DIAGRAMAS DE BODE, NYQUIST E NICHOLS

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1 DIAGRAMAS DE BODE, NYQUIST E NICHOLS Os diagramas de resposta em freqüência são muito úteis para analisar a estabilidade de um sistema realimentado. Existem 3 formas de analisar a resposta em freqüência de um sistema em malha fechada: 1) através dos diagramas de Bode; 2) através do diagrama de Nyquist; 3) através do diagrama de Nichols. Os três diagramas contém as mesmas informações. O que muda é como estas informações estão disponíveis ao projetista. Eles são obtidos através da função de transferência em malha aberta. Como já foi falado, para desenhar estes gráficos, deve-se entrar com as informações do sistema em malha aberta. Esta é a grande vantagem destes métodos. Obtemos a informação sobre a estabilidade do sistema em malha fechada, com informações do sistema em malha aberta.

2 INFORMAÇÕES DO SISTEMA EM MALHA FECHADA Já foi falado que toda a análise de estabilidade é feita em cima das informações do sistema em malha aberta. Mas algumas características do sistema em malha fechada podem ser muito úteis para se analisar o sistema. Entre elas citamos: 1) Pico de ressonância Mp ω - é definido como o valor máximo de M(ω) dado pela equação M(ω) = módulo G(jω) / (1 + G(jω)) Mp ω dá uma indicação da estabilidade relativa do sistema de controle realimentado. Normalmente um Mp ω grande corresponde a um pico elevado de sobressinal na resposta degrau. O valor ótimo de Mp deve estar entre 1,1 e 1,5. 2) Freqüência de ressonância ωp - é definida como a freqüência na qual o pico de ressonância Mp ω ocorre. 3) Largura de faixa - é definida como a freqüência na qual o módulo de M(jω) cai a 70,7 por cento da seu nível na freqüência zero, ou 3dB abaixo do ganho da freqüência zero. A largura de faixa fornece uma indicação da velocidade do sistema. Um sistema com uma grande largura de faixa corresponde a um tempo de subida pequeno. Obs: lembre-se que os diagramas de bode são obtidos a partir do sistema em malha aberta, portanto não fornecem essas informações. LARGURA DE FAIXA DO SISTEMA A largura de faixa (ou largura de banda) de um sistema de controle a malha fechada é uma boa medida do intervalo de fidelidade da resposta do sistema. Em sistemas em que a magnitude em db em baixas freqüências (ou em ω = 0) é 0dB no diagrama de Bode, a largura de banda ω B é medida na freqüência em que a magnitude torna-se 3dB. A velocidade de resposta a uma entrada do tipo degau será proporcional a ω B. Como exemplo, considere os dois sistemas em malha fechada a seguir, com funções de transferência de malha fechada T 1 e T 2 : 1 1 T s T s = 1 ( ) = e ( ) + 2 s 1 5s + 1 A resposta em freqüência, a resposta ao degrau e a resposta à rampa dos dois sistemas estão mostradas a seguir:

3 Considere agora os dois sistemas de segunda ordem a seguir, com funções de transferência de malha fechada: 100 T3 ( s) = e T4 ( s) = 2 s + 10s+ 100 s + 30s+ 900 A taxa de amortecimento para ambos os sistemas é a mesma, dada por ζ=0,5. A freqüência natural não amortecida é 10 e 30 para os sistemas T 3 e T 4, respectivamente. Ambos os sistemas possuem sobrepasso de 15%, mas T 4 possui um tempo de pico de 0,12 segundos, comparado a 0,36 segundos para T 3. Observe também que o tempo de assentamento (ou de estabilização ou de acomodação) para T 4 é de 0.37 segundos, equanto que é de 0,9 segundos para T 3.

4 RELAÇÃO Mp, ωp e LARGURA DE FAIXA para um sistema de 2 a ordem ω p = ω n (1-2 ζ 2 ) M p = 1 2ζ (1 - ζ 2 ) Largura de faixa = ω n [(1-2 ζ 2 ) + (4ζ 4-4 ζ 2 + 2)] 1/2 LUGARES DE M CONSTANTES NO PLANO G(jω) Dado um sistema em malha fechada com realimentação unitária: M(s) = C(s) = G(s) R(s) 1 + G(s) Para o regime senoidal G(s) = G(jω) e G(jω)= Re G(jω) + jim G(jω)= x+jy. Então M(s) = G(s) = (x 2 + y 2 ) 1 + G(s) [(1+x) 2 + y 2 ] Reescrevendo esta equação, obtemos: [x - M 2 /(1-M 2 ) ] 2 + y 2 = [M/(1-M 2 )] 2 Que é a equação de um círculo. Para diferentes valores de M, são descritos um conjunto de círculos denominados lugares de M constante (círculos M constantes)

5 As intersecções entre o gráfico G(jω) e os lugares de M constante dão os valores do módulo em malha fechada na freqüência indicada sobre a curva de G(jω). Se for desejado manter o valor de Mp ω menor do que um certo valor, a curva G(jω) não deve interceptar o círculo correspondente de M neste ponto, e ao mesmo tempo não envolver o ponto (-1, j0). O círculo de M constante de menor raio e que é tangente à curva G(jω) dá o valor de Mp ω, e a freqüência de ressonância ωp é lida sobre o ponto de tangência na curva G(jω). Figura - Diagramas polares de G(s) e lugares de M constante, mostrando o procedimento de determinação de Mp e das curvas de módulo. LUGARES DE FASE CONSTANTE NO PLANO G(jω) Para determinação dos lugares de fase constante do sistema em malha fechada, partindo-se das equações: M(jω) = G(jω) e G(jω) = x +jy 1 + G(jω) Faz-se M(jω) = G(jω) - (1+G(jω)) φ m (ω) = M(jω) = tan -1 (y/x) - tan -1 (y/(1+x)) Fazendo N=tanφ m, esta equação pode ser escrita como: (x + 1/2) 2 + (y - 1/2N) 2 = 1/4 + 1/(4N 2 ) Esta equação representa uma família de círculos:

6 LUGARES DE M e N CONSTANTES NO PLANO MÓDULO VERSUS FASE - CARTA DE NICHOLS A desvantagem em se trabalhar com coordenadas polares para o gráfico de G(jω) é que a curva se altera quando é feita alguma alteração, como por exemplo uma mudança de ganho. No gráfico de módulo em função da fase, toda a curva G(jω) é deslocada quando o ganho é alterado. Os lugares de M e N constantes em coordenadas polares podem ser transferidos para coordenadas de módulo em função da fase. Dado um ponto sobre o círculo M constante no plano G(jω), o ponto correspondente no plano módulo versus fase pode ser determinado desenhando-se um vetor diretamente da origem do plano G(jω) ao ponto particular sobre o círculo de M constante. O comprimento do vetor em decibéis e ângulo de fase em graus dão o correspondente ponto no plano de módulo em função da fase.

7 CARTA DE NICHOLS

8 n1=[1/120 1] n2=[-1/2 1] d1=[1 0] d2=[1/.1 1] n=conv(n1,n2) d=conv(d1,d2) sys=tf(n,d) %graficos de nichols w=logspace(-2,1,400) nichols(sys,w) ngrid grid USO DO MATLAB

9 RELAÇÃO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO E MARGEM DE FASE