Sistemas de Controle 1

Transcrição

1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 1 Cap6 Estabilidade Prof. Filipe Fraga

2 Sistemas de Controle 1 6. Estabilidade 6.1 Introdução 6.2 Critério de Routh-Hurwitz 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais 6.4 Critério de Routh-Hurwitz: Exemplos Adicionais 6.5 Estabilidade no Espaço de Estados

3 6.1 Introdução Projeto de sistemas de controle 3 requisitos - Resposta transitória (Cap. 4 e 8) - Estabilidade (Cap. 6) - Resposta em estado estacionário (Cap. 7) Inicio do Controle II Estabilidade Especificação mais importante do sistema Sem estabilidade a resposta transitória e em estado permanente perdem o significado. Estudo limitado a sistema lineares e invariantes no tempo

4 6.1 Introdução Resposta de um sistema: Definições de estabilidade baseadas na resposta natural: Sistema estável: a resposta natural tende a zero quando o tempo tender a infinito. Sistema instável: a resposta natural cresce, sem limites, à medida que o tempo tende para infinito. Sistema marginalmente estável: a resposta natural nem cresce nem se atenua, permanecendo constante ou oscilante, à medida que o tempo tende para o infinito. Definições de estabilidade baseadas na resposta total: Definição de estabilidade entrada-limitada saída-limitada, ou estabilidade BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) Um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada. Definição alternativa de instabilidade (estabilidade BIBO) Um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada.

5 6.1 Introdução Estabilidade de acordo com os pólos Pólos no semiplano da esquerda produzem como resposta natural exponenciais decrescentes ou senóides amortecidas. Os sistemas estáveis possuem função de transferência a malha fechada com pólos somente no semiplano da esquerda.

6 6.1 Introdução Estabilidade de acordo com os pólos Atenção: pólos em malha fechada

7 6.1 Introdução Sistema marginalmente estável de acordo com os pólos Pólos de multiplicidade 1 no eixo imaginário produz como resposta natural oscilações senoidais puras. Sistemas marginalmente estáveis apresentam função de transferência a malha fechada com somente pólos de multiplicidade 1 no eixo imaginário e pólos no semiplano s da esquerda.

8 6.1 Introdução Instabilidade de acordo com os pólos Pólos no semiplano da direita conduzem a respostas naturais crescentes de forma exponencial ou a respostas naturais senoidais de amplitude exponencialmente crescente Pólos de multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário conduzem à soma de respostas da forma At n cos(ωt + φ), onde n=1,2,... que também tende a infinito quando o tempo tender a infinito. Os sistemas instáveis possuem função de transferência a malha fechada com pelo menos um pólo no semiplano s da direita e/ou pólos de multiplicidade maior que um no eixo imaginário.

9 6.1 Introdução Comparando a estabilidade de sistemas A mudança no ganho pode tornar um sistema instável

10 6.1 Introdução Comparando a estabilidade de sistemas Nem sempre é fácil determinar a instabilidade de um sistema Não é possível saber a estabilidade apenas com as raízes do canal direto visualmente. É preciso conhecer a posição dos pólos em malha fechada Calcular função em malha fechada Fatorar ou calcular as raízes

11 6.1 Introdução Algumas conclusões podem ser obtidas de alguns sistemas em malha fechada T(s): Sistema estável somente pólos no semiplano da esquerda Fatores do denominador serão produtos (s + a i ) com a i real e positivo ou complexo com parte real positiva. Não é possível ter certeza da estabilidade Polinômio do denominador com todos os coeficientes positivos Nenhum termo do polinômio pode estar faltando Sistema instável Quando nem todos os sinais dos coeficientes do denominador da função de transferência são iguais. Se estiverem faltando potências de s (instável ou no máximo marginalmente estável)

12 6.2 Critério de Routh-Hurwitz Método para testar a estabilidade sem ter que calcular as raízes do denominador da função de transferência. O método fornece quantos pólos estão no semiplano da esquerda, da direita e sobre o eixo imaginário. O método não fornece as coordenadas dos pólos. Produzindo uma Tabela de Routh Básica Rotular linhas segundo potências de s Preencher as duas primeiras linhas Coeficiente do s com maior potência no primeiro elemento. Distribuir de forma salteada os coeficientes na primeira linha. Distribuir demais coeficientes na segunda linha.

13 6.2 Critério de Routh-Hurwitz Produzindo uma Tabela de Routh Básica Cada uma das células é preenchida com o valor negativo dos determinantes formados com os elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento da primeira coluna diretamente acima da linha sendo calculada. A coluna da esquerda do determinante é sempre a primeira coluna das duas linhas anteriores, e a coluna do lado direito do determinante é formada com os elementos da coluna acima e à direita.

14 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

15 6.2 Critério de Routh-Hurwitz T s = = = 1000 (s + 2)(s + 3)(s + 5) (s + 2)(s + 3)(s + 5) 1000 s + 2 s + 3 s s s s = 1000 (s + 2)(s + 3)(s + 5) s + 2 s + 3 s (s + 2)(s + 3)(s + 5)

16 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

17 6.2 Critério de Routh-Hurwitz x 1 10

18 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

19 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

20 6.2 Critério de Routh-Hurwitz 0 0

21 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

22 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

23 6.2 Critério de Routh-Hurwitz 0 0

24 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

25 6.2 Critério de Routh-Hurwitz Interpretando a Tabela de Routh Básica O número de raízes de um polinômio que estão no semiplano da direita é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna. Se todos os pólos estiverem à esquerda o sistema é estável. Duas mudanças de sinal. Dois pólos a direta. Sistema instável + - +

26 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

27 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

28 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

29 6.2 Critério de Routh-Hurwitz

30 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais (1) a tabela de Routh algumas vezes terá um zero somente na primeira coluna de uma linha. (2) a tabela de Routh apresentará uma linha inteira de zeros. 0

31 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Zero Somente na Primeira Coluna Zero na primeira coluna representa um problema na divisão. Substituir este zero por um épsilon ε Faz-se com que épsilon tenda a zero por valores positivos ou negativos Verificam-se as mudanças de sinal.

32 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

33 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

34 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

35 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

36 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

37 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

38 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Existem duas mudanças de sinal. Dois pólos à direta Sistema Instável

39 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Outro método de solução: Polinômio com raízes recíprocas Escreva um polinômio que tenha raízes recíprocas do denominador. Este polinômio é formado escrevendo-se o denominador em ordem inversa das potências de s. Forma-se a tabela de Routh e realiza-se a análise convencional A nova tabela de Routh provavelmente não terá o zero na primeira coluna

40 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Estabilidade via coeficientes na inversa

41 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Estabilidade via coeficientes na inversa Polinômio com raízes recíprocas

42 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Estabilidade via coeficientes na inversa Como há duas mudanças de sinal, o sistema é instável e possui dois pólos no semiplano da direita.

43 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Linha Completa de Zeros segundo caso especial Algumas vezes, ao construir uma tabela de Routh, descobrimos uma linha completa de zeros porque há um polinômio par como fator do polinômio original.

44 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

45 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais x 1 7

46 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais = = 0 =

47 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Formar polinômio auxiliar usando linha anterior a de zeros. O polinômio começará com a potência de s correspondente à linha imediatamente acima da linha de zeros e continuará salteando alternadamente as outras potências de s

48 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Derivar em relação a s Usar os coeficientes da equação derivada para substituir a linha de zeros.

49 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais x Continuar resolução normalmente.

50 6.3 Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Nenhuma mudança de sinal. Não há pólos do lado direito.