Teoria para Pequenas Perturbações

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1 Teoria para Pequenas Perturbações João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica, Secção de Mecânica Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 1 / 36

2 Sumário Introdução Objectivos Notação Definição do estado estacionário Linearização das equações Pequenas perturbações Forças e momentos aerodinâmicos Linearização das equações longitudinais Linearização das equações laterais Forma geral das equações João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 2 / 36

3 Introdução Sumário Introdução Objectivos Notação Definição do estado estacionário Linearização das equações Pequenas perturbações Forças e momentos aerodinâmicos Linearização das equações longitudinais Linearização das equações laterais Forma geral das equações João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 3 / 36

4 Introdução Objectivos Objectivo Até agora: Deduziram-se as equações gerais do movimento de uma aeronave Algumas soluções dessas equações são estados estacionários Mas esses estados estacionários são estáveis se sofrerem pequenas perturbações? Para responder: temos de estabelecer equações para a evolução das pequenas perturbações. João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 4 / 36

5 Introdução Objectivos Plano de trabalho Tendo em conta que: As equações do movimento são não lineares. Os estados estacionário são soluções das equações. Estamos interessados em pequenas perturbações. Propomo-nos: Linearizar as equações. «Subtrair» estado estacionário. Obter equações lineares para as variáveis das perturbações. João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 5 / 36

6 Introdução Notação Notação a usar Decomposição das variáveis dinâmicas: Estado estacionário + perturbação Exemplo: variável x Variável total: x Valor da variável no estado estacionário: x 0 Valor da perturbação: x Logo: x = x 0 + x João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 6 / 36

7 Introdução Notação Notação simplificada no caso x 0 = 0 No caso em que x 0 = 0: Variável total: x Valor da variável no estado estacionário: x 0 = 0 Valor da perturbação: x Logo: x = x Usamos apenas x para a perturbação! João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 7 / 36

8 Introdução Definição do estado estacionário Estado estacionário Vamos deduzir as equações supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 Asas niveladas: φ = 0 Ângulo de rumo nulo: ψ = 0 (é sempre possível?) Eixos de estabilidade: Eixo Cx V (sempre possível porque v 0 = 0). Logo: w0 = 0 α x = 0 θ0 coincide com o ângulo de subida João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 8 / 36

9 Introdução Definição do estado estacionário Estado estacionário: hipóteses adicionais (1) a) θ pequeno cos θ 1, sin θ θ, e também: sin(θ 0 + θ) = sin θ 0 cos θ + cos θ 0 sin θ sin θ 0 + θ cos θ 0 cos(θ 0 + θ) = cos θ 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 θ sin θ 0 b) Efeito dos rotores é desprezável. Válido se: o avião está em voo planado ou o momento angular de cada rotor é pequeno ou os rotores são simétricos e rodam em sentidos opostos João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 9 / 36

10 Introdução Definição do estado estacionário Estado estacionário: hipóteses adicionais (2) c) Não há vento: W = 0 V E = V u E = u v E = v w E = w d) δ a = 0 e) δ r = 0 (porque não δ e = 0?) João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 10 / 36

11 Introdução Definição do estado estacionário Revisão das equações gerais X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ) Y + mg cos θ sin φ = m( v E + r u E pw E ) Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ) L = I xx ṗ I yz (q 2 r 2 ) I zx (ṙ + pq) I xy ( q r p) (I yy I zz )qr M = I yy q I zx (r 2 p 2 ) I xy (ṗ + qr ) I yz (ṙ pq) (I zz I xx )r p N = I zz ṙ I xy (p 2 q 2 ) I yz ( q + r p) I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq p = φ ψ sin θ q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ r = ψ cos θ cos φ θ sin φ João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 11 / 36

12 Introdução Definição do estado estacionário Equações para o estado estacionário Substituindo as definições do estado estacionário nas equações gerais obtemos: X 0 mg sin θ 0 = 0 L 0 = 0 M Y 0 = 0 0 = 0 N Z 0 + mg cos θ 0 = 0 0 = 0 ẋ E0 = u 0 cos θ 0 ψ 0 = 0 θ ẏ E0 = 0 0 = 0 φ ż E0 = u 0 sin θ 0 = 0 0 João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 12 / 36

13 Linearização das equações Sumário Introdução Objectivos Notação Definição do estado estacionário Linearização das equações Pequenas perturbações Forças e momentos aerodinâmicos Linearização das equações longitudinais Linearização das equações laterais Forma geral das equações João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 13 / 36

14 Linearização das equações Pequenas perturbações Decomposição das variáveis Estado estacionário + perturbação u = u 0 + u v v (v 0 = 0) w w (w 0 = 0) ψ ψ (ψ 0 = 0) θ = θ 0 + θ φ φ (φ 0 = 0) p p (p 0 = 0) q q (q 0 = 0) r r (r 0 = 0) João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 14 / 36

15 Linearização das equações Pequenas perturbações Pequenas perturbações Supomos que as perturbações são pequenas. Logo: podemos desprezar os termos quadráticos face aos termos lineares; termos quadráticos: todos aqueles em que aparecem produtos das variáveis da perturbação. João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 15 / 36

16 Linearização das equações Forças e momentos aerodinâmicos Forças e momentos As forças e os momentos aerodinâmicos são funcionais das variáveis de estado. Para pequenas perturbações: Variáveis de estado longitudinais u, w, q ẇ ( u e q não são relevantes) Variáveis de estado laterais v, p, r As forças e momentos do estado estacionário são já conhecidas (ver equações). Supomos que as perturbações nas forças e momentos dependem linearmente das variáveis de estado (acima). João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 16 / 36

17 Linearização das equações Forças e momentos aerodinâmicos Hipóteses adicionais Em configurações simétricas: as forças e momentos laterais só dependem das variáveis laterais; desprezamos a contribuição das variáveis laterais (assimétricas) para as forças e momentos longitudinais (simétricas). Desprezamos a contribuição das taxas de variação das velocidade excepto Zẇ e Mẇ. Desprezamos a contribuição de X q. Desprezamos a variação da densidade ρ com a altitude. João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 17 / 36

18 Linearização das equações Forças e momentos aerodinâmicos Forças e momentos devidos às perturbações X = X u u + X w w + X c Y = Y v v + Y p p + Y r r + Y c Z = Z u u + Z w w + Zẇẇ + Z q q + Z c L = L v v + L p p + L r r + L c M = M u u + M w w + Mẇẇ + M q q + Z c N = N v v + N p p + N r r + N c João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 18 / 36

19 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Linearização das equações longitudinais Para linearizar as equações do movimentos para pequenas perturbações é necessário: Substituir todas as variáveis (estado estacionário + perturbação) nas equações anteriores. Usar as equações do estado estacionário. Eliminar os termos quadráticos nas pequenas perturbações. João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 19 / 36

20 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Revisão das equações gerais (outra vez!?) X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ) Y + mg cos θ sin φ = m( v E + r u E pw E ) Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ) L = I xx ṗ I yz (q 2 r 2 ) I zx (ṙ + pq) I xy ( q r p) (I yy I zz )qr M = I yy q I zx (r 2 p 2 ) I xy (ṗ + qr ) I yz (ṙ pq) (I zz I xx )r p N = I zz ṙ I xy (p 2 q 2 ) I yz ( q + r p) I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq p = φ ψ sin θ q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ r = ψ cos θ cos φ θ sin φ João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 20 / 36

21 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Equação do movimento de translação segundo x De X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ) obtemos: (X 0 + X) mg sin(θ 0 + θ) = m( u 0 + u + qw r v) Usamos sin(θ 0 + θ) sin θ 0 + θ cos θ 0 e as equações do estado estacionário: (X 0 mg sin θ 0 ) + X mg cos θ }{{} 0 θ = m( u 0 + u+qw r v) }{{} =0 (Est. estacionário) =0 Linearizamos: X mg cos θ 0 θ = m u João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 21 / 36

22 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Equação do movimento segundo x (2) Mas donde: X = X u u + X w w + X c, X u u + X w w + X c mg cos θ 0 θ = m u Obtemos finalmente: u = X u m u + X w m w + g cos θ 0 θ + X c m João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 22 / 36

23 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Equação do movimento de translação segundo z De forma análoga (usando as equações do estado estacionário e linearizando), de Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ) chega-se a: ẇ = Z m g sin θ 0 θ + u 0 q Mas: Z = Z u u + Z w w + Zẇẇ + Z q q + Z c ẇ = Z u m u + Z w m w + Z ẇ m ẇ + Z q m q g sin θ 0 θ + u 0 q + Z c m João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 23 / 36

24 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Equação do movimento segundo z (2) Resolvendo em ordem a ẇ: ( ẇ 1 Z ) ẇ = Z u m m u+z w m w+ ( u 0 + Z ) q q g sin θ 0 θ+ Z c m m Obtém-se finalmente: Z u Z w ẇ = u + w + m Zẇ m Zẇ (mu 0 + Z q ) m Zẇ q mg sin θ 0 θ + m Zẇ Z c m Zẇ João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 24 / 36

25 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Equação do movimento de rotação segundo y Agora obtém-se a equação linearizada Mas q = M I y. M = M u u + M w w + Mẇẇ + M q q + M c e, como se viu acima, Z u Z w ẇ = u + w + m Zẇ m Zẇ (mu 0 + Z q ) m Zẇ q mg sin θ 0 θ + m Zẇ Z c m Zẇ João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 25 / 36

26 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Equação do movimento de rotação segundo y (2) Obtém-se finalmente q = 1 [ ( M u + M ẇz u I y m Zẇ ( M q + M ẇ(mu 0 + Z q ) m Zẇ ) ( u + M w + M ẇz w m Zẇ ) ) w+ q M ẇmg sin θ 0 θ+ m Zẇ M c + M ẇ Z c m Zẇ ] João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 26 / 36

27 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Fecho do sistema de equações Falta 1 equação para termos um sistema de 4 equações a 4 incógnitas. Linearizando q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ obtém-se θ = q João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 27 / 36

28 Linearização das equações Linearização das equações longitudinais Resumo das equações longitudinais para pequenas perturbações u ẇ = q ( 1 Iy θ Xu m Xw m 0 g cos θ 0 Zu m Zẇ M u + M ẇ Zu m Zẇ ) Zw m Zẇ ( ) 1 M Iy w + M ẇ Zw m Zẇ ( ) mu 0 +Zq m Zẇ ( ) 1 M Iy q + M ẇ (mu 0 +Zq) m Zẇ mg sin θ 0 m Zẇ Mẇ mg sin θ 0 Iy (m Zẇ ) u w q θ Nota: omitiu-se o vector das variáveis de controlo nas equações acima. Equações linearizadas para o «flight path»: ẋ E = u cos θ 0 + w sin θ 0 u 0 θ sin θ 0 ż E = u sin θ 0 + w cos θ 0 u 0 θ cos θ 0 João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 28 / 36

29 Linearização das equações Linearização das equações laterais Linearização das equações laterais O processo é idêntico ao das equações longitudinais: Substituir todas as variáveis (estado estacionário + perturbação) nas equações acima. Usar as equações do estado estacionário. Eliminar os termos quadráticos nas pequenas perturbações. João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 29 / 36

30 Linearização das equações Linearização das equações laterais Resumo das equações laterais para pequenas perturbações ( ) Yv Yp Yrm v m m u 0 g cos θ 0 Yc ( ) ( ) ( ) v ṗ Lv Lp m I = x + I zxn v I x + I Lr zxn p I x + I zxn r 0 p Lc + I ṙ ( ) ( ) ( ) + x I zx Nc I zx Nv Lv + I φ z I zx Np Lp + I z I zx Nr Lr + I z 0 r I Nc zx Lc + I z φ tan θ 0 0 ψ = r sec θ 0 ẏ E = u 0 ψ cos θ 0 + v I x = (I xi z I 2 zx )/I z I z = (I x I z I 2 zx)/i x I zx = I zx/(i x I z I 2 zx ) João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 30 / 36

31 Forma geral das equações Sumário Introdução Objectivos Notação Definição do estado estacionário Linearização das equações Pequenas perturbações Forças e momentos aerodinâmicos Linearização das equações longitudinais Linearização das equações laterais Forma geral das equações João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 31 / 36

32 Forma geral das equações Separação entre movimento longitudinal e lateral Condições para a existência de perturbações puramente longitudinais: 1. Existência de plano de simetria 2. Ausência da efeitos giroscópicos do rotor Condições para a existência de perturbações puramente laterais: 1. Existência de plano de simetria 2. Linearização das equações 3. Ausência da efeitos giroscópicos do rotor 4. Ausência de acoplamentos aerodinâmicos cruzados (forças e momentos simétricos não dependem das variáveis assimétricas; forças e momentos assimétricos não dependem das variáveis simétricas) João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 32 / 36

33 Forma geral das equações Forma geral das equações As equações para as pequenas perturbações têm, em ambos os casos, a forma matricial ẋ = Ax + Bc Sistema de equações diferenciais lineares de 1ª ordem! A: matriz do sistema B e c: matriz e vector de controlo (a determinar) x: vector de estado longitudinal: x = [ u w q θ] T lateral: x = [v p r φ] T João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 33 / 36

34 Forma geral das equações Cenas dos próximos capítulos Queremos resolver o sistema ẋ = Ax + Bc Para isso: determinar em cada caso todos os termos da matriz A Determinar B e c João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 34 / 36

35 Forma geral das equações Matriz do sistema: movimento longitudinal A = 1 I y ( X u m X wm 0 g cos θ 0 Z u m Zẇ ) M u + M ẇ Z u m Zẇ ( 1 I y Z w m Zẇ ) M w + M ẇ Z w m Zẇ ( 1 I y (mu 0 +Z q) m Zẇ M q + M ) ẇ (mu 0 +Z q) m Zẇ mg sin θ 0 m Zẇ Mẇ mg sin θ 0 I y (m Zẇ ) João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 35 / 36

36 Forma geral das equações Matriz do sistema: movimento lateral ( Y v Y p Yp ) m m m u 0 g cos θ 0 ( ) ( Lv I A = + Lp ) ( ) I x zxn v I x + I Lr zxn p I + I x zxn r 0 ( ) ( ) ( ) I zxl v + N v I z I zxl p + N p I z I zxl r + N r I z tan θ 0 0 João Oliveira (SMA, IST) Estados Estacionários Estabilidade de Voo 36 / 36