Transformações geométricas no plano e no espaço

Transcrição

1 Transformações geométricas no plano e no espaço

2 Sistemas de Coordenadas Sistemas de Referência com finalidades específicas: SRU Sistema de Referência do Universo SRO Sistema de Referência do Objeto SRN Sistema de Referência Normalizado SRD Sistema de Referência do Dispositivo

3 Sistema de Referência do Universo Universo ou mundo (onde o objeto está) Pode ser em milímetros ou quilômetros Não necessariamente será cartesiano Localização de aviação: o ideal é o polar Apresentam limites extremos (coordenadas máximas e mínimas do universo)

4 Sistema de Referência do Objeto Cada objeto é um miniuniverso Centro de gravidade do objeto (pivô) pode coincidir com o centro do sistema

5 Sistema de Referência Normalizado Coordenadas normalizadas 0OxO1 e 0OyO1 Intermediário entre SRU e SRD Torna a geração das imagens independente do dispositivo

6 Sistema de Referência do Dispositivo Coordenadas que podem ser fornecidas diretamente a um dispositivo Ex: Vídeo (800x600 pixels)

7 Transformações entre Sistema de Coordenadas Polar para Cartesiano Objeto é descrito no SRO e deve passar para o sistema de coordenadas global da cena

8 Transformações em pontos e objetos Translação Escalonamento Reflexão Rotação Cisalhamento

9 Translação x' = x + Tx y' = y + Ty z' = z + Tz Objetos são descritos por pontos principais. Apenas esses pontos são transformados e o objeto é redesenhado

10 Translação y x

11 Escalonamento x' = x S x y' = y S y z' = z S z Caso o objeto não esteja na origem, o mesmo será transladado

12 Escalonamento y x

13 Reflexão É um caso específico de escalonamento, onde por exemplo: Se x' = -x, então S x =-1 e a reflexão é em yz. Se y' = -y, então Sy =-1 e a reflexão é em xz. Se z' = -z, então S z =-1 e a reflexão é em xy. É uma operação utilizada justamente no efeito de reflexão em uma superfície polida

14 rotação Rotacionando em torno da origem (2D): x' = xcos(θ) y sen(θ) y' = ycos(θ) + x sen(θ) Caso o objeto não esteja na origem, o mesmo será transladado

15 rotação y x

16 rotação Considerando as três coordenadas: Rotação em torno do eixo z o plano xy Rotação em torno do eixo y o plano xz Rotação em torno do eixo x o plano yz y' a y y x' x a x z

17 Rotação do plano XY x' = xcos(α) y sen(α) y' = ycos(α) + x sen(α) z' = z

18 Rotação do plano ZX x' = x cos(δ) + z sen(δ) y' = y z' = z cos(δ) - x sen(δ)

19 Rotação do plano YZ x' = x y' = y cos(β) - z sen(β) z' = z cos(β) + y sen(β)

20 Rotação As matrizes de rotação apresentadas são ortonormais R -1 = R T A ordem em em que as matrizes são multiplicadas (rotação são efetuadas) altera o resultado final M x N x O O x N x M se M O

21 cisalhamento Ex: x' = x + Sy y' = y z' = z Outros tipos de deformações podem ser utilizadas x' = x y' = ax + y + bz z' = cx + z

22 Coordenadas Homogêneas Cisalhamento, Rotação, Escala: Multiplicação de matrizes Combinação de transformações obtida pela multiplicação consecutiva das matrizes de transformação Translação: Soma de Matrizes Para simplificar utilizamos coordenadas homogêneas (x',y',z',m) (x,y,z) = (x'/m, y'/m, z'/m)

23 Coordenadas Homogêneas (2) Se M=0, os pontos estão fora do espaço dimensional, mas... podemos ter M=0, significando que M tende a zero, representando pontos no infinito Representações de números muito grandes ou muito pequenos: (1,2,3,10000) i(0.0001, , ) (1,2,3,0.0001) i(10000, 20000, 30000)

24 Coordenadas Homogêneas (3) Transformação de Escala Transformação de Rotação

25 Projeções Geométricas Desenhar o objeto em 2D Aplicar transformações Ex: Perspectiva Isométrica Rotação do eixo y de 45 Rotação do eixo x de Projeção do novo plano (z=0) [ x' y' z' ١] = [ x y z ١] ٠,٧٠٧ ٠ ٠,٧٠٧ ٠ ٠,٤٠٨ ٠,٨١٦ ٠,٤٠٨ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ١

26 Transformações com OpenGL gltranslatef (7,-4,5); gltranslatef (T x,t y,t z ); glscalef(1,0.5,1); glscalef(s x,s y,s z ); glrotatef(30,1,0,1); glrotatef(angulo,x,y,z); (x,y,z) são as coordenadas que determinam o vetor de rotação. Ex: (0,0,1) define que a rotação será em torno do eixo z.

27 Transformações com OpenGL Para usar uma matriz particular de transformação, pode-se utilizar a função glmultmatrix(float M[16]) Utiliza-se como argumento uma matriz de 16 elementos que representa [ o conteúdo de uma ] matriz 4x4 Ex: Para cisalhamento utiliza-se o vetor [ S ], representando a matriz S

28 Processamento de vértices

29 OpenGL - Matrizes de Transformação OpenGL mantém três matrizes de transformação Modelview (relativo ao objeto) Projection (relativo à projeção) Texture (relativo à textura) Qualquer uma pode ser alterada A função MatrixMode determina qual matriz será utilizada

30 OpenGL - Matrizes de Transformação (2) glmatrixmode(gl_projection);//usa matriz de projeção glloadidentity();//matriz de projeção = I gluperspective(30.0,width/height,1,1,10);//define opções de visão, alterando a matriz de projeção glmatrixmode(gl_modelview);//usa matriz de modelagem glloadidentity();//matriz de modelagem = I gltranslatef(0,0,2);// Translação de 2 unidades (eixo z) glrotatef(29,1,0,0);//rotação de 29 graus (eixo x)

31 Criando Objetos com OpenGL Criando um Polígono: glbegin(gl_polygon);//marco o início de um polígono glvertex2i(0,0);//primeiro vértice está em (0,0) glvertex2i(1,0);//segundo vértice está em (1,0) glvertex2i(1,1);//terceiro vértice está em (1,1) glend();//marca o fim do polígono

32 Argumentos para glbegin()

33 Polígonos em OpenGL Não podem ser convexos Sem limite para vértices