MVO-11 Dinâmica de Veículos Aeroespaciais

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1 MVO-11 Dinâmica de Veículos Aeroespaciais (carga horária: 64 horas) Flávio Silvestre Departamento de Mecânica do Vôo Divisão de Engenharia Aeronáutica Instituto Tecnológico de Aeronáutica 2014

2 PARTE IV Cruzeiro Permanente: autonomia e alcance

3 Equações do movimento Ponto-massa Equações do movimento longitudinal (ponto-massa): Forçasparalelas = m dv = F cos(α+φ F ) D W sinγ dt Forçasperpendic. = m V 2 = mv γ = F sin(α+φ F ) L+W cosγ r F F horizonte

4 Equações do movimento Cruzeiro permanente Permanente sem acelerações V = γ = 0 Simplificação: (α+α F ) < 5, e portanto cos(α+α F ) 1 e sin(α+α F ) 0 Altitude constante: γ = 0: { sinγ = 0 cosγ = 1 As equações do movimento simplificam-se: considerando-se pequenos: ângulo de ataque ângulo da tração L 0 = F D 0 = L mg V F D W

5 Equações do movimento Cruzeiro permanente Da primeira equação temos a equação do arrasto: F = D Da segunda equação temos a equação da sustentação: L = mg Da equação da sustentação: C L = 2mg ρs 1 2 ρv 2 SC L = mg 1 V 2 ou V = 2mg ρsc L considerando-se pequenos: ângulo de ataque ângulo da tração V F L W D

6 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida Para uma polar de arrasto parabólica C D = C D0 +kc L 2 : D = 1 2 ρv 2 SC D = 1 2 ρv 2 S(C D0 +kc L 2 ) = = 1 2 ρv 2 SC D ρv 2 SkC L 2 Substituindo a expressão de C L em função da velocidade: ( ) 1 D = 2 ρsc D 0 V 2 + }{{} arrasto parasita ( ) 2k(mg) ρs V }{{ 2 } arrasto induzido

7 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida Da equação do arrasto: F = D ( ) 1 = 2 ρsc D 0 V 2 }{{} arrasto parasita ( ) 2k(mg) ρs V }{{ 2 } arrasto induzido Esta é a chamada TRAÇÃO REQUERIDA curva de tração requerida V stall

8 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida ( ) ( 1 2k(mg) F r = 2 ρsc D 0 V ρs }{{} arrasto parasita A tração requerida é portanto função: velocidade altitude (ρ) peso da aeronave (mg) configuração (polar de arrasto) ) 1 V 2 } {{ } arrasto induzido

9 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida - Tração requerida mínima Tração requerida mínima = arrasto mínimo Colocando o arrasto em função de C L : D = 1 ( ) 1 2 ρv 2 SC D = 2 ρv 2 S C D (C L ) Substituindo a equação da sustentação: ( ) mg D = C D (C L ) = mg C D(C L ) C L C L Condição de mínimo: dd dc L = 0

10 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida - Tração requerida mínima Para uma polar de arrasto parabólica C D = C D0 +kc L 2 : Condição de mínimo: d D dc L = mg d D dc L = mg d dc L ( 2) CD0 +kc L C L ( (2kCL )C L (C D0 +kc 2 ) L ) = mg = C L 2 ( 2 ) kcl C D0 = mg ( 2 ) kcl C D0 C L 2 C L 2 = 0 (C L ) min. = tração CD0 k

11 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida - Tração requerida mínima Condição de mínimo: (C L ) min. = tração CD0 k minf r curva de tração requerida Conclusão: A condição de tração requerida mínima é a condição de máxima eficiência aerodinâmica! V stall V minfr

12 Desempenho pontual em cruzeiro Modelo propulsivo e tração disponível Dependências: tipo de sistema propulsor manete de combustível (retir do da wikpedia.de) altitude e Mach (ou velocidade e densidade) tração altitude sem pós-queimador De forma geral, em relação à condição de operação (V i,ρ i ): número de Mach F d = πf max,i ( V V i ) nv ( ρ ρ i ) nρ tração altitude com pós-queimador número de Mach (retirado e modificado de Bockhaus et al., Flugregelung)

13 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida versus tração disponível F d ) 1 F d ) 2 V oo V stall

14 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida versus tração disponível 100% de motor com pós-queimador 100% de motor sem pós-queimador

15 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida versus tração disponível - exercício Exercício: Seja um T-38 com lb voando a ft. Usando a Performance Chart, encontre: 1) (L/D) max 2) O arrasto induzido em (L/D) max 3) O número de Mach de (L/D) max 4) O número de Mach de stall 5) O máximo número de Mach para mil power

16 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida versus tração disponível - exercício

17 Desempenho pontual em cruzeiro Tração requerida versus tração disponível - exercício Solução: 1) (L/D) max occorre no ponto de mínimo da curva de arrasto: ( ) L = W = D D min 1000 = 12 max 2)Oarratoinduzidoeoarrastoparasitasãoiguaisem(L/D) max. Portanto: D induzido = 1 2 D min = 1 (1000) = 500 lb 2 3) Da Chart temos que o número de Mach em (L/D) max é 0.5 4) O número de Mach de stall ( buffet ) é ) O máximo número de Mach para mil power é 0.96

18 Desempenho integral em cruzeiro A seguir o desempenho em cruzeiro será discutido quanto a: autonomia alcance Lembre-se que a aeronave carrega uma quantidade determinada de combustível! A quantidade de combustível queimada por tempo de operação e por distância percorrida é a chave para os cálculos acima.

19 Desempenho integral em cruzeiro Equação da autonomia de Breguet A autonomia (E ndurance) de uma aeronave é simplesmente o seu tempo de voo: E = tf A uma determinada quantidade de combustível está associada uma autonomia. Por isso é interessante mudar a variável de integração do tempo t para o peso da aeronave W. Consideremos que a variação no peso da aeronave por unidade de tempo é igual à taxa de fluxo de combustível (Ẇ f ), ou seja: t i dt Ẇ f = d W dt

20 Desempenho integral em cruzeiro Equação da autonomia de Breguet Reescrevendo a equação anterior para dt: dt = d W Ẇ f Então a autonomia da aeronave pode ser reescrita por: E = tf t i dt = Wf W i d W Wi d W = Ẇ f Ẇ f Costuma-se trabalhar com consumo específico de combustível, em inglês thrust-specific fuel consumption (TSFC): TSFC = Ẇf F

21 Desempenho integral em cruzeiro Equação da autonomia de Breguet Substituindo na equação da autonomia: E = Wi d W Wi = Ẇ f d W (TSFC)F Mas, no cruzeiro sabemos que: { L = W W D = F F = L D = C L 1 C D F = C L 1 C D W Então, substituindo: E = Wi d W Wi (TSFC)F = 1 (TSFC) E = Wi 1 C L C L 1 (TSFC) C D W d W 1 C D W d W

22 Desempenho integral em cruzeiro Equação da autonomia de Breguet Considerando: altitude fixa e manete fixa TSFC constante; ângulo de ataque fixo C L C D constante. Então a equação da autonomia é simplificada para: E = Wi 1 (TSFC) C D W d W = 1 (TSFC) 1 C L C Wi L C D 1 W d W Integrando: 1 C L E = ln W i (TSFC) C D Portanto, para uma dada quantidade de combustível, a autonomia de uma aeronave é maximizada minimizando TSFC (voando a altas altitudes) e maximizando a razão C L /C D.

23 Desempenho integral em cruzeiro Equação da autonomia de Breguet - exercício Exercício: Um T-37 a ft tem uma polar de arrasto C D = 0,02+ 0,057C L 2. A aeronave tem um peso inicial de 6000 lb, sendo 500 lb de combustível. Se o TSFC a essa altitude é de 0,836/h, encontre a máxima autonomia.

24 Desempenho integral em cruzeiro Equação da autonomia de Breguet - exercício Exercício: Um T-37 a ft tem uma polar de arrasto C D = 0,02+ 0,057C 2 L. A aeronave tem um peso inicial de 6000 lb, sendo 500 lb de combustível. Se o TSFC a essa altitude é de 0,836/h, encontre a máxima autonomia. Solução: para maximizar a autonomia, a aeronave deve voar com (L/D) max. Para uma polar parabólica simétrica: ( ) ( ) L CL = = D max C D max 1 = 2 = kc D0 CD0 k C D0 +k C D 0 k 1 2 0,057(0,02) = 14,8 E = 1 ( ) CL ln W i = (14,8)ln TSFC C D 0, = 1,54 h

25 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet Da definição de velocidade tem-se a expressão diferencial de distância: V = ds dt ds = Vdt Integrando-se obtém-se o alcance (Range) da aeronave: R = Sf S 0 ds = tf t i Vdt A uma determinada quantidade de combustível está associado um alcance. Por isso, assim como foi feito no caso da autonomia, é interessante mudar a variável de integração do tempo t para o peso da aeronave W. Para isso substitui-se Ẇ f = d W dt : R = tf t i Vdt = Wi V d Ẇ

26 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet Aplicando a definição de consumo específico de combustível (TSFC = Ẇ f F ): Wi R = V d Ẇ Wi = V d W (TSFC)F Substituindo-se a relação 1 F = C L (L = W e D = F): R = Wi 1 C D W V d W Wi (TSFC)F = V R = Wi proveniente das equações do cruzeiro 1 C L 1 V (TSFC) C D W d W C L 1 1 (TSFC) C D W d W

27 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet A equação da sustentação também fornece a velocidade V em função de W, C L e ρ: W = L = 1 2 ρv 2 2W SC L V = ρsc L Substituindo na equação do alcance: Wi 2W 1 C L 1 R = ρsc L (TSFC) C D W d W R = Wi 2 1/2 1 C L 1 d W ρs (TSFC) C D W

28 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet Considerando: altitude fixa ρ é constante; C L /C D constante; TSFC constante. A equação do alcance é simplificada para: 2 1/2 1 C Wi L 1 R = d W ρs (TSFC) C D W Integrando: R = 2 1/2 2 C L ( Wi ) ρs (TSFC) C D

29 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet Portanto, o alcance do cruzeiro com altitude constante é maximizado voandoaaltas altitudes(menor densidadeρetsfc)emaximizandoarazão C L 1/2 /C D. Note que, durante o cruzeiro o combustível é consumido e portanto o peso da aeronave W diminui. Consequentemente a sustentação necessária para manter a aeronave em cruzeiro diminui (L = W), e o arrasto também C D = C D (C L ). Um arrasto menor exige uma tração menor (T = D). E uma tração menor diminui o TSFC. Em resumo, as considerações iniciais perderão a validade na medida em que o cruzeiro ocorre, porque nem C L /C D nem TSFC serão constantes.

30 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet Retomando a equação: Considerando: R = Velocidade constante; C L /C D constante; TSFC constante. Wi C L 1 1 V (TSFC) C D W d W A equação do alcance é simplificada para: 1 R = V (TSFC) C Wi L C D 1 W d W

31 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet 2W Integrando e substituindo V = ρsc L temos: R = 2W ρs 1/2 1 C L ln W i (TSFC) C D Portanto, o alcance do cruzeiro com velocidade constante é maximizado voando a altas altitudes (menor densidade ρ e TSFC) e maximizando a razão C L 1/2 /C D, que são as mesmas conclusões do cruzeiro com altitude constante. Note que, para manter a velocidade e C L constantes, a razão (W/ρ) deve ser mantida constante. Então à medida que W diminui a densidade deve diminuir, ou seja a altitude deve aumentar. Por isso o cruzeiro com velocidade constante também é conhecido por cruise climb. No entanto, ao longo do cruzeiro, à medida que a altitude aumenta, o TSFC diminui, desrespeitando as considerações iniciais.

32 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet - exercício Exercício: Para um T-37, com C D = 0,02 + 0,057C L 2 e S = 184 ft 2, determine o máximo alcance a ft (TSFC = 0,836/h) para cruzeiro com altitude constante e cruzeiro tipo cruise climb

33 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet - exercício Exercício: Para um T-37, com C D = 0,02 + 0,057C 2 L e S = 184 ft 2, determine o máximo alcance a ft (TSFC = 0,836/h) para cruzeiro com altitude constante e cruzeiro tipo cruise climb Solução: paramaximizaroalcance, aaeronavedevevoarcom(c 1/2 L /C D ) max. Para uma polar parabólica simétrica: C L = CD0 3k = 0,02 3(0,057) = 0,342 C D = 0,02+0,057(0,342) 2 = 0,0267 ( ) 1/2 C L = (0,342)1/2 = 21,9 C D 0, 0267 max ( ) h TSFC = 0,836/h = 0,836 = 0, /s 3600 s

34 Desempenho integral em cruzeiro Equação do alcance de Breguet - exercício para o cruzeiro com altitude constante: ( ) ( ) 2 2 1/2 C ( L R = Wi ) = ρs TSFC C D ( ) 2 2 ( ) = (21, 9) = (0, )(184) 0, = ft = 345 miles para o cruise climb : 2 R = ρs = ( 1 TSFC 2 (0, )(184) ) ( ) 1/2 C L C D ( 1 0, = ,6 ft = 352,9 miles ln W i = ) (21,9)ln ( ) 6000 = 5500