema de eixos de estabilidade Sistema de eixos do corpo Até o momento da confecção deste relatório, os ensaios realizados em túnel de vento com um protótipo do Alpha One foram feitos conectando-se uma balança aerodinâmica ao corpo por meio de uma haste de alumínio. Sucedendo a isso, foram feitas medições de ensaio aerodinâmico da aeronave. Quando um sistema de balança é instalado diretamente no corpo do protótipo, as forças e momentos são medidos no sistema de eixos do corpo. Para a análise das condições de equilíbrio, é muito conveniente a utilização de tal sistema por duas razões: por facilitação algébrica e pelo fato de que, na condição de pairar, os outros sistemas perdem a significância. 2. Equações de equilíbrio e movimento Além disso, como a estabilidade é um problema dinâmico, é necessário modelar a dinâmica de um helicóptero. Nesse relatório, isso é feito com a utilização da mecânica newtoniana para determinar as seis equações de movimento da aeronave. As principais hipóteses feitas estão listadas a seguir: O helicóptero é um corpo rígido; O plano longitudinal da aeronave é um plano de simetria; Estol das pás e efeitos de ponta são ignorados. Para chegar-se às equações de movimento, a determinação das equações de equilíbrio é um ponto incontornável. As seis equações de equilíbrio estão explicitadas abaixo (Prouty, 1986). Nelas, levam-se em conta as influências aerodinâmicas provenientes de rotor principal, do rotor de cauda, dos estabilizadores horizontal e vertical e da fuselagem. X M + X + X H + X V + X F = G.W.sinΘ (Forças longitudinais; para frente) = G.W.sinΦ.cosΘ (Forças laterais; para a direita) + Z V = G.W.cosΘ.cosΦ (Forças verticais; para baixo) R M + + R F = 0 (Rolamento; sentido horário da vista traseira) + M X X H h H X V + M F X F = 0 (Arfagem; nariz para cima) Y Y V l V + N F Y F = 0 (Guinada; nariz para a direita) Os sentidos dados acima entre parênteses são os sentidos tomados como positivos. Para uma compreensão visual das forças e momentos atuantes, a seguinte figura ilustra o problema. 1/7

2 Figura 1 Forças e momentos atuantes (Prouty). A partir de pequenos distúrbios da posição de equilíbrio do helicóptero, derivadas de primeira e segunda ordem precisam ser levadas em conta, e as seis equações de equilíbrio são convertidas em equações de movimento. A seguir, fez-se a hipótese de que Θ é um ângulo muito pequeno (ou seja, cosθ 1 ). X M + X + X H + X V + X F = G.W.sinΘ+ G.W g.( &x &yr + &zq) = G.W.sinΦ+ G.W g.( &y + &xr &zp) + Z V = G.W.cosΘ+ G.W g.( &z &xq + &yp) R M + + R F = I xx &p qr( I xx I zz ) + M X X H h H X V + M F X F = I yy &q pr( I zz I xx ) ( ) Y Y V l V + N F Y F = I zz &r pq I xx I yy 2/7

3 Figura 2. Parâmetros das equações de movimento (Prouty). Esse conjunto de seis equações é considerado suficiente quando faz-se verdadeira a suposição quasiestática. Como a constante de tempo para o flap de pás convencionais do rotor corresponde de ¼ a ½ revolução do rotor (Prouty), é possível simular o próprio rotor como se fosse uma caixa preta responsável pela produção de forças e momentos advindos de mudanças nas condições de voo. A adoção dessa hipótese permite criar simulações de voo em programas computacionais, baseados em cálculos instantâneos por meio de processos iterativos a partir de uma dada condição inicial este é, na verdade, o principal objetivo desse relatório. Além disso, as equações de movimento podem ser convertidas em equações diferenciais parciais lineares, pela superposição de efeitos lineares de variáveis independentes. Para um voo estável com pequenas perturbações, tais conversões permitem uma análise significativa do movimento. 3. Dinâmica e simulação Helicópteros são constantemente expostos a perturbações como rajadas e ventos laterais enquanto mantém-se em diversos modos do voo, tais como decolagem vertical, hovering e voo à frente. Como a aerodinâmica de helicópteros é bastante complicada, é praticamente impossível obter equações dinâmicas exatas para todos os modos de voo. A dinâmica de um helicóptero é um sistema MIMO (multi-input multi-output) variante no tempo, que possui uma instabilidade não-linear inerente além de um forte acoplamento entre as equações. ais equações são derivadas de equações de Newton-Euler para um corpo rígido translacional e rotacional. 3/7

4 Nas equações do item anterior deste relatório, as forças nas direções x, y e z são denotadas como X, Y e Z, respectivamente, e momentos de rolamento, arfagem e guinada são tomados como R, M e N, respectivamente. M,, F, H, V denotam o rotor principal, o rotor de cauda, a fuselagem, o fin horizontal e o fin vertical, respectivamente. &V b = 1 X M + X + X H + X V + X F 0 vr wq + Y F m + R P B 0 + ur + wp + Z V g uq vp R M + + R F &w = I b + M X X H h H X V + M F Y Y V l V + N F Y F ( ) ( ) ( ) qr I yy I zz + I B pr I zz I xx pq I xx I yy Nas equações acima, calcula-se cada força e momento e calcula-se constantes geométricas, tais como as coordenadas do centro de gravidade, do rotor principal, do rotor de cauda e dos fins. Como é normalmente impossível achar os termos exatos para as forças e momentos para todo o envelope de voo, a fim de se obter equações mais simples e mais exatas, divide-se o envelope de voo nas várias etapas de operação da aeronave. No presente relatório, são feitas as alterações para a etapa de hovering, que é uma das mais importantes manobras para um helicóptero. Para essa etapa, utiliza-se as seguintes hipóteses simplificadoras: i. São desprezados os efeitos da fuselagem e dos fins horizontais e verticais, pois a velocidade é muito baixa (em qualquer direção) e porque as alterações de atitude são muito baixas. ii. São desprezados os influxos locais e o eixo do rotor de causa segue a direção y. Na prática, a última hipótese implica que apenas o empuxo lateral, o momento de guinada e o torque no eixo de arfagem são gerados. Assim, as equações apresentadas anteriormente são simplificadas como é mostrado a seguir. &V b = 1 X M 0 vr wq + Y m + R P B 0 + ur + wp g uq vp ( ) ( ) ( ) R M + h qr I yy I zz &w = I b + M l H + I B pr I zz I xx Y pq I xx I yy Agora, com o sistema de equações modificado para o modo de voo hovering, cada variável apresentada acima é calculada e as equações são modificadas da seguinte maneira: &V b = 1 M sin a 1s 0 vr wq M sin b1s m + R P B 0 + ur + wp M cos a 1s cosb 1s g uq vp dr db 1s b 1s M sin b 1s Q M sin a 1s M qr( I dm yy I zz ) &w = I b da 1s a 1s + M sin a 1s Q M sin b 1s + M Q + I B pr( I zz I xx ) pq I Q M cos a 1s cosb 1s + M sin b 1s + l xx I yy ( ) 4/7

5 O modelo não-linear de hovering pode ser simplificado a fim de se obter um modelo linear, útil para ser utilizado no modelo de simulação. Aliás, é necessário ter um modelo dinâmico linear do helicóptero para projetar um sistema de controle. O espaço de estado da dinâmica do helicóptero pode ser representado como: &x = F x,u ( ) x = u v w Φ p Θ q Ψ r a 1s b 1s u = u a1s u b1s u θm u θ &x = F( x,u)= I yy 1 m M a 1s gθ 1 ( m b + M 1s )+ gφ 1 ( m + Z H F )+ g p 1 dr I xx db 1s + h b Q a + y h 1s M 1s q 1 dm da 1s + h a Q b + l Q + Z l 1s M 1s H H r 1 a 1s τ f b 1s τ f I zz [ Q M + M b 1s + ] q + A b1s b 1s + A ua1s u a1s + A ub1s u b1s p + B a1s a 1s + B ua1s u a1s + B ub1s u b1s A equação diferencial acima utilizou-se das hipóteses de que sin x x e cos x 1, que concordam com a condição de velocidade baixa e ângulos pequenos. Além disso, a aceleração de Coriolis e os termos giroscópicos foram ignorados. O sistema linearizado de equações é definido como as matrizes Jacobianas, que são usualmente referidas como as derivadas de estabilidade, que podem ser encontradas pela diferenciação parcial do sistema de equações F(x,u). As matrizes Jacobianas podem ser computadas pela substituição dos parâmetros por valores do helicóptero em questão. Fazendo F(x,u) = 0 (hover), temos que a primeira, a terceira e a sétima equações nos dão as condições de equilíbrio longitudinal, ou seja, M, Θ e a 1s. O fato da terceira equação depender apenas de M e fornecer um único valor facilita as contas. Utilizando Z H = 0, Z F = 0,042 (Prouty) e um peso máximo de decolagem de 700 kg (1543b), temos que: M = 1611lb Θ=0, 043rad a 1s = 0, 041rad As equações de equilíbrio látero-direcional envolvem as equações de força em Y, o momento de rolamento e o momento de guinada os componentes significantes nessas equações são o rotor principal, o rotor de cauda, o estabilizador vertical e a fuselagem. Nessa parte, tomam-se as equações 3, 5 e 9. Assim, por manipulação algébrica, tem-se que: 5/7

6 b 1s = Q a + y 1s dr + M db 1s Φ= GW M GW M Q M a 1s dr db 1s + h Para o Alpha One, tem-se que: b 1s = 0, 044rad Φ= 0, 079rad 3. Conclusão As condições de equilíbrio de um helicóptero são ditadas por um conjunto de seis equações, que, de um ponto de vista rigoroso, devem ser resolvidas simultaneamente. Entretanto, de uma perspectiva prática, elas podem ser tratadas como dois conjuntos de equações independentes: as equações longitudinais e as equações látero-longitudinais, como foi feito no decorrer deste relatório. O modelo para a simulação do Alpha One é obtido com precisão desconhecida, já que um modelo teórico genérico é sempre acompanhado de um erro relativamente grande, que precisa ser ajustado com o auxilio de dados experimentais. 4. Agradecimentos Agradeço ao apoio anual conferido a mim, por parte do CNPq, como forma de incentivo para estudantes introduzirem-se à área científica. 5. Referências PROUY, R. W.; Helicopter Performance, Stability and Control; Krieger Publishing Company Inc., /7