TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS

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1 TRANSFRMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANS Parte I Conceitos gerais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

2 Transformações de sistemas Fundamentam em 3 pilares: TRANSLAÇÃ RTAÇÃ REFLEÃ FATR DE ESCALA

3 TRANSLAÇÃ 1º raciocínio Translação de um sistema de coordenadas

4 TRANSLAÇÃ 1º raciocínio Translação de um sistema de coordenadas

5 TRANSLAÇÃ 1º raciocínio Translação de um sistema de coordenadas = + T = + T Novo sistema T T

6 TRANSLAÇÃ 2º raciocínio Translação de pontos mesmo sistema P(x,y) P(x,y ) 12 x = x + T y = y + T 7 Exemplo: T = +10 T =

7 TRANSLAÇÃ 2º raciocínio Translação de pontos mesmo sistema P(x,y) P(x,y ) 12 x = x + T y = y + T 7 6 Exemplo: T = +10 T =

8 TRANSLAÇÃ DE PNTS SIGNIFICAD: VISUAL É a mudança de posição em relação ao sistema de coordenadas MATEMÁTIC É a operação de adição de constantes de translação (positivas e/ou negativas) às coordenadas originais. x = x + T y = y + T nde: (x,y) (x,y ) T,T y coordenadas originais coordenadas resultantes constantes de translação

9 RTAÇÃ 1º raciocínio Rotação de um sistema de coordenadas

10 RTAÇÃ 1º raciocínio Rotação de um sistema de coordenadas

11 RTAÇÃ 1º raciocínio Rotação de um sistema de coordenadas θ

12 RTAÇÃ 2º raciocínio Rotação de pontos mesmo sistema P(x,y) P(x,y ) Exemplo: θ = +35

13 RTAÇÃ 2º raciocínio Rotação de pontos mesmo sistema P(x,y) P(x,y ) θ Exemplo: θ = +35

14 RTAÇÃ EM TRN DE UM PNT (CENTR DE RTAÇÃ) SIGNIFICAD: VISUAL É a mudança de posição de modo que todos os pontos mantenham a mesma distância em torno do centro de rotação (ponto fixo) MATEMÁTIC É a aplicação do ângulo de rotação α nos pontos originais nde: (x,y) (x,y ) T,T y coordenadas originais coordenadas resultantes constantes de translação x = x.cos(α) + y.sen(α) y = -x.sen(α) + y.cos(α) CNVENÇÃ: (+) positivo sentido anti-horário dextrogiro

15 CENTR DE RTAÇÃ P A rotação de P(x,y) para uma nova posição P (x,y ) ou P (x,y ) conserva a distância entre o centro de rotação ( pivô ) e o ponto resultante. mesmo efeito é observado no ponto Q r P Q P r P = r P = r P r Q = r Q = r Q r Q rq Q r P Q r Q C r P P RTAÇÃ

16 CNVENÇÃ DE ÂNGULS DE RTAÇÃ SISTEMA ANTI-HRÁRI HRÁRI DETRÓGIR + - LEVÓGIR - + Sinal a ser considerado para o ângulo de rotação α x = x.cos(α) + y.sen(α) y = -x.sen(α) + y.cos(α)

17 REFLEÃ 1º raciocínio Reflexão de um eixo no sistema de coordenadas

18 REFLEÃ 1º raciocínio Reflexão de um eixo no sistema de coordenadas = - = Novo sistema É uma rotação de 180 Inversão DETRÓGIR LEVÓGIR

19 REFLEÃ (a) sistema de coordenadas permanece intacto (FI) 2º raciocínio Reflexão de pontos x 1 a (x 1,y 1 ) r y 1 Altera-se a posição do ponto x 2 = x 1 y 2 = -y 1

20 REFLEÃ (a) sistema de coordenadas permanece intacto (FI) 2º raciocínio Reflexão de pontos x 1 a (x 1,y 1 ) r y 1 Altera-se a posição do ponto r y 2 x 2 = x 1 y 2 = -y 1 x 2 b (x 2,y 2 )

21 REFLEÃ 2º raciocínio Reflexão de pontos (b) A posição do ponto fica intacta (FIA) e altera-se o sistema de coordenadas x 1 a (x 1,y 1 ) r y 1 Altera-se a direção dos eixos

22 REFLEÃ 2º raciocínio Reflexão de pontos (b) A posição do ponto fica intacta (FIA) e altera-se o sistema de coordenadas x 2 a (x 2,y 2 ) r y 2 Altera-se a direção dos eixos

23 TRANSFRMAÇÃ DE ESCALA, ESCALAÇÃ SIGNIFICAD: VISUAL Alteração do tamanho, forma e/ou posição de uma feição MATEMÁTIC É a multiplicação das coordenadas por fatores de escala não nulos. No caso 2D: fator de escala em x: E x x = E.x y = E y.y fator de escala em y: E y nde: (x,y) (x,y ) coordenadas originais coordenadas resultantes

24 FATR DE ESCALA E > 1 Ampliação na direção do eixo afetado pelo fator x = E.x y = E y.y 4 2 Exemplo: E = 3 E y = 3 2 5

25 FATR DE ESCALA E > 1 Ampliação na direção do eixo afetado pelo fator x = E.x y = E y.y Exemplo: E = 3 E y =

26 FATR DE ESCALA 0 < E < 1 Redução na direção do eixo afetado pelo fator x = E.x y = E y.y 14 8 Exemplo: E = 0,5 E y = 0,

27 FATR DE ESCALA 0 < E < 1 Redução na direção do eixo afetado pelo fator x = E.x y = E y.y Exemplo: E = 0,5 E y = 0,

28 FATR DE ESCALA E < 0 Redução / Ampliação + ESPELHAMENT na direção do eixo afetado pelo fator x = E.x y = E y.y 1 Exemplo: E = 2 E y = -2

29 FATR DE ESCALA E < 0 Redução / Ampliação + ESPELHAMENT na direção do eixo afetado pelo fator x = E.x y = E y.y Exemplo: E = 2 E y =

30 Transformações de sistemas de coordenadas ALTERAÇÃ D REFERENCIAL Transformações de pontos ADEQUAÇÃ PARA UM REFERENCIAL

31 EEMPLS Resolução PR01/2005 IBGE Altera a caracterização do Sistema Geodésico Brasileiro SAD69 SIRGAS2000 = - 67,35 m = + 3,88 m Z = - 38,22 m BS: Parâmetros de translação são aplicados em coordenadas cartesianas tridimensionais geodésicas (,,Z)

32 EEMPLS Dimensão de uma imagem em pixels (sistema coluna, linha) FATR DE ESCALA Resolução Espacial Pixel Metro

33 EEMPLS Planta de um loteamento

34 EEMPLS Planta de um loteamento rientação: Norte Magnético (N. M)

35 EEMPLS Planta de um loteamento Época: 30/11/1982

36 EEMPLS Planta de um loteamento Data de elaboração 30/11/82 rientação: Norte Magnético da época Coordenada média do loteamento φ = , 9" S ; λ = , 0" W Qual o ângulo de rotação necessário para orientar-se em relação ao norte geográfico? Uma das soluções declinação magnética da época

37 Épocas abrangidas pelos modelos

38 EEMPLS Planta de um loteamento NM δ NG NG = NM + δ NG = NM + (17,93 W) NG = NM 17,93-17,93 corresponde a uma rotação de 17,93 em sentido horário CNVENÇÃ: (+) positivo sentido anti-horário dextrogiro

39 EEMPLS Planta de um loteamento δ NG NM

40 EEMPLS Planta de um loteamento NG NM δ NG NM