Resposta no Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello 1

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1 Resposta no Tempo Carlos Alexandre Mello 1

2 Resposta no Tempo - Introdução Como já discutimos, após a representação matemática de um subsistema, ele é analisado em suas respostas de transiente e de estadoestacionário para verificar se o subsistema possui as características desejadas no projeto Após essa análise, o subsistema pode ser acoplado em um sistema de malha fechada, por exemplo 2

3 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Também como já vimos antes, a resposta de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a resposta natural Apesar da análise de um sistema por equações diferenciais ser eficiente, em geral, é um processo bastante custoso O uso de polos e zeros e sua relação com a resposta de um sistema é uma técnica rápida e eficiente 3

4 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Polos de uma função de transferência são: Os valores da variável s da transformada de Laplace que fazem a função de transferência tender para infinito As raízes do denominador da função de transferência que não são comuns a raízes do numerador Zeros de uma função de transferência são: Os valores da variável s da transformada de Laplace que fazem a função de transferência igual a zero As raízes do numerador da função de transferência que não são comuns a raízes do denominador 4

5 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem Considere a função de transferência abaixo: G(s) R(s) C(s) Um polo existe em s = -5 e um zero em s = -2 Esses valores são plotados no plano s, usando um X para indicar um polo e um O para indicar um zero 5

6 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem Polo Zero 6

7 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem Para mostrar as propriedades dos polos e zero, vamos analisar a resposta do sistema a um degrau unitário Ou seja, R(s) = 1/s Assim, temos: Ou: 7

8 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 8

9 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem Da Figura anterior podemos concluir: 1. Um polo na função de entrada gera a forma da resposta forçada (o polo na origem gerou a função degrau na saída) 2. Um polo na função de transferência gera a forma da resposta natural (o polo em -5 gerou e -5t ) 3. Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial do tipo e αt, onde α é a localização do polo no eixo real (o polo em -5 gerou e -5t ) 4. Os zeros e polos afetam as amplitudes para ambas as respostas forçada e natural (o cálculo dos coeficientes da expansão em frações parciais) 9

10 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 10

11 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 11

12 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Vamos ver outro exemplo para analisar como podemos usar a técnica de polos e zeros para obter a forma da resposta do sistema Resposta por inspeção Como vimos, cada polo da função de transferência do sistema que está no eixo real gera uma resposta exponencial que é componente da resposta natural Os polos da entrada geram a resposta forçada 12

13 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo 1: Considere o sistema abaixo e escreva a saída c(t), em termos gerais. Por inspeção, cada polo gera uma componente exponencial como parte da resposta natural O polo da entrada gera a resposta forçada Assim: Resposta forçada Resposta natural 13

14 Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo 2: Um sistema tem função de transferência por inspeção, sua saída c(t), em termos gerais, para uma entrada como degrau unitário é: 14

15 Sistemas de Primeira Ordem Sistemas de Primeira Ordem sem zeros: 15

16 Sistemas de Primeira Ordem Se G(s) = a/(s + a) e a entrada é um degrau unitário R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da resposta ao degrau é C(s), onde: onde o polo na origem gera a resposta forçada c f (t) = 1 e o polo do sistema em a gera a resposta natural c n (t) = -e -at 16

17 Sistemas de Primeira Ordem O único parâmetro é a variável a que é necessária para descrever a resposta em transiente Quando t = 1/a: ou: 17

18 Sistemas de Primeira Ordem Considerando que: (1) (2) (3) Vamos definir três especificações de desempenho de resposta de transiente... 18

19 Sistemas de Primeira Ordem Constante de Tempo Dizemos que 1/a é uma constante de tempo da resposta, Tc Dada a relação (2) anterior, a constante de tempo pode ser descrita como o tempo para e -at decair 37% do seu valor final Da mesma forma, a constante de tempo é o tempo que leva para a resposta ao degrau subir para 63% do seu valor final (considerando a relação (3) anterior) 19

20 Sistemas de Primeira Ordem Constante de Tempo 20

21 Sistemas de Primeira Ordem Constante de Tempo O parâmetro a é chamado de frequência exponencial A constante de tempo pode ser considerada um parâmetro de especificação de transiente para um sistema de primeira ordem já que ela está relacionada com a velocidade de resposta do sistema a um degrau de entrada No gráfico de polos, o polo está localizado na posição oposta à constante de tempo Quanto mais longe o polo estiver do eixo imaginário (abscissa), mais rápida a resposta de transiente 21

22 Sistemas de Primeira Ordem Tempo de Subida Rise Time O Tempo de Subida, Tr, é definido como o tempo que o sinal vai de 0,1 a 0,9 do seu valor final O tempo de subida é encontrado resolvendo (1) para a diferença de tempo de c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 Assim: Tr = 2,31/a 0,11/a Tr = 2,2/a c(t) = 1 e -at 0,9 = 1 e -at 0,1 = e -at -at = ln(0,1) = -2,31 t = 2,31/a Para c(t) = 0,1, o mesmo cálculo leva a 0,11/a 22

23 Sistemas de Primeira Ordem Tempo de Acomodação Settling Time O Tempo de Acomodação, Ts, é definido como o tempo que a resposta alcança e fica dentro de uma faixa de ±2% do seu valor final Fazendo c(t) = 0,98 em (1) e resolvendo para t, encontramos Ts = 4/a 23

24 Sistemas de Primeira Ordem Problema: Um sistema tem função de transferência: Encontre a constante de tempo, Tc, o tempo de acomodação, Ts, e o tempo de subida, Tr Solução: Tc = 1/a = 1/50 = 0,02 seg Ts = 4/a = 4/50 = 0,08 seg Tr = 2,2/a = 2,2/50 = 0,044 seg 24

25 Sistemas de Segunda Ordem Diferente de sistemas de primeira ordem, sistemas de segunda ordem têm uma grande variedade de respostas que precisam ser analisadas Enquanto apenas variar o parâmetro de um sistema de primeira ordem muda sua velocidade de resposta, mudanças nos parâmetros de sistemas de segunda ordem podem mudar a forma da resposta Por exemplo, considere o sistema genérico: G(s) R(s)=1/s C(s) 25

26 Sistemas de Segunda Ordem Polos: -7,854-1,146 Sistema Sobreamortecido (Overdamped) Exemplo 1: 26

27 Sistemas de Segunda Ordem Polos: -1 + j j 8 Sistema Subamortecido (Underdamped) Exemplo 2: 27

28 Sistemas de Segunda Ordem Polos: j3 -j3 Sistema Não-Amortecido (Undamped) Exemplo 3: 28

29 Sistemas de Segunda Ordem Polos: -3 (polo duplo) Sistema Criticamente Amortecido (Critically Damped) Exemplo 4: 29

30 Sistemas de Segunda Ordem Um sistema sobreamortecido se aproxima rapidamente do valor final A resposta de um sistema subamortecido é sempre mais lenta (que o sobreamortecido), qualquer que seja o sinal de entrada O sistema criticamente amortecido é o que apresenta resposta mais rápida Vamos agora analisar cada tipo de resposta e mostrar como podemos usar os polos para determinar a natureza dessa resposta sem precisar usar expansão em frações parciais e transformada inversa de Laplace... 30

31 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Sobreamortecida No exemplo 1 anterior, temos: A função tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos reais que vêm da função de transferência do sistema Assim, a saída pode ser escrita como: Gerando o gráfico do exemplo 1 que é chamado de sobreamortecido 31

32 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida No exemplo 2 anterior, temos: A função tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos complexos que vêm da função de transferência do sistema Polos em s = -1 ± j 8 Encontramos c(t): Parte complexa = frequência de oscilação da senóide Parte real = expoente da exponencial: controla o decaimento da amplitude da senóide tg -1 (Re/Img) 32

33 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida A resposta em transiente consiste de uma amplitude decaindo exponencialmente gerada pela parte real do polo do sistema vezes uma onda senoidal gerada pela parte imaginária do polo do sistema O valor da parte imaginária é a frequência real da senóide (chamada frequência de oscilação amortecida - ω d ) A resposta do estado estacionário (degrau unitário) foi gerada pelo polo da entrada localizado na origem (chamada resposta subamortecida) 33

34 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida 34

35 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida e -t cos( 8*t) e -t *cos( 8*t) 35

36 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida Exemplo: Por inspeção, escreva a forma da resposta ao degrau do sistema abaixo: G(s) R(s)=1/s C(s) Solução: A forma da resposta forçada é um degrau Os polos do sistema são s = -5 ± j13,23 A parte real, -5, é a frequência da exponencial A parte imaginária, 13,23, é a frequência em radianos para as oscilações da senóide 36

37 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida Exemplo (cont.): Solução: Assim, c(t) é uma constante mais um senóide exponencialmente amortecida 37

38 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Não Amortecida No exemplo 3 anterior, temos: A função tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos imaginários que vêm da função de transferência do sistema Polos: s = ±j3 Trata-se de uma classe do caso anterior onde a parte real tem valor igual a zero Assim, a exponencial será e -0t = 1 A resposta é dita não amortecida 38

39 Sistemas de Segunda Ordem Resposta Criticamente Amortecida No exemplo 4 anterior, temos: A função tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois múltiplos polos reais que vêm da função de transferência do sistema Polos: s = -3 Esses dois polos geram uma exponencial e uma exponencial multiplicada pelo tempo Assim, a saída pode ser estimada como: 39

40 Sistemas de Segunda Ordem Em resumo: Respostas Sobreamortecidas Polos: dois polos reais em a e b Resposta natural: duas exponenciais com constantes de tempo iguais à localização dos polos: c(t) = K 1 e -at + K 2 e -bt Respostas Subamortecidas Polos: dois polos complexos em a ±jω Resposta natural: Senóide amortecida com um envelope exponencial cuja constante de tempo é igual à parte real do polo. A frequência em radianos da senóide é igual à parte imaginária dos polos: c(t) = Ke -at cos(ωt - φ) 40

41 Sistemas de Segunda Ordem Em resumo: Respostas Não Amortecidas Polos: dois polos imaginários em ±jω Resposta natural: Senóide não amortecida com frequência em radianos igual à parte imaginária dos polos: c n (t) = Kcos(ωt - φ) Mesmo caso anterior com a = 0 Respostas Criticamente Amortecidas Polos: dois polos reais em a Resposta natural: Um termo é uma exponencial com constante de tempo igual ao polo e o outro termo é uma mesma exponencial multiplicada pelo tempo: c n (t) = K 1 e -at + K 2 te -at 41

42 Sistemas de Segunda Ordem 42

43 Sistemas de Segunda Ordem Gerais Definição: Medidas necessárias para descrever as características da resposta de transiente de sistemas de segunda ordem Como a constante de tempo define para sistemas de primeira ordem 1) Frequência Natural 2) Coeficiente de Amortecimento 43

44 Sistemas de Segunda Ordem Gerais 1) Frequência Natural, ω n A frequência natural de um sistema de segunda ordem é a frequência de oscilação do sistema sem amortecimento 2) Coeficiente de Amortecimento, ζ (zeta) O coeficiente de amortecimento pode ser entendido como uma razão entre a frequência de decaimento exponencial e a frequência natural ζ = Frequência de decaimento exponencial Frequência natural (rad/segundos) 44

45 Sistemas de Segunda Ordem Gerais Vamos usar esses conceitos na definição de sistemas de segunda ordem Considere o sistema geral: Sem amortecimento, os polos estariam no eixo imaginário e a resposta seria uma senóide não amortecida Para os polos serem puramente imaginários, teríamos a = 0: 45

46 Sistemas de Segunda Ordem Gerais ω n é frequência de oscilações do sistema Como os polos estão em ±j b: ω n = b b = ω n 2 Assim, o coeficiente b está associado à frequência natural; e o coeficiente a? Considerando um sistema subamortecido, os polos complexos têm uma parte real, σ, igual a a/2 A magnitude desse valor é o decaimento exponencial: ζ = Frequência de decaimento exponencial = σ = a/2 Frequência natural (rad/segundos) ω n ω n a = 2ζω n 46

47 Sistemas de Segunda Ordem Gerais Assim, a equação geral de um sistema de segunda ordem é: Exemplo: Se Quem são ζ e ω n? ω n2 = 36 ω n = 6 2 ζω n = 4,2 ζ = 0,35 47

48 Sistemas de Segunda Ordem Gerais Resolvendo a equação geral para sistemas de segunda ordem em busca de seus polos temos: 48

49 Sistemas de Segunda Ordem Gerais 49

50 Sistemas de Segunda Ordem Gerais 50

51 Sistemas de Segunda Ordem Gerais Exemplos: a = 2ζω n e ω n = b ζ = a/(2 b) ω n = 12 = 3,46 ζ = 8/(2 12) = 1,15 > 1 Sobreamortecido 51

52 Sistemas de Segunda Ordem Gerais Exemplos: a = 2ζω n e ω n = b ζ = a/(2 b) ω n = 16 = 4 ζ = 8/(2 16) = 1 Criticamente amortecido 52

53 Sistemas de Segunda Ordem Gerais Exemplos: a = 2ζω n e ω n = b ζ = a/(2 b) ω n = 20 = 4,47 ζ = 8/(2 20) = 0,89 < 1 Subamortecido 53

54 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Vamos analisar a resposta ao degrau de um sistema subamortecido: ζ < 1 (sistema subamortecido): 54

55 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 55

56 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Outros parâmetros associados com a resposta subamortecida: Tempo de subida (Rise Time T r ): O tempo necessário para a forma de onda ir de 0,1 a 0,9 do seu valor final Tempo de pico (Peak Time T p ): O tempo necessário para atingir o primeiro pico Porcentagem sobressinal (Percent Overshoot - %OS): O máximo valor de pico da curva de resposta, expresso como uma porcentagem do estado estacionário Tempo de Acomodação (Settling Time - T s ): O tempo necessário para que a curva de resposta alcance (e permaneça dentro) cerca de ±2% do valor estacionário 56

57 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 57

58 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Cálculos: T r é calculado fazendo c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 e subtraindo os valores de tempo encontrados. 58

59 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos A tabela abaixo é usada para cálculo aproximado de T r dependendo do valor de ζ : T r = (1,768ζ 3-0,417ζ 2 + 1,039ζ + 1)/ω n Exemplo: ζ = 0,75 Tr 2,3 seg 59

60 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Vamos relacionar essas variáveis à localização dos polos que geram as características do sistema Vemos abaixo um gráfico de polos para um sistema de segunda ordem geral subamortecido: cosθ = ζ ω d = parte imaginária do polo σ d = magnitude da parte real do polo 60

61 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Das equações anteriores de T P e T S, podemos concluir que: T P é inversamente proporcional à parte imaginária do polo Como linhas horizontais no plano-s são linhas de valor imaginário constante, elas também são linhas de tempo de pico constante T S é inversamente proporcional à parte real do polo Como linhas verticais no plano-s são linhas de valor real constante, elas também são linhas de tempo de acomodação constante Como ζ = cosθ, linhas radiais são linhas com ζ constante (ou seja, %OS constante, já que só depende de ζ) 61

62 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 62

63 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Se os polos se movem na vertical, a frequência aumenta, mas o envelope permanece o mesmo já que a parte real dos polos não muda. 63

64 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Se os polos se movem na horizontal, a frequência permanece constante. Um movimento para a esquerda aumenta a velocidade do amortecimento. O tempo de pico é constante porque a parte imaginária também é constante. 64

65 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Movendo os polos em uma linha radial constante a porcentagem de sobressinal permanece constante. Quanto mais distante da origem estiverem os polos, mais rápida a resposta. 65

66 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Exemplo 1: Ache ζ, ω n, T S, T P, T r e %OS para o sistema com função de transferência: omegan = 19 zeta = Ts = Tp = pos = Tr =

67 Resposta de Sistema com Polos Adicionais Os parâmetros anteriores podem ser usados para cálculos apenas em sistemas com um ou dois polos, mas não para sistemas com mais polos ou com zeros Sob certas condições, um sistema com mais polos ou com zeros pode ser aproximado para um sistema de segunda ordem que tem apenas dois polos complexos dominantes Vamos analisar o efeito de um polo adicional em um sistema de segunda ordem 67

68 Resposta de Sistema com Polos Adicionais Vamos analisar as condições que devem existir para aproximar o comportamento de um sistema de três polos para um de dois polos Considere um sistema de três polos com polos complexos e um polo real Considere os polos complexos em: - ζω n ± jω n 1 - ζ 2 e o real em -α r A saída é então: ou: 68

69 Resposta de Sistema com Polos Adicionais Termo 1 Termo 2 Termo 3 A exponencial com expoente αr é o termo novo derivado do fato do sistema ter três polos, portanto, é o elemento a ser analisado Consideraremos três casos: Caso I: α r = α r1 e não é muito maior que ζω n Caso II: α r = α r2 >> ζω n Caso III: α r 69

70 Resposta de Sistema com Polos Adicionais Termo 1 Termo 2 Termo 3 Caso II: α r = α r2 >> ζω n O termo 3 tende a decair bem mais rápido que o termo 2 que traz a resposta ao degrau subamostrada Assim, o sistema tende a um sistema de segunda ordem puro Caso III: α r Igual a antes, o termo 3 decai rapidamente e tendemos a ter um sistema de segunda ordem puro Caso I: O sistema não pode ser aproximado para um de segunda ordem 70

71 Resposta de Sistema com Polos Adicionais 71

72 Resposta de Sistema com Zeros Vamos adicionar um zero a um sistema de segunda ordem Como vimos antes (slide 9), os zeros afetam a amplitude da resposta Considere por exemplo o sistema: e analisar seu comportamento para a = 3, 5 e 10 Polos: -1 ± j2,828 72

73 Resposta de Sistema com Zeros deng = [1 2 9]; Ta = tf([1 3]*9/3, deng); Tb = tf([1 5]*9/5, deng) ; Tc = tf([1 10]*9/10, deng); T= tf(9,deng); step (T, Ta, Tb, Tc) text (0.5, 0.6, 'no zero') text (0.4, 0.7, 'zero at -10') text (0.35, 0.8, 'zero at -5') text (0.3, 0.9, 'zero at -3') 73

74 Resposta de Sistema com Zeros À medida que o zero se afasta dos polos dominantes (aumenta seu valor absoluto), a resposta se aproxima de um sistema de segunda ordem Quanto mais perto ele estiver, mais afeta a resposta transitória Considere um sistema com resposta C(s) sem zeros Adicionar um zero ao sistema é o mesmo que termos: (s + a)c(s) = sc(s) + ac(s) Ou seja, a derivada da resposta original e uma versão em escala da resposta original 74

75 Resposta de Sistema com Zeros Se a, o negativo do zero, é muito grande, a transformada de Laplace será aproximadamente ac(s), ou seja, apenas a versão em escala da resposta original Se a não for tão grande, a resposta tem um componente adicional que é a derivada da resposta original À medida que a diminui, o termo derivativo contribui mais e mais com a resposta e aumenta seu efeito como pode ser visto na figura anterior 75

76 Resposta de Sistema com Zeros Se a for negativo, o zero passa a estar no semiplano direito, o resultado para um sistema de segunda ordem pode ser visto a seguir, onde a resposta começa negativa até alcançar um valor de estado estacionário positivo Tal sistema é chamado de sistema de fase nãomínima Se um carro é um sistema de fase não-mínima, ele vai primeiro virar um pouco para a esquerda quando receber o comando para virar à direita 76

77 Resposta de Sistema com Zeros 77

78 Exercícios Sugeridos (Nise) Cap. 4, Problemas: 2, 8, 10, 17, 18, 20, 28, 29, 33, 35, 36, 37, 45 (mas usando os conceitos da seção 4.10 e não 4.11) No MatLab: 3, 9, 11, 21, 46 (idem ao comentário da questão 45) 78

79 A Seguir... Redução de Múltiplos Subsistemas 79