Derivadas de Estabilidade

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1 Derivadas de Estailidade João Oliveira Estailidade de Voo, Eng. Aeroespacial Versão de 11 de Novemro de Introdução Ojectivo Neste capítulo pretende-se encontrar expressões para as derivadas de estailidade adimensionais em função das características das aeronaves. epararemos os casos de Movimento longitudinal Movimento lateral Definição do estado estacionário Recorde-se que as derivadas são calculadas no estado estacionário. Definição do estado estacionário: Voo rectilíneo uniforme p = = q = r v = Eixos de estailidade: w = α x = 2 Derivadas relativas ao movimento longitudinal 2.1 Coeficientes das forças e momentos aerodinâmicos Forças e momentos longitudinais Forças aerodinâmicas: X, Z; Momento de picada: M; Peso: W. 1

2 { Cx = C T + C L α x C D As forças e momentos longitudinais dependem de: ustentação: L Resistência aerodinâmica: D Força de propulsão: T Coeficientes das forças e momentos: definição Como se sae: C x = C L = C W = X 1/2 ρv 2, C z = L 1/2 ρv 2, C D = W 1/2 ρv 2 Z 1/2 ρv 2, C m = D 1/2 ρv 2, C T = M 1/2 ρv 2 c, T 1/2 ρv 2, Coeficientes das forças longitudinais upomos: Linha de propulsão coincidente com eixo x w pequeno α x 1 cos α x 1 e sin α x α x Logo: C z = C L + C D α x 2.2 Derivadas adimensionais Derivadas em ordem ao ângulo de ataque Derivadas em ordem ao ângulo de ataque Pretendemos encontrar expressões para: C xα 2

3 C zα C mα Derivada C xα Definição: C xα Cx α Cx = α α C T + C L α x C D = CT } α {{ } = CL +C L + α α x }{{} = α x = CD α Derivada C xα 2 Logo: C xα = C L CD C L C Dα α Note-se que: C L C L é o coeficiente de sustentação no estado estacionário. e C D = C Dmin + C2 L πae, então C CD D α = 2C L α πae C L α Derivada C zα Definição: C zα = Cz α Mas: C z = C L + C D α x Cz = C Lα + C Dα α x + C D α = C L α + C D C zα = C Lα + C D 3

4 Derivada C mα Definição: C mα = Cm α Mas, como se sae: C mα = ah h n Derivadas em ordem a u Derivadas em ordem a u As derivadas em ordem a u traduzem: as alterações de forças e momentos quando varia a velocidade horizontal supondo α, T, etc. constantes e os coeficientes C L e C D não dependessem de u, Força ou momento Força ou momento inicial = u o + u 2 u û Derivadas em ordem a u 2 Mas os coeficientes C L e C D dependem de u através de: número de Mach, Ma efeitos de compressiilidade pressão dinâmica, p d efeitos aeroelásticos propulsão, T, devido a: variação da propulsão com a velocidade interacção da propulsão com a airframe asa e fuselagem, especialmente no caso de propulsão a hélice Derivadas em ordem a u 3 Caso trivial: são conhecidos C Lu, C Du e C mu. Então, de { Cx = C T + C L α x C D deduz-se facilmente C z = C L + C D α x C xu = C Tu C Du C zu = C Lu 4

5 Derivada C xu 1 Haitualmente é necessário determinar todas as contriuições separadamente: C xu Cx = û Cx Ma Ma + û Cx p d pd Cx CT + û C T û }{{} C Tu Derivada C xu 2 Note-se que V 2 = u + u 2 + v 2 + w 2 Ma û pd û Ma = u u pd 1 = u = u u 2 ρ V = 1. Logo u V /a = u = u u a V 2 u Derivada C xu 3 Por outro lado, de C x = C T + C L α x C D, deduz-se Cx CT = Ma Ma Cx p d Cx C T Derivada C xu final O resultado final para C xu é: V = Ma u = u 1 2 ρ2u = ρu 2 CD Ma CT CD = p d p d }{{} CD = 1 C T C xu CT = Ma Ma C D + ρu 2 CT C D + Ma p d p d C Tu 1 C D C T 5

6 Derivada C Tu 1 Por definição: C T = C Tu = T 1/2 ρv 2, donde T C T u = u 1/2 ρv 2 2T V 1/2 ρv 3 u CT CT = u û u C Tu = T u = 1/2 ρu 2C T T u 1/2 ρu 2T 1/2 ρu 2 Derivada C Tu para voo planado Para o cálculo da derivada T é necessário considerar o tipo de voo. u Para voo planado: T = Logo C Tu = Derivada C Tu para voo com propulsão constante Propulsão constante aproximação para aviões a jacto em voo de cruzeiro: Logo T u = C Tu = 2C T Derivada C Tu para voo com potência constante Potência constante aproximação para aviões com propulsão a hélice com velocidade constante, em voo de cruzeiro: Logo T T V = u V 2 T V = cte = T V T = T V V = T T C Tu = V 1/2 ρu 2 2C T C Tu = 3C T 6

7 Cálculo de C T e admitirmos que no estado estacionário: a força de propulsão e a velocidade são colineares, e usando eixos de estailidade, C T = C D + C W sin θ Derivada C zu 1 Agora temos: C zu Cz = û Cz Ma Cz pd Cz CT + + Ma û p }{{} d û C }{{} T û }{{} =Ma C Tu =ρu 2 Derivada C zu 2 Logo C zu Mas Cz C z = C L + C D α x p d CL = Ma ρu 2 Ma Cz CL = Ma Ma Cz C T CL p d = CL p d CL = C T CL C Tu C T Derivada C mu Finalmente, de forma análoga otém-se C mu Derivadas em ordem a q Cm = Ma + ρu 2 Ma Derivadas em ordem a q Calculadas admitindo que são constantes: Cm p d Cm + C Tu C T 7

8 α as outras variáveis Contriuições mais importantes Contriuição da cauda: a mais importante Contriuição da asa: menos importante e mais difícil de estimar Prática corrente: contriuição da asa = 1% da contriuição da cauda i.e., a derivada total 1.1 contriuição da cauda Expressões gerais para C zq Derivada dimensional e adimensional: ˆq = q c C zq = 2u Cz = 2u ˆq ĉ Cz q Relação com derivada do coeficiente de sustentação: Cz CL C z = C L + C D α x = q q Contriuição da cauda para C zq Efeito mais importante na cauda: variação do ângulo de ataque efectivo devido à velocidade angular de picada q. Note-se que α t = ql t /u. 8

9 Contriuição da cauda para C zq Admitimos que L t varia instantaneamente com α t. C Lt ql t = a t α t = a t C L = t u C L t CL = t q a l t t u tail C = 2u CL zq = 2u tail c q c tail t = t a ql t t u a t l t u C zq tail = 2V Ha t Contriuição da cauda para C mq Partimos de C m = V H C Lt = a t V H q l t C m u q = a tv H l t u C mq tail = 2u c C m q = 2u c a tv H l t u C mq tail = 2V Ha t l t c Contriuição da asa ó é importante para asas com flecha muito grande ou alongamento pequeno. A velocidade angular é equivalente a uma curvatura adicional da asa que produz uma distriuição de velocidades normais equivalente. 9

10 Contriuição da asa: dependência da posição do CG Existe porque q é medido relativamente ao CG. Contriuição da asa: dependência da posição do CG Mostra-se que C Lq asa 2C Lα h h C mq asa C mq 2C Lα h h 2 Na aproximação da teoria linear i-dimensional de asas finas: Para voo supersónico: h = h = 1 2 ; 2 C mq = 3 Ma 2 1 Para voo susónico: h = 3 4 ; 1 h = 2 ; C mq = Derivadas em ordem a α Derivadas em ordem a α Causa: a distriuição de pressões na asa e na cauda não se ajusta instantaneamente ao valor de equilírio quando α varia o escoamento não é estacionário. Contriuição da asa: pode ser calculada a partir da resposta em frequência de uma asa com movimento oscilatório harmónico. Contriuição da cauda: efeito mais importante é o de lag-of-downwash. Contriuição da cauda atraso no downwash Quando α muda, altera-se o escoamento. A alteração não é instantânea e só se faz sentir na cauda passados algum tempo porque a vorticidade do ordo de fuga é convectada pelo escoamento. O atraso é da ordem de t l t /u. ɛt corresponde a αt t 1

11 ɛ = ɛ + ɛ α α ɛ = ɛ α α t = ɛ α α l t u α t = α w ɛ i t α t = ɛ = ɛ α α l t u Contriuição da cauda para C z α C Lt = a t α t = a t ɛ α α l t u ˆ α = C L = t C L t = a t ɛ α α l t t u α c C 2u z α = C z ˆ α = 2u C z c α = 2u C L c α Cz α tail = 2a tɛ α V H Contriuição da cauda para C m α C m = V H C Lt = V H a t ɛ α α l t u ˆ α = α c C 2u m α = C m ˆ α = 2u C m c α Cm α tail = 2a tɛ α V H l t c 3 Derivadas relativas ao movimento lateral 3.1 Derivadas em ordem a β Derivadas em ordem a β Derivadas a determinar: C yβ, C lβ e C nβ. Expressões razoáveis com estimativas para as derivadas: só para contriuição da cauda. Contriuições da asa e fuselagem: otidas em ensaios em túnel aerodinâmico ou usando expressões empíricas. 11

12 Geometria e forças Derivada C yβ Normalmente negativa e pequena. Contriuições mais importantes: fuselagem e estailizador vertical. Contriuição da cauda: upomos V F V = 1 C y = a F β σ F C yβ = a F 1 σ β F Nota: σ β é difícil de estimar. Derivada C lβ Ver atrás! Derivada C nβ Ver atrás! weathercock staility 3.2 Derivadas em ordem a p Efeitos do rolamento o escoamento em torno de todas as superfícies aerodinâmicas é afectado alteração do ângulo de ataque local alteração na distriuição de pressões modificação da esteira de vórtices atrás da asa a distriuição de vorticidade passa a ser assimétrica relativamente a x sidewash no estailizador vertical 12

13 Efeitos do rolamento: variação do ângulo de ataque local Na cauda: α F = pz u + p σ p Na asa: α = py u α = p 2u na ponta Derivada C yp ˆp: ˆp z F + ˆp σ u ˆp = 2z F + σ ˆp C yf = a F α F = a F 2z F + σ ˆp ˆp Usando a altura «média» do estailizador z F, e p = 2u Para a aeronave completa: α F = 2u C y = F C F y F = a F C yp tail = a F F 2z F 2zF + σ ˆp ˆp σ ˆp ˆp Derivada C lp damping in roll Contriuição significativa: a da asa Devido ao rolamento: C lp a distriuição de sustentação na asa é assimétrica aparece momento de rolamento L L é proporcional a ˆp < e aproximadamente constante Derivada C lp 2 e parte da asa está em perda: assimetria na distriuição de sustentação diminui momento de rolamento L diminui C lp diminui 13

14 e parte importante da asa está em perda, C lp pode até mudar de sinal autorotação da asa cfr. spin Derivada C np É derivada cruzada conduz a acoplamento entre rolamento e guinada Principais contriuições: asa cauda especialmente empenagem vertical: estima-se a partir da força lateral Derivada C np : contriuição da asa A contriuição da asa deve-se a: Variação do perfil de resistência com o AoA local da asa e p > : asa direita: α D ; asa esquerda: α D. Logo N > nose-right C np > Variação da inclinação da sustentação nas asas ver a seguir Derivada C np : contriuição da asa 2 Contriuição da asa devido a variação da inclinação da sustentação nas asas porque há variação do ângulo de ataque: e p > : asa direita: sustentação inclina para a frente asa esquerda: sustentação inclina para trás Logo N < e C np C L 14

15 Derivada C np : contriuição da cauda C n tail = C yf f C n tail = +a F 2zF l F σ ˆpV V ˆp C np tail = a F 2zF σ V V ˆp 3.3 Derivadas em ordem a r Efeitos da guinada A alteração no escoamento é grande se a asa tem ângulo de flecha elevado. A velocidade normal a 1/4 de corda: varia da raiz para a ponta da asa aumenta na asa esquerda diminui na asa direita Logo: as forças e momentos aumentam na asa esquerda e diminuem na asa direita. Existe tamém sidewash. Força lateral Recordando a imagem: 15

16 Efeitos da guinada: contriuição da cauda Variação do ângulo de ataque efectivo na cauda: α F = r l F α F = ˆr 2u u lf u + + r σ r = r σ 2u ˆr lf + σ u r 2lF = ˆr + σ ˆr Força lateral: C y tail = a F α F F = a F ˆr F 2 l F + σ ˆr C yr tail = a F F 2 l F + σ ˆr Derivada C lr C lr é derivada cruzada. Principais contriuições: Contriuição da asa: devida ao aumento de sustentação na asa esquerda e diminuição na asa direita: C l C L, C l > Contriuição da cauda: devida à força lateral C lr tail = a F F z F 2 l F + σ ˆr Derivada C nr damping-in-yaw deve ser sempre negativa amortecimento do movimento de guinada. C nr Principais contriuições: Contriuição da asa: devida ao aumento de resistência na asa esquerda e diminuição na asa direita resistência induzida: provoca N < Contriuição da cauda: devida à força lateral C nr tail = a F V V 2 l F + σ ˆr 16