Guião do Trabalho Laboratorial Nº 1 Introdução ao MATLAB v7.1. GRIS Group of Robotics and Intelligent Systems

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1 SISEL Sistemas Electromecânicos Guião do Trabalho Laboratorial Nº 1 Introdução ao MATLAB v7.1 Análise de um Servomecanismo de Posição GRIS Group of Robotics and Intelligent Systems Homepage: gris@dee.isep.ipp.pt Ano Lectivo: 2006/ GRIS Group of Robotics and Intelligent Systems

2 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 1 de 11 Introdução ao MATLAB v7.1 Análise de um Servomecanismo de Posição Sumário: Pretende-se com este trabalho, fazer uma introdução às capacidades de resolução de problemas de análise de sistemas de controlo recorrendo ao software MATLAB (versão 7.1). Considere o servomecanismo de posição ilustrado na figura seguinte (servomotor DC controlado pela armadura): Potenciómetro +V θ r e r Amplificador Diferencial e de Potência e L + A - e a R a Servomotor DC Armadura L a i f =const t J m B m Engrenagem N 1 Carga Potenciómetro +V Excitação θ m J L B L N 2 θ L Figura 1: Esquema equivalente do servomecanismo de posição Este sistema apresenta o seguinte diagrama de blocos: θ R (s) + + k p.a s.l a +R a k 1 s 2.J eq +s.b eq n θ L (s) s.k m Figura 2: Diagrama de blocos do servomecanismo de posição Que pode ser simplificado de forma a obter-se: θ R (s) + - k p.a.k.n (s.l a +R a ).(s 2.J eq +s.b eq )+s.k m.k θ L (s) Figura 3: Diagrama de blocos simplificado do servomecanismo de posição Considerando os seguintes valores para os parâmetros deste sistema: A Kp Ra La K Km Jm Bm n=n 1 /N 2 JL BL V/rad 2 Ω 0.18 H 10-5 N.m.A -1 56,5 V.rad -1.s x10-5 Kg.m 2 N.m.rad -1.s Tabela 1: Parâmetros do servomecanismo de posição 0, Kg.m 2 115x10-4 N.m.rad -1.s E substituindo os valores da tabela anterior, conclui-se que a função de transferência G'(s) do ramo directo é:

3 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 2 de G'( s) = 3 2 s + 12s + 25s Equação 1: Função de transferência do ramo directo do servomecanismo de posição Determinada a forma canónica do diagrama de blocos apresentado anteriormente, obtém-se: θ R (s) k p.a.k.n L a.j eq.s 3 +(L a.b eq +R a.j eq ).s 2 +(R a.b eq +k.k m ).s+k p.a.k.n θ L (s) Figura 4: Forma canónica do diagrama de blocos do servomecanismo de posição Daqui, conclui-se facilmente que a função de transferência em malha fechada para este sistema é: θl () s 50 Gs () = = 3 2 θ () s s + 12s + 25s+ 50 R Equação 2: Função de transferência do servomecanismo de posição A partir destes resultados pode-se iniciar o estudo deste sistema, recorrendo ao software MATLAB. 1. Implementação da Função de Transferência no MATLAB 1. O primeiro passo para o estudo deste sistema recorrendo ao MATLAB, passa pela implementação da sua função de transferência no MATLAB. a) Para esse efeito inicie a aplicação MATLAB; b) Genericamente pode-se considerar uma função de transferência G(s) como sendo a razão de dois polinómios: n n 1 Bs () num b( 1). s + b( 2). s b( n) Gs () = = = n n 1 As () den a( 1). s + a( 2). s a( n) Equação 3: Função de transferência genérica de um sistema em que a(1) 0, mas em que alguns dos coeficientes a(i) e b(i) podem ser nulos. c) Para definir a função de transferência torna-se necessário estabelecer o seu numerador e denominador. num e den são vectores linha que especificam os coeficientes do numerador e do denominador da função de transferência do sistema, assumindo a seguinte forma: num=[b(1) b(2) b(n)] den=[a(1) a(2) a(n)] d) Uma vez que o numerador da função de transferência deste sistema é N(s) = 50 e o denominador é D(s) = s 3 +12s 2 +25s+50, introduza estes dois polinómios no MATLAB, tal como apresentado na Figura 5. e) A partir deste instante, e como se vai mostrar de seguida, encontra-se em condições de iniciar o estudo do sistema.

4 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 3 de 11 Figura 5: Definição da função de transferência do sistema no MATLAB 2. O primeiro passo no estudo de um sistema de controlo a partir da sua função de transferência passa pela factorização do numerador e do denominador em factores básicos. A factorização pode ser útil, por exemplo, para a determinação da Transformada Inversa de Laplace da Função de Transferência do sistema, no caso de se pretender obter a resposta temporal do sistema a uma entrada particular. a) No caso particular do sistema em consideração só tem interesse determinar a decomposição do denominador em factores básicos. Para isso, deve-se utilizar o comando roots(den), tal como é mostrado na figura seguinte (Figura 6). b) Obtiveram-se desta forma os pólos da função de transferência, que se conclui serem: p 1 = 10 p 2 = 1 + j2 p 3 = 1 j2 c) Alternativamente pode-se pretender decompor a função de transferência em fracções parciais. d) A decomposição em fracções parciais resulta na seguinte equação: Bs () r() 1 r( 2) rn ( ) Gs () = = ks () As () s p() 1 s p( 2) s p( n) Equação 4: Decomposição em fracções parciais da função de transferência genérica de um sistema e) Para este efeito o comando a utilizar deve ser o comando [r,p,k]=residue(num,den), tal como é apresentado na Figura 7.

5 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 4 de 11 Figura 6: Determinação dos pólos da função de transferência Figura 7: Decomposição da função de transferência em fracções parciais f) Desta forma obtiveram-se os numeradores (no vector r) e os respectivos denominadores (no vector p) das fracções parciais em que podemos decompor a função de transferência em estudo. Obtém-se ainda informação no vector k que, neste caso particular, é um vector "vazio". Caso a ordem do numerador da função de transferência fosse superior à ordem do

6 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 5 de 11 seu denominador, obteríamos no vector k, os termos resultantes da divisão inteira entre o numerador e o denominador da função de transferência. 2. Resposta Temporal do Sistema 3. Depois da função de transferência estar definida no MATLAB (ver alínea 1.) pode-se também verificar qual a resposta do sistema às entradas impulso unitário e degrau unitário. a) Para traçar a resposta de um sistema a uma entrada em impulso unitário, utiliza-se o comando impulse(num,den), tal como se apresenta na figura seguinte: Figura 8: Resposta temporal do sistema a uma entrada em impulso unitário b) Alternativamente, e caso se pretenda especificar o intervalo de tempo para o qual se pretende observar a resposta do sistema a uma entrada em impulso unitário, deve-se utilizar o comando impulse(num,den,t), no qual a variável t deve especificar o intervalo de tempo a visualizar. c) No caso de se pretender traçar a resposta de um sistema a uma entrada em degrau unitário, utiliza-se o comando step(num,den), tal como se apresenta na figura seguinte (Figura 9). d) Tal como anteriormente, caso se pretenda especificar o intervalo de tempo para o qual se pretende observar a resposta do sistema a uma entrada em degrau unitário, deve-se utilizar o comando step(num,den,t), no qual a variável t deve especificar o intervalo de tempo a visualizar.

7 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 6 de 11 Figura 9: Resposta temporal do sistema a uma entrada em degrau unitário 4. Também é possível esboçar a resposta do sistema a uma entrada em rampa unitária, apesar de neste caso não existir um comando que o permita fazer directamente. Para esse efeito, sabendo que a Transformada de Laplace da função rampa unitária é 1/s 2, procedese da seguinte forma: a) Uma hipótese passa por multiplicar o denominador da função de transferência por s 2 e determinar a resposta do sistema a um impulso unitário, recorrendo ao comando impulse(num,den). b) Alternativamente pode-se multiplicar o denominador da função de transferência do sistema por s, e determinar a resposta do sistema a um degrau unitário, recorrendo ao comando step(num,den), tal como se apresenta na figura seguinte (Figura 10). c) É de realçar que em qualquer uma das duas situações referidas anteriormente é necessário definir novamente o polinómio do denominador da função de transferência, para considerar a multiplicação por s 2 no primeiro caso e por s no segundo caso, como pode ser verificado na figura anterior.

8 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 7 de 11 Figura 10: Resposta temporal do sistema a uma entrada em rampa unitária 3. Análise da estabilidade do sistema recorrendo ao Lugar de Raízes 5. Uma outra possibilidade passa por efectuar o estudo da estabilidade do sistema recorrendo ao Lugar de Raízes. Assim, vamos considerar que neste caso se pretende efectuar o estudo da estabilidade do sistema em função do ganho do bloco amplificador de potência e amplificador diferencial. a) De forma a fazer a análise pretendida temos que considerar a função de transferência do sistema em malha aberta. Para isso, e recorrendo à Figura 3 e à Equação 1, conclui-se que a função de transferência em malha aberta deste sistema é: kp. k. n A'. (. sl + R )( s 2. J + sb. ) + sk.. k a a eq eq m Equação 5: Função de transferência em malha aberta do servomecanismo de posição sendo A' a variação do valor do parâmetro A (ganho do bloco amplificador de potência e amplificador diferencial) relativamente ao seu valor base. b) Substituindo os valores dos parâmetros na equação anterior (de acordo com a Tabela 1), e dado que vamos considerar as variações do ganho do bloco amplificador de potência e amplificador diferencial relativamente ao ganho pré-estabelecido (A=1790), obtemos a seguinte equação característica: kg. '( s) = 1+ A'. s s s Equação 6: Equação característica do sistema

9 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 8 de 11 c) Neste caso o novo polinómio do numerador passa a ser N(s) = 50 e o do denominador é D(s) = s 3 +12s 2 +25s. d) O primeiro passo para se esboçar o Lugar de Raízes é definir os novos numerador e denominador referentes à função de transferência em malha aberta do sistema (ver Figura 11). e) Para traçar o Lugar de Raízes deve-se recorrer ao comando rlocus(num,den), tal como pode ser visto na figura seguinte: Figura 11: Lugar Geométrico de Raízes do sistema 4. Análise da resposta em frequência do sistema através dos diagramas de Bode e dos diagramas polares (ou de Nyquist) 6. É também possível esboçar os diagramas de Bode de amplitude e fase de um sistema recorrendo ao MATLAB, quer para o sistema em malha aberta, quer para o sistema em malha fechada. a) Por exemplo, para o sistema em malha fechada deve-se recorrer ao comando bode(num,den), e considerar a função de transferência em malha fechada do sistema (Equação 2), tal como se apresenta na figura seguinte (Figura 12). 7. Adicionalmente é também possível traçar os diagramas polares de um dado sistema (também chamados diagramas de Nyquist). a) Para este efeito deve-se recorrer ao comando nyquist(num,den), tal como se apresenta na Figura 13.

10 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 9 de 11 Figura 12: Diagramas de Bode, de amplitude e fase, do sistema em malha fechada Figura 13: Diagrama polar do sistema em malha fechada

11 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 10 de Análise da estabilidade do sistema recorrendo ao Critério de Nyquist 8. Para se efectuar a análise de estabilidade de um sistema recorrendo ao critério de estabilidade de Nyquist tem que se recorrer ao Diagrama polar do sistema em malha aberta. a) Assim, o primeiro passo, consiste em definir o numerador e o denominador referentes à função de transferência em malha aberta do sistema (ver Equação 6). b) De seguida, deve-se traçar o diagrama polar da função de transferência em malha aberta recorrendo ao comando nyquist(num,den), tal como pode ser visto na figura seguinte: Figura 14: Diagrama polar da função de transferência em malha aberta do sistema 6. Margem de Fase e Margem de Ganho 9. Para além de possibilitar a análise da estabilidade de um dado sistema recorrendo quer ao critério de estabilidade de Nyquist, quer ao seu Lugar Geométrico de Raízes, o software MATLAB possibilita ainda a determinação da estabilidade relativa desse mesmo sistema através do cálculo da sua margem de fase e margem de ganho e da sua representação sobreposta aos traçados de Bode. a) Para este efeito, deverá ser considerada a função de transferência em malha fechada do sistema (Equação 2), e dever-se-á recorrer ao comando margin(num,den). b) Tal como se pode ver na Figura 15, são apresentadas a margem de fase (Pm=67.5º) e a margem de ganho (Gm=14.0 db) do sistema, assim como as frequências a que ocorrem (respectivamente Wcp=2.4 rad/s e Wcg=5.0 rad/s), e é efectuada a sua representação sobreposta aos traçados de Bode.

12 Guião N.º 1: Introdução ao MATLAB Análise de um Servomecanismo de Posição Página 11 de 11 Figura 15: Margem de fase e margem de ganho do sistema e da sua representação sobreposta aos traçados de Bode 7. Conclusões Acabamos de ver como é possível recorrendo ao software MATLAB efectuar o estudo de um sistema de controlo. As noções aqui introduzidas, de uma forma necessariamente resumida, podem ser desenvolvidas recorrendo à bibliografia que se apresenta de seguida. 8. Bibliografia [1] Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini; Feedback Control of Dynamic Systems; Prentice-Hall International Edition; Fifth Edition; (2006). [2] Katsuhiko Ogata; System Dynamics; Prentice-Hall International Edition; Third Edition; (1998). [3] Katsuhiko Ogata; Solving Control Engineering Problems With MATLAB; Prentice-Hall; (1994).