TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS

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1 TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS Parte II Transformações nos Espaços Bidimensionais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

2 Abordagem matricial Mudança transformação linear Y = A X Com A matriz de transformação X, Y vetores Relação funcional entre objetos geométricas de dois espaços

3 Abordagem matricial Mudança transformação linear Y = A X Se a matriz A é quadrada e não singular, ou seja: A 0 Existe a transformação inversa: X = A -1 Y

4 Transformação ortogonal Não há variação no comprimento do vetor durante a transformação. Forma quadrática X T X = Y T Y X T X = x 1 x 2 x 1 x 2 = x x 2 2

5 Transformação ortogonal Seja R uma matriz de rotação ortogonal. Então: RR T = I R 1 = R T R 1 θ = R T θ = R θ Matriz ortogonal própria A =+1 rotação Matriz ortogonal imprópria R1 = R2 = (reflexão de X) (reflexão de Y) A =-1 reflexão

6 Transformação ortogonal Não há variação no comprimento do vetor durante a transformação. PROVA e X T X = Y T Y Y = AX Então Y T Y = AX T AX = X T ถA T A =I X = X T X (c.q.d)

7 Abordagem matricial Rotação no espaço 2D Y = R X 1º Operação transformar X em Y, onde X, Y são dois vetores no mesmo sistema de coordenadas 2º Operação Transformar o sistema de coordenadas em que X está referido, no sistema de coordenadas a que Y se refere.

8 1º Operação Transformar a em b, onde a, b são dois vetores no mesmo sistema de coordenadas Y y 1 b (y 1,y 2 ) y 2 x 1 a (x 1,x 2 ) θ x 2 O X

9 1º Operação Transformar a em b, onde a, b são dois vetores no mesmo sistema de coordenadas Y y 1 b (y 1,y 2 ) y 2 x 1 a (x 1,x 2 ) θ x 2 O X

10 2º Operação Mudar a referência do ponto P do sistema de coordenadas XY para o sistema de coordenadas X Y. Y θ x' P x P P y' P O y P θ X

11 2º Operação Mudar a referência do ponto P do sistema de coordenadas XY para o sistema de coordenadas X Y. Y θ x P P x' P y' P y P O θ X x y = cos θ sen θ sen θ cos θ Y = RX x y

12 EXERCÍCIO Em um levantamento, considerou-se orientação em relação ao norte magnético. As coordenadas de dois vértices foram então determinadas: PONTO x (m) y (m) 1 100, , , ,9830 Em seguida, determinou-se que a declinação na época do levantamento era igual a δ= ,7 W. Determine as coordenadas dos pontos 1 e 2 considerando o norte verdadeiro. x y cos θ sen θ = sen θ cos θ x y

13 Compreendendo a declinação magnética duas formas δ= ,7 W norte magnético a oeste do norte geográfico. Ou seja, é necessário um giro em sentido horário (-), independente de como são representados os eixos. 1º 2º δ NG δ O

14 x y cos θ sen θ = sen θ cos θ x y NG NM δ Modelo de cálculo: x = x. cos δ + y. sen δ y = x. sen δ + y. cos δ δ= ,7 P1 Substituindo os valores: x = 100,0324. cos ( ,7 ) + 21,0568. sen ( ,7 ) y = 100,0324. sen ( ,7 ) + 21,0568. cos ( ,7 ) Resultado obtido: x = 89,0554 m y = 50,1896 m

15 x y cos θ sen θ = sen θ cos θ x y NG NM δ Modelo de cálculo: x = x. cos δ + y. sen δ y = x. sen δ + y. cos δ δ= ,7 P2 Substituindo os valores: x = 120,1188. cos ( ,7 ) + 87,9830. sen ( ,7 ) y = 120,1188. sen ( ,7 ) + 87,9830. cos ( ,7 ) Resultado obtido: x = 88,0658 m y = 120,0581 m

16 TRANSFORMAÇÃO AFIM NO PLANO 1 rotação (θ) + 2 translações (ΔX, ΔY) Y θ x P P x' P y' P y P ΔX θ O O ΔY X x P y P = cos θ sen θ sen θ cos θ x P y P + ΔX ΔY Preservação de formas (ângulos) e de tamanhos

17 TRANSFORMAÇÃO DE CORPO RÍGIDO NO PLANO Transformação de Helmert 2D, de Similaridade ou Isogonal 1 fator de escala (λ) + 1 rotação (θ) + 2 translações (ΔX, ΔY) x P y P = λ cosθ sen θ sen θ cos θ x P y P + ΔX ΔY Escala uniforme em ambos os eixos Preservação de forma (ângulo), mas não de tamanho

18 TRANSFORMAÇÃO AFIM GERAL NO PLANO + abrangente 2 fatores de escala (λx, λy) + 1 rotação (θ) + 2 translações (ΔX, ΔY) + 1 fator de não ortogonalidade dos eixos (ε) x P cos θ sen θ y = λ x λ y P sen(θ + ε) cos(θ + ε) x P y P + ΔX ΔY Y ε θ O O θ X

19 EXERCÍCIO Seja o alinhamento 1 2, cujas coordenadas dos pontos são: PONTO x'(m) y (m) 1 100,0 100, ,0 150,0 Aplicou-se a transformação afim geral, considerando que existe a ortogonalidade entre os eixos de ambos sistemas ( ou seja ε=0). O modelo de transformação adotado foi: x y = 1,0 0,8 cos(30,0 ) sen(30,0 ) sen(30,0 ) cos(30,0 ) x y + 50,0 m +75,0 m Pede-se: Determinar a menor diferença angular existente entre o azimute da direção 1 2 no sistema antigo (x y ) e no sistema novo (xy). Apresente a resposta com precisão de décimo de grau.

20 Azimute da direção 1 2 no sistema antigo (x y ): Az 12 = atan 50,0 1 Q Az 50,0 12 = 45,0 SOLUÇÃO Coordenadas dos pontos 1 e 2 no novo sistema (xy): Modelo matemático: matricial linear x = 1,0. x. cos 30,0 + 1,0. y. sen 30,0 50,0 y = 0,8. x. sen 30,0 + 0,8. y. cos 30,0 + 75,0 Novas coordenadas: PONTO x(m) y(m) 1 86,6 104, ,9 118,9 Azimute da direção 1 2 no sistema novo (xy): Az 12 = atan 68,3 1 Q Az 14,6 12 = 77,9 A diferença é de Δ = 77,9 45,0 Δ = 32, 9