1.1 Rotor totalmente articulado

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1 1 Movimento da pá Antes de estudar as equações que governam o movimento da pá vamos primeiro ver com é que esse movimento é conseguido. As pás dos helicópteros estão ligadas ao veio do rotor com uma série de dobradiças: Dobradiças de batimento, que permite o movimento para cima e para baixo (batimento). Dobradiças de avanço-atraso. Rolamentos de picada (prato cíclico) utilizado para controlar o ângulo de picada da pá. Tínhamos visto nos capítulos anteriores que a pá, com o helicóptero com movimento horizontal, ao avançar gera mais sustentação do que a pá ao recuar o que provocaria um momento de rolamento responsável por muitos acidentes durante o desenvolvimento inicial do helicóptero. Este momento pode ser evitado com o movimento de batimento. Com este movimento de sobe e desce o centro de massa da pá aproxima-se a afasta-se do eixo de rotação o que provoca uma mudança na sua velocidade linear o que irira provocar forças na raiz da pá. A estas forças juntam-se as forças de resistência aerodinâmica varia com a posição azimutal que mais uma vez geram forças cíclicas na raiz da pá. Para evitar estas forças é permitido à pá avançar ou recuar em relação à sua posição normal. Estes dois movimentos serão apenas a resposta da pá as forças aplicadas e não são directamente controlados pelo piloto. O terceiro movimento (rolamento de picada) é o único que é controlado pelo piloto e ao ângulo de picada da pá, altera-se o ângulo de ataque alterando-se a força gerado pelo rotor. Pode-se assim gerar mais propulsão fazendo o helicóptero subir, menos propulsão fazendo o helicóptero descer. As cargas aerodinâmicas geradas na pá são afectadas pelo movimento das mesmas. Dado que todos estes movimentos são feitos com ângulos pequenos pode-se assumir que o movimento de atraso pode ser negligenciado na sua influência nas forças geradas mas o de batimento e o de picada não o podem ser dado que a sua influência é

2 fundamental na geração de forças. Vamos então estudar como é que este movimento é conseguido através de diferentes ligações da pá com a cabeça do rotor. 1.1 Rotor totalmente articulado Figura 1 Cabeça totalmente articulada do helicóptero militar AH-64 Apache Figura 2 Cabeça totalmente articulada do rotor coaxial do helicóptero Kamov Ka-29TB Helix

3 Neste tipo de cabeças de rotor a ligação entre a pá e a cabeça é feita através de dobradiças e rolamentos permitindo o movimento relativo entre a pá e a cabeça. Assim o rotor tem dobradiças permitem o movimento de batimento e de atraso, rolamentos permitem o movimento de picada. Normalmente são adicionados amortecedores às dobradiças de atraso. Dado que são necessários mecanismos que permitam este movimento estes rotores são pesados e provocam grande resistência aerodinâmica. O projecto deste tipo de rotores, apesar de ser complicado dado a interacção de todos os mecanismos, está de tal maneira desenvolvido que a sua utilização é sempre a primeira escolha. Em termos de manutenção e dado haver mais mecanismos em causa, esta é mais complicada e cara. 1.2 Rotor Teetering Neste tipo de rotores não existe uma dobradiça independente de batimento/atraso isto porque as pás estão fisicamente ligadas uma à outra. Isso quer dizer que se uma pá tiver um movimento de batimento para cima a outra terá um movimento batimento idêntico para baixo. O mesmo aconteceria com o movimento de atraso. No entanto este tipo há rolamentos independentes de picada. Este tipo de rotor é mecanicamente extremamente simples. Apesar de ter uma resistência aerodinâmica menor que o rotor totalmente articulado esta ainda é elevada. No entanto o seu projecto e manutenção são facilitados. Uma variação é a cabeça teetering cujo apoio se situa acima do plano do rotor. Figura 3 Rotor do helicóptero UH-1 Huey

4 Figura 4 Pormenor do rotor do helicóptero UH-1 Huey Figura 5 Rotor do helicóptero Robinson R-22

5 Figura 6 Pormenor do rotor Robinson R-22 Este tipo de rotor não está limitado a duas pás. Os rotores do Osprey V-22 (três pás) são deste tipo onde as três pá estão ligado a uma cabeça e esta está posicionada num apoio rotativo sobre o veio de rotação. Figura 7 Rotor tetering do Osprey V Sem dobradiças Outro tipo de rotores foi desenvolvido com a intenção de se eliminar as dobradiças de batimento e de atraso. Para tal o movimento da pá é obtido por flexão dos materiais de

6 ligação entre a pá e a cabeça do rotor. Devido a esta flexão em dois eixos existe um acoplamento dos movimentos de batimento e de atraso. Mecanicamente é um rotor extremamente simples, de menor resistência aerodinâmica. Tem óptimas capacidades de manobra. E apesar de ser mais complicado de projectar dado termos de encontrar matérias quer permitam o movimento repetido de flexão dentro de valores aceitáveis, a sua manutenção é muito mais simples dado ter menos mecanismos. A sua resistência aerodinâmica é também menor dado a dimensão da cabeça também, ser menor. Figura 8 Westland Lynx Na Erro! A origem da referência não foi encontrada. está um esquema de um rotor sem dobradiças com amortecedor para o movimento de atraso que, como veremos mais à frente, não tem um amortecimento muito grande como acontece com o movimento de batimento.

7 1.4 Rotor sem rolamentos A extensão lógica será retirar os rolamentos de picada, ficando assim um rotor compacto sem mecanismos de movimento relativo. O rotor sem rolamentos não tem dobradiças de batimento/atraso nem rolamentos de picada. Todo o movimento é feito com flexão e torção dos elementos de ligação. Naturalmente irá haver um acoplamento entre todos os movimentos. No entanto mecanicamente é muito simples o que permite uma pequena resistência aerodinâmica, e muito fácil manutenção. Por outro lado é complicado de projectar Figura 9 Rotor sem dobradiças do Eurocopter AS355 TwinStar Figura 10 Rotor sem dobradiças do Eurocopter EC135

8 1.5 Relação entre movimentos A ordem pela qual as dobradiças batimento e atraso e os rolamentos de picada são posicionados variam com fabricante e com o modelo do helicóptero. O uso de dobradiças coincidentes para batimento e atraso é comum porque permite um projecto mais compacto. Normalmente os rolamentos de picada são normalmente posicionados depois. Não é obrigatório, nem muitas vezes possível que as dobradiças estejam posicionadas sobre o eixo de rotação. Para o movimento de batimento por exemplo para que o eixo de batimento intersecte o eixo de rotação tem que haver um desfasamento na posição da (Erro! A origem da referência não foi encontrada.), podendo ou não estar o eixo de atraso a 90º do eixo de rotação. Se o eixo de rotação de atraso estiver afastado do eixo

9 de rotação isso alterar a posição relativa do centro de massa e esta nova posição terá se ser tida em conta no cálculo da respectiva velocidade (Erro! A origem da referência não foi encontrada.). Estudando agora apenas o movimento de atraso, Erro! A origem da referência não foi encontrada., vemos que a posição do centro de massa da pá depende do ângulo de atraso. Esta alteração do ângulo não levanta grandes problemas se todas as pás tiverem o mesmo ângulo de atraso, ou seja um desfasamento de 360º o centro de massa mantémse em cima do eixo de rotação. No entanto se o desfasamento for de 180º, Figura 11, ou seja se uma pá tem um ângulo de atraso a pá afastado de 180º têm o mesmo ângulo mas de avanço. Neste caso o centro de massa afasta-se do eixo de rotação e provoca um movimento alternado deste em torno do eixo de rotação, que se não for controlado pode lavar à destruição do próprio aparelho. Este tipo de problemas pode acontecer quando o aparelho está a descolar com uma velocidade horizontal e por exemplo bate numa pedra que provoca o deslocamento do centro de massa do rotor. Este vai provocar um movimento oscilatório que vai excitar a fuselagem e se se aproximar da sua frequência própria do aparelho pode levar à destruição deste.

10 Figura 11 Movimento do centro de massa com pás desfazadas 1.6 Acoplamento entre os movimentos Vimos então que a pá pode ter três movimentos de rotação. No entanto vimos também que os três eixos de rotação não são necessariamente ortogonais. Podemos então decompor compor o movimento de rotação total nas três componentes segundo o eixo Y ao longo da pá (eixo de picada), perpendicula perpendicularr à pá mas no plano de rotação eixo X (de batimento e perpendicular ao plano do rotor batimento) rotor, Z, (eixo eixo de atraso) atraso) Figura 12.. Fazendo a

11 projecção do eixo total de rotação no plano XY fica definido o ângulo que dá a interferência entre o batimento e a picada da pá. Figura 12 Decomposição do movimento de rotação em batimento, atraso e pica picada Figura 13 Acoplamento entre picada e batimento Este acoplamento implica que quando a pá tem um movimento ascendente este vai diminuir o ângulo de picada, diminuindo a sustentação o que vai contra o movimento

12 ascendente. Se for um movimento descendente o ângulo de ataque vai aumentar aumentado o geração de sustentação contrariando mais uma vez o movimento Figura 14 Sem acoplamento entre o movimento de batimento e de picada Este acoplamento pode sser er anulado se o eixo de batimento intersectar o ponto de controlo do ângulo de picada. Se fizermos a projecção do eixo de rotação no plano ZY temos o acoplamento entre o atraso e o batimento Figura 15 Acoplamento entre o movimen movimento to de atraso e batimento

13 Figura 16 Caso geral de acoplamento entre os três movimentos movimentos, ângulos δ No caso geral temos um ângulo δ3 0 que dá um acoplamento entre o bbatimento e picada, um ângulo δ1 0 que dá um acoplamento de batimento picada, batimento e atraso (Figura Figura 16). Se consideramos agora os as outras projecções ((Figura Figura 17)) concluímos que com α3 0 temos o acoplamento entre o aatraso traso e picada e α1 0 o acoplamento entre o atraso a e batimento batimento.

14 Figura 17 Caso geral de acoplamento entre os três movimentos, ângulos α 1.7 Movimento cíclico Estudemos udemos agora como é que o piloto controla o helicóptero alterando o ângulo de picada das pás. Esta alteração pode ser feita colectivamente (alteração do ângulo de picada de igual modo seja qual for a posição azimutal da pá) ou ciclicamente (a alteração ao ângulo de picada depende da posição azimutal da pá. Esta alteração é conseguida através do prato cíclico, ver Figura 18.. Este prato é constituído por duas parte sobrepostas. Uma fixa ligado aos comandos dos piloto outra rotativa lligada às próprias pás. Este prato para além de se mover axialmente com o veio do rotor pode ainda inclinar-se inclinar se em relação a este. Cada pá está ligada ao prato por um cabo de controlo que liga o bordo de ataque da raiz da pá ao prato cíclico cíclico.. Assim se o prato prat se movimentar para cima obriga a pá a rodar no seu eixo longitudinal aumentando o ângulo de picada. O prato é controlado por dois comandos à disposição do piloto. Um é a alavanca do lado esquerdo do piloto (Figura Figura 19) que controla controla colectivamente o prato fazendo subir ou descer axial segundo o veio do rotor (Erro! Erro! A origem da referência não foi encontrada.). Isto faz aumentar ou diminuir o ângulo de picada que por sua vez gera mais ou menos propulsão. Como efeito secundário o aumento ou diminu diminuição ição do ângulo de picada altera também a resistência aerodinâmica e por isso a potência necessária para a vencer. É necessário por isso que na alavanca haja possibilidade de se alterar a potência fornecida ao rotor ((Figura Figura 20)) que em alguns modelos é feito manualmente em outros é feito automaticamente.

15 Figura 18 Prato cíclico de controlo do rotor Figura 19 Comando colectivo: Alavanca do lado esquerdo

16 Figura 20 Pormenor da alanca de controlo colectivo Para o controlo da direcção do helicóptero o piloto utiliza a manche (Figura 21). Ao utilizar a manche o piloto inclina o prato cíclico e assim aumenta o ângulo de picada de

17 para uma determinada posição do ângulo azimutal e diminui para a posição azimutal oposta ou seja 180º depois (Erro! A origem da referência não foi encontrada.). Ao se alterar a geração de propulsão dependendo da posição azimutal o rotor entra em precessão e encontra uma nova posição de equilíbrio, onde a força de propulsão gerada pelo rotor terá a inclinação pretendida pelo piloto. Figura 21 Comando cíclico: Manche

18 1.8 Movimento de batimento da pá Na secção anterior foi visto que as pás a ligação da pás ao veio do rotor é feita através de dobradiças de batimento que permitem à pá subir ou descer em relação ao plano do rotor. A força de sustentação gerada pela pá tende a fazer subir a pá, movimento de batimento ascendente. O peso e as forças inerciais centrifugas (opostas a respectiva aceleração) tendem a fazer descer a pá, movimento de batimento descendente. Enquanto a pá roda é encontrada uma equilíbrio onde o somatório dos momentos devido a estas forças é nulo. No entanto dado que o peso a considerar é apenas o peso da pá mas a força de sustentação contraria todo o peso do helicóptero (do qual o peso da pá é apenas uma pequena parcela) despreza-se o peso nos cálculos subsequentes.

19 Figura 22 Posição de equilíbrio da pá no movimento de batimento. Estudando a posição de equilíbrio da pá: Dado que é uma posição de equilíbrio é uma posição constante. Para tal forças não podem variar durante o movimento de rotação da pá. Esta condição é encontrada no voo pairado ou axial do helicóptero. Estudando (ver Figura 22) o elemento de pá dy distanciado de y do eixo de rotação. A pá tem como massa por unidade de comprimento m e a dobradiça de batimento está posicionada à distância er do eixo de rotação e roda com uma velocidade constante Ω. A força centrifuga será igual mas oposta à massa a multiplicar pela respectiva aceleração que num movimento de rotação é centrípeta. = = 1.1 Admitindo que não há desfasamento da dobradiça de batimento em relação ao eixo de rotação (er=0) a força centrifuga total é dada por: = = 2 = nesta última expressão M é a massa total da pá. Voltando à Figura 22, vemos que a pá tem um ângulo de batimento em relação ao plano de rotação do rotor. Fisicamente constata-se que este ângulo é pequeno logo sin =, cos = 1. Para o movimento que estamos a estudar a componente da força centrifuga paralela à pá não nos interessa dado que o seu momento não induz qualquer alteração ao ângulo de batimento. Interessa-nos por isso a componente perpendicular à pá: sin = sin 1.3

20 Podemos encontrar o momento da componente perpendicular à pá da força centrifuga em relação à dobradiça de batimento, sabendo que o respectivo braço é a distância medida ao longo da pá desde a posição da dobradiça de batimento até ao elemento em questão: = sin = 1.4 dado que estamos a considerar que o ângulo de batimento é constante (posição de equilíbrio), assim a massa por unidade de comprimento: = = 3 = 3 = Podemos também escrever o momento da força centrífuga da seguinte forma = = 1.6 Onde é o momento de inércia da pá em relação à dobradiça de batimento. A este momento estabilizador vai-se contrapor o momento destabilizador das forças aerodinâmicas. O momento aerodinâmico é dado, integrando ao longo de toda a pá o produto da força aerodinâmica perpendicular à pá (sustentação) a multiplicar pelo braço, distância ao longo da pá, que tínhamos visto é igual a y: = 1.7 Na posição de equilíbrio o somatório dos dois momentos é zero M CF +M β =0 por isso: 3 Como queremos encontrar a posição de equilíbrio: = = As expressões acima podem ser modificadas no caso de haver um desfasamento entre a dobradiça de batimento e o eixo de rotação. Neste caso o momento da força centrífuga é:

21 = = 1 3 = Dado que o desfasamento é sempre pequeno er<(0.15r) podemos desprezar potências maiores do que 1 de e. O momento aerodinâmico será dado por: = 1.11 E o ângulo de equilíbrio (ângulo de coning) é: = Movimento de batimento da pá No movimento de rotação da pá as forças só se mantém constantes se o movimento do helicóptero for de voo pairado ou de voo axial. Em qualquer outro caso as forças aerodinâmicas dependem da posição azimutal da pá em por isso a pá irá ter um movimento de batimento onde o ângulo irá depender da posição azimutal. Por esta razão temos que estudar a dinâmica do movimento de batimento da pá. Neste caso aparece um terceiro momento, proporcional à aceleração de rotação, o momento inercial o qual tem que ser somando ao momento aerodinâmico (destabilizador) e ao momento da força centrífuga (estabilizador) na equação do movimento. Recordando o momento aerodinâmico e o momento da força centrífuga, numa situação onde não há desfasamento entre a dobradiça de batimento e o eixo de rotação são dados por: =, = 1.13 O momento inercial será dado por = 1.14

22 Figura 23 Movimento de batimento da pá Assumindo que a pá tem um desfasamento nulo a equação do movimento será: + = Pondo em evidência no primeiro e segundo termo o integral da distância à dobradiça ao quadrado : + = Como já tínhamos identificado este integral como sendo o momento de inércia da pá em relação ao eixo de batimento : + = 1.17 Olhando para a equação 1.17 vemos que temos a variação do ângulo de batimento com o tempo. Na realidade queríamos esta variação com a posição azimutal e não com o tempo. Mas dado que a relação entre a posição azimutal e o tempo é dada pela velocidade de rotação: = 1.18 podemos fazer a seguinte mudança de variável:

23 A segunda derivada de em ordem ao tempo virá: = = = = 1.19 = = = = 1.20 Utilizando as equações 1.19 e 1.20 na equação 1.17 podemos escrever: + = Para o cálculo do momento aerodinâmico podemos ir buscar as equações obtidas na teoria dos elementos de pá. Recordando temos para a sustentação para o caso de voo pairado: = Então o momento aerodinâmico pode ser calculado utilizando: = Assuming that the blade is rectangular, =. and the profile is the same along the whole blade =. and knowing that = : = Relembrando que = : = Substituindo a equação 1.25 na equação 1.21, a equação de batimento vem: + = Finalmente procedendo a mudança de variável 1.19: + =

24 Introduzindo a definição do número de Lock, que pode ser visto como o rácio entre as forças aerodinâmicas e as forças inerciais: a expressão final para a equação de batimento é: = = Esta equação pode ser comparada com a equação do movimento de um sistema massmola-amortecedor: + + = 1.30 Onde é o deslocamento ( a velocidade e a aceleração), a massa, o amortecimento e a constante da mola e as forças que actuam no sistema. Neste caso a frequência natural não amortecida do sistema é = 1.31 no nosso caso para o movimento de batimento será a raiz do coeficiente de pelo coeficiente de na equação 1.29: = 1 1 = Para melhor compreensão do movimento em cause vamos supor que o rotor está a trabalhar no vácuo. Neste caso não há geração de forças aerodinâmicas logo a equação 1.21 simplifica-se para: + = cuja solução é: = cos + sin 1.34 Com e constantes arbitrárias. Com a introdução das forças aerodinâmicas o rotor, que actua como um giroscópio irá entrar em precessão para uma nova orientação

25 até que o equilíbrio é novamente atingido através do amortecimento aerodinâmico. Uma forma mais geral da equação 1.21 pode ser obtida, mantendo o número de Lock, se o momento aerodinâmico não fosse calculado: + =, 1 = 1.35 Considerarmos agora que estamos perante um voo com velocidade horizontal, 0 e que a pá tem torção linear e por isso tem velocidade induzida uniforme. Neste caso é dado por: = 1 = 1.36 Substituindo U T e U P com as expressões obtidas com TEP e calculando o integral, podese obter: = + sin sin + çã + sin sin + 4 sin + + sin cos + 4 Que pode ser substituído na equação Dado que considerámos estar em voo horizontal com 0 a equação de batimento não tem uma solução analítica, sendo necessário utilizar métodos numéricos para a resolver. No entanto tínhamos visto que o termo de amortecimento, associado com (ver equações 1.29 e 1.30) é de origem aerodinâmica assim: = sin Para o caso de voo pairado, = 0, e um valor típico para o número de Lock = 8, corresponde a um amortecimento a partir da equação 1.38 de 50% do valor critico. Pode-se facilmente concluir que o movimento de batimento é estável. Para resolver a equação 1.37 podemos prescrever os valores que seriam impostos pelo piloto ou seja sua o ângulo de picada em qualquer posição azimutal (Ângulo de picada colectivo θ 0, Cíclico lateral θ 1c, Cíclico Longitudinal θ 1s ) e o rácio da velocidade induzida λ i e integrar numericamente. No entanto não nos dá a percepção de como o batimento da pá é afectado pelos vários parâmetros Alternativamente podemos tentar encontrar uma solução periódica e estável na forma de uma série de Fourier. No entanto esta solução não é valida para situações transientes tais como manobras. Assim assumimos que a primeira solução harmónica (à qual seriam somadas as restantes harmónicas) tem a forma:

26 = + cos + sin 1.39 Encontrando o par harmónico da parte constante e da periódica (em sin e cos ) em ambos os lados da equação 1.35: = çã = = + + çã1 A pairar, = 0, a solução simplifica-se = 0 + = Se assumirmos também que o movimento de picada (imposto pelo piloto) tem uma forma ao movimento de batimento: = + cos + sin 1.42 podemos concluir da equação 1.41 que a reposta de batimento tem um atraso de 90º em relação à variação de entrada do ângulo de picada: = + cos + sin 1.43 Em que o termo β 0 é a média ou o valor médio do movimento de batimento e é independente para posição azimutal da pá. O termo β 1c é a amplitude do movimento (coseno) representa a inclinação longitudinal do plano de trajectória das pontas das pás, Figura 24. Figura 24 Variação longitudinal do movimento de batimento O termo β 1s é a amplitude do movimento em seno. Representa a inclinação lateral do plano de trajectória das pontas das pás,.

27 Figura 25 Variação lateral do movimento de batimento Podemos fazer uma análise semelhante para o caso de existir um offset na dobradiça. As diferenças são: A força inercial m(y-er) dy actua a uma distância (y-er) da dobradiça A força centrifuga myω 2 dy actua a uma distância (y-er)β da dobradiça A forças aerodinâmicas Ldy actuam a uma distancia (y-er) da dobradiça A equação dos momentos em relação à dobradiça será então: + Neste caso o momento de inércia em relação ao eixo da dobradiça é: = = 1.45 A equação de batimento da pá é: ou = + = Nesta expressão = A equação 1.47 com a análoga com o sistema mass-mola-amortecedor, a frequência não amortecida do rotor é:

28 3 = = Dados os valores de e serem pequenos a frequência natural não amortecida é ligeiramente maior do que 1/ver. Isto também quer dizer que o atraso entre a entrada e resposta em batimento do rotor tem que ser menor do que 90º. Nesta caso como a equação de batimento é: + = 1.50 A resposta de batimento ao uma entrada do ângulo de picada é: = 8 1 = O que dá o ângulo longitudinal de batimento = E o ângulo lateral de batimento = Finalmente a frequência forçada 1/rev é menor que a frequência natural de batimento e pode ser demonstrado que o atraso (menor que 90º) é dado por: 8 1 ϕ = tan tan Movimento de atraso Vamos estudar agora outro movimento da pá: O movimento avanço/atraso. A pá tem este movimento para evitar esforços demasiado grandes na raiz da pá. Seguindo o exemplo do estudo do movimento de batimento vamos primeiro estudar o equilíbrio estático em torno da dobradiça de atraso para depois estudar o movimento de atraso em torno da respectiva dobradiça. O equilíbrio em torno da dobradiça de atraso é determinado pelo equilíbrio de momentos das forças centrifugas e aerodinâmicas, no

29 plano de rotação da pá, ao contrário do movimento de batimento que era visto num plano perpendicular ao plano de rotação Figura 26 Ângulo de atraso da pá A força centrifuga, que vimos que é igual ao oposto da aceleração centrípeta vezes a massa é : = = 1.55 Sendo a componente perpendicular à pá: = 1.56 Se considerarmos que não há desfasamento entre a dobradiça de atraso e o eixo de rotação, o momento da força centrifuga será : = = = As forças aerodinâmicas no plano de rotação da pá incluem quer a resistência induzida quer a resistência viscosa. Identificando como D a resistência total que actua a uma distância y D da dobradiça de atraso, podemos escrever que a equação de equilíbrio de momentos em torno da dobradiça de atraso é: = D y 3 = D y = 3D y 1.58 Podemos concluir que para um carregamento aerodinâmico constante, o ângulo de atraso é inversamente proporcional à massa da pá e à velocidade de rotação. Vamos agora considerar que há um offset da dobradiça a componente da força centrifuga perpendicular à pá é:

30 Da geometria do problema podemos concluir que = 1.59 = O momento centrifugo é: = = 1 = = = = A força de corte na dobradiça de atraso devido às forças aerodinâmicas e centrífugas tem que ser igual ao binário no veio dividido pelo offset da dobradiça: D cos ζ sin = Q er D ζ 1 = 1.62 Estudando agora o movimento de atraso da pá em torno da dobradiça de atraso com um offset de er do eixo de rotação: A actuar na pá temos a força de inércia m xdy = m y er ζ ( ) dy mxdy = m ζdy 1.63 Que actua a uma distância (y-er) da dobradiça. A força centrifuga ydy 1.64 Que actua a uma distância erx/y do eixo de rotação. De notar que

31 x = ζ 1.65 A resistência aerodinâmica D que actua a uma distância y-er da dobradiça. A equação dos momentos em relação à dobradiça de atraso é: m ζdy D dy + y er y ζ dy = Sabendo que o momento de inércia da pá em relação ao eixo da dobradiça é: I = m dy 1.67 Podemos escrever I ζ + ζ = 1 D dy Ω 1.68 Com er = m dy I = 3 2 er R er 3 2 e 1.69 De notar que se e=0 então v ζ =0. Onde v ζ é a frequência de atraso adimensional em relação à velocidade de rotação. O efeito amortecedor da força centrifuga é muito menor no movimento de atraso que no movimento de batimento. A frequência natural do movimento de atraso é muito menor do que no batimento. Tipicamente a frequência natural varia de 0.2Ω a 0.3Ω em rotores articulados até 0.6Ω a 0.8Ω em rotores sem dobradiças. O movimento de atraso é ligeiramente amortecido Por esta razão os rotores tem amortecedores externos.

32 Figura 27 Localização do amortecedor no movimento de atraso 1.11 Movimento conjunto batimento-atraso Nas duas secções anteriores estudámos o movimento de batimento e de atraso isoladamente. É claro que estes dois movimentos não acontecem separadamente mas em conjunto com o movimento rotativo da pá. Ao estudar o movimento conjunto temo de ter em atenção os efeitos de Coriolis devido à interacção dos dois movimentos. Vamos assumir também que as duas dobradiças, que podem ter um desfasamento em relação ao eixo de rotação, são coincidentes, logo ocupam a mesma posição longitudinal (y). Relembrando a Figura 22, as forças a actuarem na pá no movimento de batimento são: Força inercial = 1.70 Actuando a uma distância (y-er) da dobradiça. A força centrifuga: 1.71 Actuando a uma distância (y-er)β da dobradiça. A força de Coriolis: Actuando a uma distância (y-er)β da dobradiça. E finalmente a sustentação

33 1.73 actuando a uma distância (y-er). Recordando a Figura 26, para o movimento de atraso as força a actuarem na pá são: Força inercial = 1.74 Actuando a uma distância(y-er) da dobradiça. A força centrifuga 1.75 Actuando a uma distância (y-er)(er/yζ) da dobradiça. A força de Coriolis Actuando a uma distância (y-er)β da dobradiça. A resistência aerodinâmica Ddy 1.77 Actuando a uma distância(y-er) da dobradiça. Tendo a expressão para todas as forças e os respectivos braços podemos estabelecer a equação do momento em torno da dobradiça de batimento, utilizando as equações 1.70, 1.71, 1.72, 1.73: + 2 = Simplificando a equação do movimento de batimento acoplado com o movimento de atraso vem: Na última expressão + 2 = = =

34 Notar que v β 1 quando e 0. A equação do momento em torno da dobradiça de atraso utilizando as equações 1.74, 1.75, 1.76, 1.77: = E a equação do movimento de atraso acoplada com o movimento de batimento vem: Nesta última expressão + 2 = = = 1.83 Notar que v ζ 0 quando e 0. Nas equações acima 1.79 e 1.82 os movimento eram independentes mas acoplados através da força (aceleração de coriolis) Movimento conjunto batimento-picada Tinhamos visto anteriormente que o rotor pode ter um acoplamento picada-batimento através de uma dobradiça δ 3 normalmente utilizado para reduzir a amplitude do movimento de batimento. A cinemática é tal que se a pá bate com um ângulo β, o ângulo de picada é reduzido de β tan δ 3. Desta forma o ângulo de picada θ no lado direito da equação de batimento pode ser substituído por θ-β tan δ 3. Neste caso a equação obtida para o movimento de batimento 1.29 será alterada para: = 8 tan Da qual a equação do movimento de batimento pode ser encontrada: tan = Com um aumento da frequência de batimento: = = tan 1.86 E o respectivo ângulo de coning:

35 = tan 1.87 Rotores teetering Há no entanto dois tipos de rotores que necessitam de uma análise à parte. Um deles é o rotor teetering onde ambas as pás se encontram ligadas uma à outra (no caso de o rotor só ter duas pás que é o caso mais usual). Assim o rotor não tem dobradiças independentes de batimento ou atraso. Quando uma pá tem o movimento de batimento positivo a outra tem um movimento de batimento igual mas negativo, acontecendo a mesma coisa para o movimento de atraso. As pás podem ser construídas com um ângulo de β p, o que reduz as cargas de flexão devido ao carregamento aerodinâmico, existindo normalmente um δ 3 que reduz o batimento cíclico e os efeitos de Coriolis. O movimento dinâmico de batimento é obtido considerando o equilíbrio total das duas pás em que cada pá tem uma contribuição para o momento de: 2 + = E a equação do momento respectivo é: + = 1.89 Cuja frequência natural é = Se considerarmos que a equação do movimento de batimento para uma pá nesta situação tem a expressão geral (equação 1.39): = + cos + sin 1.91 Para a segunda pá, localizada a ψ+π a equação do movimento de batimento é: = 2 = + cos + + sin Esta última equação pode ser escrita como

36 = + 1 cos + + sin Igualando os coeficientes trigonométricos = + cos + sin 1.94 Rotores sem dobradiças O segundo tipo de rotores que merece uma atenção particular são os rotores sem dobradiças onde o movimento batimento de atraso são obtidos de flexão do material. Assumindo que a flexão é equivalente a uma mola de constante k β posicionada numa dobradiça equivalente com offset e, a equação do movimento de batimento é: + = = Escrevendo na forma convencional: Onde a frequência de batimento sem rotação: + = = 1.97 Com a frequência natural De notar que se o desfasamento virtual for dado por = = e

37 A análise pode prosseguir assumindo um rotor articulado. =