REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

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1 REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Ettore A. de Barros. INTRODUÇÃO. Definições Um número compleo pode ser definido pelo par ordenado, de números reais e,, O par, é identificado com o número real, e o par, é identificado com a unidade imaginária i. Assim, o número compleo, é formado pelas partes real, Re =,e imaginária, Im=. Portanto,, é identificado com um número imaginário puro. a Igualdade. Dois números compleos,,, são iguais, se e só se = e = Em part icular,, se e só se = e =. b Adição,,, 3 Em particular,,,,. Logo, pode-se representar por i 4 c Produto,,, 5 se escreve, 3 =. De acordo com a definição, tem-se,i =-,. Ou seja, i = - 6 Aplicando-se 4 em 5, tem-se i 7 d Subtração A diferença entre e é dada pelo número 3 : 3 8 Ou seja, 3 é o número que deve ser somado a para produir. A partir de tal definição e de

2 , tem-se: i 9 e Divisão 3 se 3 Ou,,,. Resolvendo-se as equações para as partes real e imaginária, tem-se: i A divisão por ero não é definida. Propriedades A partir das definições anteriores e da propriedade comutativa para números reais, pode-se verificar a propriedade comutativa para adição e multiplicação: 3 Pode-se confirmar também a propriedade distributiva para a adição e multiplicação: e também a lei distributiva da multiplicação em relação à adição: Representação Geométrica Pode-se associar o par, com a representação cartesiana, onde a parte real é colocada nas abcissas e a componente imaginária associa-se à componente no eio das ordenadas. O plano definido por eios, é conhecido como plano compleo Figura. Figura. Representação de um número compleo no plano cartesiano. No mesmo plano, pode-se associar também um vetor com as componentes, de um número compleo bem como um outro vetor, representando o número compleo. A soma dos dois, +, é representada pela soma vetorial desses dois vetores. A correspondência com a operação vetorial também vale para a diferença entre dois Fig.. Porém, o mesmo não vale para o produto. O produto desses dois compleos não guarda relação com os produtos vetorial ou escalar das respectivas representações vetoriais dos mesmos no plano compleo o resultado do produto, no entanto, pode ser interpretado no plano compleo, conforme veremos na seção 5.

3 Figura. Representação de soma e subtração de números compleos no plano compleo. 3. Conjugados Compleos O conjugado compleo de um número, de componentes,, é componentes,-, ou seja, representado pelo símbolo, de i 7 O conjugado corresponde à refleão do número em relação ao eio, ou seja, a representação do número é simétrica àquela do número em relação ao eio. Uma propriedade facilmente confirmável se refere à soma de números compleos. A mesma estabelece que o conjugado da soma de dois compleos é igual à soma de seus respectivos conjugados, ou seja: 8 Outras propriedades que podem ser verificadas pelo leitor são apresentadas a seguir: 9 4. Valores Absolutos O valor absoluto, ou módulo, de um número compleo i é definido por i A interpretação geométrica do valor absoluto é a distância de até a origem no plano compleo. Pode-se verificar também que é a distância entre as representações de e no plano compleo: i 3 Utiliando o conceito de conjugado, pode-se também definir o valor absoluto: 4 5. Forma Polar Sabemos que um ponto no plano cartesiano fig. 3 também pode ser definido por suas coordenadas polares:

4 r cos 5 rsen 6 Figura 3. Representação Polar. A utiliação das mesmas para construir a forma polar de representação de um número compleo fica:, onde rcos isen 7 r Portanto, r é o módulo do número compleo. O parâmetro ϴ é chamado de argumento de e é medido no sentido anti-horário, a partir do semi-eio positivo das abcissas. As formas polares de um número compleo e de seu conjugado são ilustradas na figura 3. O argumento de depende dos valores de suas componentes real e imaginária bem como do quadrante onde sua representação no plano compleo se encontra: rsen tg tg 8 r cos Pode-se ter múltiplos valores de ϴ defasados de múltiplos de π que servem à representação polar de um mesmo número. Se tem valor absoluto diferente de ero, eiste um único valor de ϴ, em radianos, no intervalo para a representação polar, onde é um número qualquer. Se =, então, r = e ϴ é arbitrário. O produto de dois números compleos pode ser interpretado à lu da forma polar. Sejam e dois compleos representados por: r cos isen e r cos sen Pode-se verificar, facilmente, que o produto de ambos pode ser escrito conforme a epressão abaio: rr [cos isen ] 9 Portanto, o novo número compleo, 3, resultante do produto de e, possui módulo igual ao produto dos módulos destes números, e argumento igual à soma dos argumentos dos mesmos. Geometricamente, pode-se representar o efeito dessa operação conforme a figura 4 a.

5 a b Figura 4. Representação polar do produto de números compleos. a representação de números e e seu produto; b Rotação da representação polar do número compleo com módulo Z, ou seja, Z= Zcosφ +isenφ após sua multiplicação pelo compleo cosθ+isenθ. Um caso particular, de interesse, seria o produto em que um dos compleos tem módulo unitário. Neste caso o resultado pode ser interpretado meramente como uma rotação de sua representação polar conforme ilustra a figura 4 b. Referências. Churchill R.V. Variáveis Compleas e suas Aplicações. McGraw Hill Ogata, K. Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. Prentice-Hall. 5ª. Ed..