Sistemas de Controle

Transcrição

1 Sistemas de Controle Adriano Almeida Gonçalves Siqueira Aula 8 - Resposta em Frequência Sistemas de Controle p. 1/46

2 Introdução Método da Resposta em Frequência Análise do sistema a partir da resposta em regime permanente quando uma entrada senoidal é aplicada Determinação do modelo dinâmico de sistemas a partir de resultados experimentais Sistemas de Controle p. 2/46

3 Resposta à Entrada Senoidal Sistema linear invariante no tempo, estável: Entrada: u(t) Saída: y(t) Se u(t) é senoidal, a saída y(t) em regime permanente será senoidal: Mesma freqüência Amplitude e ângulo de fase diferentes Sistemas de Controle p. 3/46

4 Resposta à Entrada Senoidal Seja: u(t) = Usen(ωt) sendo U a amplitude e ω a freqüência do sinal de entrada. Resposta em regime permanente: y rp = Y sen(ωt + φ) sendo Y = U G(jω) e φ = G(jω). Sistemas de Controle p. 4/46

5 Resposta à Entrada Senoidal Para entradas senoidais: G(jω) = relação de amplitudes da saída e da entrada. G(jω) = defasagem da senóide de saída com relação à senóide de entrada. G(jω) :Função de Transferência Senoidal Sistemas de Controle p. 5/46

6 Formas de Representação Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico: Gráfico do logaritmo do módulo de G(jω) Gráfico do ângulo de fase de G(jω) Em função da freqüência de entrada ω em escala logarítmica Representação padrão: 20log G(jω) Unidade: db (decibel) Sistemas de Controle p. 6/46

7 Formas de Representação Diagrama de Bode 20 log G(jω) [db] ω [rad/s] φ [graus] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 7/46

8 Formas de Representação Diagrama de Nyquist ou gráficos polares: Gráfico da parte imaginária de G(jω) versus a parte real de G(jω) Imag[G(jω)] Re[G(jω)] Diagrama de Nichols/Black: Gráfico do módulo de G(jω) versus a fase de G(jω) G(jω) G(jω) Sistemas de Controle p. 8/46

9 Fatores básicos de G(jω) Fatores básicos de uma função de transferência arbitrária G(jω): Ganho K Fatores integral e derivativo: (jω) 1 Fatores de primeira ordem: (1 + jωt) 1 Fatores de segunda ordem: (1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 Sistemas de Controle p. 9/46

10 Ganho K Logaritmo do módulo: 20logK Gráfico do módulo: reta horizontal de valor 20logK db Gráfico da fase: ângulo de fase nulo Variação do ganho K: deslocamento da curva do módulo, não afetando o gráfico de fase. Sistemas de Controle p. 10/46

11 Ganho K 20 log G(jω) [db] G(jω) = 10 ω [rad/s] 5 φ [graus] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 11/46

12 Fator integral: (jω) 1 Logaritmo do módulo: 20log 1 jω = 20log ω Gráfico do módulo: reta com inclinação 20 db/década, cruzando 0 db em ω = 1 Ângulo de fase: constante e igual a 90 graus Sistemas de Controle p. 12/46

13 Fator integral: (jω) 1 20 log G(jω) [db] G(jω) = 1/(jω) ω [rad/s] φ [graus] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 13/46

14 Fator derivativo: jω Logaritmo do módulo: 20log jω = 20log ω Gráfico do módulo: reta com inclinação 20 db/década, cruzando 0 db em ω = 1 Ângulo de fase: constante e igual a 90 graus Sistemas de Controle p. 14/46

15 Fator derivativo: jω 40 G(jω) = jω 20 log G(jω) [db] ω [rad/s] 100 φ [graus] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 15/46

16 Fator de primeira ordem: (1 + jωt) 1 Logaritmo do módulo: 20log jωt = 20log 1 + ω 2 T 2 Para baixas freqüências (ω << 1/T ) 20log 1 + ω 2 T 2 = 20log 1 = 0 Gráfico: reta constante em 0 db Sistemas de Controle p. 16/46

17 Correção: 3 db em ω b Sistemas de Controle p. 17/46 Fator de primeira ordem: (1 + jωt) 1 Para altas freqüências (ω >> 1/T ) 20log 1 + ω 2 T 2 = 20logωT Gráfico: reta com inclinação 20 db/década cruzando 0 db em ω b = 1/T (freqüência de quebra) Gráfico do módulo: aproximação pelas duas retas assintóticas

18 Fator de primeira ordem: (1 + jωt) 1 O ângulo de fase φ = tan 1 ωt Gráfico de fase: ω = 0 φ = 0 ω = 1/T φ = 45 graus ω = φ = 90 graus Sistemas de Controle p. 18/46

19 Fator de primeira ordem: (1 + jωt) 1 20 G(jω) = 1/(1+ jω), T =1, ω b = 1 20 log G(jω) [db] ω [rad/s] φ [graus] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 19/46

20 Fator de primeira ordem: 1 + jωt As curvas do módulo e ângulo de fase do fator 1 + jωt são obtidas pelas curvas do fator 1/(1 + jωt) trocando-se o sinal: e 20log 1 + jωt = 20log 1 + ω 2 T 2 φ = tan 1 ωt Sistemas de Controle p. 20/46

21 Fator de primeira ordem: 1 + jωt 40 G(jω) = 1+ jω, T = 1, ω b = 1 20 log G(jω) [db] ω [rad/s] φ [graus] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 21/46

22 Fator de segunda ordem: (1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 Logaritmo do módulo: 20log ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ( ) 2 (2ζ ) ω2 + ωωn = 20log ω 2 n Sistemas de Controle p. 22/46

23 Fator de segunda ordem: (1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 Para baixas freqüências (ω << ω n ) ( ) 2 ( 20log 1 + ω2 + 2ζ ω ) 2 = 20log 1 = 0 ω n ω 2 n Sistemas de Controle p. 23/46

24 Fator de segunda ordem: (1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 Para altas freqüências (ω >> ω n ) ( 1 + ω2 20log ω 2 n ) 2 + (2ζ ωωn ) 2 = 20log ω2 ω 2 n = 40log ω ω n Gráfico: reta com inclinação 40 db/década, cruzando 0 db em ω b = ω n Sistemas de Controle p. 24/46

25 Fator de segunda ordem: (1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 Freqüência de ressonância: freqüência na qual G(jw) atinge o valor máximo ω r = ω n (1 2ζ 2 ) Módulo do pico de ressonância M r M r = G(jw r ) = 1 2ζ 1 ζ 2 Se ζ 0 M r Sistemas de Controle p. 25/46

26 Fator de segunda ordem: (1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 O ângulo de fase Gráfico de fase: ω = 0 φ = 0 φ = tan 1 [ 2ζ( ω ω n ) 1 ( ω ω n ) 2 ω = ω r φ = 90 + sen 1 (ζ/ 1 ζ 2 ) graus ω = ω n φ = 90 graus ] ω = φ = 180 graus Sistemas de Controle p. 26/46

27 Fator de segunda ordem: (1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 20 G(jω) = 1/(1+ 2ζ j ω + j ω), ω n = 1 ζ = ζ = 0.2 ζ = log G(jω) [db] ζ = 0.7 ζ = 1 ζ = ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 27/46

28 Fator de segunda ordem: (1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 G(jω) = 1/(1+ 2ζ j ω + j ω), ω n = 1 0 ζ = ζ = 1 φ [graus] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 28/46

29 Determinação da Resposta em Freqüência Reescrever G(jw) como produto de fatores básicos Identificar as freqüências de quebra associadas a cada fator Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo Somar as curvas obtidas para cada fator básico Efetuar as correções necessárias Sistemas de Controle p. 29/46

30 Determinação da Resposta em Freqüência Exemplo: G(s) = 10(s + 3) s(s + 2)(s 2 + s + 2) Função de transferência senoidal: G(jω) = ( 7, 5 jω 3 + 1) ( ( ) (jω) jω 2 + 1) (jω) 2 + jω Sistemas de Controle p. 30/46

31 Fator 1: K = 7, log G(jω) [db] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 31/46

32 Fator 2: 1/(jω) log G(jω) [db] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 32/46

33 Fator 3: 1 + jω/3, ω b = log G(jω) [db] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 33/46

34 Fator 4: 1/(1 + jω/2), ω b = log G(jω) [db] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 34/46

35 Fator 5: 1/(1 + jω/2 + (jω) 2 /2), ω b = log G(jω) [db] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 35/46

36 Assíntotas de G(jω) assíntotas de G(jw) 1 20 log G(jω) [db] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 36/46

37 Curva exata de G(jω) Curva exata de G(jw) log G(jω) [db] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 37/46

38 Determinação Experimental de Funções de Transferência Geradores de sinais senoidais convenientes (mecânicos, elétricos ou pneumáticos) Faixas de freqüências usuais: 0, Hz para sist. com grandes constantes de tempo 0, Hz para sist. com pequenas constantes de tempo Sistemas de Controle p. 38/46

39 Determinação Experimental de Funções de Transferência A partir das medidas das relações de amplitudes e da defasagem constrói-se o Diagrama de Bode Procedimento geral para obtenção de funções de transferência: Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo experimental (assíntotas devem possuir inclinações múltiplas de ±20 db/decada) Sistemas de Controle p. 39/46

40 Determinação Experimental de Funções de Transferência Variação na curva de 20 db/decada em ω 1, fator de primeira ordem 1/(1 + j(ω/ω 1 )) Variação na curva de 40 db/decada em ω 2, fator de segunda ordem ζ(jω/ω 2 ) + (jω/ω 2 ) 2 Fator de amortecimento obtido medindo-se o valor de pico ressonante próximo à freqüência ω 2 Sistemas de Controle p. 40/46

41 Determinação Experimental de Funções de Transferência Ganho determinado pela curva em baixas freqüências w << 1 G(jw) = K (jw) λ λ = 0: G(jw) = K 20log G(jw) = 20logK K determinado pelo valor da reta horizontal (assíntota) Sistemas de Controle p. 41/46

42 Determinação Experimental de Funções de Transferência λ = 1: G(jw) = K (jw) 20log G(jw) = 20logK 20logω Assíntota possui inclinação de 20 db/década e o valor de K é igual à freqüência na qual a assíntota (ou seu prolongamento) cruza a reta 0 db Sistemas de Controle p. 42/46

43 Determinação Experimental de Funções de Transferência λ = 2: G(jw) = K (jw) 2 20log G(jw) = 20logK 40logω Assíntota possui inclinação de 40 db/década e a freqüência na qual a assíntota (ou seu prolongamento) cruza a reta 0 db é igual a K Sistemas de Controle p. 43/46

44 Exemplo: gráfico do módulo 10 Diagrama de Bode log G(jω) [db] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 44/46

45 Exemplo: função de transferência Função de transferência senoidal: G(jω) = (jω) ( (jω 10 Função de transferência: ( 0, 6 jω 2 + 1) ) ) , 4 jω G(s) = 30(s + 2) s(s 2 + 8s + 100) Sistemas de Controle p. 45/46

46 Exemplo: gráfico de fase φ [graus] ω [rad/s] Sistemas de Controle p. 46/46