Transformações Geométricas 3D

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Ana Sofia Álvaro Lemos
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1 Transformações Geométricas 3D

2 Introdução Transformações 3D são uma etensão dos métodos 2D, incluindo-se a coordenada Z. Especificação de vetores em 3D translação: vetor de translação 3D escalonamento: 3 fatores Rotação: 2D: sobre eios perpendiculares ao plano 3D: qualquer orientação espacial para os eios de rotação Utiliação de Matries, assim como em 2D 2

3 Fundamentos álgebra Pontos pontos em 3D serão representados por vetores colunas um ponto (,,) será representado por Coordenada d Ponto 3D Cartesiana do Ponto 3D ponto 3D Coordenada Coordenada d homogêneo Homogênea Cartesiana w / w / w / w 3

4 Translação Transformação de corpo rígido, pois não modifica a forma do objeto 4

5 Translação com operação de matri Transladar de um ponto P (,,) para P (,, ) t t t ou P = TP 5

6 Escalonamento Escalonar um ponto P (,,) por um fator S = (s,s,s ) em relação à origem s s s s ou P = SP Observe que este escalonamento também deslocará o objeto de 6 j sua posição de origem

7 Escalonamento Escalonar com relação a uma posição fia ( ): Escalonar com relação a uma posição fia ( f, f, f ): transladar o ponto fio para origem escalonar objeto com equação anterior j q ç transladar de volta para a posição original ) ( ) ( ) ( T S T ),, ( ),, ( ),, ( f f f f f f T s s s S T ) ( ) ( f f s s s s ) ( f s s 7

8 Refleão Pode ser feita sobre um eio selecionado ou com respeito a um determinado plano de refleão. Por eemplo, a refleão sobre o plano será: Como seria a refleão sobre o plano? E b l? 8 E sobre o plano?

9 Relembrando Rotação 2D cos sen sen cos Cada vetor que compõe a submatri 22 tem a seguinte propriedade: É unitário É perpendicular aos outros (seu produto escalar é ero) Nessas condições: O primeiro vetor irá ser rotacionado de R( para alinhar com o eio, o segundo vetor irá ser rotacionado R() para alinhar com o eio. 9

10 Deve-se designar um eio de rotação (e valor) eio sobre o qual o objeto será rotacionado; Rotação Em 2D o eio de rotação é sempre perpendicular ao plano ; Em 3D este eio pode ter várias orientações espaciais As rotações mais simples são aquelas sobre os 3 eios principais Lousa eios principais e regra da mão direita

11 Rotação sobre os eios principais: i i Regra da mão direita cos sen (sentido positivo de rotação) sen cos cos sen sen cos P R ( ) P

12 R t ã b i i i i Rotação sobre os eios principais: sen cos cos sen cos sen sen cos cos sen 2 P R P ) (

13 R t ã b i i i i Rotação sobre os eios principais: sen cos cos sen sen cos cos sen sen cos cos sen 3 P R P ) (

14 Composição de Transformação 3Ds Similar a composição de matri 2D Vamos entender através de um eemplo. O objetivo é transformar os segmentos de linha P P 2 e P P 3 da posição da Figura A para a posição da Figura B Figura A Figura B O ponto P vai para a origem. P P 2 estará sobre o eio positivo. P P 3 estará na parte positiva do eio sobre o plano. O tamanho das linhas não é afetado pela transformação. 4

15 Figura A Figura B Maneira, passos:. Transladar P para origem: T(-,- ) 2. Rotacionar em torno do eio de maneira que P P 2 fique no plano (, ) 3. Rotacionar em torno do eio de maneira que P P 2 fique no eio ; 4. Rotacionar em torno do eio de maneira que P P 3 fique no plano (, ); 5

16 . Transladar P para origem: T(-,- ) Maneira : Passo Aplicando T aos pontos 6

17 Maneira : Passo 2 2. Rotacionar -(9 -θ) em torno do eio para P2 ficar no plano (,), ou seja no plano =. Mesmo que rotacionar θ-9 emtornodoeio eio. 7

18 Maneira : Passo 2 P 2 após o passo 2 8

19 Maneira : Passo 3 3 Rotacionar em torno do eio, até P P 2, ou seja P 2,ficar sobre o eio Realiando as contas, temos que após a rotação = D 2 Como rotação preserva o comprimento das linhas 9

20 Maneira : Passo 3 Projeção de P 3 no plano (,) 2

21 Maneira : Passo 4 Projeção de P 3 no plano (,) Maneira : Passo 4, Rotação positiva R(α) em torno do eio. 2

22 Maneira A matri de composição da transformação é: M R ( ) R ( ) R ( 9) T (, ) R T Eercício para casa: Verificar que P foi transformado para a origem, P2 foi transformado para o eio positivo e P3 foi transformado para o plano (,) 22

23 Usando a propriedade das matries ortogonais: Maneira 2 Os vetores unitários de R rotacionam em torno dos eios principais; Idéia básica: -definir qual vetor unitário R que após rotacionar ficará alinhado sobre eio Z; -definir qual vetor unitário R que após rotacionar ficará alinhado sobre eio X;... Esses vetores devem ser ortogonais entre si... 23

24 Vamos colocar P P 2 para rotacionar em torno de ; Maneira 2 Lembre-se P P 3 ficará no plano (,) perpendicular ao eio. Além disso P P 2 e P 2 P 3 ficarão em um plano (,) ortogonal ao eio. Assim um vetor, perpendicular ao plano defino por P P 2 e P 2 P 3 ficará após a transformação alinhado com. R é perpendicular ao plano definido por P P 2 ep P 3 Os três vetores devem ser perpendiculares entre si R é perpendicular a R e R 24

25 Então Produto vetorial a = a i + a 2 j + a 3 k = [a, a 2, a 3 ] b = b i + b 2 j + b 3 k = [b, b 2, b 3 ]. Relembrando... a b = [a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b a b 3, a b 2 a 2 b ]. 25

26 Maneira 2 A matri de composição é dada por: Eercício 26

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