INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO CONTROLO. As questões assinaladas com * serão abordadas na correspondente aula de apoio.

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES CONTROLO 2 a Série (resposta no tempo, diagrama de blocos, erro estático) As questões assinaladas com * serão abordadas na correspondente aula de apoio. Os alunos devem procurar resolver as questões antes das aulas. Nas aulas de apoio, a discussão dos problemas vai ser feita a partir das dúvidas surgidas nas resoluções previamente feitas pelos alunos. Para o seu estudo individual sugere-se ainda que os alunos procurem resolver mais problemas que podem ser encontrados nos livros apontados na bibliografia recomendada da cadeira. * A figura seguinte ilustra as respostas de três sistemas de a ordem ao escalão unitário Amplitude Step Response Time (sec) Determine, aproximadamente, as funções de transferência dos sistemas em questão.

2 2. (N. S. Nise, Control Systems Engineering, capítulo 4, problema 20) Para cada um dos sistemas de 2 a ordem abaixo, determine o factor de amortecimento, a frequência natural, o tempo de subida, o tempo de pico, o tempo de estabelecimento e a sobreelevação. a) H(s) = b) H(s) = c) H(s) = 2 s s s s s s * 3. Considere o acelerómetro inercial representado na figura seguinte k = const. elasticidade = 0.2N/m b = coef. atrito viscoso = 0.034N/ms m = 2g M >> m,m >> m 2 a) Escreva a equação da dinâmica que relaciona o deslocamento x da massa m do acelerómetro relativamente ao quadro m 2 solidário com o veículo de massa M, com o deslocamento x 2 do veículo relativamente a um referencial de inércia exterior - a posição de equilíbrio da massa m corresponde a x = 0. Determine a função de transferência X (s)/a ext (s) (ver série ). b) Calcule a resposta do acelerómetro a uma entrada igual ao escalão unitário, a ext = u(t). c) Esboce a resposta calculada em b), calculando em particular o tempo de estabelecimento, o tempo de pico e a sobreelevação. d) Podendo alterar os valores dos parâmetros k, b e m, como procederia para tornar mais rápido, em termos do tempo de estabelecimento, o acelerómetro? E para diminuir a sobreelevação? 2

3 4. (K. Ogata, Modern Control Engineering ) Quando o sistema representado na Fig.(a) é submetido a uma entrada escalão unitário apresenta à saída a resposta indicada na Fig.(b). Determine os valores de K e de T. 5. (G.F. Franklin, J.D. Powell, A. E.-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems ) A equação diferencial que descreve o motor DC da figura é: J m θm +(b+ K tk e R a ) θ m = K t R a v a Seja: J m = 0.0kg.m 2 b = 0.00N.m.seg K e = 0.02V.seg K t = 0.02N.m/A R a = 0Ω a) Determine a função de transferência que relaciona a tensão aplicada v a com a velocidade angular do eixo do motor θ m. b) Qual será a velocidade em regime permanente após ter sido aplicada uma tensão v a = 0V? 3

4 c) Determine a função de transferência que relaciona a tensão aplicada v a com a posição angular do eixo do motor θ m. d) Suponha que se introduz retroacção no sistema de modo a realizar um controlo da posição angular θ m em que a tensão aplicada ao motor passe a ser v a = K(θ r θ m ). Esboce o correspondente diagrama de blocos. Determine a função de transferência entre θ r e θ m. e) Qual o limite máximo do valor de K que permite obter uma sobreelevação S < 20%? 6. (E. Morgado, Controlo-problemas, 999) Considere um sistema representado pela seguinte função de transferência: 5 H(s) = s 2 +2s+5 a) Calcule a resposta ao escalão unitário do sistema H(s). b) Calcule a resposta ao escalão unitário dos sistemas representados pelas seguintes funções de transferência: i) G (s) = s+ H(s) ii) G 2 (s) = 0 s+0 H(s) iii) G 3 (s) = 0(s+9) 9(s+0) H(s) iv) G 4 (s) = (s+)h(s) Simule cada uma das respostas no MATLAB. Comente os resultados obtidos sob o ponto de vista do efeito de pólos e zeros adicionais e do conceito de pólos dominantes. * 7. (E. Morgado, 2007) Um sistema é representado pela seguinte função de transferência: G(s) = Y(s) R(s) = K (s+p)(s 2 +as+b) a) Represente no plano complexo a região onde devem situar-se os pólos dominantes de 2 a ordem para serem cumpridas as seguintes especificações da resposta ao escalão unitário: 2% sobreelevação 0% tempo de estabelecimento (2%) seg valor final da resposta = b) Para uma localização particular dos pólos no interior da região determinada em a), atribua valores aos parâmetros K, p, a, b, por forma a serem cumpridas as especificações. c) Através de simulação com MATLAB, verifique se as especificações são cumpridas e comente eventuais desvios. 4

5 * 8. (E. Morgado, Controlo-problemas, 999) Considere o sistema de controlo de nível representado na figura seguinte H H H 0 Q o Q o0 Q o Na vizinhança de um ponto de funcionamento P, o sistema é representado pelo seguinte diagrama de blocos; por conveniência de escrita, usamos letra minúscula para designar as variáveis incrementais, r δr, q i δq i, h δh. a) Sabendo que a relação entre o caudal Q o e a altura H é dada por Q o = (H/α) /2, com α = 3m 5 s 2, determine G(s) para um valor nominal H = 3m e área A = 2m 2. (ver Série.) b) Determine a resposta h(t) a um escalão unitário r(t) = u(t) para K = e K = 2. Esboce a resposta. Comente o resultado em termos dos regimes transitório e permanente. c) Repita a alínea b) para o caso de realimentação positiva. Esboce h(t). d) Considere uma perturbação escalão q d (t) = u(t). Determine e esboce h(t) para K = e K = 2. Discuta o efeito da perturbação sobre o nível h(t) em função do ganho K. e) Considere a utilização de um controlador Integral (I), cuja relação entrada-saída é da forma K t 0 v i(τ)dτ, e repita a análise das alíneas b) e d). f) Para os casos de controlador Proporcional (K) e de controlador Integral (K/s) trace o lugar geométrico definido pelos polos da malha fechada quando K varia de 0 + a + (root-locus). 5

6 9. (N. S. Nise, Control Systems Engineering, capítulo 5, problema 3) Determine a função de transferência equivalente, T(s) = C(s)/R(s), para o sistema representado na figura. G (s) C(s) R(s) G (s) G (s) G (s) 6 - G (s) 3 G (s) G (s) 7 - Figure : * 0. (N. S. Nise, Control Systems Engineering, capítulo 7, problema 9) Para o sistema de retroacção unitária representado na Figura 2, onde G(s) = 5000 s(s+75), R(s) + - E(s) G(s) C(s) Figure 2: a) Qual a sobreelevação? b) Qual o tempo de estabelecimento? c) Qual o erro em regime estacionário para a entrada 5u(t)? d) Qual o erro em regime estacionário para a entrada 5tu(t)? e) Qual o erro em regime estacionário para a entrada 5t 2 u(t)? 6

7 *. (G.F. Franklin, J.D. Powell, A. E.-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems ) Na figura está representado o sistema de controlo de velocidade de um sistema de gravação magnética. O sensor de velocidade é suficientemente rápido para que a sua dinâmica seja desprezável, pelo que o diagrama exibe retroação unitária. a) ParaΩ r = 0,calculeoerroemregimepermanentedevidoaumbinárioperturbaçãoescalão de N.m. Qual deverá ser o ganho k p do amplificador para que e(+ ) 0,00rad/s? b) Calcule as raizes da equação característica e esboce a resposta ω m (t) para um escalão na entrada de referência usando o ganho k p calculado em a). Será uma resposta satisfatória? c) Desenhe a região do plano complexo para polos convenientes da malha fechada correspondentes às especificações de t s (%) 0,seg e Sobreelevação (5%). d) Calcule valores de k p e k D para um controlador PD que conduzam, em principio, ao cumprimento daquelas especificações. Verifique com a simulação da resposta no MATLAB. e) Quais as modificações no erro estático devido à perturbação com o novo esquema de controlo em d)? Como poderia anular-se o erro em regime permanente ao binário perturbação? 7

8 Soluções - G (s) 8 s+0, G 2(s) 2,5 s+5, G 3(s): sistema instável X(s) = A ext(s) 3 - a) = s 2 +(b/m)s+(2k/m) s 2 +7s+200 b) x(t) [( /200)+0,0063e 8,5t cos(,3t 0,65)]u(t) c) t s (5%) 0,35seg, t p 0,28seg, S = 0,094 = 9,4% d) para pólos complexos, t s se b ou/e m ; S se b ou/e k ou/e m 6 x 0 3 Step Response 5 Amplitude x(t) x(t) 4 3 X(s)/Aext(s) = /(s2+7s+200) T =,09 K =, a) Ωm(s) V a(s) = c) θm(s) = V a(s) K t/r a = 0,2 sj m+(b+ K t Ke Ra ) s+0,04 K t/r a = 0,2 s[sj m+(b+ K t Ke Ra )] s(s+0,04) Time (sec) e) S < 20% ξ > 0,456 K < 0,065 b) ω m (+ )=9 rad/s. d) θm(s) θ r(s) = 0,2K s 2 +0,04s+0,2K 6 - a) y(t) = [+,8e t cos(2t+53 o )]u(t); b) i) y(t) = [,25e t +0,559e t cos(2t+63 o )]u(t); ii) y(t) = [ 0,0588e 0t +,23e t cos(2t+4 o )]u(t); iii) y(t) = [ 0,0065e 0t +,075e t cos(2t+54 o )]u(t); iv) y(t) = [+2,236e t cos(2t 7 o )]u(t) Step Response a) b i) b ii) b iii) b iv).4.2 Amplitude Time (sec) 8

9 8 - a) G(s) = 6 +s2 ; b) h(t) = 0,857( e t/,74 )u(t), h(t) = 0,923( e t/0,923 )u(t); c) instável ; d) h(t) = 0,857( e t/,74 )u(t), h(t) = 0,462( e t/0,923 )u(t); e) pólos complexos, erro de seguimento da referência nulo em regime permanente, rejeição total da perturbação em regime permanente. Step Response Step Response Amplitude 0.6 Amplitude r(t) h(t), K= h(t), K= Time (sec) q d (t) h(t), K= h(t), K= Time (sec) 2 Step Response Step Response r(t) h(t), K= h(t), K=2 0.5 q d (t) h(t), K= h(t), K=2 Amplitude Amplitude Time (sec) 0.5 Problema - respostas no tempo Time (sec) 9 - C(s) R(s) = [G5(G2+G3)+G3+G4].G6 [+G(G2+G3)].(+G6)+[G5(G2+G3)+G3+G4].G6.G a) 4% ; b) t s(2%) = 0,07 seg ; c) 0 ; d) 0,075 ; e). 9

10 Resoluções 0

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15 Problema (8) 5

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